Gallilei och de mediceiska månarna 400 år

Som en av världens mest berömda matematiker och vetenskapsmän, framstår Galileo Galilei som en milsten i den moderna vetenskapens framväxt. Fotografiet visar byn Arcetri, nära Florens, där Galilei föddes år 1564. Foto: Wikipediaanvändare Sailko, CC-BY-SA 2.5
Galileo Galilei var professor långt innan år 1609, med digra arbeten på pendlars rörelse och tidvattnets härkomst, men är ändå berömd för sin kikare – konstruerad för fyra hundra år sedan, beställd liksom färdigställd år 1609.

I Italien gick nämligen rykten, som Galilei lär ha tagit del av genom sin måttligt intresserade vän servitmunken Paolo Sarpi, om att en fransk upptäckt hade gjorts: någon hade konstruerat ett rör som man såg långt med. Galilei insåg att ett sådant verktyg skulle komma att bli eftertraktat, såsom nyckeln till ett militärt övertag i krigen mellan Norditaliens statsstater, och i augusti kunde Galilei presentera en förbättrad kikare för Venedigs senatorer. Teleskopet gjorde succé; från Kampanilen på Markusplatsen i Venedig kunde man se till Padua, Galileis hemstad, över två mil därifrån. Galilei var visserligen inte först, men hade skapat ett långt mycket noggrannare teleskop än någon annan – belöningen var en professur i Padua.

Vad som skilde Galilei från hans konkurrenter var att han tog sig tid att utforska teorin bakom de linser som åstadkom förstoringseffekten. Galilei var matematiker, och angrep problemet med matematiken som verktyg, och det gav honom den extra mängd precision som han behövde för att, när vintern hade nått Italien, ha förbättrat sitt teleskop från nio till nästan tjugo gångers förstoring. Under vinternätterna kunde Galilei observera natthimlen, och såg att månen inte var perfekt klotrund, och antalet stjärnor var långt fler än vad Ptolemaios sade – förebådanden om att den astronomiska modellen som varit förhärskande under medeltiden inte var så perfekt som den ansågs.

Det verkliga genombrottet kom dock i januari året därpå, 1610, då Galilei upptäckte tre stjärnor som inte betedde sig såsom Ptolemaios som de förväntades, de rörde sig runt Jupiter, inte runt Jorden, och inte så ut sitta fast på himlavalvet såsom fixstjärnorna, ytterligare ett fel hos Ptolemaios. Debatten som följde var naturligtvis högljudd, men kontentan var ändå till Galileis fördel; astronomen namngav stjärnorna efter Mediciätten, och Cosimo II av Toskana nappade. I behovet av att visa sin anknytning till de gudomliga stjärnorna, och kanske en smula rivalitet mot det anti-Galileiska Bologna, anställdes Galilei som hovmatematiker hos Cosimo II:s hov i Florens.
Tito Lessi har målat flera målningar med Galilei – i mitt tycke visar de den mest levande bilden av den åldrande vetenskapsmannen. Här sitter han i sin svarta kappa i samspråk med sina gäster.
Galileis historia innehåller många banbrytande upptäckter, men slutade i inkvisitionens rättssal med att svära på falskheten hos Kopernikus heliocentriska världsbild. Huruvida han någonsin viskade sitt trotsiga Eppur si muove, ändå rör hon sig, i ett flyktigt trots mot kyrkans uppfattning att Jorden skulle vara stilla, kan vi kanske låta vara osagt.
Villa Il Gioiello, på Arcetris skogbeklädda sluttning, var Galileis sista hem. Den anspråkslösa fasaden visar lite av den stora U-formade villan och de stora markegendomar som följde med den. Fast antalet vespor verkar ha ökat något sedan Galileis dagar.
Apropå Gallileis fyrahundraårsjubilum har Dagens Nyheter också en artikel om honom (här), varför jag vill önska er god läsning av artikeln och en trevlig helg! (vilket kanske kan få sammanfalla?)

Königsbergs sju broar

En schematisk bild av de sju broarna på en karta från 1652 - uppgiften är att gå över alla en och endast en gång var. Illustration: Bogdan Giuşcă, CC-BY-SA 3.0
Königsbergs sju broar är ett vår tids mest kända matematisk-logiska problem. Trots att det formulerades redan år 1736 av den tyske matematikern Leonhard Euler (Königsberg, dagens Kaliningrad, var på den tiden tyskt). Trots sitt så tidiga datum, anses problemet idag markera topologins födelse, en av den moderna matematikens huvudgrenar.

