Daniel Bernoulli, S:t Petersburglotteriet och vikten av en plats i Basel

Daniel Bernoullis väg till matematiken var allt annat än rak. Född i Groningen i Nederländerna år 1700 endast åtta dagar in på det nya seklet, tillhörde han en av Europas mest framstående matematikersläkter. Hans far, Johann Bernoulli, var professor i matematik vid universitetet i Groningen, men bestämde sig tidigt för att hans son inte skulle välja matematikens bana – liksom hans egen far en gång hävdat, menade nu Johann Bernoulli att det helt enkelt inte fanns någon försörjning i matematiken. Redan vid 13 års ålder skickades Daniel istället till Schweiz för att studera filosofi och logik.

Studierna gick lysande, och sin fritid ägnade den unge filosofistudenten åt att lära sig mer om två helt nya fält inom matematiken: integral- och differentialkalkyl. Tre år senare återvände han med en examen hem till Groningen. Fadern ville nu sätta honom som lärling hos en handelsman, med förhoppningen att Daniel en gång skulle kunna försörja familjen. Men Daniel Bernoulli tvärvägrade. Hans far fick ge med sig, och de båda kom överens om att Daniel skulle återvända till universitetet i Basel, den här gången för att studera medicin, i utbyte mot att fadern introducerade honom till sitt eget arbete på kinetisk energi. När Daniel 1720 tog sin examen – den här gången i anatomi och botanik – var det efter att ha gjort ett arbete där han applicerade differentialkalkylen på lungornas arbete.

Efter att två gånger ha misslyckats med att få en professur vid universitetet i Basel gav sig Daniel Bernoulli av till Venedig. Väl i Venedig blev han dessvärre sjuk, och kunde inte fortsätta sina medicinstudier som han hade tänkt. Istället ägnade han tiden åt matematik, och det var här som hans intresse för sannolikhetslära väcktes. Sannolikhetsläran var ytterligare ett av dåtidens mest hett debatterade fält inom matematikens område: Bara femtio år tidigare hade Blaise Pascal och Pierre de Fermat upptäckt hur man matematiskt kunde beräkna sannolikheten för ett slumpmässigt utfall. Efter sin vistelse i Venedig kunde Daniel Bernoulli publicera sin första bok, som innehöll ett antal snillrika såväl matematiska som tekniska lösningar. Boken vann honom både Parisakademins matematikpris och – slutligen – en professur i matematik, vid S:t Petersburgs nygrundade vetenskapsakademi, tillsammans med sin bror Nicolaus Bernoulli.

S:t Petersburg vid floden Nevas utlopp grundades av tsar Peter den store under 1700-talets första årtionde för att bli tsardömets nya huvudstad, dess port mot västerhaven och en ny europeisk storstad. I staden byggdes flera storslagna byggnader i europeisk stil; exempelvis inleddes bygget av det berömda Katarinapalatset, som ses på bilden ovan, redan 1717. Peter den store grundade även stadens vetenskapsakademi år 1724, bara ett år innan bröderna Bernoulli anlände. Foto: Alex Florstein, CC-BY-SA 3.0

Det lär vara just Nicolaus som först kom på det problem som sedermera kommit att bli känt som S:t Petersburgparadoxen: Antag att ett kasino erbjuder ett enkelt spel, som går ut på att singla en slant. Varje gång det kommer upp en krona så dubbleras vinsten, men kommer det istället upp en klave avslutas spelet och vinsten betalas ut. Vid vilken insats är det lönsamt att delta i spelet? Vad borde den rationelle spelaren vara beredd att betala för att spela?

Låt oss först titta på några exempel. Spelet börjar med en potentiell vinst på en krona (d.v.s. 2⁰ kronor). Slanten singlas, och visar en krona – vinsten dubbleras och blir två kronor (2¹ kronor). Ytterligare en gång kommer en krona upp – vinsten stiger till fyra kronor (2²) kronor) – innan det slutligen kommer en klave, vinsten dubbleras en sista gång och de nu åtta kronorna (2³ kronor) delas ut. Få av oss skulle nog vilja betala särskilt mycket för att få delta. Om vi låter R symbolisera krona och L klave, kan vi skriva utfallet så här:

RRL	2·2·2 = 8 kr

Några andra möjliga utfall vore:

