Mörkrets matematik, del I: Matematiken och solförmörkelsen

Det här inlägget är det första i en serie av två inlägg om matematikens nära samband med astronomins och solförmörkelsernas historia – om förutsägelser och om observationer. Det andra inlägget hittar du här.

Floden Halys, vars namn på antik grekiska betyder "den salta floden", utgjorde under antiken gräns mellan Mindre Asien och resten av Asien. Decennierna efter slaget vid Halys tjänade den även som gräns mellan Medien i öster och Lydien i väster. Idag flyter den genom Turkiet och bär namnet Kızılırmak, vilket på turkiska betyder "den röda floden". Foto: Wikipediaanvändare Avniyazici, CC-BY-SA 3.0

Eftermiddagen den 28 maj år 585 f. Kr. möttes den mediska hären under ledning av kung Kyaraxes och den lydiska hären under ledning av kung Alyattes II på var sin sida floden Halys. Den grekiske författaren Herodotus berättar hur kriget mellan lydierna och medierna hade gått fram och tillbaka i många år, med stora förluster på båda sidor. De båda härarna förväntade sig en sen solnedgång följd av en fullmåne, så att även detta slag skulle kunna fortsätta till sent in på natten.

The Lydians however and the Medes, when they saw that it had become night instead of day, ceased from their fighting and were much more eager both of them that peace should be made between them.” - Herodotus 1.74 (i översättning av G. C. Macaulay)

Plötsligt omslöts härarna av mörker. Solskivan försvann från himmelen och dagen blev till natt. Förskräckelsen måste ha varit stor – på båda sidor mottogs det som ett dåligt omen, ett tecken på att gudarna motsatte sig slaget. Hastigt slöts fred mellan de stridande parterna, och för att befästa den oväntade och osannolika freden beslöt man att den lydiska prinsessan Aryenis skulle giftas bort med den mediske prinsen Astyages. Men mot alla odds höll freden och floden Halys förblev gränsen mellan de båda rikena i de följande nära fyra decennierna.

Totala solförmörkelser är visserligen ovanliga, men solförmörkelsen år 585 f.Kr. var speciell på ett helt annat sätt, ett sätt som gjorde att den utmärkte sig gentemot alla tidigare solförmörkelser i mänsklighetens historia: Den var förutsagd. Föga kunde de stridande ana, att en matematiker inte långt ifrån slagfältet hade förvandlat solförmörkelsen från ett övernaturligt omen till en rent matematisk angelägenhet. Hans namn var Thales från Miletos.

Fortfarande idag bär solförmörkelsen på en viss inneboende och oförklarlig kraft, men för mer än två millennier sedan, när ingen visste när, hur eller varför de uppkom, blev de till kraftfulla gudomliga omen. Här syns solförmörkelsen i mars 2015 från Tórshavn på Färöarna. Foto: Wikipediaanvändare Schnuffel2002, CC-BY-SA 3.0

Och, frågar man sig, hur gjorde då Thales för att förutsäga solförmörkelsen? Svaret är att ingen vet, men han utgick säkerligen från de lärdomar, bland annat om babylonisk astronomi, som han gjort på sina resor till Egypten. Vissa tvivlare har till och med frågat sig ifall han verkligen förutsåg solförmörkelsen, som Herodotus påstod, eller ifall han egentligen bara var den förste som förstod orsakerna till en förmörkelse, som andra antika skribenter berättar. Kanske, resonerar man, bredde Herodotus på för att få berätta en bättre historia, men kanske visste han något, som vi inte vet, eller kanske kan även en mästare ibland göra fel. Troligast är nog att Thales med god matematisk blick sett ett mönster i det rika material och de utförliga tabeller som stod honom till buds. Mönstret kunde han sedan enkelt förlänga, och därmed räkna ut ungefär när nästa solförmörkelse borde äga rum.

Thales utgångsmaterial kom med all säkerhet från de resor till det faraonska Egypten han företagit i sin ungdom; de forna egyptierna var nämligen arvtagare till en rik kunskapsmassa på astronomins område. Vilka skatter, härledda från den babyloniska astronomin såväl som vunna av rikets egna invånare, som gömde sig i det väldiga biblioteket i Alexandria kommer vi aldrig att få veta, men säkert är att det där fanns nedtecknat många värdefulla observationer av himmelens olika fenomen. Redan tidigt brydde Mesopotamiens invånare sina huvuden inför solförmörkelsernas till synes oförutsägbara uppträdande. Tabeller över datum för olika solförmörkelser, upprättade av assyriska astronomer, har blivit till ett ovärderligt hjälpmedel för dateringen av händelser i Mesopotamien. Här rörde det sig visserligen inte om några förutsägelser, men inte desto mindre noggranna observationer under lång tid. De äldsta mesopotamiska tabellerna inleds med en total solförmörkelse som skall ha ägt rum den tredje maj år 1375 f.Kr.

Den här lerskärvan kommer från det nyassyriska riket och är ett fragment av en planisfär, ett slags stjärnkarta som de assyriska astronomerna skapade utefter sina observationer.

Sådana tabeller kan ha upprättats redan tusen år tidigare av kinesiska astronomer, i alla fall om man får tro den olyckliga berättelsen om de två astrologerna Ho och Hi, som i oktober 2136 f.Kr. blev hängda efter att ha missat att förutspå en förmörkelse. Att just de kinesiska och babyloniska civilisationerna var tidiga med att försöka förutsäga solförmörkelser är för övrigt inte så märkvärdigt – båda kulturerna använde sig nämligen av månkalendrar. Eftersom solförmörkelser bara inträffar när månen är full, inträffar de alltid på den första dagen i en sådan mån-månad. På så sätt fick de kinesiska och babyloniska astronomerna en extra ledtråd till att solförmörkelserna faktiskt gick att förutsäga.

Men med tanke på hur oregelbundet solförmörkelser uppträder var det nog få som kunde åtnjuta ett långt liv på posten som hovastrolog. För härskaren var det däremot av stor vikt att på förhand känna till när solförmörkelserna skulle uppträda, eftersom förmörkelserna av allmänheten tolkades som kraftiga omen och därmed fick stor politisk betydelse. Att solskivan plötsligt försvann har av så gott som alla forntida kulturer tolkats som tecken på gudarnas vrede eller himmelska missöden – det kinesiska ordet för solförmörkelse, 日食, rìshí, betyder bokstavligen ungefär ”solen äts” efter den en gång populära uppfattningen att förmörkelserna berodde på att en drake åt upp solskivan. Ännu under 1800-talet lär man för övrigt ha kunnat höra den kinesiska flottan avlossa tomma skott under en förmörkelse, i syfte att skrämma bort den glupska draken.

Det finns dock inget som tyder på att dessa tidiga kinesiska astrologer, verksamma under slutet av 2000-talet f.Kr., skulle ha förstått mekanismen bakom solförmörkelserna. Snarare kan man tro att deras förutsägelser baserades på ett slags försök till mönsterigenkänning, och säkerligen en saftig dos vidskepelse och ritualer. Astronomen Shi Shen, som levde i Wei-kungadömet i centrala Kina på 300-talet f.Kr., menade att solförmörkelserna berodde på stora solfläckar som täckte hela solens yta. Även om just den teorin som bekant sedermera har visat sig felaktig, kan han istället gå till historien på ämnet solfläckar. Uppkomsten av en teori med något bättre överensstämmelse gentemot vår egen tids uppfattning dateras av vissa forskare till knappt tre århundraden senare, eller med andra ord decennierna före Kristi födelse. Ytterligare två århundraden senare kunde de kinesiska astrologerna pusta ut på riktigt, eftersom kännedomen om månens och solens rörelser då nått en sådan utsträckning att solförmörkelserna kunde förutsägas utifrån astronomiska observationer.

Även de mayanska astronomerna nådde framgång i sina förutsägelser av solförmörkelsen, enligt vissa bedömare lika stor eller rent av större än sina europeiska eller österländska gelikar. Idag är det dessvärre svårt att säga något bestämt om saken, eftersom deras arbete brändes under den europeiska erövringen. I ruinstaden Chichén Itzá kan man dock beskåda resterna av detta forntida observatorium. Foto: Bruno Girin, CC-BY-SA 2.0

Förmågan att i förväg kunna förutsäga solförmörkelsernas inträffande utvecklades även i västerlandet. Mycket av de antika människornas kunskap i astronomi verkar ha kommit från den numer snarast mytiske astronomen Hipparkos, vars verk dessvärre så gott som fullständigt har försvunnit över årens lopp. Hans bidrag till astronomin har istället levat vidare genom att det låg till grund för den grekisk-egyptiske astronomen Ptolemaios arbete. Ptolemaios, som var verksam i Alexandria under decennierna omkring 150 e.Kr, har blivit berömd för eftervärlden genom att utarbeta den modell av solsystemet, med jorden i mitten och övriga himlakroppar roterande däromkring, som kom att förbli den förhärskande i nära nog ett och ett halvt millennium efter hans död. I sitt storverk Almagest sammanställde han antikens omfattande men fragmentariska astronomiska visdom till ett astronomiskt system. Här skapade han en sammanhängande bild av solsystemets beskaffenhet; han beskrev planeternas, månens och solens banor, och fastslog stjärnornas och Jordens belägenheter. Tack vare denna astronomiska strukturering, som utöver sina briser också måste sägas ha innehållit en hel del klarsyntheter, kunde Ptolemaios se mönster i solförmörkelsernas upprinnelse, och det på ett mycket djupare plan än vad Thales kunde. Hela det sjätte bandet av Almagest ägnades åt sol- och månförmörkelserna.

Bland den vanliga romerska befolkningen var det få som varken ville eller egentligen kunde acceptera att sol- eller månförmörkelser var vetenskapliga fenomen och inte gudomliga tecken. Både kännedomen om sol- och månförmörkelsernas orsaker och vetskapen om möjligheten att förutsäga deras inträffande verkar ha varit allmängods enbart hos den bildade, intellektuella eliten – bland de klassiska författarna, som Seneca, den äldre Plinius, Gallius och Dio Cassius med många flera, finner vi ett antal kraftfulla försvar av den vetenskapliga förklaringen. Men dessa författare var även väl medvetna om möjligheten att utnyttja det vanliga folkets okunskap: Det är enklare att manipulera vidskepliga människor än att undervisa dem. Trots vetenskapens framsteg kunde solförmörkelser fortfarande, liksom under Thales dagar tusen år tidigare, komma att bli avgörande för vem som vann ett slag. För att använda kraften i solförmörkelsen till sin egen fördel, försökte officerarna ofta i förväg sprida rykten bland sina soldater, för att förebygga att förmörkelsen emottogs som ett dåligt omen – och i vissa fall lär de dessutom ha försökt sprida det motsatta ryktet i fiendelägret. Och säkerligen lät sig många soldater övertygas: även med ett dåligt omen är det ju trots allt fortfarande osagt vems olycka det förebådar.

