Del 3: Matematiken, Indien och världen

Detta inlägg är den tredje delen i en serie om tre avsnitt. Här hittar du den första respektive andra delen.

Det Indien som Brahmagupta kände var ett rike i politiskt kaos. Under loppet av 500-talet föll Guptariket samman under trycket av hunniska invasioner från Centralasien och vid slutet av århundradet återstod det endast som en stadsstat kring det Kusumapura som Aryabhata en gång var verksam i. Den politiska splittring som följde kom att känneteckna medeltidens Indien, som ett splittrat landskap med med många lokala härskare och hov. Trots att tiden för den vetenskapliga vurm som odlats vid Guptarikets hov var till ända fortsatte verksamheten i lärocentren Kusumapura och Ujjain, och det var under den här perioden som den kanske mest omvälvande förändringen i det matematiska tankesättet ägde rum.

Det var också under medeltiden som det abstrakta sätt att se på talen som vuxit fram under guptaperioden började bära frukt. När tal inte längre nödvändigtvis var antal, areor eller något annat, utan kunde frikopplas och bli de abstrakta tal vi idag menar när vi använder oss av matematik, infann sig också ett nytt sätt att tänka. De indiska matematikerna var inte sena att ta vara på de nya möjligheter som följde, och medeltiden blev en blomstringstid i den indiska matematiken. Främst bland de medeltida matematikerna var en man vid namn Bashkara (men som i vissa sammanhang brukar kallas för Bashkara II för att särskilja honom från en äldre namne). Han lär ha fötts år 1114, levt till 1185 och i likhet med Brahmagupta ha varit ledare för lärocentrumet i Ujjain.

De politiska förhållandena i medeltidens Indien var kaotiska, och vad som förmodas vara Bashkaras hemstad verkar vid tiden för hans födelse ha tillhört det västra Chalukyariket. Denna anspråkslösa bildsten, som är daterad till året efter Bashkaras födelseår, är en av få existerande avbildningar av den då regerande kungen Vikarmaditya VI.

Sitt berömda verk, som snarast kan kallas den indiska matematikens universalverk, Siddhanta Shiromani, författade han endast 36 år gammal. Matematiken han tar upp är av varierande ålder och ursprung, och verket rymmer alltifrån förbättringar av matematik som varit känd sedan Aryabhatas tid till helt nyvunnen kunskap. Siddhanta Shiromani följer den indiska traditionen i det att den är skriven på vers - och har en omfattning på nära ett och ett halvt tusen sådana - men har ändå en särprägel jämfört med sina föregångare: Den nya inställning till matematik som utvecklades under början av medeltiden ger Bashkaras matematik en följsamhet bortom sina föregångare. Talet noll, negativa och positiva tal öppnade för ett helt nytt sätt att tänka, och gjorde Siddhanta Shiromani världsunikt. Framförallt är Siddhanta Shiromani skådeplats för ett monumentalt framsteg: differentialkalkylen - konsten att kunna räkna på förändringen i sig.

Att säga att Bashkara är differentialkalkylens uppfinnare vore dock enligt de flesta aningen förhastat. För det första har vi som vanligt inga bevis på att Bashkara själv var upptäckare av allt han nedtecknade, utan snarare antydningar att han sammanfattade och nedtecknade vad som lärdes ut av de lärare och visa män som var aktiva vid Ujjain. På så sätt framstår han mer en läroboksförfattare än en spetsforskare. För det andra formulerade de indiska matematikerna ingen generell metod för derivering eller integrering, och särskilde inte några tydliga koncept, utan vad de kan sägas ha vunnit är en grundläggande insikt om den sortens matematiks möjligheter, och därmed på ett rejält sätt satt igång en process som fyra hundra år senare skulle leda fram till Newton och Leibniz samtidiga upptäckt. Bashkaras verk, Siddhanta Shiromani, tjänade som den grundläggande läroboken i indisk matematisk utbildning ända fram tills den brittiska kolonialmakten övertog utbildningsväsendet drygt 700 år senare.

