Jalusimetoden, den ryske bondens algoritm och andra historiska finurligheter

Elementära beräkningar har alltsedan jordbrukets uppkomst, och säkerligen redan tidigare, varit en viktig del av människors vardag. Forskning visar att den mänskliga hjärnan föds med förmågan att räkna till tre, men att alla beräkningar med högre tal måste läras in medvetet. Då är det inte så märkligt att människor i alla tider visat stor uppfinningsrikedom vad gäller finurliga beräkningsmetoder, för att lätt och smidigt kunna genomföra nödvändiga beräkningar.

Till vår hjälp har vi fått våra tio fingrar och i vissa kulturer har man även använt tår och andra kroppsdelar. De hjälper oss bra med att genomföra enkel addition, men i många fall behövs mer än så. Steget från additionens relativt enkla sammanslagning av två tal till multiplikationens långt mycket mer abstrakta tankegångar har i många fall varit ett stort steg att överbrygga. Det är något som inte minst märks i småskolans tragglande av multiplikationstabeller.

Vilka är då våra förfäders knep för att plocka ned svåra multiplikationer till mer greppbara additioner? Ett av de allra äldsta svaren på den frågan kommer från antikens Egypten, där man använde sig av en snillrik metod.

Den egyptiska metoden för multiplikation har bevarats till oss tack vare att den nedtecknades i den numera berömda Rhindpapyrusen. Papyrusen, som stammar från 1600-talet f.Kr., är det kanske bästa bevarade exemplet på fornegyptisk matematik.

Den egyptiska metoden utgår från en tabell för tvåpotenser, d.v.s. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 och så vidare. Man har hittat spår av den här tabellen i egyptiska skrifter, så vi vet att egyptierna kände till den även om de inte hade samma begrepp för den som vi. Den stora fördelen med den egyptiska metoden är att alla multiplikationer kan förenklas till addition och dubblering, operationer som är både enkla och snabba. Av den anledningen har den kommit till användning i bland annat datorprogrammering. Datorer, som använder sig av binär räkning, har ju dessutom redan delat upp talen i tvåpotenser. Nedan visas hur man kan använda den egyptiska multiplikationen för att beräkna 15 gånger 654 (vilket för övrigt blir 9 810).

Utifrån en tabell med tvåpotenser kan man enkelt multiplicera hur stora tal som helst, något som egyptierna var tidiga med att upptäcka. För den som är intresserad av mer egyptisk matematik rekommenderas David Reimers bok Count Like an Egyptian, där han på ett lättillgängligt sätt presenterar de egyptiska beräkningsmetoderna. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En liknande metod användes under 1900-talet av medlemmar av den ryska handelsflottan - metoden har kanske något missvisande blivit känd som den ryske bondens algoritm. Vissa spekulerar till och med i att den ryska bondens algoritm skulle vara släkt med den fornegyptiska metoden. Det är dessvärre ganska så svårt att avgöra, eftersom användningen av den ryska bondens algoritm går tillbaka i historiens dimma med åtminstone ett par århundraden.

Metoden går till som så att de två talen som skall multipliceras skrivs i två kolumner, precis som i den egyptiska metoden. Talet i den vänstra kolumnen halveras tills det når 1 (och man avrundar i varje led nedåt). Den högra kolumnen dubbleras lika många gånger. Därefter stryks alla rader i tabellen där den vänstra kolumnen består av jämna tal. Sedan kan de icke strukna talen i den högra kolumnen summeras, vilket ger oss vårt svar.

Den kinesiska metoden för multiplikation har nedtecknats av filosofen och generalen Sun Zi, som är mest känd för sin militärstrategiska bok Krigskonsten. Hans levnadstid är omtvistad - traditionella källor placerar hans levnad på 400-talet f.Kr., medan vissa moderna historiker istället daterar honom ända fram till 400-talet e.Kr. Hursomhelst har han alltsedan sin levnad spelat en stor roll i den kinesiska kulturen, både som militärstrateg och som författare.

En tredje finurlig metod finner vi hos den kinesiske författaren Sun Zi. Den kinesiska metoden har vissa likheter med en modern multiplikationsuppställning. Det hela börjar med ett rutnät. Det ena talet skrivs överst, sedan lämnas en rad tom och det andra talet skrivs på den tredje raden med sin entalssiffra rakt under det första talets mest vänstra (d.v.s. "största") siffra. Den första siffran multipliceras med talet underst, som sedan flyttas ett steg till vänster. Operationen fortsätter för varje siffra i det övre talet. Här nedan kan du se hur 15 gånger 654 beräknas med den kinesiska metoden.