Det romerska riket saknade all antydan till ett allmänt utbildningsväsende, och genom hela dess nästan tusenåriga historia känner vi enbart till ett fåtal tillfällen, då någon gjorde ett allvarligt menat försök att i någon större utsträckning upplysa den romerska underklassen om det meningslösa i att tolka solförmörkelserna som skräckinjagande omen. Ett sådant tillfälle var då kejsar Claudius fick reda på att en solförmörkelse skulle äga rum på hans födelsedag. Eftersom Claudius popularitet bland den vanliga befolkningen redan var sviktande, såg kejsaren nyttan i att på förhand utfärda ett publikt meddelande som redogjorde både för detaljerna kring solförmörkelsen och för dess vetenskapliga orsaker. Men texten kunde ju dessvärre enbart läsas av de redan skrivkunniga – som antagligen också var de som minst behövde läsa den – och det finns heller inget som tyder på att den vann någon större spridning.

Kejsar Claudius föddes som avlägsen ättling till Julius Caesar och växte upp som ett sjukligt och handikappat barn. Men tack vare det stod han efter kejsar Neros död kvar som släktens ende manlige överlevande, enbart för att Nero aldrig bedömt honom som ett reellt hot. När han insåg att han skulle utropas till kejsare blev han så vettskrämd, och det egentligen med all rätt, att det kejserliga gardets soldater fick dra fram honom från bakom en gardin. Claudius motvilliga och lätt dråpliga trontillträde har utgjort material för många historier genom åren. Den här tavlan målades av Sir Lawrence Alma Tadema, som förfärdigade flera målningar på ämnet.

Kanske var det på grund av den utbredda okunnigheten och den romerska underklassens förakt för vetenskapliga förklaringar som kunskapen om solförmörkelsernas förutsägbarhet så gott som dog ut i och med det romerska rikets fall. Almagest själv överlevde folkvandringstiden enbart tack vare att den översattes till arabiska – något som märks inte minst i dess namn. Ptolemaios själv gav sin bok den grekiska titeln Μαθηματικὴ Σύνταξις, Mathematike Syntaxis, eller på svenska ungefär ”Matematiska avhandlingar”. Efterhand som boken vann allt större erkännande bland astronomerna började man benämna den enbart ”Den stora avhandlingen”, eller helt enkelt ”Den största”, på grekiska Μεγίστη, Megíste – något som i den arabiska översättningen blev ungefär Al-majisti. När den sedermera översattes tillbaka till latin, fastställdes titeln till Almagest.

Astronomerna under den islamska guldåldern var på inget sätt passiva mottagare, utan vidareutvecklade och förfinade tabellerna i Almagest, liksom byggde på med ny kunskap. Men eftersom ingen antik kopia bevarats har vi svårt att avgöra vad de tillförde och vad som fanns från början. Det är därför närmast felaktigt att se Almagest enbart som Ptolemaios verk, för i själva verket formades den nog lika mycket av efterföljande vetenskapsmän, men som oftast förblivit anonyma. Till undantagen får vi räkna al-Khwarazmi, vars namn bland annat bevarats i vårt ord "algoritm" och som utvecklade nydanande beräkningsmetoder som gjorde de astronomiska beräkningarna noggrannare, Muhammad al-Battani, som förbättrade Ptolemaios beräkningar, och Ibn Junus, som kombinerade de nyvunna framstegen inom trigonometri med egna observationer för att göra nya, bättre tabeller över sol- och månförmörkelser.

Muqattamhöjderna utanför Kairo var under 1000-talet hem åt kalifen al-Hakami, från vars residens Ibn Junus genomförde sina observationer. Men bara något århundrade efter astronomens död störtades fatimiddynastin av erövraren Saladin, som lät uppföra nya befästningsverk runt Kairo – kronan på verket blev ett stort citadell på Muqattamhöjderna. Det imponerande byggnadsverket avbildades på detta vis av L. C. Tiffany år 1872, och står fortfarande att beskåda.

En total solförmörkelse över Västeuropa, nedtecknad i England och Tyskland, den andre augusti år 1133, skulle visa hur lite av de romerska och islamska astronomernas och matematikernas framsteg som hade nått de bredare lagren av befolkningen. Fortfarande var allmänhetens bild av solförmörkelser, som ett ont omen, inte särskilt olik den som vi känner från Romarrikets invånare, och i båda länderna var man snabb att finna förklaringar till just vad det var för ont som nu hade befallt dem.

För engelsmännen föreföll förklaringen ganska enkel. Dagen före solförmörkelsen hade kung Henrik I avseglat mot Normandie, som då var en engelsk provins på det franska fastlandet – solförmörkelsen betydde tvivelsutan att kungen skulle dö! I den anglosaxiska krönikan kan man läsa, hur engelsmännen "were very much astonished and terrified, and said that a great event should come hereafter". Och till försäkran för alla de vidskepliga föll det sig också på det sättet: Kungen skulle aldrig komma tillbaka till de brittiska öarna.

The day after the thirty-second year of his reign was completed, Henry, on the nones of August, [...] set sail for Normandy. This was the last, the fatal voyage of his reign. [... O]n the fourth day of the week, the elements manifested their sorrow at this great man's last departure. For the sun on that day, at the sixth hour, shrouded his glorious face, as the poets say, in hideous darkness, agitating the hearts of men by an eclipse: and on the sixth day of the week, early in the morning, there was so great an earthquake, that the ground appeared absolutely to sink down [...] During the eclipse I saw stars around the sun: and, at the time of the earthquake, the wall of the house in which I was sitting was lifted up by two shocks, and settled again with a third. The king, therefore, continued in Normandy for the space of three whole years [... until] the kalends of December, on which night he died.” - William of Malmesbury (översättning från latin av J.A. Giles)

Det här inlägget är det första i en serie av två inlägg om matematikens nära samband med astronomins och solförmörkelsernas historia – om förutsägelser och om observationer. Det andra inlägget hittar du här.

Daniel Bernoulli, S:t Petersburglotteriet och vikten av en plats i Basel

Daniel Bernoullis väg till matematiken var allt annat än rak. Född i Groningen i Nederländerna år 1700 endast åtta dagar in på det nya seklet, tillhörde han en av Europas mest framstående matematikersläkter. Hans far, Johann Bernoulli, var professor i matematik vid universitetet i Groningen, men bestämde sig tidigt för att hans son inte skulle välja matematikens bana – liksom hans egen far en gång hävdat, menade nu Johann Bernoulli att det helt enkelt inte fanns någon försörjning i matematiken. Redan vid 13 års ålder skickades Daniel istället till Schweiz för att studera filosofi och logik.

Studierna gick lysande, och sin fritid ägnade den unge filosofistudenten åt att lära sig mer om två helt nya fält inom matematiken: integral- och differentialkalkyl. Tre år senare återvände han med en examen hem till Groningen. Fadern ville nu sätta honom som lärling hos en handelsman, med förhoppningen att Daniel en gång skulle kunna försörja familjen. Men Daniel Bernoulli tvärvägrade. Hans far fick ge med sig, och de båda kom överens om att Daniel skulle återvända till universitetet i Basel, den här gången för att studera medicin, i utbyte mot att fadern introducerade honom till sitt eget arbete på kinetisk energi. När Daniel 1720 tog sin examen – den här gången i anatomi och botanik – var det efter att ha gjort ett arbete där han applicerade differentialkalkylen på lungornas arbete.

Efter att två gånger ha misslyckats med att få en professur vid universitetet i Basel gav sig Daniel Bernoulli av till Venedig. Väl i Venedig blev han dessvärre sjuk, och kunde inte fortsätta sina medicinstudier som han hade tänkt. Istället ägnade han tiden åt matematik, och det var här som hans intresse för sannolikhetslära väcktes. Sannolikhetsläran var ytterligare ett av dåtidens mest hett debatterade fält inom matematikens område: Bara femtio år tidigare hade Blaise Pascal och Pierre de Fermat upptäckt hur man matematiskt kunde beräkna sannolikheten för ett slumpmässigt utfall. Efter sin vistelse i Venedig kunde Daniel Bernoulli publicera sin första bok, som innehöll ett antal snillrika såväl matematiska som tekniska lösningar. Boken vann honom både Parisakademins matematikpris och – slutligen – en professur i matematik, vid S:t Petersburgs nygrundade vetenskapsakademi, tillsammans med sin bror Nicolaus Bernoulli.

S:t Petersburg vid floden Nevas utlopp grundades av tsar Peter den store under 1700-talets första årtionde för att bli tsardömets nya huvudstad, dess port mot västerhaven och en ny europeisk storstad. I staden byggdes flera storslagna byggnader i europeisk stil; exempelvis inleddes bygget av det berömda Katarinapalatset, som ses på bilden ovan, redan 1717. Peter den store grundade även stadens vetenskapsakademi år 1724, bara ett år innan bröderna Bernoulli anlände. Foto: Alex Florstein, CC-BY-SA 3.0

Det lär vara just Nicolaus som först kom på det problem som sedermera kommit att bli känt som S:t Petersburgparadoxen: Antag att ett kasino erbjuder ett enkelt spel, som går ut på att singla en slant. Varje gång det kommer upp en krona så dubbleras vinsten, men kommer det istället upp en klave avslutas spelet och vinsten betalas ut. Vid vilken insats är det lönsamt att delta i spelet? Vad borde den rationelle spelaren vara beredd att betala för att spela?

Låt oss först titta på några exempel. Spelet börjar med en potentiell vinst på en krona (d.v.s. 2⁰ kronor). Slanten singlas, och visar en krona – vinsten dubbleras och blir två kronor (2¹ kronor). Ytterligare en gång kommer en krona upp – vinsten stiger till fyra kronor (2²) kronor) – innan det slutligen kommer en klave, vinsten dubbleras en sista gång och de nu åtta kronorna (2³ kronor) delas ut. Få av oss skulle nog vilja betala särskilt mycket för att få delta. Om vi låter R symbolisera krona och L klave, kan vi skriva utfallet så här:

RRL	2·2·2 = 8 kr

Några andra möjliga utfall vore:

RL	2·2 = 4 kr
RRRRRL	2·2·2·2·2·2 = 64 kr
RRRRRRRRRL	2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 210 = 1024 kr

I de flesta fall är vinsten ganska låg, men å andra sidan drar den snabbt iväg. Skulle vi ha den ovanliga lyckan att få tjugo kronor på raken, ja, då skulle vinsten överstiga en miljon. Ge oss ytterligare tio kronor och vinsten går plötsligt över en miljard. Vinsten efter att ha fått upp krona 29 gånger och klave den trettionde är 2³⁰ kronor – men sannolikheten för att vi skall få upp så många kronor är bara en på 2³⁰ gånger. Och just där ligger paradoxens kärna: Vinsten stiger lika snabbt, som sannolikheten avtar.

