Diskussion om en dimension

Hösten har kommit på riktigt och snart har vintern anlänt. Vad passar då bättre än en varm
och behaglig sydländsk höstbild av Nicolas Poussin?

Det är lätt att tänka sig att matematik och filosofi är två väsensskilda ämnen. Det är enkelt att förleda sig att tro att matematik bara skulle kunna användas till prognoser om skördens storlek, hur regnet skall falla eller planeterna ställa sig, och det därtill endast med en viss sannolikhet, som bara - egentligen - stämmer över mycket långa tider. Filosofin å andra sidan kanske skulle missa de detaljerna fullständigt och snarare diskutera skördens, landskapets och människornas natur, deras relation och, bara för att, dess varande.

Då tycker nog jag att idén om en idévärld (som Platon en gång resonerade kring) är mer tilltalande; matematiken är den underliggande verklighet - något slags rutnät, ett system - som världen är byggd efter. Matematik existerar ingenstans, men finns ändå överallt.

Nog är Amsterdam ordnat, med en matematisk struktur - men var i Amsterdam ligger matematiken?

Genom att avkoda detta system kan man till och med förutsäga upptäckter som inte är gjorda, något som inte är alltför ovanligt i matematikens historia. Men om nu förutsägelser är kraftfulla, kan de även ibland förefalla något för kraftfulla. Faran är att vi gör överförutsägelser och överabstraktioner, och ibland fäster de sig i våra världsbilder. Ett sådant exempel kan vara dimensionsbegreppet, som är lätt att förväxla med de koordinataxlar som används för att efterhärma dimensionerna i matematiska modeller, som grafer, datoranimationer och -spel. Den finns en stor skillnad mellan en dimensionsaxel och koordinataxel: Ett koordinatsystem (ett, två, tre eller fyrdimensionella) har en nollpunkt, origo, och riktningar, dem vi kallar x, y och z. Universum som bara har dimensionsaxlar saknar nollpunkt och riktning - universum har inte ett upp eller ner!

Låt oss likna koordinataxeln med en linjal. Den kan bevisligen vara antingen upp-och-ned eller "ned-och-upp". Den kan vara vinklade ett visst antal grader åt det ena eller andra och den går att dela upp i vektorkomposanter (länk till bild på Wikipedia), medan en dimensionsaxel inte går att vinkla, vrida eller mäta med - hur långt befinner du dig från universums origo, just nu? Och om de saknar de tre fundamentala egenskaperna, kan man då verkligen hävda att de finns?

En dimensionsaxel har ingen början, inget slut och ingen riktning. Den har ingen nollpunkt, den skär andra riktningslösa dimensionsaxlar både i alla och i ingen punkt. Det är först när vi definierar dess existens - och utgångspunkt - som vi kan räkna med den, eller ens tänka på den.

På något vis skapar vi dimensionernas existens när vi tänker på dem, och då finns de i vår tankevärld, vår idévärld. Sättet att tänka på dimensionerna som tre linjer är en slags gemensam tankevärld, där vi delar tankemönster mellan varandra. Dimensionerna har blivit en social konstruktion.

Dimensionerna bildar på så sätt en idévärld, som är gemensam för de som delar just det sättet att tänka. Kan vi tro att en utomjording, någon som inte delar den här gemensamma tankevärlden, skulle kunna förstå vad vi menar med begreppet "dimension"? Kan vi tro att en utomjording skulle förstå var vi menar med matematik eller ens med tal?

Hur ligger det då till med tiden, den fjärde dimensionen, går att det att föra samma resonemang om den? Har den någon riktning, storlek, eller nollpunkt, och finns den överhuvudtaget utanför våra huvuden och ekvationer? Och skulle då en utomjording kunna förstå vad vi menar med historia?

(Vill du läsa mer om dimensioner? Då finns två äldre inlägg för dig här: Den sjätte rumsdimensionen: En resa dit och tillbaks igen och Onaturliga dimensioner och matematiska konstverk)