Problemets kärna är att finna ett visst sammanhang mellan de olika delarna av staden, sammanbundna av sju, för stadsplanering välplacerade, men för matematiken ack så förargligt illa placerade broar. Upplägget sammanknyter till den matematiska grenen topologi (av grekiskans topos, plats, och logos, studie eller förnuft) som sysslar med olika formers sammanhang, dimensioner och ytor. Ett av de mest välkända exemplen är att en kopp och en doughnut är topologiskt lika, eftersom de båda är massiva förutom ett hål, medan fatet är en egen topologisk form, eftersom det saknar hålet i fråga.
En än mer schematisk skiss av problemet; här syns det tydligt att varje punkt  är förbunden med ett udda antal broar, vilket ger vandringen fyra start- och ändpunkter. Att vi tagit bort själva staden spelar kanske mindre roll, det är väl bara den som skall gå vandringen som bryr sig?
Om man studerar skissen ovan är kan man se att det är omöjligt att göra den perfekta stadsvandringen genom Königsberg (inte bara för att Königsberg idag inte längre finns; staden bombades hårt under andra världskriget och nästan alla invånare föll offer, antingen för kriget eller dess följder). Varje plats som har ett udda antal förbindelser måste vara en start- eller slutpunkter, eftersom en punkt med tre förbindelser måste passeras en gång, och en med fem två gånger. I bägge fallen blir en bro kvar, varför man måste ta just den punkten som start- eller slutpunkt. Men med tre punkter med tre och en med fem förbindelser, måste ju alla kartans fyra punkter vara start- eller slutpunkter. Någon sådan vandring känns vi väl inte vid?

Königsberg före kriget på ett foto från 1800-talets slut. Staden skadades allvarligt under det andra världskriget och idag finns bara tre av broarna kvar. Av de byggnader som fanns på ön i mitten av staden, har bara katedralen återuppbyggts. Området korsas idag av en stor bilväg, som också har svalt två av de tre kvarvarande broarna.

Idag återstår i stort sett bara en av broarna, och förutom katedralen finns på ön inte längre någon stad. Men historier går fortfarande om att det, på den tiden då alla broarna fortfarande fanns kvar, efter några timmar på ett Gasthaus var vanligt att försöka gå den berömda vandringen. Många kommit tillbaka för mer att dricka och hävdade sig då ha lyckats med sin vandring. Dessvärre har ingen klarat av att återupprepa vandringen i dagsljus. Men vem vet, kanske gömde det sig en åttonde bro någonstans, en bro som bara fanns om natten?
Genom staden flyter Pregel. På det här fotografiet från 1800-talets slut syns två av broarna och stadens börshus. Huset står mirakulöst nog kvar än idag, men de båda broarna är sedan länge borta.

Triangulering – nu och då

Triangulering är ett av de mest finurliga sätten att mäta avstånd exakt. Metoden gör bruk av ett antal enkla geometriska påståenden, en liten dos trigonometri och så – om man vill mäta ett helt land, vill säga – en rejäl omgång äventyrliga resor. Grekerna använde trianguleringens teknik, om än inte namnet, för att mäta avståndet till skepp ute till havs, och tekniken återfinns i kinesiska matematikböcker från 200-talet e.Kr. Under 1600-talet upptäcktes dess förtjänster av europeiska matematiker, och under 17-, 18- och 1900-talen spann så trianguleringen sitt nät över hela jordklotet.