Låt oss titta på sannolikheten och vinsten för de fem troligaste utfallen:

Utfall	Sannolikhet	Vinst	Nytta
L	0,5 (d.v.s. 50 procent)	21 = 2 kr	1 kr
RL	0,25	22 = 4 kr	1 kr
RRL	0,125	23 = 8 kr	1 kr
RRRL	0,0625	24 = 16 kr	1 kr
RRRRL	0,03125	25 = 32 kr	1 kr

Den fjärde kolumnen visar nyttan hos varje utfall, eller det som på engelska brukar benämnas utfallets utility. Nyttan beräknas för varje tänkbart utfall genom att multiplicera vinsten med sannolikheten för att uppnå den (det var just det som Blaise Pascal utnyttjade i sitt matematiska resonemang om nyttan med religion). Man brukar säga att hela spelets nytta är summan av alla enskilda utfalls nytta, eller kort sagt hur mycket man kan förvänta sig att i genomsnitt vinna, ifall man spelar spelet tillräckligt många gånger. I S:t Petersburgparadoxens fall är den sammanlagda nyttan oändligt – eller, i klarspråk: det är lönsamt att delta i spelet, oavsett vilken insats som krävs, för i det långa loppet kommer man alltid att vinna tillbaks den. Trots det är mycket få rationella spelare beredda att betala ens en insats på 100 kronor.

Här har tre fiktiva spelare (tant Grön, tant Brun och tant Gredelin) vardera fått spela tusen rundor i S:t Petersburglotteriet med hjälp av en datorsimulering. Kurvorna visar spelarnas genomsnittliga vinst (på y-axeln) fram till just det partiet (på x-axeln). Tant Brun leder starkt i början och har efter bara 150 partier en genomsnittlig vinst på nästan 20 kronor, medan tant Gredelin knappar in längsmed vägen – när alla partier spelats klart har hon vunnit i genomsnitt nästan 15 kronor per parti. Under alla tusen partierna kommer tant Grön aldrig upp i en genomsnittlig vinst på 10 kronor. Generellt kan man säga, att ju längre man spelar, desto högre kommer den genomsnittliga vinsten att bli.

Här har tant Grön, tant Brun och tant Gredelin fått spela ytterligare tusen rundor i S:t Petersburglotteriet, den här gången mot en insats på 10 kr per runda. Insatsen är visserligen låg, men det tar ändå över 700 rundor för tant Brun att som sista spelare uppnå en positiv nettovinst. Avbryts spelet efter 200 rundor kommer kasinot att ha gått med vinst gentemot alla tre spelarna. Men om spelet fortsätter oändligt länge, kommer alla spelare någon gång att ha gått med vinst, oavsett hur hög insats lotteriet väljer att ta ut. Bara för de 700 rundorna krävs dock någonstans omkring 1400 slantsinglingar per spelare – eller för de tre tanterna totalt nästan tolv timmars arbete, ifall varje slantsingling tar tio sekunder. Att uppnå lönsamhet i S:t Petersburglotteriet är alltså något som tar rejält med tid.

Bara åtta månader efter att de båda bröderna anlänt till S:t Petersburg dog Nicolaus i feber. Daniel Bernoulli bestämde sig för att publicera broderns arbete på S:t Petersburgparadoxen i vetenskapsakademiens egen tidsskrift; han bifogade till och med Nicolaus egen beskrivning av problemet. Nicolaus hade löst paradoxen genom att mena att människor helt bortser från möjligheter som är så osannolika, att de sker endast en på tio tusen gånger. I en mycket holländsk jämförelse konstaterade han att nederländarna uppenbarligen kände sig trygga bakom sina fördämningar, trots att dessa med just en tiotusendels sannolikhet brast. Det mänskliga psyket bortser helt enkelt från så osannolika händelser, eftersom de praktiskt taget aldrig inträffar, och det, menade Nicolaus, skulle vara hela förklaringen till att så få skulle vara beredda att spela mot en stor insats, trots att matematiken visar att det i slutändan vore lönsamt.

Till Nicolaus problembeskrivning och lösning tillförde Daniel en annan lösning: Tänk om nyttan inte är konstant – en enda krona kanske inte tillför lika mycket, när man vet att man redan har vunnit en miljard. Daniel Bernoulli menade istället att lyckan var logaritmisk – att nyttan av att ha vunnit en extra krona inte var direkt kopplad till krontalet, utan till logaritmen av det. Nyttan skulle således beräknas som logaritmen av penningvinsten gånger sannolikheten, istället för bara penningvinsten gånger sannolikheten. Tabellen ovan skulle då få ett lite annorlunda utseende:

Utfall	Sannolikhet	Vinst	Nytta
L	0,5 (d.v.s. 50 procent)	21 = 2 kr	0,1505
RL	0,25	22 = 4 kr	0,1505
RRL	0,125	23 = 8 kr	0,1128
RRRL	0,0625	24 = 16 kr	0,0752
RRRRL	0,03125	25 = 32 kr	0,0470

Nu, äntligen, är nyttan konvergent! Det betyder att vi kan beräkna spelets totala nytta trots att antalet möjliga utfall är oändligt, och komma fram till att den rationelle spelaren är beredd att betala högst fyra kronor per runda för att delta. I den ursprungliga versionen vägde Daniel Bernoulli dessutom in spelarens tidigare förmögenhet. Tanken att ett sannolikhetsspel kunde ha olika värde för olika personer, och rent av vara lönsamt för båda parter, låg i tiden – det tidiga 1700-talet var, när allting kommer omkring, faktiskt försäkringsbolagens födelseepok. Många har dock kritiserat Daniel Bernoullis lösning för att vara ogrundad: Vad säger egentligen att nyttan med pengar skulle följa just en logaritmisk kurva? Dessutom ger Daniel Bernoullis lösningsmetod en i mångas tycke alltför låg siffra. Kanske finns det andra kurvor, som bättre svarar mot hur vi människor värderar pengar. För övrigt är det lätt att anpassa paradoxen, så att nyttan återigen blir divergent.

Hur det än förhåller sig med den saken, kvarstår det faktum att S:t Petersburglotteriet är en matematisk paradox: För den som har oändligt mycket tid och oändligt lite att ägna den åt är S:t Petersburglotteriet definitivt vägen till oändlig rikedom – oavsett insats. Robert Martin jämför S:t Petersburglotteriet med en penningmaskin. På maskinens tangentbord behöver man bara knappa in en valfri siffra, vilken som helst, för att maskinen skall trycka ut den mängden kronor – ungefär som en bankomat utan koppling till ett konto. Få skulle bry sig om maskinens pris, givet att betalningen kan skjutas upp till efter leverans. Penningmaskinen och S:t Petersburglotteriet är egentligen samma sak, förutom att en motsvarande stor vinst i S:t Petersburglotteriet endast kommer med en mycket liten sannolikhet. Men får man spela oändligt många gånger, kommer vinsterna till slut också att bli oändliga, oavsett vilken insats kasinot kräver för att man skall få delta.

Daniel Bernoulli fick till slut sin professur vid Basels universitet. Innan dess hade han lämnat in totalt tre olika ansökningar, men alla gånger avslagits vid den sista omgångens lottning om platsen. Inte undra på att sannolikheter kom att intressera den unge matematikern.

Daniel Bernoulli lämnade S:t Petersburg tillsammans med sin yngre bror Johann Bernoulli år 1733. Kanske var det just tack vare det ogästvänliga klimatet och staden han aldrig trivdes i, som gjorde att tiden i Ryssland enligt vissa bedömare blev hans allra mest produktiva tid. Året efter tillträdde han slutligen en professur i botanik vid Basels universitet.

Två vänner i Paris: Chevalier de Méré, Pascal och sannolikhetslärans födelse

Hasardspel – ett ord vars ursprung av vissa sökts i arabiskans zar, tärning – har människan känt till länge, men sällan har de vunnit så mycket aktning, som när de tog plats i 1500-talets finsalonger. För oss som kommit att tänka på upplysningstiden – hasardspelets födelseepok – som en tid av rent förnuft och vetenskapens genombrott är det kanhända ovant att samtidigt föreställa sig upplysningstiden som en tid av hängivelse till chansen, till risken och till hasardspelet. Eduard Swobodas målning från åren kring 1800-talets mitt fångar känslan i hasardspelets tjusning.

Det är kanske en av matematikhistoriens ironier, att just den gren av matematiken som kommit att spela den kanske viktigaste rollen i bygget av vårt eget tidevarvs världsbild – i allt från kvantfysik och relativitet till kaos- och spelteori – växte fram ur upplysningstidens hejdlösa fascination för hasardspel, för sannolikhetsläran har ingen mindre än fransmannen Antoine Gombaud att tacka för sin existens. Gombaud, som av eftervärlden möjligtvis borde vara ihågkommen som poet och författare, är numer förmodligen mest berömd för den fascination för tärningsspel, som han delade med så många av sina samtida. Och så, förstås, att han var vän till den berömde matematikern Blaise Pascal.

Det var under en vandring i de låglänta, natursköna områdena i Poitou som Antoine Gombaud och Blaise Pascal lärde känna varandra. Deras samtal skulle sedermera utvecklas till en vänskap som revolutionerade matematiken. Vem vet – kanske var det just här, nära Arçais, som de gick. Foto: Wikipediaanvändare Ji-Elle, CC-BY-SA 3.0

Det var år 1651 eller 1652 som Antoine Gombaud lärde känna det unga matematikgeniet Blaise Pascal under ett strövtåg i Poitou, som de båda kom att företa tillsammans med hertigen av Roannez. Sin motvilja mot matematiker till trots – de var i likhet med historikerna och språkvetarna, menade Gombaud, tröttsamma att tala med, rent av oförmögna att samtala om de normalaste av saker, och saknade därtill vanligtvis både vett och smak – fick Gombaud erkänna, att Pascal så fort han lärt känna sina färdkamrater visade sig vara en mycket vänlig och underhållande man. Pascal och Gombaud utvecklade en långvarig vänskap. Gombaud, som var författare till yrket och därvid inte heller helt saknade framgång, kunde hjälpa Pascal med hans publikationer, och fick i utbyte hjälp i sina matematiska resonemang.

