Mörkrets matematik, del II: En ny astronomi

Detta är den andra och sista delen i en serie om två inlägg om matematikens, astronomins och solförmörkelsernas historia. Den första delen hittar du här.

Ptolemaios modell av solsystemet var i många avseenden häpnadsväckande. Utifrån antikens teknologi och, jämfört med renässansens, rudimentär matematik skapade han en bild av himlakropparnas banor som inte bara kunde förklara deras rörelser över natthimlen, utan också kunde förutsäga händelser som sol- och månförmörkelser. Problemet var bara att den är helt fel. Genom hela sin levnad underkastades Ptolemaios solsystem förändringar och förbättringar, av såväl islamska matematiker och astronomer som av kristna och judiska. Allteftersom den ena epicykeln lades till den andra blev matematiken mer och mer svårhanterlig. Men ändå slog dess förutsägelser i allt högre utsträckning fel. Det system som i drygt tusen år hade försett vår del av världen med närmast ofelbara förutsägelser om de himmelska rörelserna började sakta spricka.

Den förste att påpeka bristerna i Ptolemaios modell av solsystemet var den fransk-judiske astronomen, matematikern och rabbinen Levi ben Gerson, också känd under sitt latiniserade namn Gersonides. Utöver att han vågade påpeka det alltmer uppenbara, skiljde sig ben Gerson från sina samtida judiska teologier i det att han ville ge plats åt förnuftet i uttolkningen av Torahn. När förnuftigt resonemang visade att en bokstavlig tolkning av Torahn måste vara fel, betydde det att man skulle söka en metaforisk eller symbolisk tolkning av den gudomliga texten, snarare än att helt avfärda förnuftet och logiken. Det är knappast en överraskning att ben Gerson skaffade sig många fiender.

Ben Gerson motsatte sig således månghundraårig tradition inte bara på astronomins område, utan även på teologins och filosofins. Men det var nog också mycket tack vare sin något kaxiga syn på religiös doktrin som hans banbrytande och smått våghalsiga framsteg kom att bevaras, för även om de inte uppmärksammades av hans samtid, har ben Gersons kontroversiella åsikter kommit att citeras upprepade gånger genom århundraden, om än ofta bara som ett negativt exempel eller rent av hån. Men tack vare det har Ben Gersons idéer bevarats och kommit i händerna på senare generationers nytänkare, som Leibniz, Spinoza och inte minst Kopernikus.

Men Levi ben Gerson var inte framförallt filosof. Under den första halvan av 1300-talet publicerade han ett antal böcker om både matematik och astronomi, som bland annat berörde geometri och trigonometri. I sin viktigaste bok, Milhamoth Adonai, ungefär Herrens krig, beskriver han bland annat flera brister i den modell av solsystemet som Ptolemaios fastlagt mer än tusen år tidigare.

För att förklara det faktum att planeterna ser ut att dansa fram över natthimlen, med omväxlande två steg framåt och ett steg bakåt, menade Ptolemaios att planeterna utöver sin rotation runt jorden rörde sig i överlagrade cykler, s.k. epicykler – en idé som ursprungligen hade formulerats av Appollonius från Perga på 300-talet f.Kr. Som synes gjorde epicyklerna himlakropparnas rörelse mycket komplexa – i den här bilden från Encyclopedia Britannicas första utgåva visas rörelsen hos enbart två planeter, Merkurius och Venus, och det under knappt ett decennium.

Ptolemaios modell av solsystemet byggde på att planeterna rörde sig i en rad överlagrade epicykler. Ben Gersons genidrag låg i att han vågade påstå att även en sådan tusenårig sanning, liksom han menade på religionensreligionens område, bör testas, och att han dessutom konstruerade ett sätt att göra det. Ben Gerson resonerade nämligen att epicyklerna borde innebära att planeterna befinner sig närmast jordklotet när de rör sig framåt, och längre bort när de rör sig bakåt. Genom att använda en tidig version av en camera obscura kunde han mäta skillnader i ljusstyrkan hos Mars och därmed skaffa sig en uppfattning om planetens avstånd från jorden. På så sätt kunde han experimentellt pröva ifall planeterna verkligen rörde sig i epicykler, i enlighet med Ptolemaios världsbild.

Föga förvånande visade experimenten att Ptolemaios hade fel, men bara det var ett gigantisk steg. Som första astronom på mer än tusen år, vågade ben Gerson dra slutsatsen att experimenten visade rätt och att Ptolemaios hade fel, och därmed ifrågasätta det som tidigare hade varit omöjligt att ifrågasätta. Just att han gjorde det med hjälp av ett experiment gjorde honom dessutom till en, om än ofta förbisedd, pionjär inte enbart inom astronomin, utan också för vetenskapen som helhet.

