Legenden om Pythagoras i smedjan

Fjodor Bronnikovs målning av pytagoréernas solkult är visserligen mer samtida med oss än med motivet, men fångar ändå den mysticism som gjorde Pythagoras populär.

Enligt en antik legend gick matematikens fader tillika mystikens mästare, Pythagoras från Samos, en dag förbi en smedja, där fyra smeder stod och arbetade. Med sina hammare slog bearbetade de metallen, genom att gång på gång slå på den.

Pythagoras lärde som bekant att "allt är tal", eller att tal finns i allt. Att de finns i vanlig materia, som kan mätas, vägas och delas, passade in; vad som fattades var akustiken. Det fanns ljusa och mörka toner, dissonans och assonans, men passade ändå inte in i matematiken. I dessa tankar var Pythagoras tvungen att stanna och lyssna. Var och en av smederna arbetade i sin egen takt, och deras åhörare fick sålunda höra många olika kombinationer av dessa fyra hammares toner. Dessa var inga vanliga smeder; inte nog med att de var antika grekiska smeder, hade de fyra speciella hammare. Den första hammaren var tung, medan den andra var exakt tre fjärdedelar så tung som den första. Den tredje var två tredjedelar och den sista var bara hälften så tung. I tolftedelar förhöll de sig till varandra med tolv till nio till åtta till sex; Pythagoras snilleblixt var att tonhöjden på klangen som slaget gav upphov till varken berodde av vart på metallen smeden slog eller hur hårt slaget var, utan på hammarens tyngd. Pythagoras, som vid det här laget antagligen redan betraktades som lite udda, hade nämligen mätt alla de fyra smedernas hammares tyngd.

Ett träsnitt från Theorica musicae av Franchino Gaffurio, 1492, visar Pythagoras experiment fast med två snören mer än vad legenden har berättat oss; här jämför han tonen från tolvvikten med den från åttavikten.

Pythagoras gjorde vad alla antika genier verkar ha gjort; han sprang överlycklig genom stadens gator tills han kom hem och kunde fortsätta sina experiment. Han förberedde ett bord över vilket han spände fyra trådar, där vikterna motsvarade hamrarnas vikter. Han kunde därvid bara bekräfta vad han upplevt när han lyssnat på smederna: Bara en kombination lät falsk, den mellan åtta och nio. Varför?

När Pythagoras slog på den mest och den minst spända strängen samtidigt, var förhållandet mellan dem sex till tolv, eller jämt ett till två, frekvensen på ljudet från den mest spända strängen var dubbelt så hög som det från den minst spända; idag vet vi vad Pythagoras inte visste: ljudvågorna går i takt. Skillnaden mellan den översta och den nedersta tonen var alltså en oktav; 2:1.

Mellan den mest spända och den näst minst spända var förhållandet tolv till åtta, eller tre till två. Återigen gick ljudvågorna i takt med varandra och återigen blev tonen jämn, klar och harmonisk. Mellan den mest spända och den näst mest spända blev förhållandet tolv till nio, eller fyra till tre, och mellan den minst spända och den näst mest spända blev det sex till nio, återigen tre till två. Alla dessa var fina, jämna bråktal, och alla hade de primtal som både nämnare och täljare. Inte undra på att Pythagoras ansåg sig ha funnit bevis på att matematisk skönhet och harmoni låg bakom musikens, och i synnerhet att de rationella, geometriska talen var världens sanna gudomligheter, även musiken passade in i den pythagoreiska världens harmoni.

Jokern i leken var den sista kvarvarande kombinationen, den mellan åtta och nio. Inte längre var det ett lika fint, jämnt bråk, om än fortfarande inte ett irrationellt tal, som pytagoréerna senare skulle få drabbas av (läs mer i detta inlägg). Men pytagoréerna var ett hemligt sällskap, som inte gärna spred sin kunskap till gemene man. De viktigaste texterna höll man i minnet, och det som skrevs ned hölls strängt oåtkomligt för oinvigda. Allteftersom dog dock de pythagoreiska mästarna, och Corpus pythagoricum, som deras samlade texter kommit att benämnas, kunde sammanställas. Kanske är det just att de var ett hemligt sällskap vad som har gjort eftervärlden så intresserad, och deras många upptäckter och egenartade legender som har övertygat de flesta om att historien är värd att bevara.

Legenden om dagen då Pythagoras råkade passera förbi smedjan nedtecknades först mer än ett halvt millennium efter mästarens död, av Nikomachus av Gerasa. Torget i hans hemstad, den romerska staden Gerasas, står fortfarande att se – strax invid ligger den moderna staden Jerash, i dagens Jordanien.