Den kinesiska multiplikationen genomför i ett rutnät, men liknar annars den uppställning vi använder idag. Metoden går ut på att varje siffra i det övre talet multipliceras med det undre talet. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En tredje metod för multiplikation är den så kallade jalusimetoden, som utvecklades av hinduiska matematiker i Indien och kom till Europa med Fibonaccis verk Liber Abaci, som utgavs vid mitten av 1200-talet. I Italien fick den sitt nuvarande namn, eftersom man tyckte att mönstret den liknade de jalusier som adelsfamiljerna satte för sina fönster för att hindra att kvinnorna skulle kunna ses från utsidan. Jalusimetoden förblev populär genom hela medeltiden, innan den slutligen föll ur bruk med boktryckarkonsten.

För att genomföra en multiplikation med jalusimetoden ritar man först ett rutnät med lika många rader som antalet siffror i det ena talet och lika många kolumner som i det andra. Därefter drar man diagonala streck från övre högra hörnet, så att alla rutor delas i två delar.

Av de metoder som jag beskrivit ovan tyckte jag att jalusimetoden var den enklaste. Eftersom den utvecklades just för vårt talsystems föregångare, de indiska siffrorna, kan den till skillnad från de egyptiska och kinesiska metoderna dra nytta av positionssystemets fördelar. På den här sidan kan du läsa mer om jalusimetodens historia. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

Utöver att den är en fascinerande metod i sig själv, är jalusimetoden intressant på två sätt. Dels visar den djupet av de hinduiska matematikernas förståelse av talens grundläggande egenskaper, men dels också hur långlivad en god matematisk idé kan vara. Med hjälp av handels- och upptäcktsresande spreds den över världen - från Indien till Kina, till Mellanöstern och därifrån till Europa och slutligen även Amerika.

Några andra multiplikationsmetoder kan du hitta här.

När matematiken skapade världen – matematikens födelse i mänsklighetens gryning

Lebombobergen på gränsen mellan Moçambique, Swaziland och Sydafrika var kanske hem åt världens första matematiker. Någon gång i mänsklighetens gryning satt det någonstans i de här bergen en människa och karvade i ett vadben från en babian. För eftervärlden har benet blivit berömt som Lebombobenet, och människan som karvade det har ovetandes blivit världens kanske första matematiker. Foto: Bob Rayner, CC-BY-SA 2.0

I en tid skild från vår egen med någonstans uppemot åttio tusen år satt världens kanske första matematiker i det som idag benämns Lebombobergen och karvade mönster i ett vadben från en babian. Resultatet blev vad vi idag kallar Lebombobenet, världens äldsta tecken på matematiskt tänkande. Lebombobenet, och det några millennier yngre Ishangobenet, markerar startpunkten på en epok i vilken människan använt sig av matematiken för att tolka och förändra sin omvärld. Lebombobenet är en produkt av människans vilja att förstå, likaväl som hennes förmåga att med sina händer och med sitt intellekt skapa och använda verktyg och redskap.

Lebombobenet markerar det första kända mänskliga försöket att genom nedtecknad matematik förstå och avbilda sin omvärld. Det föregicks säkert av en mycket lång tid under vilken all matematik var muntlig – man frågade hur många som skulle jaga, hur många frukter man hittat eller hur många dagar det var sedan man senast träffats. Att i ett i övrigt helt muntligt samhälle komma på tanken att nedteckna matematiken är ett mycket stort steg, som säkert föregicks dels av ritningar i sanden, och dels av försök att karva i exempelvis trä. Man kan därför ana att det var just viljan att bevara beräkningen, eller att genomföra den under en längre tid, som föranledde att man tog till ett ben och en vass kniv – så vad var det som kunde ha varit så intressant att bevara? Vad räknade den här tidens människor egentligen på?

Ishangobenet, världens näst äldsta tecken på matematiskt tänkande, vilket Lebombobenet lär vara mycket likt. Av någon outgrundlig anledning har dock Lebombobenet erhållit väsentligt sämre mediatäckning. (Med andra ord: Det finns inga tillförlitliga bilder på Lebombobenet på hela den vida webben!)

Från den allra första tiden av mänsklighetens existens har matematiken varit en del av att forma vår världsbild. Colin Renfrew och Iain Morley delar i boken The Archaeology of Measurement upp människans (och därmed matematikens) utveckling i två faser: till att börja med den fas, under vilken vår art fortfarande var under utveckling, då människoliknande föregångararter lärde sig att använda stenredskap och -verktyg, och därefter den fas, som kom efter att vår art spritts över kontinenterna, då stenredskap användes till att skapa hyddor, hyddor blev till bostadshus och jägare slutligen blev till jordbrukare. Lebombobenet ligger precis i gränslandet mellan de två olika faserna.

