Ett litet cirkelresonemang

Det är lätt att förledas tro att städer är organiska. Det räcker att se hur stor del som består av trä – och inte att glömma, människor; de är ju själva kärnan i varje stad. Även om man skulle kunna resonera att trähusstäder likaväl som stenhusstäder (i viktprocent) huvudsakligen består av sten och grus, så var det inte det jag menade.

Det är även lätt att förledas tro att städer växer enligt organiska mönster – eller, det vill säga, i organisk avsaknad av mönster –  att de breder ut sig av sig själva, sväljer böljande kullar, dämmer ut marskland och leder om floder, och att de gör så organiskt, utan planering.

Den världsberömda toskanska staden San Gimignano, skiss av Joseph Pennel, 1883

Den känsla (det är inte för inte människor nästintill vallfärdar till San Gimignano) som finns i en sådan, organisk, stad är något som många stadsplanerare försökt återskapa. Det är någonting i de vindlande gatorna som fångar och som trollbinder; inte bara det att de skyddar mycket bättre mot vind och kyla än de långa, breda avenyer som sedermera har blivit – och fortfarande är – moderna. Själv skulle jag förmoda, att ett mer detaljrikt arkitektoniskt formspråk är mindre känsligt mot att någon detalj försvinner eller förfars – om mönstret inte är uppenbart, blir det inte märkbart mindre uppenbart om en del av det uteblir – medan om man istället har en minimalistisk stadsplanering ser allting fantastiskt ut i datormodellen där det är helt och rent, men så blir det tyvärr aldrig i vår allestädes närvarande verklighet.

Men allt det där var ett stickspår, och ett alldeles för långt sådant också om man sätter den sidan till, för huvudnyheten är en nyhet som mer sanningsenligt skulle benämnas gammelhet numera, presenterad i denna artikel i SvD. Där presenteras nämligen teorin om att alla dessa fina, charmiga organiska städer inte överhuvudtaget var organiska, utan snarare frukten av mästerlig och rationell stadsplanering.

Medeltidens stadsplanerare var inte ensamma om att uppskatta cirkelformade gator, Royal Crescent i Bath, är ett exempel på det georgianska Englands arkitektur, även om just den här gatan nog inte får lä av sin cirkelform. En bit bort syns ytterligare en cirkelformad gata, The Circus.

Snarare, menar man, att vår uppfattning om den "organiska", medeltida staden är en nostalgisk missuppfattning, född ur jämförelsen av industrialismens rektangulära Manhattan och de raka gatorna i de romerska garnisonsstäderna med mysiga, ofta kulturminnesmärkta städer från 1000-talets våg av stadsgrundanden. Istället menar Klaus Humpert och Martin Schenk som skrivit den bok artikeln refererar, Entdeckung der mittelalterlichen Stadtplanung, eller ungefär "Upptäckten av medeltidens stadsplanering", att städerna ritades upp efter detaljerade stadsplaner bestående av regelbundna geometriska former: rektanglar, cirklar, trianglar, kvadrater och oktagoner.

Definitionen av en cirkel (var vänlig och plocka fram den högdragna rösten) är att alla punkter längsmed dess omkrets har samma avstånd till en och samma fixerade punkt i planet. Och det ger den en rad spännande egenskaper. För det första har den oändligt många hörn, vilket innebär att den ger mesta möjliga area med minsta möjliga omkrets. För det andra ger den ett behov, och en möjlighet, att bestämma π. Man skulle visserligen kunna finna rader av spännande egenskaper, men just denna leder oss in på något annat spännande – nämligen ytterligare en antik grekisk hatkärlek: Cirkeln och Sfären.