Under Jörg Syril den äldres trästaty av Pythagoras där han fortfarande sitter i Ulmkatedralens kor, som han gjort sedan 1400-talets slut kallas matematikens fader istället för Inventor Musicae, eller musikens uppfinnare. Och hans fyra toner lever än; den pythagoreiska skalan skrivs idag som tonerna c, e, f och a, som fortfarande ljuder med sfärernas harmoni.

Insekter med matematiska insikter

På sin resa till Nordamerika, blev Carl von Linnés apostel Pehr Kalm, född och uppvuxen i Ångermanland och med ett vetenskapsintresse från universitetet i Åbo, vittne till ett märkvärdigt, och matematiskt naturfenomen. År 1747 hade han lämnat Göteborgs hamn på väg mot "Norra America" via England, för att kartlägga vilka arter som stod att finna i den nya världen. Bland alla de träd och växter som Kalm tog med sig hem, fanns troligtvis en beskrivning av en märklig sorts cikada. Visserligen var Kalm inte först med att observera arten, i synnerhet inte om man räknar med alla de indianer som genom åren levat sida vid sida med den, men det var tack vare honom som Linné kunde ge den dess namn, Cicada septendeci, eller, i fri översättning, sjuttoncikadan. Även om den har fått ett extra Magi pålagt på sitt förnamn, och följaktligen numera heter Magicicada septendeci, kvarstår både det särskiljande efternamnet, och det särskiljande beteendet.

Magicicada septendeci fick sitt efternamn, som på latin betyder just sjutton, av Linné, efter att hans apostel Pehr Kalm hade observerat artens märkvärdiga beteende.

I sin bok "En Resa til Norra America" gav Kalm dock aldrig någon beskrivning av den märkliga cikadan, även om han hade många andra märkvärdiga historier att berätta; som om den svensk, vilket Kalm är noga med att poängtera, som kommit på ett effektivt sätt att rensa sin flodstrand från bisamråttor. Med brinnande svavel och täppta ingångar var det bara att gräva upp de döda bisamråttorna som låg där inne. Inte nog med att personen i fråga slapp problemet med djuren, han fick även inkomsten från skinnen. Som tur är, skulle nog de flesta säga idag, kom den effektiva metoden inte på modet, och bisamråttan är fortfarande utbredd över större delen av jordklotet; dock inte i Sverige - kanske var vi lite väl uppfinningsrika.

Men det beteende som gör det faktum att Kalm inte nämnde cikadorna i sin bok förvånande, är deras cyklicitet - tillsammans med sex andra Magicicada-arter dyker sjuttoncikadan upp med jämna intervall - fyra arter på sjutton år, tre på tretton.

Året innan utbrottet sker, kan man se att vegetationens tillväxt minskar: det är larverna som äter på rötterna. När dessa larver sedan kläcks, översvämmas området med cikador. Cikadorna äter på löven, parar sig och lägger ägg innan de dör; nästa generation dyker upp tretton eller sjutton år senare. De döda cikadorna ligger kvar på marken, där de återför den näring till jorden som de tog som larver.

Den här cikadan kommer från norra Illinois, där cikadorna dyker upp vart sjuttonde år - nästa gång år 2024.

Men det är ändå aningen märkvärdigt, att både 13 och 17 är primtal; och om nu cikadorna är beroende av primtal, så varför duger inte fem, sju eller elva, eller nitton, tjugotre, tjugonio eller trettioett?

Forskarnas teori är att cikadornas primtalscyklicitet är ett sätt att undvika andra djur - de allra flesta djurpopulationer är nämligen cykliska, satta i självsvängning av tillgång till mat och mängden rovdjur. När mattillgången blir mindre sjunker antalet individer, som minskar påfrestningarna på matkällan, som då ökar, för att återigen tillåta expansion i de konsumerande arternas populationer, och följaktligen kommer en primtalscyklisk cikadafalmilj att sammanfalla med rovdjuren minst antal gånger, eftersom endast rovdjursarter med cyklicitet på en multipel av 13 eller 17 kan utgöra något långvarigt hot mot cikadabeståndet. Ingen vanlig fågelart kan, hur mycket de än skulle vilja, äta alla cikadorna under ett cikadaår, och varje fågelart som försöker anpassa sitt bestånd efter cikadorna kommer säkert att vara död och begraven innan nästa cikadageneration kläcks; därför måste också tiden mellan generationerna vara lång nog - så att rovdjuren hinner anpassa sitt antal till ett liv utan cikador, men också kort nog, att tillräckligt många ägg överlever i marken, varför primtalen 13 och 17 verkar vara de optimala. Ehuru grym för det mesta, och ibland på samma gång, så är naturen visst ganska finurlig ibland?