Men låt oss först fråga: Hur går en triangulering till? Vi tar ett exempel. Säg att vi börjar på en liten kulle, som vi kallar A, med utsikt över havet och över byn som ligger invid kullens fot. Från toppen av kullen kan vi se byns kyrka, som vi kallar B, och en fyr, C, på en liten kobbe nära kusten. Hur långt bort ligger egentligen fyren?
Vi börjar med att mäta vinkeln mellan fyren och kyrktornet, och finner att den är 60 grader. Därefter mäter vi, så exakt som möjligt, sträckan bort till kyrktornet, som är 100 meter. Eftersom prästen i kyrkan är mycket vänlig, låter hon oss klättra upp i kyrktornet, varifrån vi mäter vinkeln mellan kullen och fyren. Vinkeln är 80 grader. Därmed vet vi att vinkeln sedd från fyren är 40 grader. Utan att behöva ta oss ut till fyren, kan vi nu bestämma avståndet mellan kullen och fyren med hjälp av sinussatsen, som ger oss ett svar på ungefär 153 meter:
Genom att bygga på med triangel efter triangel kan vi alltså mäta upp vilka avstånd som helst, så länge vi har en exakt uppmätt sträcka att utgå ifrån. Den här insikten, den om att trianglar kan vara av stor nytta – ja, nästan oumbärliga – vid mätning av sträcka, var något kom tidigt i matematikens utveckling. Såväl i antikens Grekland som i det tidiga Kina, liksom säkerligen på många andra platser på jordklotet, använde sig matematiker av trianglar för att bestämma avstånd. I den havsomgärdade grekiska övärlden, där också anfall från sjöss under långa perioder snarast verkar ha tillhört det normala, åtminstone om man få tro de episka sagoberättelserna, var det säkerligen av största vikt att från kusten kunna uppskatta avståndet ut till ett annalkande skepp. De grekiska matematikerna använde en speciell trigonometrisk funktion, den s.k. kordan, som vi idag sällan ser, som enkelt och lätt gav de rätta förhållandena mellan vinklarna och avstånden. På sätt och vis kan kordafunktionen räknas som anmoder till våra dagars uppsättning av trigonometriska funktioner. (Mer om korda-funktionen kan du läsa i det här inlägget.)
Den här fullspäckade illustrationen av en trianguleringsliknande matematisk operation stammar från en 1700-talsutgåva av Liu Huis klassiska matematikbok från 200-talet e.Kr. Liu Hui var verksam under den tid som kallas de tre kungadömenas period, en tid av krig och oroligheter, men också av legender, historier och dramatiska sagor.
Dessa tidiga matematiker skulle säkerligen inte ha beskrivit sin metod som ”triangulering”, utan snarare som ett behändigt sätt att använda sig av triangelns matematiska egenskaper. Som specifik teknik kom trianguleringen inte i vitt spritt bruk förrän på 1600-talet. Den första trianguleringen av en större landmassa genomfördes 1615 av Willebrord Snell, som konstruerade 33 trianglar på den elva mil långa sträckan mellan Alkmaar och Bergen op Zoom i Nederländerna.

Sitt stora kändisskap skulle trianguleringen dock få först i och med den franska revolutionen. Starkt präglad av upplysningstidens ideal skulle den nya franska republiken förses med rationella och funktionella måttenheter, som skulle vara frikopplade från tidigare epokers vidskeplighet, regionala variationer och aristokratiska förtryck. Den nya måttenheten, som kallades metern, skulle ligga till grund för alla rymdmått och skulle härledas från Jordens egna proportioner – eller åtminstone Frankrikes. Bara något år efter att revolutionen först tagit fart skickades Jean Baptiste Delambre och Pierre Mechain ut för att mäta avståndet mellan Dunkirk i norr och Barcelona i syd samt beräkna den nya måttenhetens sanna storlek. (Deras resor och vedermödor, liksom i övrigt denna spännande och omvälvande tid såväl matematiskt som politiskt och historiskt, kan du läsa mer om i det här inlägget.)

Mycket av Delambres och Mechains framgångar berodde på att de hade med sig ett nytt instrument, som uppfunnits av den franske matematikern, vetenskapsmannen och teknikern Jean-Charles de Borda. Med hjälp av Bordacirkeln kunde trianguleringen genomföras både enklare och med större precision. Trots det tog det hela sex år att triangulera enbart från nord till syd – även med ständigt förbättrad teknik skulle trianguleringen av hela nationen ta lång tid att genomföra.