I den grekiska världsbilden, kom dessas perfektion näst efter det gyllene snittet (länk till tidigare inlägg); Aristoteles ansåg att hela universum var uppbyggt av en rad överlagrade sfärer med jorden i mitten, en vy senare övertagen av kyrkan; de antika grekerna var långt ifrån främmande från idén att jorden i sig skulle vara en sfär och Ptolemaios (och i synnerhet det efterföljande millenniets astronomer) gick långt i sina försök att bevisa att alla planeterna rörde sig i cirklar och cirklar på andra cirklar, cykler och epicykler, runt jorden. Den åsikten, bortsett från solens och epicyklernas plats respektive varande i det hela, hade för övrigt även Kopernikus. Pythagoréerna (länk till tidigare inlägg) lär dessutom har sett cirkeln som en symbol för själen.

Även om det ptolemeiska systemet fortsätter att ge nästan lika noggranna förutsägelser om planeternas plats på himlen, är dess komplexitet hisnande. Den spanske kungen Alfonso X, som försökte reda ut problemet, lär i desperation när planeterna fick över 40 epicykler var ha utropat att han om ha varit med vid skapelsen, så hade han kunnat ge några goda råd.

Men, liksom alltid och liksom med det gyllene snittet, fanns det en lite hake. De antika grekerna var nämligen av den åsikten, att alla tal skulle gå att uttrycka i bråkform, vilket, förargligt nog, inte är möjligt med varken φ, det gyllene snittet, eller π – även om många genom årens lopp har försökt; vissa har faktiskt kommit mycket nära. Till råga på allt är π transcendentalt, det vill säga är inte roten till någon algebraisk ekvation.

Cirkeln som konstnärlig form har uppskattats i många kulturer, kanske för att den, till skillnad från vår egen värld, har ett så klart centrum. Detta silkesföremål i mongolisk stil stammar från det medeltida Mesopotamien och är 79 cm i diameter.

Cirkeln återkommer genom vår kulturhistoria. Leonardo da Vincis vitruvianske man är ett exempel, andra är alla de cykliska förlopp som ständigt omger oss, liksom det berömda ekorrhjulet. Faktum är att de är så vanliga att det är lätt att förledas tro att allt är cykliska förlopp, för att, så att säga, sluta cirkeln.

Och slutligen vid närmare eftertanke: Om något inlägg, så kan detta omöjligtvis ha varit ett stickspår. Anledningen är enkel: jag har aldrig sett ett cirkelformigt sådant. För vändplatser räknas väl inte?

Ägg, påskharar och matematiska beräkningar

Nu närmar sig påsken med stormsteg och förhoppningsvis har värmen kommit för att stanna. Påsken infaller som bekant efter vårdagjämningen – det dygn då dag och natt är lika långa – nämligen, enligt tumregeln, den första söndagen efter den första fullmånen efter vårdagjämningen.

Påsken är en av kyrkoårets viktigaste högtider, och bristen på en gemensam dag att fira den på utgjorde ett problem för den tidiga kyrkans sammanhållning. Firandet har dock fått olika tema i olika länder, som denna bild från Santiago de Compostela. Foto: J. Pereira, CC-BY-SA 2.5

Men det var som sagt bara tumregeln. Verkligheten är som vanligt långt mycket mer komplicerad, och de munkar som under medeltiden hade för uppgift att beräkna påskens datum var ofta i den dåtida framkanten av matematiken. Beväpnade med Ptolemaios (ca 90-168 e.Kr) bild av solsystemet, med epicykler och jorden i centrum (se äldre inlägg här och här om denne briljante men ack så misstagne matematiker och astronom) och antik grekisk, medeltida bysantinsk, arabisk och europeisk matematik arbetade de fram tabeller över påskens datum långt in i framtiden.

Diskussioner om när påsken skulle infalla har förts åtminstone sedan mötet mellan påven Anicetus och biskopen Polykarpos av Smyrna år 154 e.Kr., men det var först vid det första konciliet i Nicaea (som idag ligger på Turkiets västkust) år 325 som den kristna världen fick ett gemensamt sätt att beräkna påsk. Då beslutades att hela kristendomen skulle använda det sätt som var bruk i Alexandria. Det tog dock flera århundraden innan hela den kristna världen accepterat bestämmelsen.