Gombaud – även känd under sitt självpåtagna adelsnamn Chevalier de Méré – var nämligen amatörmatematiker med ett speciellt intresse för tärningsspel. Hans resonemang gällde i synnerhet två spel, som i olika versioner varit populära alltsedan medeltiden: Ett där man skulle kasta en tärning och satsa på huruvida man fick upp en sexa på fyra kast, samt ett där man skulle kasta två tärningar och satsa på huruvida man fick upp en dubbel-sexa på tjugofyra kast.

Tärningarna, av den katalanske konstnären Simó Gómez Polo, visar hur det kan ha sett ut när Gombaud och hans kamrater träffades för att spela tärning.

Exakt hur Gombaud resonerade råder det delade meningar om. Den kanske troligaste versionen lyder att Gombaud, liksom de flesta av sina samtida, var av den åsikten att spelaren hade lika stor chans att vinna i båda spelen. För att räkna ut det åberopade han en mycket gammal formel, som bland andra Girolamo Cardano använt. Formeln angav hur många gånger man var tvungen att upprepa ett försök, för att oddsen för och emot att man skulle lyckas åtminstone en gång skulle var lika stora. Detta antal, de så kallade kritiska upprepningarna, beräknades genom att multiplicera den naturliga logaritmen av två med antalet gånger, på vilka försöket borde lyckas en gång. Om vi betecknar detta antal med n, och antalet kritiska upprepningar med U₅₀, skulle formeln kunna uttryckas i modern notation på följande sätt:

I Gombauds fall gav formeln att en tärning, som ju hamnar rätt i en sjättedel av fallen och därmed har n=6, ger ett odds på fyra (eftersom logaritmen av två är ungefär 0,7). Följaktligen skulle den som satsar på att inte få upp någon sexa på fyra slag ha lika stor chans att vinna som den som satsar på att inte få se någon sexa alls. Får man slå fler än fyra slag, lönar det sig att satsa på att det kommer upp en sexa; gäller det istället färre än fyra slag, är det mest troligt att sexorna lyser med sin frånvaro. Regeln var alltså alldeles excellent för vad Gombaud tänkte använda den till.

Problemet uppstod när Gombaud betraktade spelet med två tärningar. Först resonerade han enligt en annan, mycket gammal sannolikhetsprincip, nämligen att det kritiska antalet upprepningar för två olika spel, förhåller sig på samma sätt mot varandra, som antalet möjliga, likvärdiga utfall. I moderna termer sa den här principen alltså att kvoten av U₅₀ och n skulle vara lika stor för båda spelen, något som lätt kan härledas från den första formeln. Utgående ifrån denna princip menade Gombaud, att eftersom sex rundor med en tärning motsvaras av trettiosex med två tärningar, borde fyra rundor för jämn vinstchans med en tärning innebära tjugofyra med två. Formeln svarade istället tjugofem. Världen gick inte under, men Gombaud utropade att aritmetiken trotsade sig själv och skrev ett brev till sin vän matematikern – Blaise Pascal.

Blaise Pascal var en sjuklig men genial ung matematiker, som år 1623 föddes som son till en skatteindrivare i staden Clermont-Ferrand i mitten av Frankrike.

Pascal kände säkert till det som Gombaud inte insåg: att de Moivres formel bygger på en approximation, om än en mycket god sådan – nämligen att . Vid höga n är approximationen i princip oskiljbar från verkligheten, så för kast med två tärningar, där antalet möjliga utfall är 36, fungerar formeln utmärkt. Men vid lägre värden på n, som t.ex. sex, står formeln på betydligt mer ostadig grund. Approximationen var däremot matematiskt oundviklig, för ännu var exakta sannolikheter något som bara få kunde beräkna. Tidigare namnkunniga matematiker som utforskat och skrivit böcker om sannolikhetslära, som Gerolamo Cardano och Galileo Galilei, hade alla fått nöja sig med approximationer, uppskattningar och tabeller.

Som många andra matematiska frågor, redogjorde Pascal för problemet för sin vän juristen Pierre de Fermat. I ett brev avsänt den 29 juli 1654 beskriver han Gombauds resonemang:

Han berättade för mig att siffrorna var felaktiga av följande anledning: Om man vill få upp en sexa med en tärning har man en fördel på fyra kast, eftersom oddsen är 671 mot 625. Om man skall kasta två sexor med två tärningar har man en nackdel på 24 kast, trots att 24 förhåller sig till 36 (antalet utfall på två tärningar) på samma sätt som fyra förhåller sig till sex (antalet utfall på en tärning).” – Blaise Pascal

Fermat och Pascals långvariga brevväxling och vänskap hör säkerligen till en av matematikens mest givande. Sin början tog brevkonversationen faktiskt i en annan av Gombauds frågor, den gången rörande det berömda delningsproblemet. Problemets ursprung kan sökas i matematiska gåtor som först formulerades av medeltida muslimska matematiker, men till Europa kom det först någon gång strax före 1380. Därefter togs det förgäves togs upp av flera briljanta italienska matematiker, som munken Luca Pacioli, främst känd för att ha uppfunnit den dubbla bokföringen, liksom ärkefienderna Cardano och Niccolò Tartaglia i renässansens Italien.

Kärnan i delningsproblemet är ett spel som inte kan avslutas, utan där prispengarna istället i förtid skall fördelas på ett rättvist sätt. En version, som står att finna i en matematikbok utgiven år 1602 av Lorenzo Forestani da Pescia, handlar om en gammal man, som uppskattar bollspel men själv inte längre kan spela. Istället kallar han till sig två arbetare vid gården och ger dem fyra dukater att spela om – den som först når åtta vinster skall få pengarna. Men efter nio matcher, då det står 6-3, försvinner bollen och de tvingas sluta. Den gamle mannen är ändå nöjd, så han ger de båda spelarna pengarna och uppmanar dem att (rättvist) dela upp dem emellan sig. Frågan är: Hur då?

I sin bok Summa från 1494 presenterade benediktinermunken Luca Pacioli bland annat sin lösning till delningsproblemet. Han menade att prispengarna skulle delas upp utefter ställningen då spelet avslutas – i bollspelet ovan skulle det blivit en tredjedel av dukaterna till den ene och två tredjedelar till den andre. Men Paciolis lösnings mötte kraftigt motstånd – inte minst för dess skeva utfall om spelet avbröts när endast en eller några få poäng hunnit utdelas. På denna berömda tavla från 1495 ses han tillsammans med Euklides geometri och sin egen bok inbunden i röd pärm i nedre högra hörnet. Den unge mannens identitet är dessvärre okänd – och naturligtvis hett omdebatterad.

Pascals resonemang var banbrytande och radikalt annorlunda än alla tidigare – istället för att som Pacioli utgå ifrån de poäng som redan delats ut, ville Pascal dela prispengarna efter sannolikheten hos olika förväntade utgångar. Med andra ord föredrog Pascal framtidens ovisshet före det redan kända. Lösningen var inte intuitiv och för att utveckla den hade Pascal tvingats härleda banbrytande matematiska principer.

Efter att ha fått svidande kritik från andra matematiker i Paris, sökte Pascal därför efter någon annan som kunde och ville diskutera hans tankegångar. Det var genom sin bekantskap med matematikern tillika kunglige bibliotikarien Pierre de Carcavi som han då kom han i kontakt med juristen Pierre de Fermat, bosatt och verksam i Toulouse. Fermat, som hade känt Pascals far, var inte ovillig att inleda en brevväxling med den unge och briljante Blaise. Dessutom förde det honom närmare både den matematiska kretsen i Paris, och underlättade när han skulle publicera sina böcker.

Fermat var inte det minsta främmande för Pascals resonemang; han hade rent av parallellt utvecklat liknande tankebanor. Brevväxlingen varade genom hela sommaren och in på hösten 1654. Pascals och Fermats idé var grundläggande lika varandra – men radikalt olika deras föregångares. Istället för att betrakta de poäng som redan delats ut, ville de fokusera på de poäng som var kvar att fördela. Genom att föreställa sig alla möjliga utfall och bestämma sannolikheten för dem fördelade de prispengarna efter det i genomsnitt mest troliga utfallet. I Forestanis bollspel, som vi får anta avgörs fullständigt av turen, hade det inneburit följande 64 tänkbara och lika sannolika framtider:

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

A

A

A

A

B

A

A

A

A

A

B

B

A

A

A

B

A

A

A

A

A

B

A

B

A

A

A

B

B

A

A

A

A

B

B

B

A

A

B

A

A

A

A

A

B

A

A

B

A

A

B

A

B

A

A

A

B

A

B

B

A

A

B

B

A

A

A

A

B

B

A

B

A

A

B

B

B

A

A

A

B

B

B

B

A

B

A

A

A

A

A

B

A

A

A

B

A

B

A

A

B

A

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

A

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

A

A

B

A

B

B

B

A

B

B

A

A

A

A

B

B

A

A

B

A

B

B

A

B

A

A

B

B

A

B

B

A

B

B

B

A

A

A

B

B

B

A

B

A

B

B

B

B

A

A

B

B

B

B

B

B

A

A

A

A

A

B

A

A

A

A

B

B

A

A

A

B

A

B

A

A

A

B

B

B

A

A

B

A

A

B

A

A

B

A

B

B

A

A

B

B

A

B

A

A

B

B

B

B

A

B

A

A

A

B

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

B

A

B

B

A

A

B

A

B

B

A

B

B

A

B

B

B

A

B

A

B

B

B

B

B

B

A

A

A

A

B

B

A

A

A

B

B

B

A

A

B

A

B

B

A

A

B

B

B

B

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

B

B

B

A

A

A

B

B

B

A

A

B

B

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

B

B

B

B

B

A

A

B

B

B

B

A

B

B

B

B

B

B

A

B

B

B

B

B

B

När spelet avbryts och ställningen är 6-3, har spelaren i underläge (vars vinster i diagrammet ovan symboliserats med B) knappt 11 procents chans att vinna, eftersom vinsten tillfaller honom i endast sju av Pascals 64 tänkbara framtider. Spelaren i överläge (symboliserad med A) vinner i de resterande 57 tänkbara framtiderna och har således en vinstchans på lite drygt 89 procent.

