Del 3: Matematiken, Indien och världen

Detta inlägg är den tredje delen i en serie om tre avsnitt. Här hittar du den första respektive andra delen.

Det Indien som Brahmagupta kände var ett rike i politiskt kaos. Under loppet av 500-talet föll Guptariket samman under trycket av hunniska invasioner från Centralasien och vid slutet av århundradet återstod det endast som en stadsstat kring det Kusumapura som Aryabhata en gång var verksam i. Den politiska splittring som följde kom att känneteckna medeltidens Indien, som ett splittrat landskap med med många lokala härskare och hov. Trots att tiden för den vetenskapliga vurm som odlats vid Guptarikets hov var till ända fortsatte verksamheten i lärocentren Kusumapura och Ujjain, och det var under den här perioden som den kanske mest omvälvande förändringen i det matematiska tankesättet ägde rum.

Det var också under medeltiden som det abstrakta sätt att se på talen som vuxit fram under guptaperioden började bära frukt. När tal inte längre nödvändigtvis var antal, areor eller något annat, utan kunde frikopplas och bli de abstrakta tal vi idag menar när vi använder oss av matematik, infann sig också ett nytt sätt att tänka. De indiska matematikerna var inte sena att ta vara på de nya möjligheter som följde, och medeltiden blev en blomstringstid i den indiska matematiken. Främst bland de medeltida matematikerna var en man vid namn Bashkara (men som i vissa sammanhang brukar kallas för Bashkara II för att särskilja honom från en äldre namne). Han lär ha fötts år 1114, levt till 1185 och i likhet med Brahmagupta ha varit ledare för lärocentrumet i Ujjain.

De politiska förhållandena i medeltidens Indien var kaotiska, och vad som förmodas vara Bashkaras hemstad verkar vid tiden för hans födelse ha tillhört det västra Chalukyariket. Denna anspråkslösa bildsten, som är daterad till året efter Bashkaras födelseår, är en av få existerande avbildningar av den då regerande kungen Vikarmaditya VI.

Sitt berömda verk, som snarast kan kallas den indiska matematikens universalverk, Siddhanta Shiromani, författade han endast 36 år gammal. Matematiken han tar upp är av varierande ålder och ursprung, och verket rymmer alltifrån förbättringar av matematik som varit känd sedan Aryabhatas tid till helt nyvunnen kunskap. Siddhanta Shiromani följer den indiska traditionen i det att den är skriven på vers - och har en omfattning på nära ett och ett halvt tusen sådana - men har ändå en särprägel jämfört med sina föregångare: Den nya inställning till matematik som utvecklades under början av medeltiden ger Bashkaras matematik en följsamhet bortom sina föregångare. Talet noll, negativa och positiva tal öppnade för ett helt nytt sätt att tänka, och gjorde Siddhanta Shiromani världsunikt. Framförallt är Siddhanta Shiromani skådeplats för ett monumentalt framsteg: differentialkalkylen - konsten att kunna räkna på förändringen i sig.

Att säga att Bashkara är differentialkalkylens uppfinnare vore dock enligt de flesta aningen förhastat. För det första har vi som vanligt inga bevis på att Bashkara själv var upptäckare av allt han nedtecknade, utan snarare antydningar att han sammanfattade och nedtecknade vad som lärdes ut av de lärare och visa män som var aktiva vid Ujjain. På så sätt framstår han mer en läroboksförfattare än en spetsforskare. För det andra formulerade de indiska matematikerna ingen generell metod för derivering eller integrering, och särskilde inte några tydliga koncept, utan vad de kan sägas ha vunnit är en grundläggande insikt om den sortens matematiks möjligheter, och därmed på ett rejält sätt satt igång en process som fyra hundra år senare skulle leda fram till Newton och Leibniz samtidiga upptäckt. Bashkaras verk, Siddhanta Shiromani, tjänade som den grundläggande läroboken i indisk matematisk utbildning ända fram tills den brittiska kolonialmakten övertog utbildningsväsendet drygt 700 år senare.