RL	2·2 = 4 kr
RRRRRL	2·2·2·2·2·2 = 64 kr
RRRRRRRRRL	2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 210 = 1024 kr

I de flesta fall är vinsten ganska låg, men å andra sidan drar den snabbt iväg. Skulle vi ha den ovanliga lyckan att få tjugo kronor på raken, ja, då skulle vinsten överstiga en miljon. Ge oss ytterligare tio kronor och vinsten går plötsligt över en miljard. Vinsten efter att ha fått upp krona 29 gånger och klave den trettionde är 2³⁰ kronor – men sannolikheten för att vi skall få upp så många kronor är bara en på 2³⁰ gånger. Och just där ligger paradoxens kärna: Vinsten stiger lika snabbt, som sannolikheten avtar.

Låt oss titta på sannolikheten och vinsten för de fem troligaste utfallen:

Utfall	Sannolikhet	Vinst	Nytta
L	0,5 (d.v.s. 50 procent)	21 = 2 kr	1 kr
RL	0,25	22 = 4 kr	1 kr
RRL	0,125	23 = 8 kr	1 kr
RRRL	0,0625	24 = 16 kr	1 kr
RRRRL	0,03125	25 = 32 kr	1 kr

Den fjärde kolumnen visar nyttan hos varje utfall, eller det som på engelska brukar benämnas utfallets utility. Nyttan beräknas för varje tänkbart utfall genom att multiplicera vinsten med sannolikheten för att uppnå den (det var just det som Blaise Pascal utnyttjade i sitt matematiska resonemang om nyttan med religion). Man brukar säga att hela spelets nytta är summan av alla enskilda utfalls nytta, eller kort sagt hur mycket man kan förvänta sig att i genomsnitt vinna, ifall man spelar spelet tillräckligt många gånger. I S:t Petersburgparadoxens fall är den sammanlagda nyttan oändligt – eller, i klarspråk: det är lönsamt att delta i spelet, oavsett vilken insats som krävs, för i det långa loppet kommer man alltid att vinna tillbaks den. Trots det är mycket få rationella spelare beredda att betala ens en insats på 100 kronor.

Här har tre fiktiva spelare (tant Grön, tant Brun och tant Gredelin) vardera fått spela tusen rundor i S:t Petersburglotteriet med hjälp av en datorsimulering. Kurvorna visar spelarnas genomsnittliga vinst (på y-axeln) fram till just det partiet (på x-axeln). Tant Brun leder starkt i början och har efter bara 150 partier en genomsnittlig vinst på nästan 20 kronor, medan tant Gredelin knappar in längsmed vägen – när alla partier spelats klart har hon vunnit i genomsnitt nästan 15 kronor per parti. Under alla tusen partierna kommer tant Grön aldrig upp i en genomsnittlig vinst på 10 kronor. Generellt kan man säga, att ju längre man spelar, desto högre kommer den genomsnittliga vinsten att bli.

Här har tant Grön, tant Brun och tant Gredelin fått spela ytterligare tusen rundor i S:t Petersburglotteriet, den här gången mot en insats på 10 kr per runda. Insatsen är visserligen låg, men det tar ändå över 700 rundor för tant Brun att som sista spelare uppnå en positiv nettovinst. Avbryts spelet efter 200 rundor kommer kasinot att ha gått med vinst gentemot alla tre spelarna. Men om spelet fortsätter oändligt länge, kommer alla spelare någon gång att ha gått med vinst, oavsett hur hög insats lotteriet väljer att ta ut. Bara för de 700 rundorna krävs dock någonstans omkring 1400 slantsinglingar per spelare – eller för de tre tanterna totalt nästan tolv timmars arbete, ifall varje slantsingling tar tio sekunder. Att uppnå lönsamhet i S:t Petersburglotteriet är alltså något som tar rejält med tid.