Cikadorna kan minst sagt bli många, här tycks de ha tagit en hel rad buskar i besittning. Foto: Arthur D. Guilani.
För en närbild av en sjuttonårscikada, se den här bilden, som jag av, hm, estetiska skäl valt bort att ta med.

Tio siffror i nästan två tusen år

Ett träsnitt från 1508 visar konkurrensen mellan det nya och det gamla sättet att räkna. De praktiskt placerade namnskyltarna anger karaktärerna som Boethius till vänster och Pythagoras till höger; trots att Boethius som dog på femhundratalet e.Kr. troligtvis aldrig ens hörde talas om indiernas nydanande symboler.

Medeltidens européer kände bara till ett talsystem, det romerska. Problemet var att det begränsades av att ha utformats efter vad som en gång hade varit romarnas matematiska behov och saknade enkla sätt att skriva noll, negativa tecken och bråktal. Potenser och exponenter, liksom plus- och minustecken fick skrivas med bokstäver, och matematiska beräkningar och bevis såg följaktligen mer ut som romaner än som vetenskap.

Medeltidens lärde hade förgäves försökt åtgärda det problemet, men resultatet blev en översvämning av tecken och förkortningar med vilka det romerska talsystemet skulle utvidgas och snart förstod ingen någonting alls. Inte nog med att de var många, utan förkortningarna var ofta långt ifrån entydiga: A kunde likaväl betyda fem som femhundra, K etthundrafemtioett likaväl som tvåhundrafemtio. Vissa matematiker hade försökt sig på att räkna med noll – och därför stod N för nulla, men N användes redan för nittio, från latinets nonaginta. Inte undra på att bankirerna fortfarande räknade på abakus – enkelt och otvetydigt, kan tänkas, men dessvärre även långsamt och allt mer omständligt. Ekonomin växte, handelskonstruktionerna blev mer komplexa och fler finansiella instrument tillkom under renässansen. Bara i sig innebar den ökade handeln inom ett Europa med lika många mynt- och måttsystem som städer och landsdelar stora mängder komplicerade beräkningar med många decimaler och restposter.

Svaret på Europas problem låg i Orienten. Med bättre kommunikationer och ökad efterfrågan efter österns lyxvaror bland Europas rika, kom de europeiska köpmännen i kontakt med de arabiska, och även med deras sätt att föra räkenskaper.

Renässansens Italien hade täta kontakter med Orienten - handeln över Medelhavet var en av de viktiga motorerna i Europas ekonomi, och kulturutbytet stod inte långt efter. Tillsammans med guld och siden kom från Orienten även ny matematik, vetenskap och kunskap. Även kyrkan ville gärna vara med, den här målningen av Gentile Bellini visar den antike evangelisten Markus predikande för en samling handelsmän från både öst och väst, glatt konverserande.

Bakom revolutionen låg sonen till en italiensk tulltjänsteman i Bugia, eller Béijaïa i nuvarande Algeriet. Hans namn var Leonardo Pisano Bigollo, men mer känd har han blivit under namnet Fibonacci. Från de arabiska köpmän som hans far arbetade med fick den unge Fibonacci lära känna en helt ny värld av matematik – matematik som var mycket bättre lämpad för att räkna på vinster, förluster, kostnader och räntor. Men det här var matematik som baserade sig på ett helt annat talsystem, ett där man använde tio helt nya siffror, 0 till 9, och där siffrorna dessutom fick helt olika betydelser beroende på hur de stod i relation till varandra.

Foulkaporten i Béjaïas stadsmur, staden där Fibonacci växte upp och lärde känna de arabiska handelsmännens matematik.

Medan Europa fortfarande räknade med I, V, X, L, C, D och M, och hela den djungel av ytterligare bokstäver som medeltidens matematiker lagt därtill, utvecklade Fibonacci ett helt nytt sätt att räkna. Han blev stormförtjust och skrev i sin bok Liber Abaci att till och med den store Pythagoras matematik framstod som ett misstag i jämförelse med indiernas sätt att räkna. I sin bok använde han därför det nya systemet och med en rad exempel, kanske mest intressant vikt- och måttomräkning, ränteberäkningar och valutaväxling, visade han hur lätthanterligt och smidigt det var.

