Del 3: Aristoteles, Alexander, resten av världen och Arkimedes

Det här inlägget är det tredje och sista i en serie inlägg om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Under loppet av den grekiska antiken blev det alfabetiska talsystemet alltmer dominant, och omkring tiden för romarrikets erövring av Grekland decennierna före Kristi födelse övergav till slut även atenarna sitt eget, attiska talsystem, efter att i offentliga sammanhang ha hållit fast vid det långt efter att det fallit ur vardagligt bruk. Under tiden atenarna hållit emot, hade systemet även vunnit stor spridning utanför Grekland. Med Alexander den store blev det alfabetiska talsystemet på samma sätt som det grekiska språket standard i hela det hellenistiska riket. Det var inget som romarna lyckades ändra.

Från sin lärare Aristoteles fick Alexander den store säkert med sig kunskap om det grekiska talsystemet, som sedan följde med hela vägen till Indien. Denna gravyr av Charles Laplante från 1866 visar dem inbegripna i en diskussion.

Under den hellenistiska eran genomgick det alfabetiska talsystemet en rad förändringar, som gick hand i hand med matematikens utvidgade användningsområde. När systemet inte bara skulle passa handel utan även den framväxande astronomins behov, när matematikerna gick från geometri till aritmetik, kom de riktigt stora talen i ett annat sken. Kort sagt dög det helt enkelt inte längre att skriva alla tal över 999 som ord.

Först och främst utvidgades tecknen till en serie av tusental, genom att skriva ental ovanför sampi (trots att sampi på egen hand inte alls betydde 1000, utan 900). På så sätt betydde  (lilla alfa över sampi) 1000, och så hela vägen till theta över sampi, , som betydde 9000. Detta tusentals-sampi kom senare att förenklas till en nedsänkt apostrof före entalstecknen, så att 1000 istället skrevs ͵Α och 2000 skrevs ͵Β och så vidare.

För att komma ännu högre användes myriader, som kan kännas igen från det akrofoniska talsystemet, på liknande sätt som vi idag använder miljoner och miljarder. Förkortningen för myriad (gr. myrioi) började som M och blev sedermera endast en punkt. Sålunda beskrev astronomen Aristarchos från Samos talet "71 miljoner 755 tusen 875" som "7175 myriader 5875", och skrev det som ͵ZPOE M ͵EΩOE. (En tabell över bokstävernas värden finns i det föregående inlägget i serien.)

Aristarchos från Samos använde på tvåhundratalet f.Kr. det alfabetiska talsystemet för att beräkna storleken på solen, jorden och månen. Denna medeltida avskrift visar hans beräkningar, där man bland annat kan notera streck ovanför de bokstäver som utgör del av ett tal. Han kom även fram till att solen istället för Jorden låg i universums centrum, men fick bortsett från Arkimedes aldrig något gehör för den idén.

Centrum för astronomi och matematik i det hellenistiska riket låg i Alexandria, och staden var hem åt de allra flesta av tidens berömda matematiker. Genom den grekiska kulturens territoriella expansion kom dessa matematiker i kontakt med helt nya koncept, samtidigt som talens geometriska betydelse tappade i vikt allteftersom aritmetiken mer och mer blev matematikernas hemmaplan. Till skillnad från sina grekiska föregångare hade de hellenistiska matematikerna alltså både kontakt med och sinnelag för att ta emot en revolutionerande idé: siffran noll.

Mottagandet av noll hängde nära samman med en annan förändring i den grekiska matematiken. Den främst i Alexandria framväxande astronomin hämtade mycket av sitt arv från de babyloniska astronomin, som bland annat kännetecknades av dess 60-bassystem. Liksom sina babyloniska föregångare, började de hellenistiska matematikerna dela upp vinklar i grader, minuter och sekunder i ett slags positionssystem, och ett sådant kräver som bekant en platshållare. Annorlunda uttryckt: Ifall de hellenistiska matematikerna ville ha 60-bassystemet, fick de nollan på köpet. Inom bland annat navigation och tidmätning har systemet förblivit så gott som intakt fram till våra dagar.