Bara åtta månader efter att de båda bröderna anlänt till S:t Petersburg dog Nicolaus i feber. Daniel Bernoulli bestämde sig för att publicera broderns arbete på S:t Petersburgparadoxen i vetenskapsakademiens egen tidsskrift; han bifogade till och med Nicolaus egen beskrivning av problemet. Nicolaus hade löst paradoxen genom att mena att människor helt bortser från möjligheter som är så osannolika, att de sker endast en på tio tusen gånger. I en mycket holländsk jämförelse konstaterade han att nederländarna uppenbarligen kände sig trygga bakom sina fördämningar, trots att dessa med just en tiotusendels sannolikhet brast. Det mänskliga psyket bortser helt enkelt från så osannolika händelser, eftersom de praktiskt taget aldrig inträffar, och det, menade Nicolaus, skulle vara hela förklaringen till att så få skulle vara beredda att spela mot en stor insats, trots att matematiken visar att det i slutändan vore lönsamt.

Till Nicolaus problembeskrivning och lösning tillförde Daniel en annan lösning: Tänk om nyttan inte är konstant – en enda krona kanske inte tillför lika mycket, när man vet att man redan har vunnit en miljard. Daniel Bernoulli menade istället att lyckan var logaritmisk – att nyttan av att ha vunnit en extra krona inte var direkt kopplad till krontalet, utan till logaritmen av det. Nyttan skulle således beräknas som logaritmen av penningvinsten gånger sannolikheten, istället för bara penningvinsten gånger sannolikheten. Tabellen ovan skulle då få ett lite annorlunda utseende:

Utfall	Sannolikhet	Vinst	Nytta
L	0,5 (d.v.s. 50 procent)	21 = 2 kr	0,1505
RL	0,25	22 = 4 kr	0,1505
RRL	0,125	23 = 8 kr	0,1128
RRRL	0,0625	24 = 16 kr	0,0752
RRRRL	0,03125	25 = 32 kr	0,0470

Nu, äntligen, är nyttan konvergent! Det betyder att vi kan beräkna spelets totala nytta trots att antalet möjliga utfall är oändligt, och komma fram till att den rationelle spelaren är beredd att betala högst fyra kronor per runda för att delta. I den ursprungliga versionen vägde Daniel Bernoulli dessutom in spelarens tidigare förmögenhet. Tanken att ett sannolikhetsspel kunde ha olika värde för olika personer, och rent av vara lönsamt för båda parter, låg i tiden – det tidiga 1700-talet var, när allting kommer omkring, faktiskt försäkringsbolagens födelseepok. Många har dock kritiserat Daniel Bernoullis lösning för att vara ogrundad: Vad säger egentligen att nyttan med pengar skulle följa just en logaritmisk kurva? Dessutom ger Daniel Bernoullis lösningsmetod en i mångas tycke alltför låg siffra. Kanske finns det andra kurvor, som bättre svarar mot hur vi människor värderar pengar. För övrigt är det lätt att anpassa paradoxen, så att nyttan återigen blir divergent.

Hur det än förhåller sig med den saken, kvarstår det faktum att S:t Petersburglotteriet är en matematisk paradox: För den som har oändligt mycket tid och oändligt lite att ägna den åt är S:t Petersburglotteriet definitivt vägen till oändlig rikedom – oavsett insats. Robert Martin jämför S:t Petersburglotteriet med en penningmaskin. På maskinens tangentbord behöver man bara knappa in en valfri siffra, vilken som helst, för att maskinen skall trycka ut den mängden kronor – ungefär som en bankomat utan koppling till ett konto. Få skulle bry sig om maskinens pris, givet att betalningen kan skjutas upp till efter leverans. Penningmaskinen och S:t Petersburglotteriet är egentligen samma sak, förutom att en motsvarande stor vinst i S:t Petersburglotteriet endast kommer med en mycket liten sannolikhet. Men får man spela oändligt många gånger, kommer vinsterna till slut också att bli oändliga, oavsett vilken insats kasinot kräver för att man skall få delta.

Daniel Bernoulli fick till slut sin professur vid Basels universitet. Innan dess hade han lämnat in totalt tre olika ansökningar, men alla gånger avslagits vid den sista omgångens lottning om platsen. Inte undra på att sannolikheter kom att intressera den unge matematikern.

Daniel Bernoulli lämnade S:t Petersburg tillsammans med sin yngre bror Johann Bernoulli år 1733. Kanske var det just tack vare det ogästvänliga klimatet och staden han aldrig trivdes i, som gjorde att tiden i Ryssland enligt vissa bedömare blev hans allra mest produktiva tid. Året efter tillträdde han slutligen en professur i botanik vid Basels universitet.