Pascals och Fermats fördelning av prispengarna är mycket mer radikal än deras föregångares, något som också säger en del om det mänskliga psyket – det är nog få som i den underlägsne spelarens plats skulle uppleva att de endast har tio procent chans att vinna. Är det måhända det som Pascal, i form av en skulptur utförd av Augustin Pajou, sitter och funderar på, numera i en vinge av Louvren?

Sent på kvällen den 29 november 1654 genomgick Pascal sitt livs mest omvälvande upplevelse. I något som moderna tråkmånsar försökt bortförklara som ett migränanfall såg Pascal en uppenbarelse från Gud – "eld, Abrahams Gud, Isaacs Gud, men varken filosofernas eller vetenskapsmännens", som han skrev. Pascals omvändelse hade en stark påverkan på hans gärning. Efter att under nästan ett års tid – alltsedan han först lärde känna Gombaud – ha studerat hasardspelens matematik, vände sig Pascal till teologin och religionen. Liksom sina systrar anslöt han sig till den jansenistiska gruppen, där både chansspel och vetenskap ansågs som syndiga, som tomma illusioner och undanflykter från livets verkliga syfte.

Den jansenistiska rörelsen var en katolsk strömning som utgick från Cornelius Jansens läror, som började vinna spridning främst i Frankrike under åren kring 1640. Pascals familj var nära knuten till den jansenistiska rörelsen, och till Blaises bedrövelse beslöt hans syster att gå i kloster efter faderns död. På grund av sin avvikande teologi kom jansenisterna i ökande grad på kant med den katolska kyrkan, något som slutade med att rörelsen upplöstes med våld i början av 1700-talet. Här ses hur de jansenistiska nunnorna i klostret i Port-Royal-des-Champs förs bort år 1709.

Fram till slutet av sin levnad fortsatte Pascal att samla sina tankar i skrift. Efter hans död år 1662, endast 39 år gammal, utgavs de i samlad form som en bok, Les Pensées, eller på svenska ungefär Tankar. I not 23 presenterar Pascal ett av bokens mest välkända resonemang, i form av en dialog mellan honom själv och den icke-religiöse vännen Antoine Gombaud. Resonemanget är knappast varken matematiskt eller teologiskt, men väl en god illustration av hur Pascal bar med sig sin känsla för sannolikheter i teologin – och en god anekdot.

Pascal menar att värdet på ett spel, anledningen att överhuvudtaget delta, kan bestämmas genom att multiplicera den möjliga vinsten med sannolikheten att vinna den, på samma sätt som spelets risker kan uppskattas genom att multiplicera sannolikheten att förlora med värdet som i så fall skulle gå förlorat. Utifrån det presenterar Pascal sin tes, känd som Le pari, eller på svenska ungefär Vadet. Vadet ifråga gäller huruvida man skall leva som om Gud existerar – som Pascal efter hans omvändelse – eller som om Gud inte existerar – som Gombaud gjorde. Vadet är således ett spel, där spelet i sig står på spel.

Pascals slutsats är att oavsett hur liten man tror att sannolikheten är för att Gud verkligen existerar, så bör man leva som att han gör det, eftersom vinsten – evigt liv och evig lycka efter döden – är oändligt stor. Att inte tvingas leva efter religionens strikta bud må också vara en vinst, men eftersom den är begränsad både i tid och i rum, bleknar den i jämförelse med den oändliga vinst som är möjlig ifall Gud faktiskt existerar. Till slut tvingas även Gombaud motvilligt att ge med sig.

Monsieur Pascals tankar kring religion och andra ämnen vann god spridning och trycktes i flera utgåvor. Boken ansågs betydelsefull både för sitt innehåll och sitt språkliga värde.

Även efter sin omvändelse upprätthöll Pascal en viss kontakt med Gombaud. Även Gombaud var intresserad av spelets matematik, men som Pascal uttryckte det: "Han är en kvicktänkt karl, men ingen matematiker." Och Gombaud märkte att han hölls utanför Pascals och de andra matematikernas seriösa resonemang. Trots att det var han som en gång väckt diskussionen, var det ingen som tänkte på honom när matematikens världskarta ritades om. I ett brev till Pascal, som själv brukade lägga stor vikt vid att poängtera vad som varit hans insats, uppmärksammade Gombaud sin vän på hur mycket av hans resonemang som berodde på Gombaud. Men för det brevet vann han inget, förutom hovfolkets spe – som sade, att här var den som trodde sig "kunna lära Madame de Maintenon etikett och Pascal matematik" – och Leibniz skratt. Nej, Antoine Gombaud, le Chevalier de Méré, har förblivit en anekdotisk figur i matematikens utkanter.

Del 2: Skrivkonst och matematik i Inkarikets tidevarv

Det här inlägget är det sista i en serie om två inlägg om inkafolkets quipus. Det första inlägget hittar du här.

På den här quipun syns tydligt de rader, som separerade knutar med entals-, tiotals- och hundratalsbetydelse. Knutarna på den nedersta raden betydde ental, nästa rad tiotal och den (på den här quipun) översta raden hundratal. Man har hittat quipus med upp till sex rader av knutar. Just den här quipun residerar idag på Museum für Völkerkunde i Berlin. En sammanställning av bilder på intressanta quipus har gjorts av Harvard University inom ramen för Khipu Database Project, vars hemsida återfinns här.

Det under lång tid dominerande sättet att utläsa quipus – som tabeller av siffror utan vare sig rubriker eller förklarande text – växte fram ur den engelske arkeologen L. Leyland Lockes banbrytande arbete i början av 1920-talet. Locke insåg att knutarna på quipus hade olika numeriskt värde, beroende på hur högt på tråden de satt. Quipus var alltså ett slags positionssystem! Knutar som satt längst ut från huvudsnöret räknades som ental. Nästa grupp in mot huvudsnöret representerade tiotal, och så vidare.

En schematisk skiss över hur Locke uttolkade quipus visar de olika nivåerna på knutar och vilka värden det ger till trådarna. En quipu byggde på ett huvudsnöre, på vilket sidotrådar knöts. Sidotrådarna kunde fästas på huvudsnöret på flera olika sätt och t.o.m. ha egna sidotrådar. Vilken ände av huvudsnöret som representerade början markerades med en stor knut. En lättillgänglig beskrivning av hur knutarna på quipus kan ha utlästs ges av Marcia och Robert Ascher i boken Code of the Quipu.

Som senare quipu-forskare poängterat utelämnar Locke mycket av den information, som bevisligen lagrades in i quipus på andra sätt än med rader av knutar. En viktig del i arbetet med att framställa en quipu var att kombinera olikfärgat garn till trådar med en lång rad olika färger och strukturer. Locke lämnar ingen förklaring till varför det skulle vara så viktigt och beskriver inte heller de många olika sorters knutar, som quipucamayocs använde sig av. Idag tror man att de olika färgerna användes för att särskilja olika varor eller olika slags information.

Lockes tolkning, att quipus uteslutande var numeriska, eller rent av ett slags statistik, förblev den förhärskande bilden av quipus fram till ungefär 1970-talet, men utgör än idag grundbulten i vår kunskap om quipus. Gradvis har vår förståelse av quipus utvidgats, och vi vet idag att de inte enbart användes för att bevara och överföra statistik. Kanske hade de rent av litterära kvaliteter, för även om man ännu inte lyckats utläsa någon hel quipu från Inkarikets tid, har somliga försökt matcha mönstret av knutar mot de versmått som används i dikter på quechua, Inkarikets administrativa språk såväl som inkafolkets språk än idag.

En annan kritik mot Lockes uttolkning är att många quipus skickades långväga över det vidsträckta riket och förvarades långa tider i arkiv, ofta både lokalt och vid det kejserliga hovet i Cuzco. Hur skulle en mottagande quipucamayoc kunna känna till knutarnas betydelse, ifall quipun inte innehöll mer information än bara siffror? I ögonvittnesskildingar från inkatiden kan man till och med hitta beskrivningar av hur en quipucamayoc under en ny Inkakejsares kröning läste upp alla den föregående kejsarens dåd och förtjänster utifrån arkiverade quipus. Mycket tyder alltså på att en quipu kunde innehålla mer information än bara siffror.

Under utgrävningar av ruinstaden Puruchuco nära Lima hittades ett lerkärl med tjugoen quipus, till synes nedgrävt i vad som förefaller ha varit en quipucamayocs verkstad. De tjugoen quipus har därefter kommit att erbjuda en viktig ledtråd till hur enskilda quipus relaterade till varandra, hur de hängde samman och tillsammans skapade ett meningsfullt nätverk av information.

Ruinstaden Puruchuco, numera omringad av den växande mångmiljonstaden Lima, fungerade under Inkarikets tid som ett viktigt administrativt centrum. Till komplexet hörde bland annat en quipucamayocs verkstad. I verkstadens golv hittades ett lerkärl med tjugoen quipus nedgrävt. Foto: Harley Calvert, CC-BY-SA 3.0

Med hjälp av en dataanalys av quipurna från Puruchuco upptäckte Gary Urton och Carrie J. Brezine att åtminstone fem av de quipus som hittades i Puruchuco tillsammans bildar ett slags bokföringshierarki, där flera detaljerade quipus successivt sammanställs i allt mer övergripande nivåer. Varje nivå fanns åtminstone i två exemplar, vilket tyder på att det ena skulle skickas iväg, antagligen till hovet i Cuzco, och det andra behållas lokalt som referens. De mest detaljerade quipus, det Urton och Brezine betecknar nivå I, kännetecknas av en sekvens av fyra färger som upprepas flera gånger. Färgerna går igen i quipus på nästa nivå, där flera av värdena med samma färg på nivå I summeras. På samma sätt sammanställs quipus på nivå II till quipus på nivå III. Både siffror och färger stämmer mycket väl överens mellan de tre nivåerna.

De båda övre nivåernas quipu innehåller ett inledande stycke på ungefär tolv trådar med tre typiska 8-formiga knutar. Denna konstellation av knutar skulle enligt Urton och Brezine kunna vara ett slags knut-namn på Puruchuco, så att de quipucamayocs som tog emot och arkiverade quipus i Cuzco skulle veta varifrån just dessa quipus kom. Quipus på nivå I saknar sådan märkning, kanske för att de inte var avsedda att transporteras någonstans. Kanske hade de redan sänts in till Puruchuco från någon mindre kringliggande by och bar därför den byns, för oss okända märkning.

