Pythagoras och hans pythagoréer

De flesta antika grekiska städer hade sina monumentala gudatempel, med stadens beskyddare eller beskyddarinna på hedersplatsen. Det här fotografiet visar ruinerna efter det Hera-tempel som en gång tronade över den grekiska kolonin Kroton i dagens Kalabrien, Italien, pytagoréernas hemstad.

Pythagoras är kanske mest känd för sin bekanta sats som säger att kvadraten av hypotenusan är lika med kvadraten på kateterna - men i antikens värld hade mästarna inte för vana att begränsa sig till endast sina ämnen. Enligt legenden, återberättad av Alf Henriksson, reste den unge Pythagoras, född i början av 500-talet f.Kr. på Samos, till Egypten, där han fick se bygget av pyramider. (Redan här kan man börja dra öronen åt sig, eftersom höjdpunkten på pyramidbyggartraditionen inföll redan på nittonhundratalet f.Kr., d.v.s. gott ett och ett halvt årtusende före Pythagoras födelse. Men, som visa människor sagt förut: Varför fördärva en god historia?)

Hur som helst, av egyptierna fick han lära sig ett genialt sätt att skapa rätvinkliga trianglar. Egyptierna tog ett rep, knöt tolv knutar med jämna avstånd från varandra och vek sedan ihop allt till en triangel med tre, fyra respektive fem knutar på var sida - triangeln var garanterat rätvinklig! Pythagoras, som varit elev hos en annan stor grekisk matematiker, Thales, måste ha vetat att detta var sant, eftersom Thales bevisat att alla trianglar som kan ritas i en halvcirkel måste ha en rät vinkel:

Thales var Pythagoras lärare och troligtvis den som gjorde Pythagoras så intresserad av trianglar att han reste hela vägen till Egypten. Den här animationen illustrerar Thales teorem, som säger att vinkeln B i bilden alltid är 90 grader.

I glädje över upptäckten av sitt teorem lär Thales ha offrat en oxe för att tacka gudarna, och när Pythagoras upptäckt sin sats, ville han så klart inte vara sämre. Därför offrade Pythagoras hundra oxar till gudarna, möjligtvis i templet på bilden längst upp. Och i efterhand kan vi väl ge Pythagoras åtminstone lite rätt - är inte hans sats minst hundra gånger mer berömd än Thales sats?

Den enkla anledningen till att Pythagoras offrade de hundra oxarna just på Kroton, en liten grekisk koloni i dagens Kalabrien, Italien, var att det var dit han hade flyttat efter att ha gjort sig till ovän med tyrannen hemma på Samos. Antagligen fanns det också ett annat skäl - Pythagoras planerade att grunda en sekt, och för sådana är kanske inte miljön direkt hälsosam mitt emellan tre av dåtidens imperiers maktsfärer, Aten, Egypten och Persien. 

Detta samfund, som eftervärlden i ett infall av fantasilöshet benämnt pythagoréerna, hade sitt säte i just staden Kroton under 500-talet f.Kr. Samfundet utgjordes av grekiska aristokrater och många har tvistat ifall de tillät kvinnliga medlemmar. Sekten var mysticistisk till sin natur, och centralt låg tron på talens magi, något som syns inte minst på deras talesätt, allt är tal. Mottot betydde för pythagoréerna att allting kunde mätas och skapas genom att dela och att lägga ihop tal - eller med andra ord, alla tal kunde skapas ur alla andra tal genom att enbart använda de fyra räknesätten.

Pytagoréernas udda leverne hade från första början gjort dem ringaktade, och därför de var tvungna att fly Grekland för ett liv på Sicilien i dåtidens världs utkant; troligtvis utsattes de för förtal från andra städer, där man ville hindra att ungdomarna anslöt sig till hans sekt, som syns på den här målningen av Fyodor Bronnikov. Säkerligen ligger detta förtal, traderat över generationer av skribenter, bakom många av alla de goda historier som Pythagoras har fått vara föremål för. Men ännu viktigare är att vi kommer ihåg honom och hans sekt som de matematiska pionjärer de var, med ett otal banbrytande matematiska upptäckter och kanske även som vishetslärare. Kända borde de åtminstone vara för Pythagoras devis állon heautón, varmed han menade att man skall behandla sin vän som sitt andra jag. Uttalandet är kanske mest känt i sin aningen missvisande latinska översättning, alter ego.