Det är en sak att konstatera att de hellenistiska matematikerna använde sig av ett positionssystem, och att de därför även använde sig av en platshållande nolla, för att markera en tom position. Även om tecknet i fråga har varierat, är den vanan belagd i manuskript som bevarats från redan tidigt i den hellenistiska matematikens utveckling, senast i generationerna efter Alexander den store.

En helt annan annan sak är dock att uttala sig om hur de hellenistiska matematikerna faktiskt tänkte kring noll; sådana spekulationer är ofrånkomligen mycket vanskliga. Ämnet har ändå lockat många forskare, som i vissa fall kommit till rakt motsatta slutsatser. Så konstaterar t.ex. Otto Neugebauer, som var en amerikansk expert på egyptisk och babylonisk matematik, i sin bok The Exakt Sciences in Antiquity att det närmast är ställt utom tvivel att de hellenistiska matematikerna tänkte på noll som ett eget tal, d.v.s. som ett sätt att representera "ingenting", medan Ron Larham hör till dem som med lika stor kraft hävdar motsatsen. Debatten har inte blivit mindre infekterad av att det i så fall skulle innebära att den grekiska upptäckten av noll föregick den indiska med mer än ett halvt millennium. Beläggen för den indiska nollan är dock väsentligt starkare (som du kan läsa mer om i det här inlägget).

Biblioteket i Alexandria, här i O. von Corvens tolkning från 1800-talet, utgjorde den hellenistiska vetenskapens epicentrum. Alla böcker som fördes in eller ut ur Alexandria beslagtogs och kopierades för att kunna läggas till bibliotekets samlingar.

Men trots det faktum att tallinjen utvidgats med noll och att astronomerna fått ett helt nytt system att lägga till ett redan förvirrande komplicerat, var det högsta talet som gick att skriva fortfarande "9999 myriader 9999", d.v.s. hundra miljoner minus ett.

På det ändrade Arkimedes när han gjorde den i särklass mest berömda utvidgningen av det alfabetiska talsystemet. I sin bok Sandräknaren - som i modern sättning knappast skulle vara kortare än åtta sidor och på så vis snarare är att betrakta som matematikens första forskningsartikeln - ville Arkimedes motbevisa den vid tiden rådande uppfattningen, att det högsta talet som gick att skriva med det alfabetiska talsystemet var det antal sandkorn som finns på en strand. Boken slutar istället med att Arkimedes bestämmer hur många sandkorn det skulle få plats i hela det kända universum.

Det finns de, kung Gelon, som tror att antalet sandkorn är oändligt; och då menar jag med sand inte bara den som finns runt Syrakusa och resten av Sicilien, utan även den som finns i alla såväl bebodda som obebodda länder. Återigen finns de, som utan att betrakta det som oändligt ändå tror att inget tal, större än antalet sandkorn, kan finnas. Och det är uppenbart, att, ifall de som är av denna åsikt skulle föreställa sig ett klot av sand, stort som Jorden [...] fylld till de högsta bergens höjd med sand, skulle de vara ännu längre ifrån att erkänna att ett sådant tal skulle kunna uttryckas, som skulle överstiga antalet på detta sätt samlade sandkorn. Men med hjälp av geometriska bevis, som du skall få följa, skall jag visa att bland de tal, som jag har benämnt och beskrivit i det verk jag skickat till Zeuxippos, finns vissa som överstiger inte bara antalet sandkorn som behövs för att fylla Jorden på detta sätt, utan även antalet som krävs för att fylla hela universum.”

- Arkimedes (början på Sandräknaren, fri översättning)

När sanden till och med täcker huvudgatan i den antika staden Selinus kan den som trodde att antalet sandkorn på Sicilien var oändligt åtminstone nästan förlåtas. Sicilien var ett vanligt mål för emigrerande greker under 700- och 600-talen f.Kr. och ön blev liksom Alexandria med tiden en välintegrerad del av den grekiska kultursfären. Foto: Dennis Jarvis, CC-BY-SA 2.0

För att kunna påbörja sina beräkningar, var Arkimedes tvungen att uppfinna ett sätt att skriva siffror större än en myriad, Μ, 10 000. Hans lösning var relativt logisk.