Sina observationer gjorde han vid observatoriet i Ujjain, på bilden, vid floden Shipra, som är Indiens ohotade astronomiska centrum. Det observatorium som idag finns i staden är visserligen inte äldre än 1700-talet, men är å andra sidan det enda av 1700-talsobservatorierna som fortfarande är i drift. Idag används det för att uppställa väderprognoser. Foto: Bernard Gagnon

Astronomin var drivkraften som fick Bashkara att utveckla de första stegen mot differentialkalkylen - i likhet med nästan alla indiska matematiker var Bashkara inte främst matematiker utan astronom. Drivkraften bakom hans intresse för matematik var astronomin och hans verksamhet förefaller ha utgått från observatoriet i Ujjain - i denna aspekt skiljde sig inte differentialkalkylen från de andra matematiska grenar som Bashkara berörde. I sitt arbete använde Bashkara troligtvis ett instrument som idag går under namnet jakobsstav, som inte nådde västerlandet förrän ett antal sekler senare och som bland annat användes för att mäta himlakroppars höjd över horisontlinjen. På ett matematiskt plan liknar tekniken triangulering och förutsätter därmed användning av de trigonometriska funktionerna. Eftersom himlakroppar som bekant rör sig, förändras vinklarna och de trigonometriska funktionerna behöver plötsligt deriveras.

Arvet efter Bashkara var en bok av närmast episk omfattning, som blev blev ett tungt arv och en hög ribba för de kommande indiska matematikerna; från århundradena efter Bashkara känner vi till knappt någon matematisk utveckling. Inga böcker eller artefakter som antyder någon utveckling har i vart fall ännu inte upphittats, men att utvecklingen helt skulle ha avstannat är ändå troligt. Liknande påståenden, om att utvecklingen plötsligt skulle ha avstannat, har tidigare gjorts om andra epoker i den indiska matematiska historian, för att senare överbevisas av nya fynd. Så nya rön om senmedeltidens matematik är att vänta, men än har inga gjorts.

Den indiska matematiken hade en sista blomstringstid i Kerala på Indiens sydligaste västkust. Dess läge på den indiska oceanens handelsrutter gav matematiken god spridning, men ironiskt nog var landskapet, som varierar mellan den låglänta kuststräckan och skogklädda bergsområden, bland de första till vilka de europeiska kolonisatörerna kom.

Istället dyker spåret av matematikens vidare utveckling inte upp förrän två sekler senare, och då i staten Kerala längsmed den indiska halvöns sydligaste västkust. Matematikerna som verkade här särskiljer sig på så sätt från såväl guldålderns som medeltidens matematiker genom att de varken verkade som enskilda matematiker-astronomer vid något av de många kungliga hoven eller som läromästare vid något av de två stora lärocentren, det i Kusumapura i norr och det i Ujjain i söder. Istället samlades kring en man vid namn Madhava en grupp matematiker och bildade därmed vad som av eftervärlden har kommit att benämnas Keralaskolan.

Vad Keralaskolans medlemmar åvägabringade närmar sig i sin omfattning en matematisk revolution - den matematik de utvecklade skulle inte komma att överträffas förrän två sekler senare. Madhavas arbete - eller i vart fall det som vunnit honom berömmelse - centrerades kring oändliga serieutvecklingar, av π och av de trigonometriska funktionerna. Exempelvis fann han att sin x - en för såväl navigation som astronomi ytterligt viktig funktion, men samtidigt en notorisk felkälla i en värld med endast oexakta tabeller och en minst sagt skriande brist på miniräknare - kunde uttryckas som

Med den kunskapen kunde man åstadkomma bättre tabeller och dessutom göra bra approximationer alltefter behov (vilket ju för övrigt är samma princip som våra dagars miniräknare bygger på.) Därför bär många av de serier han formulerade, som länge benämnts efter sina europeiska upptäckare, numera även Madhavas namn.

Madhava fick många efterföljare inom Keralaskolan, vars arbete ofta cirklade kring oändliga serieutvecklingar, och på så sätt kan sägas med de trigonometriska funktionernas hjälp ha förenat den jainistiska matematikens fascination med det oändliga (som Zenon som bekant inte till fullo delade) med geometrin, aritmetiken och astronomin i den matematik som såg dagens ljus vid lärocentret i Ujjain.

Den stad som idag bär namnet Irinjalakuda lär under medeltiden ha hetat Sangamagrama och varit Madhavas födelseort. Idag är den hem till drygt 50 000 invånare. Foto: Wikipediaanvändare Challiyan.