Denna färgglada quipu visar vilken värdefull informationskälla trådarnas färger skulle kunna vara. Även om vi inte känner till deras exakta betydelse, vet vi numera att de spelade en viktig roll när en quipu lästes ut. Fortfarande tvistar de lärde om färgerna var standardiserade, så att en viss färg betydde samma sak för alla quipucamayocs, eller om varje quipucamayoc hade sin egen uppsättning betydelser och färger. Även om det saknas bevis, verkar ju det faktum att quipus skickades mellan Inkarikets städer tyda på det förstnämnda. Foto: Wikipediaanvändare Lyndsaruell, CC-BY-SA 3.0 

Under årtiondena efter den spanska erövringen av Inkariket var det flera författare, med indianskt såväl som spanskt eller blandat påbrå, som försökte nedteckna de vanor och traditioner som hade hört Inkarikets tidevarv till. Medvetna om att kulturen stod inför dramatiska förändringar ville de sammanfatta det viktigaste från tiden innan spanjorernas ankomst, i form memoarer, historier och reseskildringar. Dessvärre lämnade ingen av dessa författare någon heltäckande beskrivning av hur quipus fungerade. Inte heller verkar någon spanjor lyckats lära sig deras svåra konst, trots att de tvingades erkänna att Inkarikets bokföring var både effektiv och pålitlig. Och att kunskapen om hur det egentligen gick till inte spreds är kanske inte så märkligt – troligtvis var det en yrkeshemlighet som vaktades noga av de knutskriftslärda.

Quipus var välfungerande sätt att nedteckna data, tabeller och kanske även litterära berättelser och beskrivningar. De tvingar oss att omvärdera bilden av Inkariket som ett rike utan skriftspråk. För att göra sina beräkningar, använde inkafolket olika hjälpmedel i form av stenar, majskorn eller en speciell sorts kulramsliknande konstruktion, som kallades yupana (som kan ses längst ned till vänster i den här bilden från det föregående inlägget). Vi vet att astrologer vid inkahovet noga kunde bestämma datum för astronomiska händelser, som t.ex. när inkakejsaren reste till Solön i Titicacasjön för att tillsammans med aristokratin beskåda vår- och höstdagjämningen. För att kunna göra det, måste de ha haft någon slags trigonometrisk kunskap. Av den anledningen har vissa, ännu förgäves, försökt mönsterigenkänna viktiga tal, t.ex. π, som borde dyka upp i de quipus som förväntas beskriva de astronomiska beräkningarna.

Solön i Titicacasjön blev efter sitt införlivande i Inkariket en vallfärdsort dit det kejserliga hovet och aristokratin reste för högtidliga ritualer. Inkahovet förlitade sig på speciella astrologer och matematiker, som bestämde datum för de olika högtiderna. Säkerligen fördes dessa kalendrar med hjälp av en quipu, men eftersom ingen lyckats läsa ut någon quipus betydelse, vet vi inte vilken. Foto: Steve Bennett, CC-BY-SA 4.0

På grund av alla de historiens vagheter som omgärdar inkafolkets quipus är det kanske inte så märkligt, att "Hade Inkariket något skriftspråk?" är den mest fruktade frågan bland de som forskar om Inkarikets historia, eftersom frågan i all sin enkelhet saknar ett bra svar. Nej, inkafolket hade inget skriftspråk i västerländsk mening – tecken tryckta i lera eller ritade på pergament eller papper. Men ändå är det omisskännligen så, att Inkariket uppvisade en grad av komplexitet, organisation och struktur, kort sagt ordning, som vore helt omöjlig utan något slags skriftspråk. Utifrån fragmentarisk, ibland till och med förvirrad, förtegen eller fördomsfull vittnesbörd, framträder en bild av en kultur med litterär tradition och historieskrivning långt utöver vad conquistadorerna eller historikerna kunde föreställa sig.

Under loppet av de senaste decennierna har vår förståelse av Inkarikets quipus revolutionerats. Många quipus är visserligen tabeller av siffror och statistiska data, råmaterialet för att driva ett av världens stora imperier, men quipus har visat sig innehålla mycket mer. Under kröningsceremonin i Cuzco ingick att quipucamayoc läste upp den döde kejsarens stordåd, kontrakt och överenskommelser nedtecknades med knutarnas hjälp. Det är uppenbart att det ännu döljer sig många hemligheter i de trådarnas olika färger, knutarnas olika former och vävningen olika riktningar. Och återigen finns det gott hopp om att de ännu så länge tysta quipus en dag åter skall få tala.

Vissa quipus kunde bli mycket omfattande, om det var mycket information som skulle överföras. Siffror och kanske även text bäddades in i quipus med hjälp av egenskaper som knutarnas form och trådarnas färger. Vår förståelse för dem är dock ännu i sin linda – quipus väntar ännu på sin Champollion. Just den här quipun finns idag i Världskulturmuseets samlingar i Göteborg. Fler bilder på quipus finns på den här hemsidan. Foto: Gary Urton

Det här inlägget är det sista i en serie om två inlägg om inkafolkets quipus. Det första inlägget hittar du här.

Del 1: Inkafolkets quipus – matematikens trådar

När Inkariket stod på toppen av sin makt under decennierna före spanjorernas ankomst hade det mer än tio miljoner invånare, omfattade allt från djupa skogar till bergiga ökenlandskap och spände över ett bergsmassiv lika stort som Västeuropa. På bara tre århundraden hade inkafolket, ett litet folkslag från Cuzcodalen, underkuvat alla Andernas tidigare riken. När det var som störst sträckte sig Inkariket längsmed nästan hela Sydamerikas västkust – rikets nordspets skiljdes från dess sydspets av en sträcka på mer än 500 mil, lika långt som mellan Stockholm och Kairo.

Från norr till söder genomkorsades Inkariket av fyra tusen mil av stenlagda vägar, som ofta klängde sig fast mot branta bergväggar, löpte längsmed smala klippsprång och korsade vilda vattendrag över höga broar. De användes för militära transporter, men kanske fylldes deras viktigaste uppgift av de snabba chasquis, löpare som bar med sig quipus, trådmeddelanden, från rikets avlägsna delar. Dessa quipus, eller khipu på inkafolkets språk, kunde innehålla information om sådant som militära slag, tillståndet i provinserna eller skattskrivning.

Informationen som chasquis bar på var avgörande för att förvaltningen i huvudstaden Cuzco skulle veta vilka resurser som fanns i riket. Nyerövrade landområden mättes upp och deras resurser och invånarantal nedtecknades och arkiverades. Sådana räkningar genomfördes i hela Inkariket med mellan tre och fem års mellanrum. Den halvindianske författaren Garcilasco de la Vega berättar om hur betesmarker, berg och kullar, åkermarker, egendomar, gruvor för metall och salt, källor, floder, bomullsfält och flockar av både kött- och ullproducerande djur katalogiserades, dels för byar och dels för enskilda ägare. Slutligen sammanställdes en rapport över hela provinsen. Quipus var så avgörande för inkasamhället att spanjorerna tvingades tillåta deras användning, trots att de själva aldrig lärde sig förstå dem, långt efter att de erövrat och besegrat själva Inkariket.

Inkariket genomkorsades av stenlagda vägar, som användes för snabb kommunikation mellan rikets avlägsna delar. Utöver militära förflyttningar användes de av löpare, som snabbt kunde bära quipus in till huvudstaden. En del av vägnätet är så välbevarat, att det idag är öppet för vandringsturister. Foto: Wikipediaanvändare Pajaro, Public domain.

Närvaron av quipus i Inkarikets vardag fick den spanske conquistadoren Hernando Pizarro erfara år 1533, året efter den europeiska landstigningen. På sin väg upp längsmed inkavägarna mot de andinska högländerna levde han och hans soldater på den mat och de förnödenheter – bland annat ved, majs och chicha, ett slags majsöl – som de kunde hitta i Inkarikets livsmedelsförråd. För oss beskriver Pizarro hur de ansvariga indianerna knöt upp och knöt om knutar på sina quipus, allteftersom han eller hans män tog saker ur förråden, i något slags försök att bokföra den oväntade förlusten. Ironiskt nog kunde spanjorerna också observera hur de matförråd som de plundrat snabbt återfylldes med de saknade varorna från övriga riket.

Quipus författades på många platser i Inkariket – oftast var det byns äldsta invånare som bar ansvaret för att bokföra och katalogisera byns egendomar och produktion i form av quipus. Dessa quipus överlämnades sedan till speciella knutskriftslärda, quipucamayocs, som fanns i huvudstaden och i Inkarikets olika administrativa centra. Quipucamayocs sammanställde de enskilda byarnas quipus till en bokföring för hela provinsen. De officiella quipus verkar ofta ha tillverkats i flera kopior, så att de kunde förvaras både i provinsadministrationens och i det kejserliga hovets arkiv.

Den här teckningen av en quipucamayoc, knutskriftslärd, förfärdigades efter den spanska erövringen av den inhemske historikern och adelsmannen Guaman Poma. Quipucamayocs fanns både ute i provinserna och vid kejsarens hov i Cuzco, och hade den viktiga uppgiften att sammanställa och uttolka både de quipus som skickades kors och tvärs över riket och de mer okända, som verkar ha författats i matematiskt, astronomiskt eller rent av litterärt syfte. I nedre vänstra hörnet ses en inkaindiansk abakus, en så kallad yupana, som quipucamayocs använde för att göra sina beräkningar. I stor stil står TAVANTIN SUIO, inkafolkets eget namn på sitt rike, följt av det omisskänneliga QUIPO.

Quipucamayocs var utsända från huvudstaden, där de hade genomgått en utbildning i inkafolkets historia och quipu-tradition, så att alla officiella quipus skulle följa samma mall – för innan Inkarikets tid var en quipu sällan den andra lik. Inkariket sträckte över oräkneliga tidigare kulturer, som var och en hade utvecklat sin egen quipu-tradition. Genom sin explosionsartade utvidgning ärvde Inkariket denna mångfald av olika folkslags traditioner. Resenärer som reste genom Inkariket efter den spanska erövringen kan också berätta, att quipus både såg olika ut och utlästes på olika sätt i de olika landsdelarna. De lokala quipus, kan man säga, följde var och en sin egen logik. Variationsrikedomen bland quipus innebär ytterligare utmaningar för dem som försöker avslöja deras hemligheter.