Den andra fasen är den fas under vilken vår särart som tänkande människor med komplexa världsåskådningar kan sägas ha uppkommit. Just på grund av behovet av att mäta avstånd för att bygga, antal för att jaga, men kanske allra mest tid för att kunna odla, växte en världsbild fram som baserade sig på måttet och vad måttet gjorde med världen. Genom att mäta förändras nämligen världen: Den blir abstrakt. Renfrew och Morley skriver:

In some cases [these abstractions] offer a suggestion, a hint of order in the world. [...] The successive cycles of the Maya calendar, for instance, offer a picture of time flowing steadily forward through a series of eras. Such ideas must first have been stimulated by the practice of measuring time. And they lead on offer the possibility also that human affairs can be ordered in such a way as to fall into step with the harmonious structure that may have been detected."

Stenåldersmonumentet Newgrange på Irland, som här lyser vitt vid horisonten, är ett exempel på hur stenålderns människor intresserade sig för att mäta tid – vid vårdagjämningen lyser solen nämligen rakt in genom ett hål ovanför ingången. På så sätt visste människorna när det var dags att så. Samtidigt skapade monumentet en känsla av återkommande cykler av tid, som säkerligen måste ha påverkat människornas världsbild. Foto: Yvonne Ní Mhuiregán, CC-BY-SA 4.0

Morley skriver om matematikens användning i människans tidiga utveckling. Människan är en social varelse och för vår överlevnad och vårt tänkande står gruppen i centrum. Stenåldersmänniskan var helt beroende av sin grupp, klan eller familj. Vikten av gruppens överlevnad, och oron för motsatsen, måste därför ha satt stora avtryck i den tidiga människans tankevärld och därigenom i hennes sätt att formulera matematik. Även om man lätt kunde se ifall någon i gruppen saknades, ville man säkert räkna på sådant som antalet jägare som behövs för att fälla ett visst byte. I förlängningen fanns säkert också en vilja att jämföra olika gruppmedlemmars bidrag.

Andra viktiga aspekter som stenålderns människor med all säkerhet kände ett behov av att räkna på var de resurser som stod gruppen till buds, i form av bland annat råvaror, mat och redskap. Från den här räkningen stammade även begreppet om olika varors relativa värde – fem får för en oxe – något som får sin naturliga användbarhet i handeln. På ett större plan var matematiken med och skapade människornas världsbild, i form av egenskaper hos olika föremål – till exempel mått, vikt eller volym. Först här kan man säga att matematiken på riktigt var med och skapade människornas värld, när relativa påståenden – "det här kruset rymmer mer än det där" – ersattes av definitiva – "det här kruset är stort eftersom det rymmer fem liter". Olika kulturer hade olika måttenheter, men gemensamt hade de att måttenheterna förändrade världen.

Men också på många andra områden förändrade matematiken världen. Från de naturliga cyklerna – dag, natt, månad och år – skapade människan egna. En nyckeluppfinning i den här processen var med all säkerhet soluret, med vars hjälp matematiken för första gången fick grepp om tiden. Med en noggrannare indelning av dagen blev det plötsligt lättare att organisera större sammanslutningar av människor, samtidigt som kopplingen mellan matematiken och världen tydliggjordes som aldrig någonsin tidigare. I den meningen kan man säga att matematiken inte bara skapade världen, utan också samhället.

Soluret möjliggjorde en noggrannare uppdelning av tiden än vad naturen i sig erbjuder, och var därför en av grundstenarna i uppkomsten av de stora högkulturerna. De äldsta soluren stammar från det antika Egypten, medan det här hellenistiska soluret, som hittades i Ai Khanoum i dagens Afghanistan, kommer från 300- eller 200-talet. Notera att halvcirkeln delats upp i tolv delar. Foto: Wikimediaanvändare World Imaging, CC-BY-SA 3.0

Under stenåldern, under tiden då de första högkulturerna började utvecklas, och ända fram i vår egen tid, har en av gruppens allra viktigaste uppgifter varit matförsörjningen. Utan mat ingen matematik – och varken samhälle eller liv heller. Vägen från muntliga beräkningar till beräkningar i skrift var ett stort steg, men ett nödvändigt sådant för alla begynnande högkulturer. Ur matförsörjningen kom byråkratin, och ur byråkratin skriftspråket. Inte minst tydligt är denna övergång i Mesopotamien, i en process som beskrivs av Denise Schmandt-Besserat i ovannämnda bok, där beräkningar med minneshjälpmedel sakta övergick till kilskrift under århundradena före 3000 f.Kr.