Kerala, en av Indiens av turister mest bevistade delstater, ligger utsträckt längsmed den indiska oceanen och var därför hem för en av det medeltida Indiens viktigaste handelsknutpunkter: hamnstaden Muziris. Staden är något av ett mysterium: ingen vet var den låg (även om lovande arkeologiska utgrävningar pågår i Pattanam), ingen vet exakt vem som besökte den (även om den omnämndes av flera romerska skribenter) och ingen vet hur länge staten fortsatte att vara aktiv (även om det sägs att europeiska jesuiter var verksamma där under 1600-talet).

Hamnstaden Muziris besöktes av såväl europeiska jesuiter som arabiska handelsmän. Utbyte skedde inte bara av varor, ädelmetaller och mynt, utan Keralas hamnstäder blev hem åt en mångkulturell smältdegel. Astronomi gick ihop med navigationskunskap, navigationskunskap med matematik, och den kunskap som grundlagts vid Indusflodens stränder, emanerat ur generationer av hinduiska, jainistiska och buddhistiska matematikers arbete och vuxit till i lärocentren i Kusumapura och i Ujjain tog därigenom klivet ombord på en seglats till främmande länder, till Mellanöstern och kanske ända till Europa.

Vasco da Gamas landstigning i Kerala 1498 markerade början på direktkontakterna mellan Kerala och Europa, som tillät indisk matematik att spridas direkt till Europa. Utbytets omfattning är dock en kontroversiell fråga. Akvarellmålningen ovan är däremot inte äldre än 1880-talet, då den förfärdigades av en man vid namn Ernesto Casanova.

Även om det självklart är omöjligt att sammanfatta en hel kulturs matematiska utveckling, så återkommer vad som snart i sig blivit ett mantra: att Indien är kontrasternas land. För den indiska matematiken har ju sett allt från tegelstenars geometri till astronomisk trigonometri, och indiska matematiker har utvidgat tallinjen med allt från de negativa talen via noll till oändligheten. De har arbetat enskilt, i höga torn och djupa bibliotek, men också tillsammans, samlade i skolor och lärocentra. I kolonisationen mötte den indiska matematiken en ny rad utmaningar - Indien uppgick i det brittiska imperiet, och så även dess matematik. I många fall hyste kolonisatörerna ingen eller liten förståelse för de matematiska framsteg de indiska matematiker man mötte var arvtagare till, och vilken matematisk tradition som levde i deras kultur. Inhemsk indisk matematik avfärdades nog i de flesta fall som mysticism, och de indier som ville utöva matematik fick möta den endast i dess brittiska version. Men Indien fortsatte naturligtvis att producera begåvade matematiker. En bland dem var Srinavasa Ramanujan, Indiens kanske mest framstående matematikergeni under 1900-talet, som i en mening - måhända oavsiktligt - träffande lyckades sammanfatta den indiska matematikens utveckling hand i hand med den religiösa astrologin, när han en gång lär ha sagt:

Sir, an equation has no meaning for me unless it expresses a thought of God.” - Srinavasa Ramanujan

Därmed är den här serien om antik indisk matematik till ända. Här finner du det första och det andra avsnittet.

Sinus och kordan - trigonometri under två millennier

Sedan urminnes tider har människor uppskattat matematikens rena och logiska språk, vissa för att få makt och rikedomar, medan andra har låtit sig hänföras av den bara för dess känsla av överjordiskhet. Hursomhelst har trigonometriska funktioner varit något mycket viktigt, och faktum är att sinusfunktionen, som idag har en egen knapp reserverad åt sig på de flesta miniräknare, är nästan lika gammal som hela den västerländska kulturen.


Att utforska omvärlden har tydligen alltid varit ett av mänsklighetens största intressen (möjligen efter att ändra den), och ett led i utforskningen har varit att mäta upp den. Och där har matematiken kommit till användning.

Sumererna och mayafolket studerade stjärnhimlen och egyptierna och revolutionens fransmän mätte upp jordbruksmarken. Båda aktiviteterna är mycket enklare att utföra med hjälp av trigonometriska funktioner.

De tre vanliga trigonometriska funktionerna idag räknas som sinus, cosinus och tangens. Sinus är förhållandet mellan en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel, dess motstående katet och hypotenusan (som i enhetscirkeln bekvämt nog är lika med ett). Cosinus är detsamma som sinus, bortsett från att det rör sig om den närliggande istället för den motstående kateten, och tangens är förhållandet mellan samma vinkel och de båda kateterna.