Fibonaccis bok togs väl emot av Europas vetenskapsmän och bankirer, men det fanns en grupp som inte riktigt delade de andras fascination. Det nya talsystemet hade nämligen ett stort fel:
När bankirerna gjorde alla sina beräkningar på abakus kunde man som kund se på och till och med förstå vad bankirerna gjorde. Den kund som såg att bankiren fuskade, kunde se till att få banken i bankrutt – rent bokstavligt, för en ohederlig bankir kunde få sitt bord sönderslaget, på latin banca rupta. Nu, med de nya siffrorna, satt bankirerna och ritade rader av små krumelurer på ett papper, figurer som ingen tidigare ens hade sett, och än mindre kunde förstå. Återigen visar språket historiens spår – det är inte någon slump att orden siffra och chiffer är så lika, för de kommer nämligen från samma ord, arabiskans al-sifr, från samma tid, senmedeltiden, och från samma strid, de som var för och de som var emot det nya systemet.

Både de som tvivlade och de som entusiastiskt omfamnade det nya systemets möjligheter hade helt rätt. Medan det nya systemet öppnade för mer handel, snabbare transaktioner och slutligen även bättre levnadsstandard, innebar det också mer pengar åt bankirerna, som inte var sena att omvandla dem till makt. En hel rad av Europas namnkunniga adels- och kungaätter gjorde sin entré under den här tiden: Mest berömd av dem alla kanske just Medicifamiljen, men även familjen Grimaldi, som idag fortfarande regerar i Monaco, och många fler hade senmedeltidens och renässansens samhällsomvälvande matematik att tacka för sin makt.

Huset Medici blev rikt och mäktigt genom den ökade handeln i Italien under medeltidens slut som också slutligen gjorde det romerska talsystemet för kraftlöst för den nya tidens ekonomiska och vetenskapliga beräkningar. Här är portalen som en gång satt på en av Medicifamiljens banker, numera på muséet för antik konst i Milano. Foto: Stefano Stabile.

Men redan på tolvhundratalet hade de indisk-arabiska siffrorna en lång historia, och varken Fibonacci eller de arabiska handelsmännen visste troligtvis varifrån de kom. Idag tror vi oss faktiskt veta, för svaret ligger gömt i en text skriven på björknäver med anor från trehundratalets Indien. Idag kallas den texten för Bakhshalimanuskriptet, och den återupptäcktes först under sommaren 1881 i närheten av en by med samma namn i dagens Pakistan. Manuskriptet är en kopia från någonstans omkring 800- eller 900-talet av ett ännu äldre manuskript – kanske så gammalt som från etthundratalet före Kristi födelse, men de flesta forskare brukar datera det till omkring just 300-talet e.Kr.

Vad man upptäckte när man började läsa texten var i huvudsak en handbok i algebra och aritmetik. Utöver att manuskriptets stil är förvånansvärt rättfram och ordnad, med vissa delar skrivna i prosa och med tydliga teser och exempel till skillnad från senare antik indisk matematik, så anses Bakhshalimanuskriptet ofta vara det första exemplet på användning av siffran 0 i den form den senare skulle komma till vår sida av världen. (Siffran noll i sig hade dock funnits i andra versioner långt tidigare, inte minst berömt är att den orsakade pytagoréerna mycket huvudbry.)

De indoarabiska siffrorna i vardande, på det sätt de skrevs i det mellan ett och två tusen år gamla Bakhshalimanuskriptet. Redan kan en europé känna igen några av tecknen.

De indiska matematikerna använde siffran noll och ansamlade med dess och de övriga nio siffrornas hjälp en ansenlig kunskap på astronomins område. Troligtvis var det de indiska matematikernas skicklighet inom astronomin som inspirerade den nestorianske biskopen Severus Sebokht – som år 662 omnämnde de indiska siffrorna – till hans jakt på ett effektivt sätt att beräkna påskens datum.

Vi vet egentligen inget om hur spridda de indiska siffrorna var vid det här laget, men enligt en historia som medeltidskrönikören Ibn al-Qifti har att berätta, så kom det år 776 en indisk matematiker till den abbasidiske kalifen al-Mansurs hov i Bagdad. Den indiske matematikern visade kalifen hur lätt man kunde beräkna halvkordan (en variant av sinusfunktionen) med hjälp av de nya siffror, som han fört med sig från Indien. Kalifen blev så förtjust att han beställde en översättning av den indiska boken till arabiska, så att hans undersåtar kunde lära sig det kraftfulla verktyg han själv just hade fått ta del av. Under elvahundratalet kom den arabiska översättningen i händerna på en ung och nyfiken italienare – just det, Fibonacci – och genom honom spred sig siffrorna vidare till resten av Europa. Resten är, så att säga, historia.

Den här framsidan på en bok i aritmetik från 1549, angivet med romerska siffror, visar det första bevarade exemplet på de nya siffrorna i den form och ordning som de kom att få i Europa; och med européerna följde de till resten av världen.