Denna illustration från 1493 av konciliet i Nicaea återfinns i den berömda Nürnbergkrönikan, som skildrar den kristna världens historia. Konciliet i Nicaea sammankallades av den kristne romerske kejsaren Konstantin, bland annat för att fastlägga påskens datum.

Det system som då infördes används fortfarande idag, fast på lite olika sätt. Först och främst delas året in efter en månkalender – året får tolv månader, på vardera vanligen 29 dagar – men ett sådant år är elva dagar för kort. Varje år kommer månkalendern alltså elva dagar till efter solkalendern. (Mån-månaderna definieras på så sätt att fullmånen – den formella fullmånen, som inte nödvändigtvis överensstämmer med verklighetens fullmåne – inträffar på månadens fjortonde dag.) När tre år gått och månkalendern ligger 11·3 = 33 dagar efter, skjuts en extra månad in på 30 dagar. De överskjutande dagarna blir alltså 33-30 = 3. Nästa år blir de elva till, året därpå och året därpå igen också, tills de överskjutande dagarnas antal når 3+3·11 = 36. En extra månad läggs till och, ja, dagarna minskas till 6. På det här viset upprepas processen tills de överskjutande dagarna är -1, d.v.s. tills månkalendern ligger en dag före solkalendern, något som inträffar på det nittonde året. Då läggs en skottdag in – då månen formellt sett står stilla – och kalendern börjar om. Därför går månkalendern i cykler om nitton år.

Den första månad i vilken den fjortonde dagen (dess formella fullmåne) i denna månad hamnar på eller efter vårdagjämningen den 21 mars är påskmånaden och den första söndagen efter den fjortonde dagen i denna månad är då påsken infaller. Påsken infaller som tidigast om den fjortonde dagen i någon mån-månad är just den 21 mars, samt detta är en lördag. Söndagen som följer därpå måste alltså bli påsk, som således inträffar den 22 mars. Om å andra sidan påsken inträffar den femtonde i denna månad väntar påskmånaden till nästa månad, och dess fjortonde dag blir då den 18 april. Om denna dag vidare själv skulle vara en söndag, väntar påsken till nästa söndag, som blir den 25 april, vilket är det senaste datum påsken kan inträffa.

Eftersom vårdagjämningens datum (satt i solkalendern), månens formella fullmåne (fixerat till den fjortonde i varje månad i månkalendern) och veckodagarna här samvarierar, hoppar påsken fram och tillbaka i en cykel på nästan 6 miljoner år. Sannolikheten att påsken skall inträffa ett visst datum framgår av diagrammet. Är man osäker och skall gissa, förefaller stalltipsen vara den 19 april (och det med en hisnande säkerhet på nära fyra procent).

Sinus och kordan - trigonometri under två millennier

Sedan urminnes tider har människor uppskattat matematikens rena och logiska språk, vissa för att få makt och rikedomar, medan andra har låtit sig hänföras av den bara för dess känsla av överjordiskhet. Hursomhelst har trigonometriska funktioner varit något mycket viktigt, och faktum är att sinusfunktionen, som idag har en egen knapp reserverad åt sig på de flesta miniräknare, är nästan lika gammal som hela den västerländska kulturen.


Att utforska omvärlden har tydligen alltid varit ett av mänsklighetens största intressen (möjligen efter att ändra den), och ett led i utforskningen har varit att mäta upp den. Och där har matematiken kommit till användning.

Sumererna och mayafolket studerade stjärnhimlen och egyptierna och revolutionens fransmän mätte upp jordbruksmarken. Båda aktiviteterna är mycket enklare att utföra med hjälp av trigonometriska funktioner.

De tre vanliga trigonometriska funktionerna idag räknas som sinus, cosinus och tangens. Sinus är förhållandet mellan en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel, dess motstående katet och hypotenusan (som i enhetscirkeln bekvämt nog är lika med ett). Cosinus är detsamma som sinus, bortsett från att det rör sig om den närliggande istället för den motstående kateten, och tangens är förhållandet mellan samma vinkel och de båda kateterna.

