Den gyllene rektangeln

Heras eller Poseidons tempel, därom tvista de lärde, i den etruskiska staden Paestum, Italien. Byggdes gjorde det under den tid då Paestum, staden som en gång i världen var känd för sina rosor, var en grekiskt koloni. Med sina 2000 års historia är det ett gott exempel på hur de antika grekerna använde det gyllene snittets proportioner - i tempelfasaden kan man se många gyllene rektanglar.

Den grekiska antikens guldålders mest namnkunniga författare, dramatiker, konstnärer och skulptörer: Fidias, Theukydides, Myron, Polykleitos, Euripides, Sofokles, Aristofanes, Sokrates, Anaxagoras upplevde alla Atens blomstrande, Parthenons uppförande, och den grekiska kulturens spridning över medelhavsområdet. Med sig från Grekland tog dessa kolonisatörer arkitektoniska och konstnärliga ideal, uppfattningar om de perfekta proportionerna, och om den gyllene rektangeln.

Det sägs att fortfarande efter snart två och ett halvt millennium, väljer en människa mellan ett antal olika rektangulära former den som mest liknar den gyllene rektangeln. Fortfarande används den i arkitektur och konst, och det mest kända exemplet är säkerligen Mona Lisas matematiska anletsdrag. Enkelt definierat, är en gyllene rektangel en rektangel där långsidans relation med kortsidan är det gyllene snittet, det vill säga 1 till φ ≈ 1,618..., eller mer exakt,  φ = x, där

(Mer om matematiken bakom det gyllene snittet står att finna i det här inlägget.)

Vi omges bokstavligen av gyllene rektanglar, från de antika templen, som Parthenon på Akropolis eller templet i Paestum, via Leonardo da Vincis Mona Lisa, vars berömda skönhet förstärks av berömdheten hos hennes matematiska proportioner, till Le Corbusiers arkitektur. Gyllene rektanglar och det gyllene snittet, proportionerna mellan kort- och långsidan i rektangeln, är minst sagt flitigt använda i konsten, och har varit så sedan mycket länge. Efter att se den i så mycket, och så ofta, är det kanske inte så märkvärdigt, om man får tro att vi upplever rektangeln som den mest fulländade formen.

Många av da Vincis verk visar på den nära kopplingen mellan konst och vetenskap, men få så som Mona Lisa och den gyllene rektangeln. Ytterst är en gyllene rektangel, som precis passar runt ansiktet, om den delas i en kvadrat bildas ytterligare en gyllene rektangel, och i sin tur kan delas; kvadraterna kan sedan placeras på olika sätt i den stora, nedre kvadraten, och passar alla till ansiktets olika former. Grafik: Juan ángel Paniagua Sánchez, CC BY 2.5.

Vissa hävdar att detta förhållande har sina rötter i evolutionen; under vår historia på savannen har de gynnats som snabbt kan blicka ut över den mest relevanta delen av vårt synfält för att se byten eller rovdjur. En av dem som förespråkar denna förklaring är Adrian Bejan, som menar att vår uppskattning av formen beror på tiden det tar att spana av synfältet i horisontell och vertikal riktning. Relationen mellan dessa två hastigheter, hastigheten som vi undersöker vår omvärld i vertikal respektive horisontell riktning, anser han stämmer med det gyllene snittet. Därför blir den rektangel som vi snabbast ser, och i dess mest primitiva kontext kan söka av efter potentiella faror eller möjligheter - eller på den paleolitiska savannen, rovdjur eller byten - just det, en gyllene rektangel.

Därutöver har många djur proportioner som påminner om det gyllene snittet; hur solrosfrön är arrangerade är ett berömt exempel; proportionen mellan avståndet från golvet till naveln respektive golvet till hjässan likaså. Därför finns det de som menar att det gyllene snittet är speciellt platseffektivt, energisparande eller till och med inbyggt i materians innersta.

Solrosen har inte ensamrätt på sina gyllene proportioner; här en skivtaklök från Göteborgs botaniska trädgård som gör den högresta sommarblomman äran stridig. Foto: Max Ronnersjö.

Sedan finns det naturligtvis de som tvivlar också - så många sätt att mäta, och så många sätt att mixtra med proportionerna, menar man, vore det snarast märkligt, om inte de flesta ting på ett eller annat sätt uppvisar ett eller annat gyllene snitt - men varför fördärva en god historia? Obestridligt är ju ändå, att talet uppkommer många gånger om i vår värld, och inte minst inom matematiken.

Tvivel åsido, har ändå få teman i matematiken genom historiens lopp visat sig så värda talesättet "kärt barn har många namn". Förutom just gyllene, har snittet kallats såväl gudomligt som extremt och genomsnittligt. Under 1900-talet har talet förlänats en symbol, φ, den grekiska bokstaven fi, efter den antike grekiske skulptören Fidias inital. Fidias är en av de tidigaste och kanske mest flitiga av proportionens användare, berömd för att ha skulpterat bland annat Zeusstatyn i Olympia, ett av antikens sju underverk. Tyvärr har dock alla skulptörens många mästerverk blivit förstörd långt innan vår tid, så spekulationer om vilka decimaler proportionerna har, är och förblir vanskliga, alla romerska och sentida kopior till trots.

Till Pythagoras och hans anhängares enorma förtret, är det gyllene snittet ett irrationellt tal. Antikens människors misstro mot denna sorts tal visas redan i dess namn, som direktöversatt betyder ett ologiskt tal. Pythagoréerna trodde, i likhet med de flesta greker vid denna tid, att alla tal gick att skriva som bråktal; man skulle helt enkelt kunna mäta upp talet som ett exakt avstånd endast genom att lägga enheter av samma storlek på rad - det går ju bra med nästan allt mellan himmel och jord, en sten kan mätas upp genom att lägga fem fem gånger mindre stenar på rad bredvid och ett tolv millimeter brett sandkorn kan mätas med tolv enmillimeters eller sex tvåmillimeters sandkorn. Men med pythagoréernas två mest heliga tal, pi och fi, var detta av någon anledning omöjligt - likaså med roten ur två, resultatet av den enklaste och mest rena triangeln, med båda kateterna lika med ett, om man använder mästaren Pythagoras egen sats. För en from pythagoré verkade nog undergången hotande nära, när själva talen som de dyrkade tycktes vända sig emot dem.