Att de samtidigt trodde på den magiska kraften i speciella tal, som pi och det gyllene snittet (liksom pentagonens gudomlighet), åsamkade dessvärre problem. Nyheten skulle nämligen komma att nå dem, att varken pi eller det gyllene snittet kunde uttryckas med de fyra räknesätten, eller, med andra ord, att just de tal som pytagoréerna höll för gudomliga var irrationella. Pytagoréerna benämnde dem aloga, vilket bokstavligen betyder ologiska, eftersom de bröt mot den talmagiska logik som pytagoréerna ansåg förhärskande. Ordet översattes till sedan till latin, där det blir irrationella. Pytagoréerna tillhörde således den sista generationen som levde i den antika grekiska föreställningen att alla tal kunde uttryckas geometriskt, mätas och läggas i trianglar, ett synsätt som inte minst Pytagoras sats vittnar om. Denna sats, som var en av pytagoréernas stoltheter och till synes talens gudomlighet bevisad, tycktes nog vända sig mot dem när de upptäckte att hypotenusan till en rätvinklig triangel med sidorna ett är roten ur två, ett ofrånkomligen irrationellt, omätbart och ologiskt tal. Det kunde visserligen approximeras, men approximationer, ungefärligheter och närmevärden göre sig icke besvär i den gudomligt exakta, mätbara och geometriska, pythagoreiska matematiken.

Exakthetens försvinnande blev som en dödsstöt för pythagoréerna, men det slutade ändå inte där. Ytterligare ett tal som inte riktigt passade in dök snart upp: noll - ett envist tal, med vilket man kan multiplicera vilket annat tal som helst, och ändå alltid kommat tillbaka till noll. Om man dividerar noll med vilket som helst annat tal får man också bara noll och, ännu värre, alla tal delade på noll är outtydbara. Noll är sannerligen matematikens svarta hål.

Elegant animation av ett lika elegant (med dock ett bland många) bevis av Pythagoras sats. Tyvärr vet vi dock inte ifall det verkligen var Pythagoras som stod bakom den sats som fått bära hans namn. Här ses en animation av ett geometriskt bevis av satsen, av John Blackburne, CC-BY-SA 3.0.

När Pythagoras slutligen dog, antagligen bitter och desperat av alla motgångar hans tid hade sköljt över hans matematik. Hans sekt inbegreps i tumultartade stridigheter, där de som ville förskjuta de nya upptäckterna motsattes av dem som ville omfamna nyheterna och revidera Pythagoras läror efter den nya tidens matematik. Av naturliga skäl slutade Greklands aristokrater att flockas till hans krets. Pythagoras lär ändock har ha gått en heroisk död till mötes.

Länge hade pytagoréernas hemstad Kroton, där man ansåg att det var oetiskt att döda ormar men likväl både offrade oxar och gick i krig mot grannstäderna, stridit mot grannstaden Sybaris, en stad vida känd för sina utsvävningar. Som straff för vad pytagoréerna ansåg vara invånarnas omoraliska leverne hade man förstört staden i grunden. Om det verkligen var sybariterna eller några andra fiender som hämnades vet vi inte, men Kroton erövrades och Pythagoras, som av naturliga skäl stod högt på fiendens lista, hanns ikapp. Slutligen kom den store matematikern till en situation, där han för sin överlevnad var tvungen att fly rakt in i ett bönfält. Mästaren lär heroiskt ha valt att gå i döden, istället för att trampa ned bönorna, som han ansåg vara människans nära släktingar. På så sätt dog antikens mest egendomlige matematiker, även om spillror av hans sekt levde kvar. Pytagoréernas storhetstid var dock för evigt förvisad till historieböckerna.