Så vad skall man ha det till? Åkrar kan man mäta med vanlig geometri, sida gånger sida, och stjärnorna är väl vackra nog utan att man behöver räkna ut avståndet till dem?

Tydligen höll inte antikens folk med om det, och kunskapen om matematik (och kunskapen och makten att rita kartor) var mycket eftertraktad. Sinusfunktionen går att spåra tillbaka till indiska matematiker redan före år 600, varifrån den spreds till resten av världen och nådde genom arabiska manuskript medeltidens Europa - då, tack vare led av missförstånd, under det latinska namnet sinus, som betyder buk.

Utöver triangulering och uppmätning av land har sinusfunktionen använts till mycket annat, ett exempel är de imaginära beräkningar som ligger bakom modern teknik (varför exempelvis datorer och mobiltelefoner hade varit omöjligheter utan de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens).

Men de gamla grekerna, och i synnerhet Hipparkos och Ptolemaios (länk går till ett äldre inlägg där dessa är närmare beskrivna), hade en egen trigonometrisk funktion, kordan. Kordafunktionen är mycket lik sinusfunktionen, bortsett från att kordan appliceras på en likbent triangel och sinus på en rätvinklig.

Kordan gjorde dock vissa beräkningar mycket enklare, som till exempel att beräkna avstånd, om det så var en planet, ett klassiskt tempel eller ett avlägset fiendeskepp (som bilden föreställer).


I figuren är avståndet a (vilket är vad vi vill veta) lika med höjden h på föremålet delat med kordan för vinkeln crd(v). I matematiska termer blir detta:

För att beräkna avståndet till något krävs alltså någon slags kunskap om hur stort föremålet är (h). Vad gäller fartyg och byggnader är detta en sak, men för himlakroppar blir detta svårare. Inte undra på att de grekiska filosoferna engagerade sig i avancerade filosofiska resonemang för att med ren logik (ordet logik kommer från grekiska logos som betyder förnuftigt resonemang) nå fram till en slutsats om hur stora solen och månen egentligen var. Det bör kanske nämnas att just detta resonemang ledde helt fel (tror vi idag - är det givet att vi behöver tycka att grekerna gjorde fel i framtiden?), varför de avstånd de gamla grekerna angav också blev missvisande.


Låt oss ta ett exempel: Om ett skepp som är 25 meter högt över vattenytan, och från stranden sett är vinkelskillnaden mellan masttoppen och vattenytan 5 grader. Hur långt bort befinner sig skeppet?

Med hjälp av kordan kan vi bestämma avståndet a, genom att ta höjden delat med kordan

[crd(5)=0,087] och få att skeppet befinner sig 287 meter bort. Med den kunskapen kan vi till exempel beräkna hur lång tid det tar tills skeppet är framme.


Kordafunktionen gav inte fullständig exakthet (den beräknar ett av benen i den likbenta triangelns längd, och inte det faktiska avståndet), men med den nogranheten är vanligen, och för alla tillämpningar som de gamla grekerna använde den till, tillräcklig.


För att få fram sambandet mellan sinusfunktionen och kordafunktionen kan man använda exempelvis sinussatsen på triangeln som visas på bilden med skeppet. Sambandet är

,

vilket gör det möjligt att räkna med kordan även på miniräknare, konstruerade långt efter att kordafunktionen föll ur användning.


Och på så sätt har vi även fört samman två kulturers matematiska begreppsvärld, och åtminstone mig slår en lätt förvåning över att trots att sinus- och kordafuktionerna utvecklades under så vitt skilda omständigheter, av helt olika kulturer, med århundraden emellan, så är funktionerna desamma, bortsett från namn och några koefficienter. Är inte det ett tecken om något att matematiken är ett språk för sig, inbyggt i naturen, och inte skapad av människan, och tillika ett tecken på matematikens evighet?


