Sedan urminnes tider har människor uppskattat matematikens rena och logiska språk, vissa för att få makt och rikedomar, medan andra har låtit sig hänföras av den bara för dess känsla av överjordiskhet. Hursomhelst har trigonometriska funktioner varit något mycket viktigt, och faktum är att sinusfunktionen, som idag har en egen knapp reserverad åt sig på de flesta miniräknare, är nästan lika gammal som hela den västerländska kulturen.
Att utforska omvärlden har tydligen alltid varit ett av mänsklighetens största intressen (möjligen efter att ändra den), och ett led i utforskningen har varit att mäta upp den. Och där har matematiken kommit till användning.
Att utforska omvärlden har tydligen alltid varit ett av mänsklighetens största intressen (möjligen efter att ändra den), och ett led i utforskningen har varit att mäta upp den. Och där har matematiken kommit till användning.
Sumererna och mayafolket studerade stjärnhimlen och egyptierna och revolutionens fransmän mätte upp jordbruksmarken. Båda aktiviteterna är mycket enklare att utföra med hjälp av trigonometriska funktioner.
De tre vanliga trigonometriska funktionerna idag räknas som sinus, cosinus och tangens. Sinus är förhållandet mellan en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel, dess motstående katet och hypotenusan (som i enhetscirkeln bekvämt nog är lika med ett). Cosinus är detsamma som sinus, bortsett från att det rör sig om den närliggande istället för den motstående kateten, och tangens är förhållandet mellan samma vinkel och de båda kateterna.
Så vad skall man ha det till? Åkrar kan man mäta med vanlig geometri, sida gånger sida, och stjärnorna är väl vackra nog utan att man behöver räkna ut avståndet till dem?
Tydligen höll inte antikens folk med om det, och kunskapen om matematik (och kunskapen och makten att rita kartor) var mycket eftertraktad. Sinusfunktionen går att spåra tillbaka till indiska matematiker redan före år 600, varifrån den spreds till resten av världen och nådde genom arabiska manuskript medeltidens Europa - då, tack vare led av missförstånd, under det latinska namnet sinus, som betyder buk.
Utöver triangulering och uppmätning av land har sinusfunktionen använts till mycket annat, ett exempel är de imaginära beräkningar som ligger bakom modern teknik (varför exempelvis datorer och mobiltelefoner hade varit omöjligheter utan de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens).
Men de gamla grekerna, och i synnerhet Hipparkos och Ptolemaios (länk går till ett äldre inlägg där dessa är närmare beskrivna), hade en egen trigonometrisk funktion, kordan. Kordafunktionen är mycket lik sinusfunktionen, bortsett från att kordan appliceras på en likbent triangel och sinus på en rätvinklig.
Kordan gjorde dock vissa beräkningar mycket enklare, som till exempel att beräkna avstånd, om det så var en planet, ett klassiskt tempel eller ett avlägset fiendeskepp (som bilden föreställer).
I figuren är avståndet a (vilket är vad vi vill veta) lika med höjden h på föremålet delat med kordan för vinkeln crd(v). I matematiska termer blir detta:
För att beräkna avståndet till något krävs alltså någon slags kunskap om hur stort föremålet är (h). Vad gäller fartyg och byggnader är detta en sak, men för himlakroppar blir detta svårare. Inte undra på att de grekiska filosoferna engagerade sig i avancerade filosofiska resonemang för att med ren logik (ordet logik kommer från grekiska logos som betyder förnuftigt resonemang) nå fram till en slutsats om hur stora solen och månen egentligen var. Det bör kanske nämnas att just detta resonemang ledde helt fel (tror vi idag - är det givet att vi behöver tycka att grekerna gjorde fel i framtiden?), varför de avstånd de gamla grekerna angav också blev missvisande.
Låt oss ta ett exempel: Om ett skepp som är 25 meter högt över vattenytan, och från stranden sett är vinkelskillnaden mellan masttoppen och vattenytan 5 grader. Hur långt bort befinner sig skeppet?
Med hjälp av kordan kan vi bestämma avståndet a, genom att ta höjden delat med kordan
I figuren är avståndet a (vilket är vad vi vill veta) lika med höjden h på föremålet delat med kordan för vinkeln crd(v). I matematiska termer blir detta:
För att beräkna avståndet till något krävs alltså någon slags kunskap om hur stort föremålet är (h). Vad gäller fartyg och byggnader är detta en sak, men för himlakroppar blir detta svårare. Inte undra på att de grekiska filosoferna engagerade sig i avancerade filosofiska resonemang för att med ren logik (ordet logik kommer från grekiska logos som betyder förnuftigt resonemang) nå fram till en slutsats om hur stora solen och månen egentligen var. Det bör kanske nämnas att just detta resonemang ledde helt fel (tror vi idag - är det givet att vi behöver tycka att grekerna gjorde fel i framtiden?), varför de avstånd de gamla grekerna angav också blev missvisande.
Låt oss ta ett exempel: Om ett skepp som är 25 meter högt över vattenytan, och från stranden sett är vinkelskillnaden mellan masttoppen och vattenytan 5 grader. Hur långt bort befinner sig skeppet?
[crd(5)=0,087] och få att skeppet befinner sig 287 meter bort. Med den kunskapen kan vi till exempel beräkna hur lång tid det tar tills skeppet är framme.
Kordafunktionen gav inte fullständig exakthet (den beräknar ett av benen i den likbenta triangelns längd, och inte det faktiska avståndet), men med den nogranheten är vanligen, och för alla tillämpningar som de gamla grekerna använde den till, tillräcklig.
För att få fram sambandet mellan sinusfunktionen och kordafunktionen kan man använda exempelvis sinussatsen på triangeln som visas på bilden med skeppet. Sambandet är
,
vilket gör det möjligt att räkna med kordan även på miniräknare, konstruerade långt efter att kordafunktionen föll ur användning.
Och på så sätt har vi även fört samman två kulturers matematiska begreppsvärld, och åtminstone mig slår en lätt förvåning över att trots att sinus- och kordafuktionerna utvecklades under så vitt skilda omständigheter, av helt olika kulturer, med århundraden emellan, så är funktionerna desamma, bortsett från namn och några koefficienter. Är inte det ett tecken om något att matematiken är ett språk för sig, inbyggt i naturen, och inte skapad av människan, och tillika ett tecken på matematikens evighet?
Tidigare inlägg:
Trigonometrins födelse (om tidiga namn som Hipparkos och Ptolemaios)
Kordafunktionen gav inte fullständig exakthet (den beräknar ett av benen i den likbenta triangelns längd, och inte det faktiska avståndet), men med den nogranheten är vanligen, och för alla tillämpningar som de gamla grekerna använde den till, tillräcklig.
För att få fram sambandet mellan sinusfunktionen och kordafunktionen kan man använda exempelvis sinussatsen på triangeln som visas på bilden med skeppet. Sambandet är
,Och på så sätt har vi även fört samman två kulturers matematiska begreppsvärld, och åtminstone mig slår en lätt förvåning över att trots att sinus- och kordafuktionerna utvecklades under så vitt skilda omständigheter, av helt olika kulturer, med århundraden emellan, så är funktionerna desamma, bortsett från namn och några koefficienter. Är inte det ett tecken om något att matematiken är ett språk för sig, inbyggt i naturen, och inte skapad av människan, och tillika ett tecken på matematikens evighet?
Tidigare inlägg:
Trigonometrins födelse (om tidiga namn som Hipparkos och Ptolemaios)