Även om revolutionens ideal – frihet, jämlikhet och broderskap – av förklarliga skäl aldrig vann någon större uppskattning bland den övriga europeiska eliten, spred sig trianguleringen över hela kontinenten. Under loppet av 1800-talet mättes fler och fler europeiska länder upp; att exakt kunna definiera vad som låg utanför, men framförallt inom, nationens gränser kom att bli en avgörande del i övergången från löst sammanhållna furstendömen till moderna nationalstater. Och än mer var de exakta avstånden oundgängliga för 1800-talets stora infrastrukturprojekt: telegrafledningarna, järnvägen och vägarna.
Det här trianguleringsnätet över Rheinland-Hessen i sydvästra Tyskland stammar från 1900-talets tidigaste år, och utgör ett perfekt exempel på hur triangel efter triangel kunde fogades samman till en exaktare karta.
De imperiebyggande britterna hade inte bara de brittiska öarna att mäta upp utan även sina kolonier, som på imperiets höjdpunkt tillsammans täckte en fjärdedel av Jordens landmassa. Trianguleringen av den indiska halvön skulle komma att bli en lång och mödosam process: Många drabbades av smittsamma sjukdomar, vägarna var oftast svårframkomliga och inte sällan tillgängliga enbart under några få månader per år. Men de rundresande engelsmännen upptäckte också helt nya, för västvärlden okända platser. Bland Himalayas toppar upptäckte man ett flertal nya bergstoppar, som var högre än alla tidigare kartlagda berg. Den högsta av de nya bergstopparna utropades därefter, försiktigt nog, till världens troligtvis högsta berg. Dessvärre hade det redan så många olika namn bland den lokala befolkningen, att engelsmännen till en början inte visste riktigt vad de skulle kalla bergstoppen. Därför fann de sig tvungna att tillföra ytterligare ett namn och trianguleringsorganisationens ledare, Andrew Waugh, beslöt att döpa den nya toppen efter sin företrädare, George Everest.

Mount Everest, som berget fick heta (mot George Everests vilja), mättes upp till exakt 29 000 fot, eller ungefär 8 840 meter. Det, bestämde man sig kvick för, gick inte för sig, eftersom alla då skulle tro att man i all hast gissat sig till ett ungefärligt, fint avrundat värde. Av den anledningen bestämde sig Waugh för att helt enkelt lägga till två fot på måttet, varefter världen fick veta att världens högsta berg, det nyupptäckta Mount Everest, var 29 002 fot högt. Men när hela historien kom ut fanns så klart den där kvicktänkte människan, som kunde konstatera att Waugh blev den förste som satte två fot på Mount Everests topp. I efterhand har Waugh dock fått åtminstone delvis rätt – den senaste angivelsen är 8 848 meter.
Mount Everests topp, som här visar sig mäktig i kvällssolen, upptäcktes under en trianguleringsexpedition och döptes efter dess (smått ovillige) före detta ledare, som väl att märka uttalade sitt namn med ett långt första E. På Darjeeling-dialekten, tibetanska och nepalesiska bär berget namnen Deodungha, Chomolungma och Sagarmāthā. Foto: Ralf Keyser, CC-BY-SA 2.0
Triangulering är en lång och mödosam process – ja, ibland kunde den rent av vara farlig. Sedan 1980-talet har trianguleringen i stort ersatts, först av geopositioneringssystem, GPS, och sedermera även av högupplösta satellitfotografier. Så på vår planet används triangulering inte så mycket längre – men väl i rymden. Liksom grekerna ursprungligen med trianglars hjälp kunde bestämma avståndet till ett skepp ute till havs, använder dagens astronomer trianguleringens tekniker för att bestämma avståndet till avlägsna stjärnor och himlakroppar.

Pythagoras och hans pythagoréer

De flesta antika grekiska städer hade sina monumentala gudatempel, med stadens beskyddare eller beskyddarinna på hedersplatsen. Det här fotografiet visar ruinerna efter det Hera-tempel som en gång tronade över den grekiska kolonin Kroton i dagens Kalabrien, Italien, pytagoréernas hemstad.
Pythagoras är kanske mest känd för sin bekanta sats som säger att kvadraten av hypotenusan är lika med kvadraten på kateterna - men i antikens värld hade mästarna inte för vana att begränsa sig till endast sina ämnen. Enligt legenden, återberättad av Alf Henriksson, reste den unge Pythagoras, född i början av 500-talet f.Kr. på Samos, till Egypten, där han fick se bygget av pyramider. (Redan här kan man börja dra öronen åt sig, eftersom höjdpunkten på pyramidbyggartraditionen inföll redan på nittonhundratalet f.Kr., d.v.s. gott ett och ett halvt årtusende före Pythagoras födelse. Men, som visa människor sagt förut: Varför fördärva en god historia?)