Så vad skall man ha det till? Åkrar kan man mäta med vanlig geometri, sida gånger sida, och stjärnorna är väl vackra nog utan att man behöver räkna ut avståndet till dem?

Tydligen höll inte antikens folk med om det, och kunskapen om matematik (och kunskapen och makten att rita kartor) var mycket eftertraktad. Sinusfunktionen går att spåra tillbaka till indiska matematiker redan före år 600, varifrån den spreds till resten av världen och nådde genom arabiska manuskript medeltidens Europa - då, tack vare led av missförstånd, under det latinska namnet sinus, som betyder buk.

Utöver triangulering och uppmätning av land har sinusfunktionen använts till mycket annat, ett exempel är de imaginära beräkningar som ligger bakom modern teknik (varför exempelvis datorer och mobiltelefoner hade varit omöjligheter utan de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens).

Men de gamla grekerna, och i synnerhet Hipparkos och Ptolemaios (länk går till ett äldre inlägg där dessa är närmare beskrivna), hade en egen trigonometrisk funktion, kordan. Kordafunktionen är mycket lik sinusfunktionen, bortsett från att kordan appliceras på en likbent triangel och sinus på en rätvinklig.

Kordan gjorde dock vissa beräkningar mycket enklare, som till exempel att beräkna avstånd, om det så var en planet, ett klassiskt tempel eller ett avlägset fiendeskepp (som bilden föreställer).


I figuren är avståndet a (vilket är vad vi vill veta) lika med höjden h på föremålet delat med kordan för vinkeln crd(v). I matematiska termer blir detta:

För att beräkna avståndet till något krävs alltså någon slags kunskap om hur stort föremålet är (h). Vad gäller fartyg och byggnader är detta en sak, men för himlakroppar blir detta svårare. Inte undra på att de grekiska filosoferna engagerade sig i avancerade filosofiska resonemang för att med ren logik (ordet logik kommer från grekiska logos som betyder förnuftigt resonemang) nå fram till en slutsats om hur stora solen och månen egentligen var. Det bör kanske nämnas att just detta resonemang ledde helt fel (tror vi idag - är det givet att vi behöver tycka att grekerna gjorde fel i framtiden?), varför de avstånd de gamla grekerna angav också blev missvisande.


Låt oss ta ett exempel: Om ett skepp som är 25 meter högt över vattenytan, och från stranden sett är vinkelskillnaden mellan masttoppen och vattenytan 5 grader. Hur långt bort befinner sig skeppet?

Med hjälp av kordan kan vi bestämma avståndet a, genom att ta höjden delat med kordan

[crd(5)=0,087] och få att skeppet befinner sig 287 meter bort. Med den kunskapen kan vi till exempel beräkna hur lång tid det tar tills skeppet är framme.


Kordafunktionen gav inte fullständig exakthet (den beräknar ett av benen i den likbenta triangelns längd, och inte det faktiska avståndet), men med den nogranheten är vanligen, och för alla tillämpningar som de gamla grekerna använde den till, tillräcklig.


För att få fram sambandet mellan sinusfunktionen och kordafunktionen kan man använda exempelvis sinussatsen på triangeln som visas på bilden med skeppet. Sambandet är

,

vilket gör det möjligt att räkna med kordan även på miniräknare, konstruerade långt efter att kordafunktionen föll ur användning.


Och på så sätt har vi även fört samman två kulturers matematiska begreppsvärld, och åtminstone mig slår en lätt förvåning över att trots att sinus- och kordafuktionerna utvecklades under så vitt skilda omständigheter, av helt olika kulturer, med århundraden emellan, så är funktionerna desamma, bortsett från namn och några koefficienter. Är inte det ett tecken om något att matematiken är ett språk för sig, inbyggt i naturen, och inte skapad av människan, och tillika ett tecken på matematikens evighet?


Tidigare inlägg:
Trigonometrins födelse (om tidiga namn som Hipparkos och Ptolemaios)