Sina observationer gjorde han vid observatoriet i Ujjain, på bilden, vid floden Shipra, som är Indiens ohotade astronomiska centrum. Det observatorium som idag finns i staden är visserligen inte äldre än 1700-talet, men är å andra sidan det enda av 1700-talsobservatorierna som fortfarande är i drift. Idag används det för att uppställa väderprognoser. Foto: Bernard Gagnon

Astronomin var drivkraften som fick Bashkara att utveckla de första stegen mot differentialkalkylen - i likhet med nästan alla indiska matematiker var Bashkara inte främst matematiker utan astronom. Drivkraften bakom hans intresse för matematik var astronomin och hans verksamhet förefaller ha utgått från observatoriet i Ujjain - i denna aspekt skiljde sig inte differentialkalkylen från de andra matematiska grenar som Bashkara berörde. I sitt arbete använde Bashkara troligtvis ett instrument som idag går under namnet jakobsstav, som inte nådde västerlandet förrän ett antal sekler senare och som bland annat användes för att mäta himlakroppars höjd över horisontlinjen. På ett matematiskt plan liknar tekniken triangulering och förutsätter därmed användning av de trigonometriska funktionerna. Eftersom himlakroppar som bekant rör sig, förändras vinklarna och de trigonometriska funktionerna behöver plötsligt deriveras.

Arvet efter Bashkara var en bok av närmast episk omfattning, som blev blev ett tungt arv och en hög ribba för de kommande indiska matematikerna; från århundradena efter Bashkara känner vi till knappt någon matematisk utveckling. Inga böcker eller artefakter som antyder någon utveckling har i vart fall ännu inte upphittats, men att utvecklingen helt skulle ha avstannat är ändå troligt. Liknande påståenden, om att utvecklingen plötsligt skulle ha avstannat, har tidigare gjorts om andra epoker i den indiska matematiska historian, för att senare överbevisas av nya fynd. Så nya rön om senmedeltidens matematik är att vänta, men än har inga gjorts.

Den indiska matematiken hade en sista blomstringstid i Kerala på Indiens sydligaste västkust. Dess läge på den indiska oceanens handelsrutter gav matematiken god spridning, men ironiskt nog var landskapet, som varierar mellan den låglänta kuststräckan och skogklädda bergsområden, bland de första till vilka de europeiska kolonisatörerna kom.

Istället dyker spåret av matematikens vidare utveckling inte upp förrän två sekler senare, och då i staten Kerala längsmed den indiska halvöns sydligaste västkust. Matematikerna som verkade här särskiljer sig på så sätt från såväl guldålderns som medeltidens matematiker genom att de varken verkade som enskilda matematiker-astronomer vid något av de många kungliga hoven eller som läromästare vid något av de två stora lärocentren, det i Kusumapura i norr och det i Ujjain i söder. Istället samlades kring en man vid namn Madhava en grupp matematiker och bildade därmed vad som av eftervärlden har kommit att benämnas Keralaskolan.

Vad Keralaskolans medlemmar åvägabringade närmar sig i sin omfattning en matematisk revolution - den matematik de utvecklade skulle inte komma att överträffas förrän två sekler senare. Madhavas arbete - eller i vart fall det som vunnit honom berömmelse - centrerades kring oändliga serieutvecklingar, av π och av de trigonometriska funktionerna. Exempelvis fann han att sin x - en för såväl navigation som astronomi ytterligt viktig funktion, men samtidigt en notorisk felkälla i en värld med endast oexakta tabeller och en minst sagt skriande brist på miniräknare - kunde uttryckas som

Med den kunskapen kunde man åstadkomma bättre tabeller och dessutom göra bra approximationer alltefter behov (vilket ju för övrigt är samma princip som våra dagars miniräknare bygger på.) Därför bär många av de serier han formulerade, som länge benämnts efter sina europeiska upptäckare, numera även Madhavas namn.

Madhava fick många efterföljare inom Keralaskolan, vars arbete ofta cirklade kring oändliga serieutvecklingar, och på så sätt kan sägas med de trigonometriska funktionernas hjälp ha förenat den jainistiska matematikens fascination med det oändliga (som Zenon som bekant inte till fullo delade) med geometrin, aritmetiken och astronomin i den matematik som såg dagens ljus vid lärocentret i Ujjain.

Den stad som idag bär namnet Irinjalakuda lär under medeltiden ha hetat Sangamagrama och varit Madhavas födelseort. Idag är den hem till drygt 50 000 invånare. Foto: Wikipediaanvändare Challiyan.

Kerala, en av Indiens av turister mest bevistade delstater, ligger utsträckt längsmed den indiska oceanen och var därför hem för en av det medeltida Indiens viktigaste handelsknutpunkter: hamnstaden Muziris. Staden är något av ett mysterium: ingen vet var den låg (även om lovande arkeologiska utgrävningar pågår i Pattanam), ingen vet exakt vem som besökte den (även om den omnämndes av flera romerska skribenter) och ingen vet hur länge staten fortsatte att vara aktiv (även om det sägs att europeiska jesuiter var verksamma där under 1600-talet).