Hur som helst, av egyptierna fick han lära sig ett genialt sätt att skapa rätvinkliga trianglar. Egyptierna tog ett rep, knöt tolv knutar med jämna avstånd från varandra och vek sedan ihop allt till en triangel med tre, fyra respektive fem knutar på var sida - triangeln var garanterat rätvinklig! Pythagoras, som varit elev hos en annan stor grekisk matematiker, Thales, måste ha vetat att detta var sant, eftersom Thales bevisat att alla trianglar som kan ritas i en halvcirkel måste ha en rät vinkel:
Thales var Pythagoras lärare och troligtvis den som gjorde Pythagoras så intresserad av trianglar att han reste hela vägen till Egypten. Den här animationen illustrerar Thales teorem, som säger att vinkeln B i bilden alltid är 90 grader.
I glädje över upptäckten av sitt teorem lär Thales ha offrat en oxe för att tacka gudarna, och när Pythagoras upptäckt sin sats, ville han så klart inte vara sämre. Därför offrade Pythagoras hundra oxar till gudarna, möjligtvis i templet på bilden längst upp. Och i efterhand kan vi väl ge Pythagoras åtminstone lite rätt - är inte hans sats minst hundra gånger mer berömd än Thales sats?

Den enkla anledningen till att Pythagoras offrade de hundra oxarna just på Kroton, en liten grekisk koloni i dagens Kalabrien, Italien, var att det var dit han hade flyttat efter att ha gjort sig till ovän med tyrannen hemma på Samos. Antagligen fanns det också ett annat skäl - Pythagoras planerade att grunda en sekt, och för sådana är kanske inte miljön direkt hälsosam mitt emellan tre av dåtidens imperiers maktsfärer, Aten, Egypten och Persien. 

Detta samfund, som eftervärlden i ett infall av fantasilöshet benämnt pythagoréerna, hade sitt säte i just staden Kroton under 500-talet f.Kr. Samfundet utgjordes av grekiska aristokrater och många har tvistat ifall de tillät kvinnliga medlemmar. Sekten var mysticistisk till sin natur, och centralt låg tron på talens magi, något som syns inte minst på deras talesätt, allt är tal. Mottot betydde för pythagoréerna att allting kunde mätas och skapas genom att dela och att lägga ihop tal - eller med andra ord, alla tal kunde skapas ur alla andra tal genom att enbart använda de fyra räknesätten.
Pytagoréernas udda leverne hade från första början gjort dem ringaktade, och därför de var tvungna att fly Grekland för ett liv på Sicilien i dåtidens världs utkant; troligtvis utsattes de för förtal från andra städer, där man ville hindra att ungdomarna anslöt sig till hans sekt, som syns på den här målningen av Fyodor Bronnikov. Säkerligen ligger detta förtal, traderat över generationer av skribenter, bakom många av alla de goda historier som Pythagoras har fått vara föremål för. Men ännu viktigare är att vi kommer ihåg honom och hans sekt som de matematiska pionjärer de var, med ett otal banbrytande matematiska upptäckter och kanske även som vishetslärare. Kända borde de åtminstone vara för Pythagoras devis állon heautón, varmed han menade att man skall behandla sin vän som sitt andra jag. Uttalandet är kanske mest känt i sin aningen missvisande latinska översättning, alter ego.
Att de samtidigt trodde på den magiska kraften i speciella tal, som pi och det gyllene snittet (liksom pentagonens gudomlighet), åsamkade dessvärre problem. Nyheten skulle nämligen komma att nå dem, att varken pi eller det gyllene snittet kunde uttryckas med de fyra räknesätten, eller, med andra ord, att just de tal som pytagoréerna höll för gudomliga var irrationella. Pytagoréerna benämnde dem aloga, vilket bokstavligen betyder ologiska, eftersom de bröt mot den talmagiska logik som pytagoréerna ansåg förhärskande. Ordet översattes till sedan till latin, där det blir irrationella. Pytagoréerna tillhörde således den sista generationen som levde i den antika grekiska föreställningen att alla tal kunde uttryckas geometriskt, mätas och läggas i trianglar, ett synsätt som inte minst Pytagoras sats vittnar om. Denna sats, som var en av pytagoréernas stoltheter och till synes talens gudomlighet bevisad, tycktes nog vända sig mot dem när de upptäckte att hypotenusan till en rätvinklig triangel med sidorna ett är roten ur två, ett ofrånkomligen irrationellt, omätbart och ologiskt tal. Det kunde visserligen approximeras, men approximationer, ungefärligheter och närmevärden göre sig icke besvär i den gudomligt exakta, mätbara och geometriska, pythagoreiska matematiken.

