Del 2: En guldålder i indisk matematik

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget,och här finner du den tredje och avslutande delen.

Den indiska guldåldern, som den har kallats, inleddes med den politiska stabilitet som uppstod inom guptariket på 300-talet e.Kr, som förenade stora delar av de norra och östra delarna av dagens Indien. Bilden visar ett sällsynt exempel på måleri i guptastil från de buddhistiska grottorna i Ajanta.

Vad som har kommit att benämnas den klassiska eran eller guldåldern inom antik indisk matematik inleddes med den första indiske matematiker vi känner till namnet, Aryabhata. Av en slump känner vi även till hans födelseår: Från de astrologiska referenser han lämnat, vet vi nämligen att han redan tjugotre år gammal författade sitt livs storverk, Aryabhatiya, som utkom år 499 e.Kr, varför han torde ha fötts omkring år 476 e.Kr. Var någonstans vet vi dock inte, men han lär ha levt och verkat i en stad kallad Kusumapura, som kanske (men inte helt säkert) skulle kunna vara dagens Patna.

Aryabhatiya var en bok som fanns i varje indiskt bibliotek under många århundraden efter att den utgivits. Den blev ett standardverk, en grundbult för hela guldåldern och tiden därefter. En stor del av Aryabhatiya, som lär betyda just Aryabhatas verk, ägnas åt astrologin, som han presenterar både ur ett mytologiskt perspektiv, vilket ger verket dess religiösa anknytning, och ett matematiskt, där bland annat sinusfunktionen presenteras. Boken innehåller även kapitel om geometri och aritmetik.

Att beskriva ett solurs skugga är ett av de centrala problemen i Aryabhatiya, antagligen då det förenar astrologin med geometrin. Det gigantiska soluret vid det astrologiska observatoriet Jantar Mantar i Jaipur, byggdes inte förrän i början av 1700-talet, men kan mycket väl ha inspirerats av Aryabhatiya. Soluret är så stort, att skuggan rör sig med upp till en millimeter per sekund. 

Ända sedan Aryabhatiya kom till västerlandet har den där förbryllat sina läsare, eftersom den lyckas förena mystik och poesi med matematisk klarsynthet. Verket består av 121 verser, där var och en framlägger en sats. Stilen är ibland närmast anekdotisk och boken förefaller snarast skriven för att vara ett minneshjälpmedel än en lärobok på egna ben - en antik formelsamling, kan man säga. Texter, som ju alltid var handskrivna vid den här tiden, var något mycket sällsynt, och att underlätta för läsaren att memorera innehållet var därför en klar kvalité - samtidigt följer det i fotspåren av den indiska matematikens långa muntliga tradition. Även om det genom åren skrivits kommentarer och förklaringar till verket, och kommentarer och förklaringar till dem, lämpar sig verket med andra ord inte för självstudier. (Här finns det för övrigt tillgängligt i en välkommenterad engelsk översättning.)

Vissa forskare har spekulerat i ifall Aryabhatiya främst avsågs som en sammanställning av en lång matematisk tradition, och ingenstans skriver Aryabhata uttryckligen att matematiken han presenterar var hans egen upptäckt. Satserna som presenteras varken förklaras, härleds eller exemplifieras. Men med tanke på eftermälet förefaller det trots det otroligt att han inte skulle ha bidragit med åtminstone en del av innehållet själv.

Vers 10: "100 plus 4, gånger 8 och adderat till 62 000; det är den nästan approximativa omkretsen hos en cirkel vars radie är 20 000." Därmed har Aryabhata givit sin tids kanske bästa approximation till π, som 3,1416. Det omständliga sättet att skriva är ett kännetecken för Aryabhatiya, men versmåttet gjorde texten lätt att lära sig utantill - såtillvida man kan sanskrit, vill säga.

Det Kusumapura som Aryabhata verkade i var en lärdomsstad i snabb tillväxt. Ett liknande lärocentrum grundades vid samma tid i Ujjain, och tillsammans kom de att utgöra epicentra för guldålderns vetenskapliga utveckling, som överlevde guptariket. Kanske på grund av de ökade kommunikationsmöjligheterna vetenskapsmännen och matematikerna emellan, eller tack vare att de få handskrivna böcker som kunde produceras fick en vidare läsekrets utvecklades den indiska matematiken snabbare än någonsin. Även översättningar av grekiska verk tillfördes biblioteken. Inte minst trigonometrin gjorde stora framsteg, men den kanske viktigaste följden blev en revolution inom siffersystemet. Även om de brahminska siffrorna redan hade gamla anor, var de bara ett system ibland många - dessutom fanns de i en uppsjö av varianter.

I Aryabhatiya använde sig Aryabhata inte av brahminska siffror, men hade likväl ett positionssystem och ett sådant fungerar inte utan en nolla. Som platshållare i större tal hade nollan länge använts - enligt vissa redan från århundradena innan Kristi födelse, men den som först iakttog konceptet noll, d.v.s. nollan som en egen siffra, inte bara ett avstånd mellan, låt säga, ental och hundratal, var en matematiker vid namn Brahmagupta.

Till skillnad från Kusumapura har matematikern Brahmaguptas hemstad, Ujjain, behållit sitt namn till våra dagar. Staden, som ligger vid floden Shipra, är fortfarande känd för sina universitet. Foto: Bernard Gagnon

Brahmagupta, som lär ha fötts år 598 e.Kr., utmärker sig i den indiska matematiken på många sätt. Han tillhörde inte det brahminska kastet, men erkändes ändå och var under ett långt tag ledare för lärocentrumet i Ujjain. Han är troligen också den enda antika indiska matematiker vars namn än idag utmärker både en sats och en matematisk identitet, vilka han lade fram i sitt verk Brahmasphutasiddharta. Till stilen påminner verket mycket om Aryabhatiya, och är helt författat på vers.