Hamnstaden Muziris besöktes av såväl europeiska jesuiter som arabiska handelsmän. Utbyte skedde inte bara av varor, ädelmetaller och mynt, utan Keralas hamnstäder blev hem åt en mångkulturell smältdegel. Astronomi gick ihop med navigationskunskap, navigationskunskap med matematik, och den kunskap som grundlagts vid Indusflodens stränder, emanerat ur generationer av hinduiska, jainistiska och buddhistiska matematikers arbete och vuxit till i lärocentren i Kusumapura och i Ujjain tog därigenom klivet ombord på en seglats till främmande länder, till Mellanöstern och kanske ända till Europa.

Vasco da Gamas landstigning i Kerala 1498 markerade början på direktkontakterna mellan Kerala och Europa, som tillät indisk matematik att spridas direkt till Europa. Utbytets omfattning är dock en kontroversiell fråga. Akvarellmålningen ovan är däremot inte äldre än 1880-talet, då den förfärdigades av en man vid namn Ernesto Casanova.

Även om det självklart är omöjligt att sammanfatta en hel kulturs matematiska utveckling, så återkommer vad som snart i sig blivit ett mantra: att Indien är kontrasternas land. För den indiska matematiken har ju sett allt från tegelstenars geometri till astronomisk trigonometri, och indiska matematiker har utvidgat tallinjen med allt från de negativa talen via noll till oändligheten. De har arbetat enskilt, i höga torn och djupa bibliotek, men också tillsammans, samlade i skolor och lärocentra. I kolonisationen mötte den indiska matematiken en ny rad utmaningar - Indien uppgick i det brittiska imperiet, och så även dess matematik. I många fall hyste kolonisatörerna ingen eller liten förståelse för de matematiska framsteg de indiska matematiker man mötte var arvtagare till, och vilken matematisk tradition som levde i deras kultur. Inhemsk indisk matematik avfärdades nog i de flesta fall som mysticism, och de indier som ville utöva matematik fick möta den endast i dess brittiska version. Men Indien fortsatte naturligtvis att producera begåvade matematiker. En bland dem var Srinavasa Ramanujan, Indiens kanske mest framstående matematikergeni under 1900-talet, som i en mening - måhända oavsiktligt - träffande lyckades sammanfatta den indiska matematikens utveckling hand i hand med den religiösa astrologin, när han en gång lär ha sagt:

Sir, an equation has no meaning for me unless it expresses a thought of God.” - Srinavasa Ramanujan

Därmed är den här serien om antik indisk matematik till ända. Här finner du det första och det andra avsnittet.

Del 2: En guldålder i indisk matematik

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget,och här finner du den tredje och avslutande delen.

Den indiska guldåldern, som den har kallats, inleddes med den politiska stabilitet som uppstod inom guptariket på 300-talet e.Kr, som förenade stora delar av de norra och östra delarna av dagens Indien. Bilden visar ett sällsynt exempel på måleri i guptastil från de buddhistiska grottorna i Ajanta.

Vad som har kommit att benämnas den klassiska eran eller guldåldern inom antik indisk matematik inleddes med den första indiske matematiker vi känner till namnet, Aryabhata. Av en slump känner vi även till hans födelseår: Från de astrologiska referenser han lämnat, vet vi nämligen att han redan tjugotre år gammal författade sitt livs storverk, Aryabhatiya, som utkom år 499 e.Kr, varför han torde ha fötts omkring år 476 e.Kr. Var någonstans vet vi dock inte, men han lär ha levt och verkat i en stad kallad Kusumapura, som kanske (men inte helt säkert) skulle kunna vara dagens Patna.

Aryabhatiya var en bok som fanns i varje indiskt bibliotek under många århundraden efter att den utgivits. Den blev ett standardverk, en grundbult för hela guldåldern och tiden därefter. En stor del av Aryabhatiya, som lär betyda just Aryabhatas verk, ägnas åt astrologin, som han presenterar både ur ett mytologiskt perspektiv, vilket ger verket dess religiösa anknytning, och ett matematiskt, där bland annat sinusfunktionen presenteras. Boken innehåller även kapitel om geometri och aritmetik.

Att beskriva ett solurs skugga är ett av de centrala problemen i Aryabhatiya, antagligen då det förenar astrologin med geometrin. Det gigantiska soluret vid det astrologiska observatoriet Jantar Mantar i Jaipur, byggdes inte förrän i början av 1700-talet, men kan mycket väl ha inspirerats av Aryabhatiya. Soluret är så stort, att skuggan rör sig med upp till en millimeter per sekund. 

