Det gyllene snittet under fem tusen år

Hunden, människans bäste vän? Inte då, det gyllene snittet låter sig inte besegras så lätt! "De lyckliga hundarna" av Richard Ansdell.

Alltsedan de kambriska havens värld har det funnits snäckor, anfäderna till dagens snäckor, de snäckor vars skal urmänniskorna plockade och beundrade längs stenålderns havsstränder, och de besitter en matematisk hemlighet. Fast deras koppling till det gyllene snittet är nog inte så vidare hemlig längre. Fortfarande, efter att ha levt i en värld där vi ser det gyllene snittet varthän vi än vänder våra ögon, verkar det aldrig upphöra att fascinera oss. Kanske är det just därför vi dras till det, kanske är det vår världs emblem. Och mer exakt är talet ett plus kvadratroten ur fem genom två, eller det gyllene snittet.

Att både snäckor och kottar, lika väl som solrosor och myriader av andra ting i naturens värld går att hänföra till det gyllene snittet var kanske just den inspirationskälla som ligger till grund för den konst och matematik som följt i dess spår. Både som proportion, det gyllene snittet, och som sidorna på en rektangel, den gyllene rektangeln, har talet följt med oss sedan urminnes tider. Rektangeln lär vara den skönaste möjliga, utvald av människor i alla kulturer. Och då måste den vara ett framgångsrecept för den som vill skapa slående konst.
Somliga tror att redan de gamla egyptierna kom underfund med detta i sitt sökande efter en byggnad som kunde överskrida barriären till livet efter detta - den som ställer sig mitt på en av pyramidernas sidor, förväntas komma fram till att avståndet till toppen, längs med ytan, förhåller sig med det gyllene snittet till tre decimalers noggrannhet till avståndet till pyramidens centrum. För den äldsta befästa användningen av det gyllene snittet får vi dock vänta ytterligare ett och ett halvt millennium, till det antika Grekland.

Gyllene snittet eller inte, ligger pyramidernas skönhet i deras matematik?

Man kan säga, att den grekiska matematiska traditionen sträcker sig från Thales från Miletos, via hans lärjunge Pythagoras och Pythagoras lärjungar tills Sokrates, Platon och Aristoteles. Däremellan finner vi Euklides, och, runt den tid då Parthenon på Akropolis i Aten uppfördes, skulptören Fidias. Fidias betraktades redan av romarna som en av Greklands mest briljanta konstnärer, med både ett av den antika världens sju underverk bland sina skapelser och de två statyerna av Athena, staden Atens skyddsgudinna, som då prydde templet, och deltog i att göra det världsberömt. Hans verk lever idag endast genom kopior, varav de flesta gjordes under romersk tid, men minnet av honom har idag fått en återfödelse genom att man under 1900-talet lät den första bokstaven i hans namn, den grekiska bokstaven φ, fi, beteckna den proportion som var pionjär med att använda. Det gyllene snittet skrivs därför ofta

Pythagoréerna höll det gyllene snittet som en gudomlighet i sin av talmystik uppbyggda världsbild, liksom π, men blev av båda djupt besvikna, när det upptäcktes att de var irrationella, och således gick på kors med en annan av pythagoréernas grundprinciper, att alla tal kan skapas genom att dela två heltal med varandra. Den uppfattningen fanns för övrigt i stort i hela det antika grekiska samhället, och det var därför inte så märkligt att grekerna vände sig till bråken när de försökte uttrycka tal som pi eller det gyllene snittet i siffror. Idag brukar vi ju benämna dem approximationer, men jag skulle kunna tänka mig att de antika grekerna i alla fall för en stund trodde sig ha funnit det exakta uttrycket. Likaväl kan man ju föreställa sig den antike grekiske matematiker som med ljus och lykta söker längsmed tallinjen av idel rationella tal; "Men det måste ju finnas någonstans här!". Men lika besvikna över det gyllene snittet som över pi behövde pythagoréerna inte bli; ett vanligt sätt att definiera det gyllene snittet på är faktiskt med hjälp av ett bråk:

där förhållandet a till b motsvarar det gyllene snittet, vilket man ser om man sätter in b=1, eftersom man då får a=φ; sätter man in b=2 får man a=2φ. Om man då just sätter in b=1 så får man istället en andragradsekvation, vars lösning är just det gyllene snittet:

Den visar på en av det gyllene snittets kännetecknande egenskaper, nämligen att φ i kvadrat är detsamma som φ+1. (Något man får fram om man adderar x+1 till vardera sidan.)