Redan för mer än nio tusen år sedan, samtidigt som jordbruket för första gången började få fäste, började människor använda sig av små lerfigurer för att bokföra sina skördar. De mesopotamiska lertecknen var en till två centimeter stora och hade olika former; bland dem finner man små koner, sfärer och cylindrar. De äldsta sådana tecknen kommer från en utgrävning i Mureybet i dagens Syrien. Fyndplatsen grävdes ut under 60- och 70-talen och är idag översvämmad av Asadsjön, en vattenkraftsdamm och vattenreservoar.

Samtidigt med jordbrukets och byråkratins uppkomst upptäckte människorna behovet av att kunna bokföra sina varor; under de fem följande årtusendena spreds användningen av den här sortens lertecken över hela Mesopotamien. Just dessa lertecken kommer från Susa, i dagens Iran, och stammar från 3000-talet f.Kr. Idag återfinns de på Louvren i Paris.

Kännetecknande för de här tecknen var en sammansmältning av räkningen och det räknade. Om ovala tecken betydde krus med olja, så betydde ett sådant tecken alltid ett kärl med olja. På samma sätt som ordet "tvillingar" på svenska oupplösligt sammanför antalet (två) med det som räknas (syskon som fötts samtidigt), förde tecknet för krus med olja samman antalet (ett) och det som räknades (krus med olja). För fem lerkrus med olja behövdes fem tecken.

Efterhand började lerfigurerna att samlas ihop i små behållare. Lertecknen trycktes mot utsidan, så att små avtryck på behållarens utsida angav vad behållaren innehöll. På en sådan behållare som hittades i Habuba Kabira i dagens Syrien, idag översköljt av Tabqadammen, fanns sju avtryck av tecknet för oljekrus – och inuti låg mycket riktigt sju små, ovala lertecken fortfarande kvar. När behållaren väl förslutits fick den det värde som angavs på utsidan – det gick inte längre att kontrollera innehållet utan att utan att ta sönder behållaren. Behållarna ersattes snart med massiva bollar av lera, som plattades ut och blev till lertavlor. Så småningom började man rita symbolerna istället för att trycka figurerna mot leran och därmed hade den kilskriftens första föregångare sett dagens ljus.

När bokföringen utvecklades började lertecknen samlas ihop i små behållare som sedan förslöts. Innan leran stelnat pressades de lertecken som skulle förvaras inuti behållaren mot utsidan. Behållarens värde motsvarade det antal tecken som pressats mot utsida. Också det här föremålet kommer från 3000-talets Susa och finns idag på Louvren.

Fortfarande fanns dock ett ett-till-ett-förhållande mellan antalet tecken och det antal varor de symboliserade: En trekant betydde en enhet korn, två trekanter betydde två enheter korn, och så vidare. Detta förhållande mellan antal och vara bröts först i slutet av 3000-talet f.Kr. i och med övergången till så kallade piktografiska tecken – något som med visshet kan sägas vara ett av de allra största genombrotten i matematikens historia. Den ovala formen förlorade sin betydelse som "ett krus med olja" och blev enbart "krus med olja". Framför tecknet sattes istället världens äldsta siffertecken – en liten trekant för 1, en cirkel för 10 och en stor trekant för 60. När kvantiteterna växte i takt med att jordbruket blev effektivare, människorna fler och statsbildningarna större innebar siffertecknen en väsentlig platsbesparing. Istället för att behöva 33 tecken för att skriva 33 krus med olja, något som dessutom lätt kan bli oöverskådligt, behövdes bara sju – tre cirklar, tre små trekanter och ett tecken för krus med olja. (På den här sidan finns mer om de mesopotamiska lerfigurerna och deras utveckling till kilskriften samt bild på de tidiga piktografiska tecknen [figur 4 och 5].)

I talens och varornas uppdelning kan vi också se de första riktiga siffrornas födelse. Med deras hjälp skulle den sumeriska matematiken komma att blomstra – separerade från tingen kunde de abstrakta siffrorna få eget liv och användas för att göra beräkningar om helt andra saker än byråkrati. Samtidigt ärvde de nya, abstrakta siffrorna något från lertecknen som föregick dem, förmågan att adderas och subtraheras, divideras och multipliceras. De lertecken som för mer än femtusen år sedan användes av Mesopotamiens människor var på så sätt den första formen av själva konceptet tal. Men, det är ju klart, tydligheten i att två lertecken plus tre lertecken blir fem lertecken kan aldrig ersättas av abstrakta siffertecken på en lertavla – och kanske var det därför de två systemet samexisterade, sida vid sida, i omkring tusen år.