Ända sedan Aryabhatiya kom till västerlandet har den där förbryllat sina läsare, eftersom den lyckas förena mystik och poesi med matematisk klarsynthet. Verket består av 121 verser, där var och en framlägger en sats. Stilen är ibland närmast anekdotisk och boken förefaller snarast skriven för att vara ett minneshjälpmedel än en lärobok på egna ben - en antik formelsamling, kan man säga. Texter, som ju alltid var handskrivna vid den här tiden, var något mycket sällsynt, och att underlätta för läsaren att memorera innehållet var därför en klar kvalité - samtidigt följer det i fotspåren av den indiska matematikens långa muntliga tradition. Även om det genom åren skrivits kommentarer och förklaringar till verket, och kommentarer och förklaringar till dem, lämpar sig verket med andra ord inte för självstudier. (Här finns det för övrigt tillgängligt i en välkommenterad engelsk översättning.)

Vissa forskare har spekulerat i ifall Aryabhatiya främst avsågs som en sammanställning av en lång matematisk tradition, och ingenstans skriver Aryabhata uttryckligen att matematiken han presenterar var hans egen upptäckt. Satserna som presenteras varken förklaras, härleds eller exemplifieras. Men med tanke på eftermälet förefaller det trots det otroligt att han inte skulle ha bidragit med åtminstone en del av innehållet själv.

Vers 10: "100 plus 4, gånger 8 och adderat till 62 000; det är den nästan approximativa omkretsen hos en cirkel vars radie är 20 000." Därmed har Aryabhata givit sin tids kanske bästa approximation till π, som 3,1416. Det omständliga sättet att skriva är ett kännetecken för Aryabhatiya, men versmåttet gjorde texten lätt att lära sig utantill - såtillvida man kan sanskrit, vill säga.

Det Kusumapura som Aryabhata verkade i var en lärdomsstad i snabb tillväxt. Ett liknande lärocentrum grundades vid samma tid i Ujjain, och tillsammans kom de att utgöra epicentra för guldålderns vetenskapliga utveckling, som överlevde guptariket. Kanske på grund av de ökade kommunikationsmöjligheterna vetenskapsmännen och matematikerna emellan, eller tack vare att de få handskrivna böcker som kunde produceras fick en vidare läsekrets utvecklades den indiska matematiken snabbare än någonsin. Även översättningar av grekiska verk tillfördes biblioteken. Inte minst trigonometrin gjorde stora framsteg, men den kanske viktigaste följden blev en revolution inom siffersystemet. Även om de brahminska siffrorna redan hade gamla anor, var de bara ett system ibland många - dessutom fanns de i en uppsjö av varianter.

I Aryabhatiya använde sig Aryabhata inte av brahminska siffror, men hade likväl ett positionssystem och ett sådant fungerar inte utan en nolla. Som platshållare i större tal hade nollan länge använts - enligt vissa redan från århundradena innan Kristi födelse, men den som först iakttog konceptet noll, d.v.s. nollan som en egen siffra, inte bara ett avstånd mellan, låt säga, ental och hundratal, var en matematiker vid namn Brahmagupta.

Till skillnad från Kusumapura har matematikern Brahmaguptas hemstad, Ujjain, behållit sitt namn till våra dagar. Staden, som ligger vid floden Shipra, är fortfarande känd för sina universitet. Foto: Bernard Gagnon

Brahmagupta, som lär ha fötts år 598 e.Kr., utmärker sig i den indiska matematiken på många sätt. Han tillhörde inte det brahminska kastet, men erkändes ändå och var under ett långt tag ledare för lärocentrumet i Ujjain. Han är troligen också den enda antika indiska matematiker vars namn än idag utmärker både en sats och en matematisk identitet, vilka han lade fram i sitt verk Brahmasphutasiddharta. Till stilen påminner verket mycket om Aryabhatiya, och är helt författat på vers.

Brahmagupta har blivit berömd för sin sats som säger att sträckan AF är lika med FD ifall fyrkantens diagonaler skär varandra i en rät vinkel.

Till innehåller visar däremot Brahmaguptas matematik en tydlig hellenistisk influens. Efter Alexander den stores härnadståg uppstod en livskraftig grekisk kultur i den indiska halvöns nordvästra hörn, det antikens folk kände som Baktrien eller ungefär dagens Afghanistan och Pakistan. Med tiden integrerades den grekiska kulturen i den indiska, och under loppet av guptaperioden den grekiska matematikens skrifter de indiska biblioteken. Även om Brahmaguptas stil och matematik är tydligt tillhörig den indiska matematiska traditionen, har många av Brahmaguptas metoder sin grund i den grekiska matematiken, och många av hans satser är vidareutvecklingar av grekiska förlagor.