Exakthetens försvinnande blev som en dödsstöt för pythagoréerna, men det slutade ändå inte där. Ytterligare ett tal som inte riktigt passade in dök snart upp: noll - ett envist tal, med vilket man kan multiplicera vilket annat tal som helst, och ändå alltid kommat tillbaka till noll. Om man dividerar noll med vilket som helst annat tal får man också bara noll och, ännu värre, alla tal delade på noll är outtydbara. Noll är sannerligen matematikens svarta hål.
Elegant animation av ett lika elegant (med dock ett bland många) bevis av Pythagoras sats. Tyvärr vet vi dock inte ifall det verkligen var Pythagoras som stod bakom den sats som fått bära hans namn. Här ses en animation av ett geometriskt bevis av satsen, av John Blackburne, CC-BY-SA 3.0.
När Pythagoras slutligen dog, antagligen bitter och desperat av alla motgångar hans tid hade sköljt över hans matematik. Hans sekt inbegreps i tumultartade stridigheter, där de som ville förskjuta de nya upptäckterna motsattes av dem som ville omfamna nyheterna och revidera Pythagoras läror efter den nya tidens matematik. Av naturliga skäl slutade Greklands aristokrater att flockas till hans krets. Pythagoras lär ändock har ha gått en heroisk död till mötes.

Länge hade pytagoréernas hemstad Kroton, där man ansåg att det var oetiskt att döda ormar men likväl både offrade oxar och gick i krig mot grannstäderna, stridit mot grannstaden Sybaris, en stad vida känd för sina utsvävningar. Som straff för vad pytagoréerna ansåg vara invånarnas omoraliska leverne hade man förstört staden i grunden. Om det verkligen var sybariterna eller några andra fiender som hämnades vet vi inte, men Kroton erövrades och Pythagoras, som av naturliga skäl stod högt på fiendens lista, hanns ikapp. Slutligen kom den store matematikern till en situation, där han för sin överlevnad var tvungen att fly rakt in i ett bönfält. Mästaren lär heroiskt ha valt att gå i döden, istället för att trampa ned bönorna, som han ansåg vara människans nära släktingar. På så sätt dog antikens mest egendomlige matematiker, även om spillror av hans sekt levde kvar. Pytagoréernas storhetstid var dock för evigt förvisad till historieböckerna.

Den gyllene rektangeln

Heras eller Poseidons tempel, därom tvista de lärde, i den etruskiska staden Paestum, Italien. Byggdes gjorde det under den tid då Paestum, staden som en gång i världen var känd för sina rosor, var en grekiskt koloni. Med sina 2000 års historia är det ett gott exempel på hur de antika grekerna använde det gyllene snittets proportioner - i tempelfasaden kan man se många gyllene rektanglar.
Den grekiska antikens guldålders mest namnkunniga författare, dramatiker, konstnärer och skulptörer: Fidias, Theukydides, Myron, Polykleitos, Euripides, Sofokles, Aristofanes, Sokrates, Anaxagoras upplevde alla Atens blomstrande, Parthenons uppförande, och den grekiska kulturens spridning över medelhavsområdet. Med sig från Grekland tog dessa kolonisatörer arkitektoniska och konstnärliga ideal, uppfattningar om de perfekta proportionerna, och om den gyllene rektangeln.

Det sägs att fortfarande efter snart två och ett halvt millennium, väljer en människa mellan ett antal olika rektangulära former den som mest liknar den gyllene rektangeln. Fortfarande används den i arkitektur och konst, och det mest kända exemplet är säkerligen Mona Lisas matematiska anletsdrag. Enkelt definierat, är en gyllene rektangel en rektangel där långsidans relation med kortsidan är det gyllene snittet, det vill säga 1 till φ ≈ 1,618..., eller mer exakt,  φ = x, där

(Mer om matematiken bakom det gyllene snittet står att finna i det här inlägget.)