Bara genom att använda ordet myriad i sig kunde Arkimedes på ett enkelt sätt utvidga tallinjen till hundra miljoner, d.v.s. en myriad myriader, 10⁸. Alla tal mindre än det kallade han för den första ordningens tal, medan 10⁸ i sig blev den andra ordningens enhet (den första ordningens enhet var alltså 1). Multipler av denna den andra ordningens enhet utgjorde sedan den andra ordningens tal, som sträckte sig upp till 10⁸·10⁸=10¹⁶. I farten hade Arkimedes alltså härlett det vi idag kallar för potenslagarna.

10¹⁶ blev på så sätt den tredje ordningens enhet, som multiplicerades med upp till en myriad för att bli den tredje ordningens tal, som alltså nådde ända till 10⁸·10⁸·10⁸=10²⁴. På detta vis fortsatte Arkimedes tills han nådde den myriad-myriad-ska ordningens högsta tal, 10⁸·10⁸·10⁸·...·10⁸, d.v.s. 10⁸ multiplicerat med sig själv en myriad myriad gånger, eller i modern terminologi (10⁸)¹⁰⁸. Det grekiska talsystemet ger faktiskt en bättre uppfattning om hur ogreppbart stora de här talen egentligen är.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första ordningen	1	108
Andra ordningen	108	1016
Tredje ordningen	1016	1024
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) ordningen	(108)108-1	(108)108

Men den gode Arkimedes var inte färdig där. Han definierade alla tal upp till det sista talet i den myriad-myriadska ordningen som den första periodens tal; kommande perioder utgjordes sedan av 10⁸-multiplar därav. På så sätt löpte den andra periodens tal från (10⁸)¹⁰⁸, d.v.s. den första periodens sista tal, till ((10⁸)¹⁰⁸)², på samma sätt som ordningarna tidigare skapats.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första perioden	1	(108)108
Andra perioden	(108)108	((108)108)2
Tredje perioden	((108)108)2	((108)108)3
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) perioden	((108)108)108-1	((108)108)108

Det var först här som Arkimedes nöjde sig, på ett tal så stort att inte heller vi har något ord att uttrycka det med. Det största talet Arkimedes konstruerade var det sista talet i den myriad-myriadska perioden; utskrivet i ett tal vore det en etta med 8·10⁶³ nollor efteråt, långt större än vad hans astronomiska beräkningar skulle komma att behöva. Sina astronomiska beräkningar gjorde han sedan utgående från tre antaganden:

1. "Jordens omkrets är runt 300 myriader stadia och inte större."
En stadion var 185 meter, vilket ger en omkrets på drygt en halv miljon kilometer, eller tio gånger dagens uppfattning.

2. "Jordens diameter är större än månens, och solens diameter är större än Jordens.
På den här punkten följde Arkimedes de flesta tidigare naturfilosofers uppfattning, och, ja, proportionerna har hållit i sig.
3. "Solens diameter är ungefär 30 gånger så stor som månens och inte större."
   Ingen kommentar.
4. "Solens vinkeldiameter är större än sidan på en tusenhörning inskriven i universum."
   Med detta något kryptiska påstående avsåg Arkimedes att vinkeln mellan solskivans översta och nedersta punkt inte var större än vinkeln mellan två hörn i en tusenhörning, d.v.s. mindre än 0,45 grader. Även om han hänvisar till Aristarchos, säger sig Arkimedes experimentellt ha testat påståendet, och värdet är inte alltför långt från dagens 0,54 grader.

Därifrån drog Arkimedes slutsatsen att universum var ungefär två ljusår från sida till sida, och inte skulle kräva mer än  Redan i den sjunde ordningen, vid 10⁶³, hittade Arkimedes talet han sökte. Det säger något om hur otroligt stora talen Arkimedes skapade egentligen var.