Dessvärre kunde ben Gerson inte formulera någon egen modell av solsystemet. Hans verk var att konstatera att Ptolemaios världsbild var fel – att planeterna inte rör sig i epicykler och att stjärnorna befinner sig långt mycket längre bort än vad Ptolemaios och hans efterföljare ville göra gällande. Ben Gerson var således inte den som födde fram den nya astronomin, men han var den förste som vågade peka ut bristerna i den gamla.

Över de påföljande generationerna skulle ben Gersons slutsatser komma att kritiseras och hånas; Ptolemaios lära var fortfarande den förhärskande världsbilden. Otroligt nog tilläts ben Gersons böcker dock stå kvar i bibliotekens hyllor och Milhamoth Adonai översattes till och med till latin. Tvåhundrafemtio år efter att ben Gersons genomfört sitt experiment skulle just den boken hittas av en stigande stjärna på astronomins himmel – en ung man vid namn Johannes Kepler.

Levi ben Gerson föddes år 1288 i den lilla franska staden Bagnols-sur-Cèze i Languedoc. Som matematiker publicerade han ett antal viktiga böcker, men sitt viktigaste bidrag till vetenskapen gjorde han som astronom, genom att konstruera ett experiment som kunde testa Ptolemaios modell av solsystemet. Foto: Anonym fotograf, Copyleft

I Johannes Kepler bevittnar vi återigen mötet mellan matematiken och astronomin. Hur stort inflytande ben Gersons skrift hade på Keplers verk är naturligtvis svårt att säga, men vad vi vet är att Kepler själv lade mycket möda i att komma över ben Gersons bok. Keplers verk, de tre lagar som fortfarande används för att beskriva planeternas rörelse i den heliocentriska världsbilden, anknyter dessutom mycket väl till de första, banbrytande men ändå trevande slutsatser, som ben Gerson lämnade efter sig.

I Kepler bevittnar vi också mötet mellan astronomin och fysiken. De två vetenskaperna, som idag ligger så nära varandra att de närmast är en var på Keplers tid helt åtskilda. Astronomin låg närmare matematiken, sysslade med gudomliga former och – även om den heliocentriska världsbilden, med solen i mitten, vann allt större gehör – försvarade i de flesta fall fortfarande himlakroppar som rörde sig tvärt emot fysikens kraftlagar, lagar som för den sakens skull ännu inte kartlagts.

Kepler hörde till dem som, liksom ben Gerson tre århundraden tidigare, tvivlade på att jorden låg i universums centrum och att solen roterade kring jorden. Vilka krafter skulle kunna få solen att dansa fram och tillbaka över himlen? Den gamla modellen var uppbyggd kring två centrala grundantaganden, som ingetdera tog hänsyn till att även planeterna påverkades av fysikens krafter, nämligen (1) att alla planetbanor är uppbyggda av cirklar, eftersom cirkeln är den mest perfekta formen, och (2) att jorden, som centrum i Guds skapelse, också måste vara solsystemets och hela universums centrum. Fysikens lagar ansågs inte gälla i rymden och de lagarna var heller inte matematiskt formulerade. Perfektion och gudomlig konstruktion hölls som bättre förklaringar till himlakropparnas rörelser.

Johannes Kepler var astronom från barnsben. Redan som femåring bevittnade han den komet som passerade 1577, något som säkerligen spelade in på hans senare gärningar. Kepler drabbades dock som ung av smittkoppor, en sjukdom som han överlevde men som kraftigt försämrade hans syn. Till följd av det grusades hans dröm att observera världsalltet genom teleskoplinsen. Istället valde han att angripa astronomin med matematikens hjälp och kan därigenom sägas ha blivit världens första teoretiska astronom. Här ses en samtida avbildning av hur kometen passerar över Prag, natten den tolfte november 1577.

Johannes Keplers tankevärld var på många sätt en produkt av den vetenskapliga revolutionen. Han tillhörde den första generationen astronomer som kunde ta den heliocentriska världsbilden för given och som obehindrat kunde arbeta med observationer och riktiga data, utan att primärt behöva förhålla sig till bibelns ord. Det betyder dock på inget sätt Kepler var någon motståndare till religionen, snarare raka motsatsen; under hela sin levnad baserade Kepler sitt sökande efter universums struktur på att världen var Guds skapelse och att den följaktligen skulle ha en bakomliggande ordning och harmoni värdig en allsmäktig skapare. För Kepler var astronomin bara ett redskap för att lära känna världens gudomliga ordning.

Sitt första vetenskapliga genombrott fick Kepler genom insikten att de fem platonska kropparna (tetraedern, oktaedern, kuben, ikosaedern och dodekaedern) kunde placeras omväxlande med sfärer för att beskriva de kända planeternas banor. Idén var typisk för Kepler: Fem perfekta former, ärvda från antikens filosofer, sammanfogades till ett harmoniskt urverksliknande universum. Keplers solsystem var en matematikers dröm, och idén, som han själv beskrev som en närmast religiös uppenbarelse, mynnade ut hans första bok, Mysterium Cosmographicum, som publicerades 1596 i Tübingen.