Kanske mest kännetecknande för den grekiska influensen på Brahmagupta är hans intresse för pytagoreiska tripletter, d.v.s. tre heltalslängder som tillsammans bildar en rätvinklig triangel, som exempelvis 3, 4 och 5. Efter att skrifter innehållande Pythagoras matematik förts med Alexander den store till Indien översattes de till sanskrit. Med utgångspunkt i dem generaliserade Brahmagupta teorierna och utvecklade en metod för att bestämma alla pytagoreiska tripletter. Den kunskapen kunde han använda, och skapade med hjälp av Euklides algoritm (som i den här tidens Indien talande nog betecknades kuttak, vilket ungefär betyder kvarnen eller pulverisatorn, eftersom den bryter sönder talen till deras beståndsdelar) en generell sorts lösning till en viss typ av diofantisk ekvation, d.v.s. en ekvation där man endast söker heltalslösningar. Nog var Brahmagupta en man med ett levande arv från antikens Grekland och såg långt för att han, i likhet med de greker vars verk han läste och i likhet med alla andra vetenskapsmän och matematiker, stod på giganters axlar.

Men den viktigaste av Brahmaguptas framsteg var något som grekerna motsatte sig och som inte skulle vinna spridning i västerlandet förrän renässansen. Talet noll, att inte bara använda symbolen noll som platshållare i tal skrivna med positionssystem, utan själva uppfattningen om ett tecken för att beteckna intigheten, tomheten, är en mycket unik tanke i den matematiska historien. Vissa hävdar till och med att den bara uppstod en enda gång - i Indien.

Sunya, som betyder inget eller tomhet på sanskrit, är ett buddhistiskt koncept, som i 600-talets Indien omvandlades till sant banbrytande matematik. Foto: Sukanto Debnath

Att utnämna Brahmagupta till talet nolls uppfinnare vore kanske en smula förhastat, men han är den som slutligen kom att sätta upptäckten på pränt. I Brahmasphutasiddharta ger han följande arton regler hur man skall räkna de fyra talesätten med noll och positiva och negativa tal:

1. Summan av två positiva tal är positiv.
2. Summan av två negativa tal är negativ.
3. Summan av noll och ett negativt tal är negativ.
4. Summan av noll och ett positivt tal är positiv.
5. Summan av noll och noll är noll.
6. Summan av ett positivt och ett negativt tal är skillnaden mellan dem; eller, ifall de är lika, noll.
7. Vid subtraktion dras det mindre från det större, positivt tal från positivt tal.
8. Vid subtraktion dras det mindre från det större, negativt tal från negativt tal.
9. Men när det större skall dras från det mindre är skillnaden omvänd.
10. När positivt skall dras från negativt, och negativt från positivt, skall de adderas ihop.
11. Produkten av en negativ kvantitet och en positiv kvantitet är negativ.
12. Produkten av två negativa kvantiteter är positiv.
13. Produkten av två positiva kvantiteter är positiv.
14. Positivt tal delat på positivt tal eller negativt delat på negativt är positivt.
15. Positivt delat på negativt är negativt. Negativt delat på positivt är negativt.
16. Ett positivt eller negativt tal delat på noll är ett bråktal med noll som nämnare.
17. Noll delat på ett negativt eller positivt tal är antingen noll eller uttryckt som ett bråk med noll som täljare och det ändliga talet som nämnare.
18. Noll delat på noll är noll.

Långlivade har Brahmaguptas 18 regler varit, det är det minsta man kan säga. Med undantag för den sista är de idag precis lika giltiga som den dag för snart ett och ett halvt årtusende sedan då de för första gången sattes i skrift. Att den sista inte visat sig lika hållbar som de andra är kanske ett mindre problem i det perspektivet.

Brahmaguptas sätt att ansträngningslöst gå från att generalisera kring de positiva talen till de negativa antyder ett abstrakt sätt att se talen. De är inte längre antal eller areor, utan siffror med en abstrakt innebörd. På så sätt kan man säga att de indiska matematikerna inte bara utvecklade siffrornas form, utan uppfann själva konceptet siffra. Detta minst sagt gigantiska språng framåt blir otvetydigt när Brahmagupta blandar in noll, och vad noll delat på noll är. Utan ett sådant abstrakt synsätt vore den frågan fullkomligt meningslös. Sedd på det viset blir den artonde regeln inte längre den felaktiga västgötaklimaxen utan den viktigaste regeln som får avsluta ett matematikens banbrytande manifest; att vår tid råkar ha en avvikande åsikt i själva sakfrågan är ju en mindre sak.

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget, och här finner du den tredje och avslutande delen.