Ett fragment från en avskrift av Euklides Elementa från omkring 100 e.Kr., det matematiska grundverk som också innehåller den första matematiska beskrivningen av det gyllene snittet.

Den första matematiska beskrivningen av det gyllene snittet står dock att finna i Euklides Elementa, ett av matematikens absoluta grundverk. Euklides, utöver att han bland annat visade att det gyllene snittet är irrationellt, gav den kanske enklast möjliga geometriska definitionen av det gyllene snittet, den som inspirerade det matematiska uttryck som vi använde som startpunkt precis här ovanför. Euklides, som kallar proportionen för den ytterlighetens och medelvärdets förhållande, i fri översättning från engelskan, eftersom min antika grekiska tyvärr är i behov av allvarligt förbättringsarbete, definierar den genom att dra en rät linje och dela den i två, så att en kort och en lång del skapas. Han säger då att den korta förhåller sig till den långa biten med det gyllene snittet, ifall det råder samma proportion mellan dem, som det gör mellan den långa biten och hela sträckan. Rent och elegant, men i behov av en illustration:

Euklides definition av det gyllene snittet; där proportionen mellan a och b är densamma som proportionen mellan a och hela sträckan, a+b. Definitionen är fortfarande, med över två millennier på nacken, en av de mest använda.

Det skulle dock dröja mer än tolv hundra år innan en man upptäckte vidden av det gyllene snittets nära koppling till talens självaste natur; hans namn var Fibonacci. Boken han lät publicera år 1202 var banbrytande på många sätt (se detta inlägg), inte minst för den studie på kaniner han beskrev. Varje kanin, enligt Fibonacci, föder en ny kaninunge per månad, som tar en månad att växa upp innan den skaffar egna kaninungar. Onödiga komplikationer som att det måste vara två kaniner för att det överhuvudtaget skall bli kaniner skalade Fibonacci bort. En kaninunge kommer därför inte att skaffa någon kanin månad ett. Månad två gör den dock så, och då finns det två kaniner. Men den nyfödda kaninen är för ung, och nästa månad föds det fortfarande bara en kanin, och det finns tre kaniner. Men då finns det med en gång två kaniner som skaffar kaninungar, och nästa månad finns det fem kaniner, tre vuxna och två ungar. Följaktligen finns det månaden därpå fem kaniner, sedan åtta, tretton, tjugoett och trettiofyra. Fibonaccis talserie är skapad.

Men det förbluffande är fortfarande kvar; om man delar ett fibonaccital, som vi kallar F(n), med fibonaccitalet innan, F(n-1), får man, ju större fibonaccital man väljer, en kvot allt närmare phi, det gyllene snittet. Vi kan se att 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3=1,66...; 8/5=1,6; 13/8=1,625; 1,61538...; och så vidare; 39088169/24157817=1,618033989... om x är kvoten mellan ett fibonaccital och det förra, så får vi

Beviset var dock inte Fibonaccis förtjänst, utan utformades av Johannes Kepler, ett århundrade senare. Ungefär samtidigt publicerades den första decimalapproximationen av det gyllene snittet, av Michael Maestlin, år 1597, istället för de bråk som grekerna försökte fånga det gyllene snittet i, och som Euklides visade var omöjligt, ändock är det lika omöjligt att skriva talet som ett decimaltal.

Under upplysningen fann man många exempel på det gyllene snittet i naturen, som gick väl i linje med tidens melodi: att världen är matematisk som ett klockverk. 1835 benämndes proportionen för första gången det gyllene snittet, istället för Euklides ytterlighetens och medelvärdets förhållande, och på nittonhundratalet fick Fidias ge namn åt förhållandet. Men det gyllene snittet ligger alltför nära vår värld för att försvinna med den deterministiska, förutsägbara och urverkslika världsbilden, och dyker upp till och med i Roger Penrose mönster och Dan Shechtmans Nobelprisbelönade kvasikristaller. Men det är en annan historia.

Är det gyllene snittet med och leder oss in i en fjärde rumsdimension? En legering av zink, mangan och holmium uppvisar ett oregelbundet mönster med det gyllene snittets proportioner. Bild: Wikimedia Commons-användare Materialscientist, CC BY-SA 3.0

För exempel på det gyllene snittets förekomst i geometrin, se den här externa sidan.