Den stora lokala variationsrikedomen i quipu-tradition beror således till stor del på att traditionen att väva in budskap i knutar egentligen är långt mycket äldre än Inkariket – vissa forskare spekulerar till och med i att vävnadskonsten i själva verket uppfanns för att tillverka de tidiga quipus och först senare kom att användas för att tillverka kläder. Vid en utgrävning av staden Caral i Supedalen i dagens Peru hittade arkeologerna en quipu, som tros vara hela fyra och ett halvt tusen år gammal och således härstamma från en högkultur, ibland kallad Norte Chico-civilisationen, som var jämnårig med det faraonska Egypten. Quipun från Caral är fortfarande omstridd, men skulle kunna komma att fullständigt rita om historien. De äldsta säkert daterade quipus stammar dock från 800-talet e.Kr., något som ändå daterar dem flera århundraden innan Inkarikets uppkomst.

Resterna av vad som för tusentals år sedan var två pyramider markerar platsen för staden Caral, en gång del av Norte Chico-civilisationen. Bland fynden från Caral finns ett föremål, som vissa tror är världens äldsta quipu med mer än fyra tusen år på nacken. Foto: Percy Meza, CC-BY-SA 3.0

Lokala quipu-traditioner har också i många fall visat sig mer varaktiga än Inkarikets officiella quipu-arkiv. Än idag kommer quipu-liknande knutskrift till användning i vissa peruanska byar, t.ex. för att nedteckna överenskommelser eller bokföra vem som deltar i de bygemensamma arbetena. Etnologen Frank Salomon har visat att quipus idag liksom under Inkarikets tid fyller viktiga lokala funktioner ute på landsbygden, t.ex. för att nedteckna överenskommelser mellan boskapsskötare och jordbrukare, vars vitt skilda livsföringar ofta samexisterar i en och samma by. De boskapsskötande familjerna tillbringar ofta långa tider högt uppe i bergen långt ifrån byn, vilket förstärker behovet av att befästa viktiga överenskommelser mer än bara muntligt. Moderna quipus har studerats noga av ett flertal forskare och är relativt väldokumenterade. Även om de har stora likheter med inkafolkets quipus, skiljer sig de moderna och de antika quipus allt för mycket åt, för att kunna fungera som en quipus Rosettasten.

Quipus framträdande och grundläggande roll i Inkarikets administration tillsammans med deras totala olikhet jämfört med alla andra kända skriftsystem har gjort dem till mystiska objekt som länge pockat på västerländska arkeologers och fornforskares uppmärksamhet. Redan under decennierna efter den spanska erövringen lockade de till sig intresset hos flera av de spanska erövrarna, många av vilka ställde samman sina egna, mer eller mindre fantasifulla uttolkningar. Synen på quipus under den här tiden var av religiösa orsaker starkt polariserad, inte minst mellan de som ville visa att quipus var ett slags skriftspråk och därmed upphöja inkafolkets språk, quechua, till samma nivå som västerländska språk och de som snarare ville tona ned quipus betydelse och ansåg dem heretiska. Hursomhelst har den mångfald av olika system och stilar, som quipus uppvisar, i alla tider gjort dem till lika inbjudande och oförglömliga som motsträviga studieobjekt.

Det här inlägget är det första i en serie om två inlägg om inkafolkets quipus. Nästa del hittar du här.

Jalusimetoden, den ryske bondens algoritm och andra historiska finurligheter

Elementära beräkningar har alltsedan jordbrukets uppkomst, och säkerligen redan tidigare, varit en viktig del av människors vardag. Forskning visar att den mänskliga hjärnan föds med förmågan att räkna till tre, men att alla beräkningar med högre tal måste läras in medvetet. Då är det inte så märkligt att människor i alla tider visat stor uppfinningsrikedom vad gäller finurliga beräkningsmetoder, för att lätt och smidigt kunna genomföra nödvändiga beräkningar.

Till vår hjälp har vi fått våra tio fingrar och i vissa kulturer har man även använt tår och andra kroppsdelar. De hjälper oss bra med att genomföra enkel addition, men i många fall behövs mer än så. Steget från additionens relativt enkla sammanslagning av två tal till multiplikationens långt mycket mer abstrakta tankegångar har i många fall varit ett stort steg att överbrygga. Det är något som inte minst märks i småskolans tragglande av multiplikationstabeller.

Vilka är då våra förfäders knep för att plocka ned svåra multiplikationer till mer greppbara additioner? Ett av de allra äldsta svaren på den frågan kommer från antikens Egypten, där man använde sig av en snillrik metod.

Den egyptiska metoden för multiplikation har bevarats till oss tack vare att den nedtecknades i den numera berömda Rhindpapyrusen. Papyrusen, som stammar från 1600-talet f.Kr., är det kanske bästa bevarade exemplet på fornegyptisk matematik.

Den egyptiska metoden utgår från en tabell för tvåpotenser, d.v.s. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 och så vidare. Man har hittat spår av den här tabellen i egyptiska skrifter, så vi vet att egyptierna kände till den även om de inte hade samma begrepp för den som vi. Den stora fördelen med den egyptiska metoden är att alla multiplikationer kan förenklas till addition och dubblering, operationer som är både enkla och snabba. Av den anledningen har den kommit till användning i bland annat datorprogrammering. Datorer, som använder sig av binär räkning, har ju dessutom redan delat upp talen i tvåpotenser. Nedan visas hur man kan använda den egyptiska multiplikationen för att beräkna 15 gånger 654 (vilket för övrigt blir 9 810).

Utifrån en tabell med tvåpotenser kan man enkelt multiplicera hur stora tal som helst, något som egyptierna var tidiga med att upptäcka. För den som är intresserad av mer egyptisk matematik rekommenderas David Reimers bok Count Like an Egyptian, där han på ett lättillgängligt sätt presenterar de egyptiska beräkningsmetoderna. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En liknande metod användes under 1900-talet av medlemmar av den ryska handelsflottan - metoden har kanske något missvisande blivit känd som den ryske bondens algoritm. Vissa spekulerar till och med i att den ryska bondens algoritm skulle vara släkt med den fornegyptiska metoden. Det är dessvärre ganska så svårt att avgöra, eftersom användningen av den ryska bondens algoritm går tillbaka i historiens dimma med åtminstone ett par århundraden.

Metoden går till som så att de två talen som skall multipliceras skrivs i två kolumner, precis som i den egyptiska metoden. Talet i den vänstra kolumnen halveras tills det når 1 (och man avrundar i varje led nedåt). Den högra kolumnen dubbleras lika många gånger. Därefter stryks alla rader i tabellen där den vänstra kolumnen består av jämna tal. Sedan kan de icke strukna talen i den högra kolumnen summeras, vilket ger oss vårt svar.

Den kinesiska metoden för multiplikation har nedtecknats av filosofen och generalen Sun Zi, som är mest känd för sin militärstrategiska bok Krigskonsten. Hans levnadstid är omtvistad - traditionella källor placerar hans levnad på 400-talet f.Kr., medan vissa moderna historiker istället daterar honom ända fram till 400-talet e.Kr. Hursomhelst har han alltsedan sin levnad spelat en stor roll i den kinesiska kulturen, både som militärstrateg och som författare.

En tredje finurlig metod finner vi hos den kinesiske författaren Sun Zi. Den kinesiska metoden har vissa likheter med en modern multiplikationsuppställning. Det hela börjar med ett rutnät. Det ena talet skrivs överst, sedan lämnas en rad tom och det andra talet skrivs på den tredje raden med sin entalssiffra rakt under det första talets mest vänstra (d.v.s. "största") siffra. Den första siffran multipliceras med talet underst, som sedan flyttas ett steg till vänster. Operationen fortsätter för varje siffra i det övre talet. Här nedan kan du se hur 15 gånger 654 beräknas med den kinesiska metoden.

Den kinesiska multiplikationen genomför i ett rutnät, men liknar annars den uppställning vi använder idag. Metoden går ut på att varje siffra i det övre talet multipliceras med det undre talet. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En tredje metod för multiplikation är den så kallade jalusimetoden, som utvecklades av hinduiska matematiker i Indien och kom till Europa med Fibonaccis verk Liber Abaci, som utgavs vid mitten av 1200-talet. I Italien fick den sitt nuvarande namn, eftersom man tyckte att mönstret den liknade de jalusier som adelsfamiljerna satte för sina fönster för att hindra att kvinnorna skulle kunna ses från utsidan. Jalusimetoden förblev populär genom hela medeltiden, innan den slutligen föll ur bruk med boktryckarkonsten.

För att genomföra en multiplikation med jalusimetoden ritar man först ett rutnät med lika många rader som antalet siffror i det ena talet och lika många kolumner som i det andra. Därefter drar man diagonala streck från övre högra hörnet, så att alla rutor delas i två delar.

Av de metoder som jag beskrivit ovan tyckte jag att jalusimetoden var den enklaste. Eftersom den utvecklades just för vårt talsystems föregångare, de indiska siffrorna, kan den till skillnad från de egyptiska och kinesiska metoderna dra nytta av positionssystemets fördelar. På den här sidan kan du läsa mer om jalusimetodens historia. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

Utöver att den är en fascinerande metod i sig själv, är jalusimetoden intressant på två sätt. Dels visar den djupet av de hinduiska matematikernas förståelse av talens grundläggande egenskaper, men dels också hur långlivad en god matematisk idé kan vara. Med hjälp av handels- och upptäcktsresande spreds den över världen - från Indien till Kina, till Mellanöstern och därifrån till Europa och slutligen även Amerika.

Några andra multiplikationsmetoder kan du hitta här.

När matematiken skapade världen – matematikens födelse i mänsklighetens gryning

Lebombobergen på gränsen mellan Moçambique, Swaziland och Sydafrika var kanske hem åt världens första matematiker. Någon gång i mänsklighetens gryning satt det någonstans i de här bergen en människa och karvade i ett vadben från en babian. För eftervärlden har benet blivit berömt som Lebombobenet, och människan som karvade det har ovetandes blivit världens kanske första matematiker. Foto: Bob Rayner, CC-BY-SA 2.0

I en tid skild från vår egen med någonstans uppemot åttio tusen år satt världens kanske första matematiker i det som idag benämns Lebombobergen och karvade mönster i ett vadben från en babian. Resultatet blev vad vi idag kallar Lebombobenet, världens äldsta tecken på matematiskt tänkande. Lebombobenet, och det några millennier yngre Ishangobenet, markerar startpunkten på en epok i vilken människan använt sig av matematiken för att tolka och förändra sin omvärld. Lebombobenet är en produkt av människans vilja att förstå, likaväl som hennes förmåga att med sina händer och med sitt intellekt skapa och använda verktyg och redskap.