Kuriöst nog innehåller den mängden sandkorn ungefär lika många protoner som Arthur Eddington 1938 räknade ut att det fanns i hela det synliga universum, något som Arkimedes förstås inte kunde känna till. Men för att vara drygt två millennier i förväg, var han ändå inte helt fel ute - även om sandkornen i fråga var mycket mer glest utspridda än Arkimedes någonsin kunde tänka sig. Hela Sandräknaren i engelsk översättning står att finna här

Jag antar att dessa saker, kung Gelon, kommer att förefalla otroliga för de flesta människor som inte har studerat matematiken, men för dem som är bekväma med den, och har ägnat tillräcklig tanke åt frågor om Jordens, solens och månens och hela universums avstånd och storlek, kommer beviset att vara övertygande. Det var av denna anledning, som jag tänkte, att ämnet inte vore opassande för er.”

- Arkimedes (slutet på Sandräknaren, fri översättning)

Även om det antika universum inte var så stort, rymde det uppenbart väldigt många sandkorn. I sina beräkningar lät sig Arkimedes visserligen inspireras av astronomen Aristarchos från Samos i det att han använde den heliocentriska världsbilden med solen i mitten, men han hörde till undantagen. Den dominerande teorin var redan då den geocentriska världsbilden, som gjordes berömd för eftervärlden av den hellenistiske astronomen Ptolmaios från Alexandria; här i tolkning av Andreas Cellarius kring år 1660.

Arkimedes utvidgning under 200-talet f.Kr. var den sista stora förändringen av ett talsystem som från sina rötter i Miletos i Jonien kom att bli mycket långlivat - i två årtusenden upprätthöll det en i princip fullkomlig dominans. Efter att det hellenistiska riket införlivats i romarriket förblev grekiskan det dominerande språket, och den vetenskapliga traditionen levde främst i romarrikets östra halva, på grekiska, med grekiska siffertecken. När sedan romarriket delades i en östlig och en västlig halva blev grekiskan i den östra delen återigen ett statsbärande språk. Så förblev det även genom medeltidens bysantinska rike.

Det alfabetiska talsystemet fortsatte att vara det dominerande viset att skriva tal på i den östra halvan av romarriket, något som romarna helt enkelt fick anpassa sig till. På inskriptionens andra rad kan man läsa ΤΟ ΙΒ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙ ΤΟ ΚΕ ΥΠΑΤΩΙ ΤΟ ΙΕ ΤΕΙΜΗΤΙ. Det betyder ungefär "den 12:te kejsaren, den 25:te konsuln och den 15:de skatteindrivaren" (siffertecken är i fetstilt, eftersom man på inskriptioner sällan markerade vilka bokstäver som var del av tal; ΤΟ betyder ungefär "den __:de"). Inskriptionen återfinns i Efesos på ett monument dedicerat till kejsar Domitianus. Grekiskan döljer det faktum att texten handlar om en man som föddes i Rom, växte upp i Rom, härskade i Rom och år 96 e.Kr. även mördades i Rom.

Trots de indo-arabiska siffrornas intåg är det alfabetiska talsystemet i fortsatt bruk i dagens Grekland, på ungefär samma sätt som vi i Västeuropa använder romerska siffror. Fast sedan bokstaven stigma avskaffades i mitten av 1900-talet skrivs siffran 6 istället på isärplockat vis, στ.

Även om de tidigare epokernas talsystem inte längre har något praktiskt värde - om än rika i historiskt dito - så kan vi lära något av det faktum, att under alla de tusentals år som det grekiska talsystemet levde, inkorporerades det aldrig positionssystemet, även om det i alla fall från århundradena före Kristi födelse faktiskt fanns till hands. Det är något att begrunda, både för dem, som i barndomen skall lära sig att greppa det system som Arkimedes valde bort, och för att vi inte vet, vad framtidens talsystem har att erbjuda.

Därmed är den här serien om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid till ända. Här hittar du det första respektive andra inlägget.