Jalusimetoden, den ryske bondens algoritm och andra historiska finurligheter

Elementära beräkningar har alltsedan jordbrukets uppkomst, och säkerligen redan tidigare, varit en viktig del av människors vardag. Forskning visar att den mänskliga hjärnan föds med förmågan att räkna till tre, men att alla beräkningar med högre tal måste läras in medvetet. Då är det inte så märkligt att människor i alla tider visat stor uppfinningsrikedom vad gäller finurliga beräkningsmetoder, för att lätt och smidigt kunna genomföra nödvändiga beräkningar.

Till vår hjälp har vi fått våra tio fingrar och i vissa kulturer har man även använt tår och andra kroppsdelar. De hjälper oss bra med att genomföra enkel addition, men i många fall behövs mer än så. Steget från additionens relativt enkla sammanslagning av två tal till multiplikationens långt mycket mer abstrakta tankegångar har i många fall varit ett stort steg att överbrygga. Det är något som inte minst märks i småskolans tragglande av multiplikationstabeller.

Vilka är då våra förfäders knep för att plocka ned svåra multiplikationer till mer greppbara additioner? Ett av de allra äldsta svaren på den frågan kommer från antikens Egypten, där man använde sig av en snillrik metod.

Den egyptiska metoden för multiplikation har bevarats till oss tack vare att den nedtecknades i den numera berömda Rhindpapyrusen. Papyrusen, som stammar från 1600-talet f.Kr., är det kanske bästa bevarade exemplet på fornegyptisk matematik.

Den egyptiska metoden utgår från en tabell för tvåpotenser, d.v.s. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 och så vidare. Man har hittat spår av den här tabellen i egyptiska skrifter, så vi vet att egyptierna kände till den även om de inte hade samma begrepp för den som vi. Den stora fördelen med den egyptiska metoden är att alla multiplikationer kan förenklas till addition och dubblering, operationer som är både enkla och snabba. Av den anledningen har den kommit till användning i bland annat datorprogrammering. Datorer, som använder sig av binär räkning, har ju dessutom redan delat upp talen i tvåpotenser. Nedan visas hur man kan använda den egyptiska multiplikationen för att beräkna 15 gånger 654 (vilket för övrigt blir 9 810).

Utifrån en tabell med tvåpotenser kan man enkelt multiplicera hur stora tal som helst, något som egyptierna var tidiga med att upptäcka. För den som är intresserad av mer egyptisk matematik rekommenderas David Reimers bok Count Like an Egyptian, där han på ett lättillgängligt sätt presenterar de egyptiska beräkningsmetoderna. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En liknande metod användes under 1900-talet av medlemmar av den ryska handelsflottan - metoden har kanske något missvisande blivit känd som den ryske bondens algoritm. Vissa spekulerar till och med i att den ryska bondens algoritm skulle vara släkt med den fornegyptiska metoden. Det är dessvärre ganska så svårt att avgöra, eftersom användningen av den ryska bondens algoritm går tillbaka i historiens dimma med åtminstone ett par århundraden.

Metoden går till som så att de två talen som skall multipliceras skrivs i två kolumner, precis som i den egyptiska metoden. Talet i den vänstra kolumnen halveras tills det når 1 (och man avrundar i varje led nedåt). Den högra kolumnen dubbleras lika många gånger. Därefter stryks alla rader i tabellen där den vänstra kolumnen består av jämna tal. Sedan kan de icke strukna talen i den högra kolumnen summeras, vilket ger oss vårt svar.

Den kinesiska metoden för multiplikation har nedtecknats av filosofen och generalen Sun Zi, som är mest känd för sin militärstrategiska bok Krigskonsten. Hans levnadstid är omtvistad - traditionella källor placerar hans levnad på 400-talet f.Kr., medan vissa moderna historiker istället daterar honom ända fram till 400-talet e.Kr. Hursomhelst har han alltsedan sin levnad spelat en stor roll i den kinesiska kulturen, både som militärstrateg och som författare.

En tredje finurlig metod finner vi hos den kinesiske författaren Sun Zi. Den kinesiska metoden har vissa likheter med en modern multiplikationsuppställning. Det hela börjar med ett rutnät. Det ena talet skrivs överst, sedan lämnas en rad tom och det andra talet skrivs på den tredje raden med sin entalssiffra rakt under det första talets mest vänstra (d.v.s. "största") siffra. Den första siffran multipliceras med talet underst, som sedan flyttas ett steg till vänster. Operationen fortsätter för varje siffra i det övre talet. Här nedan kan du se hur 15 gånger 654 beräknas med den kinesiska metoden.

Den kinesiska multiplikationen genomför i ett rutnät, men liknar annars den uppställning vi använder idag. Metoden går ut på att varje siffra i det övre talet multipliceras med det undre talet. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En tredje metod för multiplikation är den så kallade jalusimetoden, som utvecklades av hinduiska matematiker i Indien och kom till Europa med Fibonaccis verk Liber Abaci, som utgavs vid mitten av 1200-talet. I Italien fick den sitt nuvarande namn, eftersom man tyckte att mönstret den liknade de jalusier som adelsfamiljerna satte för sina fönster för att hindra att kvinnorna skulle kunna ses från utsidan. Jalusimetoden förblev populär genom hela medeltiden, innan den slutligen föll ur bruk med boktryckarkonsten.

För att genomföra en multiplikation med jalusimetoden ritar man först ett rutnät med lika många rader som antalet siffror i det ena talet och lika många kolumner som i det andra. Därefter drar man diagonala streck från övre högra hörnet, så att alla rutor delas i två delar.

Av de metoder som jag beskrivit ovan tyckte jag att jalusimetoden var den enklaste. Eftersom den utvecklades just för vårt talsystems föregångare, de indiska siffrorna, kan den till skillnad från de egyptiska och kinesiska metoderna dra nytta av positionssystemets fördelar. På den här sidan kan du läsa mer om jalusimetodens historia. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

Utöver att den är en fascinerande metod i sig själv, är jalusimetoden intressant på två sätt. Dels visar den djupet av de hinduiska matematikernas förståelse av talens grundläggande egenskaper, men dels också hur långlivad en god matematisk idé kan vara. Med hjälp av handels- och upptäcktsresande spreds den över världen - från Indien till Kina, till Mellanöstern och därifrån till Europa och slutligen även Amerika.

Några andra multiplikationsmetoder kan du hitta här.