Tidigare inlägg:
Trigonometrins födelse (om tidiga namn som Hipparkos och Ptolemaios)

Triangulering – nu och då

Triangulering är ett av de mest finurliga sätten att mäta avstånd exakt. Metoden gör bruk av ett antal enkla geometriska påståenden, en liten dos trigonometri och så – om man vill mäta ett helt land, vill säga – en rejäl omgång äventyrliga resor. Grekerna använde trianguleringens teknik, om än inte namnet, för att mäta avståndet till skepp ute till havs, och tekniken återfinns i kinesiska matematikböcker från 200-talet e.Kr. Under 1600-talet upptäcktes dess förtjänster av europeiska matematiker, och under 17-, 18- och 1900-talen spann så trianguleringen sitt nät över hela jordklotet.

Men låt oss först fråga: Hur går en triangulering till? Vi tar ett exempel. Säg att vi börjar på en liten kulle, som vi kallar A, med utsikt över havet och över byn som ligger invid kullens fot. Från toppen av kullen kan vi se byns kyrka, som vi kallar B, och en fyr, C, på en liten kobbe nära kusten. Hur långt bort ligger egentligen fyren?

Vi börjar med att mäta vinkeln mellan fyren och kyrktornet, och finner att den är 60 grader. Därefter mäter vi, så exakt som möjligt, sträckan bort till kyrktornet, som är 100 meter. Eftersom prästen i kyrkan är mycket vänlig, låter hon oss klättra upp i kyrktornet, varifrån vi mäter vinkeln mellan kullen och fyren. Vinkeln är 80 grader. Därmed vet vi att vinkeln sedd från fyren är 40 grader. Utan att behöva ta oss ut till fyren, kan vi nu bestämma avståndet mellan kullen och fyren med hjälp av sinussatsen, som ger oss ett svar på ungefär 153 meter:

Genom att bygga på med triangel efter triangel kan vi alltså mäta upp vilka avstånd som helst, så länge vi har en exakt uppmätt sträcka att utgå ifrån. Den här insikten, den om att trianglar kan vara av stor nytta – ja, nästan oumbärliga – vid mätning av sträcka, var något kom tidigt i matematikens utveckling. Såväl i antikens Grekland som i det tidiga Kina, liksom säkerligen på många andra platser på jordklotet, använde sig matematiker av trianglar för att bestämma avstånd. I den havsomgärdade grekiska övärlden, där också anfall från sjöss under långa perioder snarast verkar ha tillhört det normala, åtminstone om man få tro de episka sagoberättelserna, var det säkerligen av största vikt att från kusten kunna uppskatta avståndet ut till ett annalkande skepp. De grekiska matematikerna använde en speciell trigonometrisk funktion, den s.k. kordan, som vi idag sällan ser, som enkelt och lätt gav de rätta förhållandena mellan vinklarna och avstånden. På sätt och vis kan kordafunktionen räknas som anmoder till våra dagars uppsättning av trigonometriska funktioner. (Mer om korda-funktionen kan du läsa i det här inlägget.)

Den här fullspäckade illustrationen av en trianguleringsliknande matematisk operation stammar från en 1700-talsutgåva av Liu Huis klassiska matematikbok från 200-talet e.Kr. Liu Hui var verksam under den tid som kallas de tre kungadömenas period, en tid av krig och oroligheter, men också av legender, historier och dramatiska sagor.

Dessa tidiga matematiker skulle säkerligen inte ha beskrivit sin metod som ”triangulering”, utan snarare som ett behändigt sätt att använda sig av triangelns matematiska egenskaper. Som specifik teknik kom trianguleringen inte i vitt spritt bruk förrän på 1600-talet. Den första trianguleringen av en större landmassa genomfördes 1615 av Willebrord Snell, som konstruerade 33 trianglar på den elva mil långa sträckan mellan Alkmaar och Bergen op Zoom i Nederländerna.

Sitt stora kändisskap skulle trianguleringen dock få först i och med den franska revolutionen. Starkt präglad av upplysningstidens ideal skulle den nya franska republiken förses med rationella och funktionella måttenheter, som skulle vara frikopplade från tidigare epokers vidskeplighet, regionala variationer och aristokratiska förtryck. Den nya måttenheten, som kallades metern, skulle ligga till grund för alla rymdmått och skulle härledas från Jordens egna proportioner – eller åtminstone Frankrikes. Bara något år efter att revolutionen först tagit fart skickades Jean Baptiste Delambre och Pierre Mechain ut för att mäta avståndet mellan Dunkirk i norr och Barcelona i syd samt beräkna den nya måttenhetens sanna storlek. (Deras resor och vedermödor, liksom i övrigt denna spännande och omvälvande tid såväl matematiskt som politiskt och historiskt, kan du läsa mer om i det här inlägget.)

