Historien om två målare som skulle måla en trumpet

Först tänkte jag återberätta vad som kan kallas en "matematisk rolig historia", eller åtminstone en paradox.

Om man tar kurvan till y=(1/x), vilket är ett mycket vanligt exempel på en asymptot (dvs. en kurva som närmar sig en linje utan att någonsin nå den, i det här fallet linjerna x=0 och y=0), och ritar upp den för x>1 så blir resultatet en backe som börjar i y=1 då x=1 och får y=0 då x når oändligheten.

Roteras denna kurva kring x-axeln, så att en rotationskropp skapas, blir resultatet en oändligt lång trumpet. Men eftersom matematikens natur så är denna kurva färglös sätter vi två målare på att måla den i en dyr djupblå kulör. De får vardera en burk färg, och måste måla hela kurvan, ända bort till oändligheten. Om den ena får i uppdrag att måla kurvan med pensel, medan den andra får i uppdrag att fylla kurvan med blå färg - vem förbrukar mest av den dyra färgen?

Det självklara och intuitiva svaret på den här frågan är naturligtvis den som fyller kurvan (det måste väl gå åt mer om man fyller kurvan än om man bara målar dess sidor?) - trots att jag redan från början skrev att det var en paradox. Det rätta svaret är därför att den som målar med pensel förbrukar mest färg.

Att måla trumpeten betyder att målaren måste gå längsmed hela kurvan, och måla varje halvmeter med penseln för sig. Oavsett hur snål och sparsam målaren är med färgen, kommer förbrukningen att vara i evigt, eftersom kurvan är oändligt lång. Den som skulle fylla kurvan å andra sidan behöver bara stå på ena sidan, och eftersom arean under en 1/x-kurva är möjlig att bestämma matematiskt, det vill säga att den är begränsad och har ett värde, kan vi avgöra hur mycket färg den här målaren kommer att förbruka.

Formeln för längden av en kurva är

eller mer specifikt för vårt fall (nu multiplicerad med radien 1/x och 2 π eftersom det är arean av kurvan vi vill åt)

Denna integral går mot oändligheten, varför målaren som målar med pensel aldrig kommer att bli klar. "Volymen" på "trumpeten" bestäms av en vanlig integral insatt i formeln för en cylinders volym (eftersom trumpeten i grund och botten är en mycket uttänjd och ihopdragen cylinder, där höjden har ersatts med en annan, icke-horisontell funktion) och målaren som fyller trumpeten kommer att bli klar ganska snart. Volymen är nämligen begränsad enligt

hur otroligt det än må låta. (Enheten här är volymenheter, men beror av vad som ansätts på axlarna.)

Formeln som jag använde för att bestämma kurvans längd är egentligen höjdpunkten (inte ens jag märkte det) i dagens inlägg. Den härleds genom att man väljer ett litet delta-x (jag tänker inte ge mig på att skriva den grekiska bokstaven delta här och nu) och får därför ett delta-y. Om man använder Pythagoras sats på dessa får man en delta-längd på kurvan uttryckt i x och/eller y. Med lite förenkling och integration har man formeln. Detsamma gäller ifall man önskar den för ett polärt koordinatsystem.

Den formeln är ett ganska så kraftfullt verktyg, även om den innehåller en kvadratrot som gör den svår att lösa exakt. I fall som dessa gör sig därför numeriska integraler ganska väl.