Lebombobenet markerar det första kända mänskliga försöket att genom nedtecknad matematik förstå och avbilda sin omvärld. Det föregicks säkert av en mycket lång tid under vilken all matematik var muntlig – man frågade hur många som skulle jaga, hur många frukter man hittat eller hur många dagar det var sedan man senast träffats. Att i ett i övrigt helt muntligt samhälle komma på tanken att nedteckna matematiken är ett mycket stort steg, som säkert föregicks dels av ritningar i sanden, och dels av försök att karva i exempelvis trä. Man kan därför ana att det var just viljan att bevara beräkningen, eller att genomföra den under en längre tid, som föranledde att man tog till ett ben och en vass kniv – så vad var det som kunde ha varit så intressant att bevara? Vad räknade den här tidens människor egentligen på?

Ishangobenet, världens näst äldsta tecken på matematiskt tänkande, vilket Lebombobenet lär vara mycket likt. Av någon outgrundlig anledning har dock Lebombobenet erhållit väsentligt sämre mediatäckning. (Med andra ord: Det finns inga tillförlitliga bilder på Lebombobenet på hela den vida webben!)

Från den allra första tiden av mänsklighetens existens har matematiken varit en del av att forma vår världsbild. Colin Renfrew och Iain Morley delar i boken The Archaeology of Measurement upp människans (och därmed matematikens) utveckling i två faser: till att börja med den fas, under vilken vår art fortfarande var under utveckling, då människoliknande föregångararter lärde sig att använda stenredskap och -verktyg, och därefter den fas, som kom efter att vår art spritts över kontinenterna, då stenredskap användes till att skapa hyddor, hyddor blev till bostadshus och jägare slutligen blev till jordbrukare. Lebombobenet ligger precis i gränslandet mellan de två olika faserna.

Den andra fasen är den fas under vilken vår särart som tänkande människor med komplexa världsåskådningar kan sägas ha uppkommit. Just på grund av behovet av att mäta avstånd för att bygga, antal för att jaga, men kanske allra mest tid för att kunna odla, växte en världsbild fram som baserade sig på måttet och vad måttet gjorde med världen. Genom att mäta förändras nämligen världen: Den blir abstrakt. Renfrew och Morley skriver:

In some cases [these abstractions] offer a suggestion, a hint of order in the world. [...] The successive cycles of the Maya calendar, for instance, offer a picture of time flowing steadily forward through a series of eras. Such ideas must first have been stimulated by the practice of measuring time. And they lead on offer the possibility also that human affairs can be ordered in such a way as to fall into step with the harmonious structure that may have been detected."

Stenåldersmonumentet Newgrange på Irland, som här lyser vitt vid horisonten, är ett exempel på hur stenålderns människor intresserade sig för att mäta tid – vid vårdagjämningen lyser solen nämligen rakt in genom ett hål ovanför ingången. På så sätt visste människorna när det var dags att så. Samtidigt skapade monumentet en känsla av återkommande cykler av tid, som säkerligen måste ha påverkat människornas världsbild. Foto: Yvonne Ní Mhuiregán, CC-BY-SA 4.0

Morley skriver om matematikens användning i människans tidiga utveckling. Människan är en social varelse och för vår överlevnad och vårt tänkande står gruppen i centrum. Stenåldersmänniskan var helt beroende av sin grupp, klan eller familj. Vikten av gruppens överlevnad, och oron för motsatsen, måste därför ha satt stora avtryck i den tidiga människans tankevärld och därigenom i hennes sätt att formulera matematik. Även om man lätt kunde se ifall någon i gruppen saknades, ville man säkert räkna på sådant som antalet jägare som behövs för att fälla ett visst byte. I förlängningen fanns säkert också en vilja att jämföra olika gruppmedlemmars bidrag.

Andra viktiga aspekter som stenålderns människor med all säkerhet kände ett behov av att räkna på var de resurser som stod gruppen till buds, i form av bland annat råvaror, mat och redskap. Från den här räkningen stammade även begreppet om olika varors relativa värde – fem får för en oxe – något som får sin naturliga användbarhet i handeln. På ett större plan var matematiken med och skapade människornas världsbild, i form av egenskaper hos olika föremål – till exempel mått, vikt eller volym. Först här kan man säga att matematiken på riktigt var med och skapade människornas värld, när relativa påståenden – "det här kruset rymmer mer än det där" – ersattes av definitiva – "det här kruset är stort eftersom det rymmer fem liter". Olika kulturer hade olika måttenheter, men gemensamt hade de att måttenheterna förändrade världen.

Men också på många andra områden förändrade matematiken världen. Från de naturliga cyklerna – dag, natt, månad och år – skapade människan egna. En nyckeluppfinning i den här processen var med all säkerhet soluret, med vars hjälp matematiken för första gången fick grepp om tiden. Med en noggrannare indelning av dagen blev det plötsligt lättare att organisera större sammanslutningar av människor, samtidigt som kopplingen mellan matematiken och världen tydliggjordes som aldrig någonsin tidigare. I den meningen kan man säga att matematiken inte bara skapade världen, utan också samhället.

Soluret möjliggjorde en noggrannare uppdelning av tiden än vad naturen i sig erbjuder, och var därför en av grundstenarna i uppkomsten av de stora högkulturerna. De äldsta soluren stammar från det antika Egypten, medan det här hellenistiska soluret, som hittades i Ai Khanoum i dagens Afghanistan, kommer från 300- eller 200-talet. Notera att halvcirkeln delats upp i tolv delar. Foto: Wikimediaanvändare World Imaging, CC-BY-SA 3.0

Under stenåldern, under tiden då de första högkulturerna började utvecklas, och ända fram i vår egen tid, har en av gruppens allra viktigaste uppgifter varit matförsörjningen. Utan mat ingen matematik – och varken samhälle eller liv heller. Vägen från muntliga beräkningar till beräkningar i skrift var ett stort steg, men ett nödvändigt sådant för alla begynnande högkulturer. Ur matförsörjningen kom byråkratin, och ur byråkratin skriftspråket. Inte minst tydligt är denna övergång i Mesopotamien, i en process som beskrivs av Denise Schmandt-Besserat i ovannämnda bok, där beräkningar med minneshjälpmedel sakta övergick till kilskrift under århundradena före 3000 f.Kr.

Redan för mer än nio tusen år sedan, samtidigt som jordbruket för första gången började få fäste, började människor använda sig av små lerfigurer för att bokföra sina skördar. De mesopotamiska lertecknen var en till två centimeter stora och hade olika former; bland dem finner man små koner, sfärer och cylindrar. De äldsta sådana tecknen kommer från en utgrävning i Mureybet i dagens Syrien. Fyndplatsen grävdes ut under 60- och 70-talen och är idag översvämmad av Asadsjön, en vattenkraftsdamm och vattenreservoar.

Samtidigt med jordbrukets och byråkratins uppkomst upptäckte människorna behovet av att kunna bokföra sina varor; under de fem följande årtusendena spreds användningen av den här sortens lertecken över hela Mesopotamien. Just dessa lertecken kommer från Susa, i dagens Iran, och stammar från 3000-talet f.Kr. Idag återfinns de på Louvren i Paris.

Kännetecknande för de här tecknen var en sammansmältning av räkningen och det räknade. Om ovala tecken betydde krus med olja, så betydde ett sådant tecken alltid ett kärl med olja. På samma sätt som ordet "tvillingar" på svenska oupplösligt sammanför antalet (två) med det som räknas (syskon som fötts samtidigt), förde tecknet för krus med olja samman antalet (ett) och det som räknades (krus med olja). För fem lerkrus med olja behövdes fem tecken.

Efterhand började lerfigurerna att samlas ihop i små behållare. Lertecknen trycktes mot utsidan, så att små avtryck på behållarens utsida angav vad behållaren innehöll. På en sådan behållare som hittades i Habuba Kabira i dagens Syrien, idag översköljt av Tabqadammen, fanns sju avtryck av tecknet för oljekrus – och inuti låg mycket riktigt sju små, ovala lertecken fortfarande kvar. När behållaren väl förslutits fick den det värde som angavs på utsidan – det gick inte längre att kontrollera innehållet utan att utan att ta sönder behållaren. Behållarna ersattes snart med massiva bollar av lera, som plattades ut och blev till lertavlor. Så småningom började man rita symbolerna istället för att trycka figurerna mot leran och därmed hade den kilskriftens första föregångare sett dagens ljus.

När bokföringen utvecklades började lertecknen samlas ihop i små behållare som sedan förslöts. Innan leran stelnat pressades de lertecken som skulle förvaras inuti behållaren mot utsidan. Behållarens värde motsvarade det antal tecken som pressats mot utsida. Också det här föremålet kommer från 3000-talets Susa och finns idag på Louvren.

Fortfarande fanns dock ett ett-till-ett-förhållande mellan antalet tecken och det antal varor de symboliserade: En trekant betydde en enhet korn, två trekanter betydde två enheter korn, och så vidare. Detta förhållande mellan antal och vara bröts först i slutet av 3000-talet f.Kr. i och med övergången till så kallade piktografiska tecken – något som med visshet kan sägas vara ett av de allra största genombrotten i matematikens historia. Den ovala formen förlorade sin betydelse som "ett krus med olja" och blev enbart "krus med olja". Framför tecknet sattes istället världens äldsta siffertecken – en liten trekant för 1, en cirkel för 10 och en stor trekant för 60. När kvantiteterna växte i takt med att jordbruket blev effektivare, människorna fler och statsbildningarna större innebar siffertecknen en väsentlig platsbesparing. Istället för att behöva 33 tecken för att skriva 33 krus med olja, något som dessutom lätt kan bli oöverskådligt, behövdes bara sju – tre cirklar, tre små trekanter och ett tecken för krus med olja. (På den här sidan finns mer om de mesopotamiska lerfigurerna och deras utveckling till kilskriften samt bild på de tidiga piktografiska tecknen [figur 4 och 5].)

I talens och varornas uppdelning kan vi också se de första riktiga siffrornas födelse. Med deras hjälp skulle den sumeriska matematiken komma att blomstra – separerade från tingen kunde de abstrakta siffrorna få eget liv och användas för att göra beräkningar om helt andra saker än byråkrati. Samtidigt ärvde de nya, abstrakta siffrorna något från lertecknen som föregick dem, förmågan att adderas och subtraheras, divideras och multipliceras. De lertecken som för mer än femtusen år sedan användes av Mesopotamiens människor var på så sätt den första formen av själva konceptet tal. Men, det är ju klart, tydligheten i att två lertecken plus tre lertecken blir fem lertecken kan aldrig ersättas av abstrakta siffertecken på en lertavla – och kanske var det därför de två systemet samexisterade, sida vid sida, i omkring tusen år.