Vi omges bokstavligen av gyllene rektanglar, från de antika templen, som Parthenon på Akropolis eller templet i Paestum, via Leonardo da Vincis Mona Lisa, vars berömda skönhet förstärks av berömdheten hos hennes matematiska proportioner, till Le Corbusiers arkitektur. Gyllene rektanglar och det gyllene snittet, proportionerna mellan kort- och långsidan i rektangeln, är minst sagt flitigt använda i konsten, och har varit så sedan mycket länge. Efter att se den i så mycket, och så ofta, är det kanske inte så märkvärdigt, om man får tro att vi upplever rektangeln som den mest fulländade formen.
Många av da Vincis verk visar på den nära kopplingen mellan konst och vetenskap, men få så som Mona Lisa och den gyllene rektangeln. Ytterst är en gyllene rektangel, som precis passar runt ansiktet, om den delas i en kvadrat bildas ytterligare en gyllene rektangel, och i sin tur kan delas; kvadraterna kan sedan placeras på olika sätt i den stora, nedre kvadraten, och passar alla till ansiktets olika former. Grafik: Juan ángel Paniagua Sánchez, CC BY 2.5.
Vissa hävdar att detta förhållande har sina rötter i evolutionen; under vår historia på savannen har de gynnats som snabbt kan blicka ut över den mest relevanta delen av vårt synfält för att se byten eller rovdjur. En av dem som förespråkar denna förklaring är Adrian Bejan, som menar att vår uppskattning av formen beror på tiden det tar att spana av synfältet i horisontell och vertikal riktning. Relationen mellan dessa två hastigheter, hastigheten som vi undersöker vår omvärld i vertikal respektive horisontell riktning, anser han stämmer med det gyllene snittet. Därför blir den rektangel som vi snabbast ser, och i dess mest primitiva kontext kan söka av efter potentiella faror eller möjligheter - eller på den paleolitiska savannen, rovdjur eller byten - just det, en gyllene rektangel.

Därutöver har många djur proportioner som påminner om det gyllene snittet; hur solrosfrön är arrangerade är ett berömt exempel; proportionen mellan avståndet från golvet till naveln respektive golvet till hjässan likaså. Därför finns det de som menar att det gyllene snittet är speciellt platseffektivt, energisparande eller till och med inbyggt i materians innersta.
Solrosen har inte ensamrätt på sina gyllene proportioner; här en skivtaklök från Göteborgs botaniska trädgård som gör den högresta sommarblomman äran stridig. Foto: Max Ronnersjö.
Sedan finns det naturligtvis de som tvivlar också - så många sätt att mäta, och så många sätt att mixtra med proportionerna, menar man, vore det snarast märkligt, om inte de flesta ting på ett eller annat sätt uppvisar ett eller annat gyllene snitt - men varför fördärva en god historia? Obestridligt är ju ändå, att talet uppkommer många gånger om i vår värld, och inte minst inom matematiken.

Tvivel åsido, har ändå få teman i matematiken genom historiens lopp visat sig så värda talesättet "kärt barn har många namn". Förutom just gyllene, har snittet kallats såväl gudomligt som extremt och genomsnittligt. Under 1900-talet har talet förlänats en symbol, φ, den grekiska bokstaven fi, efter den antike grekiske skulptören Fidias inital. Fidias är en av de tidigaste och kanske mest flitiga av proportionens användare, berömd för att ha skulpterat bland annat Zeusstatyn i Olympia, ett av antikens sju underverk. Tyvärr har dock alla skulptörens många mästerverk blivit förstörd långt innan vår tid, så spekulationer om vilka decimaler proportionerna har, är och förblir vanskliga, alla romerska och sentida kopior till trots.

Till Pythagoras och hans anhängares enorma förtret, är det gyllene snittet ett irrationellt tal. Antikens människors misstro mot denna sorts tal visas redan i dess namn, som direktöversatt betyder ett ologiskt tal. Pythagoréerna trodde, i likhet med de flesta greker vid denna tid, att alla tal gick att skriva som bråktal; man skulle helt enkelt kunna mäta upp talet som ett exakt avstånd endast genom att lägga enheter av samma storlek på rad - det går ju bra med nästan allt mellan himmel och jord, en sten kan mätas upp genom att lägga fem fem gånger mindre stenar på rad bredvid och ett tolv millimeter brett sandkorn kan mätas med tolv enmillimeters eller sex tvåmillimeters sandkorn. Men med pythagoréernas två mest heliga tal, pi och fi, var detta av någon anledning omöjligt - likaså med roten ur två, resultatet av den enklaste och mest rena triangeln, med båda kateterna lika med ett, om man använder mästaren Pythagoras egen sats. För en from pythagoré verkade nog undergången hotande nära, när själva talen som de dyrkade tycktes vända sig emot dem.
Kommentarer uppskattas! Har du något att tillägga, diskutera eller kommentera, så gör det mer än gärna. Det krävs naturligtvis ingen inloggning för att kommentera - ingen skall behöva avstå sin anonymitet för att få uttrycka sin åsikt.
Den här sidan använder cookies för att med hjälp av Googles programvara Google Anatytics undersöka besökarstatistik.