Mycket av Delambres och Mechains framgångar berodde på att de hade med sig ett nytt instrument, som uppfunnits av den franske matematikern, vetenskapsmannen och teknikern Jean-Charles de Borda. Med hjälp av Bordacirkeln kunde trianguleringen genomföras både enklare och med större precision. Trots det tog det hela sex år att triangulera enbart från nord till syd – även med ständigt förbättrad teknik skulle trianguleringen av hela nationen ta lång tid att genomföra.

Även om revolutionens ideal – frihet, jämlikhet och broderskap – av förklarliga skäl aldrig vann någon större uppskattning bland den övriga europeiska eliten, spred sig trianguleringen över hela kontinenten. Under loppet av 1800-talet mättes fler och fler europeiska länder upp; att exakt kunna definiera vad som låg utanför, men framförallt inom, nationens gränser kom att bli en avgörande del i övergången från löst sammanhållna furstendömen till moderna nationalstater. Och än mer var de exakta avstånden oundgängliga för 1800-talets stora infrastrukturprojekt: telegrafledningarna, järnvägen och vägarna.

Det här trianguleringsnätet över Rheinland-Hessen i sydvästra Tyskland stammar från 1900-talets tidigaste år, och utgör ett perfekt exempel på hur triangel efter triangel kunde fogades samman till en exaktare karta.

De imperiebyggande britterna hade inte bara de brittiska öarna att mäta upp utan även sina kolonier, som på imperiets höjdpunkt tillsammans täckte en fjärdedel av Jordens landmassa. Trianguleringen av den indiska halvön skulle komma att bli en lång och mödosam process: Många drabbades av smittsamma sjukdomar, vägarna var oftast svårframkomliga och inte sällan tillgängliga enbart under några få månader per år. Men de rundresande engelsmännen upptäckte också helt nya, för västvärlden okända platser. Bland Himalayas toppar upptäckte man ett flertal nya bergstoppar, som var högre än alla tidigare kartlagda berg. Den högsta av de nya bergstopparna utropades därefter, försiktigt nog, till världens troligtvis högsta berg. Dessvärre hade det redan så många olika namn bland den lokala befolkningen, att engelsmännen till en början inte visste riktigt vad de skulle kalla bergstoppen. Därför fann de sig tvungna att tillföra ytterligare ett namn och trianguleringsorganisationens ledare, Andrew Waugh, beslöt att döpa den nya toppen efter sin företrädare, George Everest.

Mount Everest, som berget fick heta (mot George Everests vilja), mättes upp till exakt 29 000 fot, eller ungefär 8 840 meter. Det, bestämde man sig kvick för, gick inte för sig, eftersom alla då skulle tro att man i all hast gissat sig till ett ungefärligt, fint avrundat värde. Av den anledningen bestämde sig Waugh för att helt enkelt lägga till två fot på måttet, varefter världen fick veta att världens högsta berg, det nyupptäckta Mount Everest, var 29 002 fot högt. Men när hela historien kom ut fanns så klart den där kvicktänkte människan, som kunde konstatera att Waugh blev den förste som satte två fot på Mount Everests topp. I efterhand har Waugh dock fått åtminstone delvis rätt – den senaste angivelsen är 8 848 meter.

Mount Everests topp, som här visar sig mäktig i kvällssolen, upptäcktes under en trianguleringsexpedition och döptes efter dess (smått ovillige) före detta ledare, som väl att märka uttalade sitt namn med ett långt första E. På Darjeeling-dialekten, tibetanska och nepalesiska bär berget namnen Deodungha, Chomolungma och Sagarmāthā. Foto: Ralf Keyser, CC-BY-SA 2.0

Triangulering är en lång och mödosam process – ja, ibland kunde den rent av vara farlig. Sedan 1980-talet har trianguleringen i stort ersatts, först av geopositioneringssystem, GPS, och sedermera även av högupplösta satellitfotografier. Så på vår planet används triangulering inte så mycket längre – men väl i rymden. Liksom grekerna ursprungligen med trianglars hjälp kunde bestämma avståndet till ett skepp ute till havs, använder dagens astronomer trianguleringens tekniker för att bestämma avståndet till avlägsna stjärnor och himlakroppar.