Brahmagupta har blivit berömd för sin sats som säger att sträckan AF är lika med FD ifall fyrkantens diagonaler skär varandra i en rät vinkel.

Till innehåller visar däremot Brahmaguptas matematik en tydlig hellenistisk influens. Efter Alexander den stores härnadståg uppstod en livskraftig grekisk kultur i den indiska halvöns nordvästra hörn, det antikens folk kände som Baktrien eller ungefär dagens Afghanistan och Pakistan. Med tiden integrerades den grekiska kulturen i den indiska, och under loppet av guptaperioden den grekiska matematikens skrifter de indiska biblioteken. Även om Brahmaguptas stil och matematik är tydligt tillhörig den indiska matematiska traditionen, har många av Brahmaguptas metoder sin grund i den grekiska matematiken, och många av hans satser är vidareutvecklingar av grekiska förlagor.

Kanske mest kännetecknande för den grekiska influensen på Brahmagupta är hans intresse för pytagoreiska tripletter, d.v.s. tre heltalslängder som tillsammans bildar en rätvinklig triangel, som exempelvis 3, 4 och 5. Efter att skrifter innehållande Pythagoras matematik förts med Alexander den store till Indien översattes de till sanskrit. Med utgångspunkt i dem generaliserade Brahmagupta teorierna och utvecklade en metod för att bestämma alla pytagoreiska tripletter. Den kunskapen kunde han använda, och skapade med hjälp av Euklides algoritm (som i den här tidens Indien talande nog betecknades kuttak, vilket ungefär betyder kvarnen eller pulverisatorn, eftersom den bryter sönder talen till deras beståndsdelar) en generell sorts lösning till en viss typ av diofantisk ekvation, d.v.s. en ekvation där man endast söker heltalslösningar. Nog var Brahmagupta en man med ett levande arv från antikens Grekland och såg långt för att han, i likhet med de greker vars verk han läste och i likhet med alla andra vetenskapsmän och matematiker, stod på giganters axlar.

Men den viktigaste av Brahmaguptas framsteg var något som grekerna motsatte sig och som inte skulle vinna spridning i västerlandet förrän renässansen. Talet noll, att inte bara använda symbolen noll som platshållare i tal skrivna med positionssystem, utan själva uppfattningen om ett tecken för att beteckna intigheten, tomheten, är en mycket unik tanke i den matematiska historien. Vissa hävdar till och med att den bara uppstod en enda gång - i Indien.

Sunya, som betyder inget eller tomhet på sanskrit, är ett buddhistiskt koncept, som i 600-talets Indien omvandlades till sant banbrytande matematik. Foto: Sukanto Debnath

Att utnämna Brahmagupta till talet nolls uppfinnare vore kanske en smula förhastat, men han är den som slutligen kom att sätta upptäckten på pränt. I Brahmasphutasiddharta ger han följande arton regler hur man skall räkna de fyra talesätten med noll och positiva och negativa tal:

1. Summan av två positiva tal är positiv.
2. Summan av två negativa tal är negativ.
3. Summan av noll och ett negativt tal är negativ.
4. Summan av noll och ett positivt tal är positiv.
5. Summan av noll och noll är noll.
6. Summan av ett positivt och ett negativt tal är skillnaden mellan dem; eller, ifall de är lika, noll.
7. Vid subtraktion dras det mindre från det större, positivt tal från positivt tal.
8. Vid subtraktion dras det mindre från det större, negativt tal från negativt tal.
9. Men när det större skall dras från det mindre är skillnaden omvänd.
10. När positivt skall dras från negativt, och negativt från positivt, skall de adderas ihop.
11. Produkten av en negativ kvantitet och en positiv kvantitet är negativ.
12. Produkten av två negativa kvantiteter är positiv.
13. Produkten av två positiva kvantiteter är positiv.
14. Positivt tal delat på positivt tal eller negativt delat på negativt är positivt.
15. Positivt delat på negativt är negativt. Negativt delat på positivt är negativt.
16. Ett positivt eller negativt tal delat på noll är ett bråktal med noll som nämnare.
17. Noll delat på ett negativt eller positivt tal är antingen noll eller uttryckt som ett bråk med noll som täljare och det ändliga talet som nämnare.
18. Noll delat på noll är noll.

Långlivade har Brahmaguptas 18 regler varit, det är det minsta man kan säga. Med undantag för den sista är de idag precis lika giltiga som den dag för snart ett och ett halvt årtusende sedan då de för första gången sattes i skrift. Att den sista inte visat sig lika hållbar som de andra är kanske ett mindre problem i det perspektivet.

Brahmaguptas sätt att ansträngningslöst gå från att generalisera kring de positiva talen till de negativa antyder ett abstrakt sätt att se talen. De är inte längre antal eller areor, utan siffror med en abstrakt innebörd. På så sätt kan man säga att de indiska matematikerna inte bara utvecklade siffrornas form, utan uppfann själva konceptet siffra. Detta minst sagt gigantiska språng framåt blir otvetydigt när Brahmagupta blandar in noll, och vad noll delat på noll är. Utan ett sådant abstrakt synsätt vore den frågan fullkomligt meningslös. Sedd på det viset blir den artonde regeln inte längre den felaktiga västgötaklimaxen utan den viktigaste regeln som får avsluta ett matematikens banbrytande manifest; att vår tid råkar ha en avvikande åsikt i själva sakfrågan är ju en mindre sak.

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget, och här finner du den tredje och avslutande delen.