Den bild av solsystemet som den unge Kepler formulerade i Mysterium Cosmographicum blev visserligen inte långlivad, men kan trots det fortfarande uppskattas för sin elegans: De fem platonska kropparna placeras utanför varandra, åtskilda av perfekta sfärer, för att beskriva de fem kända planeternas omloppsbanor. På bilden ses den figur Kepler själv använde för att illustrera sin teori i Mysterium Cosmographicum.

Även Kepler fick sedermera erkänna att solsystemet inte var fullt så gudomligt perfekt som han först hade föreställt sig – planeterna rör sig inte i perfekta cirklar och separeras inte av de fem platonska kropparna – men trots det skulle Kepler komma att skapa den moderna astronomins bild av solsystemet.

Under 1600-talets första år arbetade Kepler om sina teorier. Liksom han gjort i arbetet med Mysterium Cosmographicum föreställde sig Kepler solsystemet som en avbild av Guds världsordning. För Kepler låg solen i centrum av universum på samma sätt som Gud var centrum i tillvaron. Solen, i överförd bemärkelse Gud, utstrålade således inte bara ljus och värme, utan den kraft som fick alla planeter att röra sig. Ju längre ifrån solen en planet befinner sig, desto mindre rörelsekraft får den från solen och desto långsammare rör den sig. Denna idé prövade han på Brahes data, och i slutet av 1602 kunde han konstruerade det som eftervärlden lärt känna som Keplers andra lag: Att en planets hastighet är omvänt proportionell mot dess avstånd till solen, på ett sådant sätt att planeten sveper över en konstant area per tidsenhet oavsett var den befinner sig i sin bana.

Efter att ha utarbetat en teori för planeternas rörelse gav sig Kepler i kast med att applicera sin teori på Mars bana. I sitt arbete utgick han från Tycho Brahes observationer, som Brahe under 1500-talets slut noggrant ställt samman efter observationer han gjort från sitt slott på Ven. Tycho Brahes dittills oöverträffat noggranna data skulle spela en avgörande roll för Keplers arbete. Problemet var bara att Kepler inte fick sin modell att stämma överens med Brahes observationer.

Den danske adelsmannen Tycho Brahes observationer, tabeller efter tabeller med vinklar och positioner hos olika himlakroppar, kom att spela en avgörande roll i den moderna astronomins framväxt. För en gångs skull kunde matematiker sitta på sin kammare och testa modell efter modell, teori efter teori och idé efter idé, utan att behöva invänta nätter, klar himmel och noggranna anteckningar över planeternas rörelse. För Johannes Keplers upptäckter var Tycho Brahes materiel en förutsättning, men deras stora betydelse ledde också till bittra strider om vems förtjänst upptäckterna var. 400 år senare ses de dock här äntligen i försoning, som statyer utanför Johannes Kepler-gymnasiet i Prag.

1605 kom genombrottet, som visade sig vara så enkelt att han från början rent av hade förbisett dess möjlighet: Mars rörde sig i en elliptisk bana. Keplers beräkningar stämde äntligen överens med Brahes observationer. Det dröjde inte länge innan Kepler hade färdigställt manuskriptet till en ny bok Astronomia nova, den nya astronomin, även stridigheter mellan Brahe och Kepler om vem som skulle få äran av de nya upptäckterna gjorde att boken inte kunde publiceras förrän flera år senare.

Boktiteln är talande, för med Astronomia nova landar Kepler äntligen i en ny och komplett bild av solsystemet, som kan ersätta Ptolemaios gamla modell med jorden i mitten. Över åren kommer visserligen nya planeter att upptäckas och många begrepp som Kepler tog för givna, inte minst tid och rum, att visa sig vara långt mer gåtfulla än vad han eller hans samtid kunde ana, men Kepler hade ändå lagt grunden för den vetenskapliga revolutionen på astronomins område. Han hade skapat den modell av solsystemet som står att finna i astronomiböcker, i föreläsningssalar och i planetarier runt om i världen, ännu i våra dagar.

I och med den vetenskapliga revolutionen förändrades sättet man såg på solförmörkelser. Vad som under medeltiden för så gott som alla hade varit övernaturliga omen blev åter ett ämne för vetenskapliga diskussioner. Med hjälp av Keplers lagar kunde solförmörkelserna på ett lätt och överskådligt sätt förklaras och förutses. På den här tavlan av Antoine Caron från 1571 studerar astronomer en förmörkelse med vetenskapligt intresse snarare än vidskeplig panik.

Keplers lagar förklarade på nytt solförmörkelserna och gav oss verktyg att förutsäga dem. Kunskapen om solsystemet avdramatiserade vårt förhållande till dess skådespel, men trots att vi numera allt mer sällan hänför solförmörkelserna till gudomlig vrede, kvarstår deras överjordiska fascination. Idag kan astronomerna med ännu bättre säkerhet förutsäga och beräkna i princip alla solförmörkelser som har eller kommer att uppträda, men inte desto mindre har de vid upprepade tillfällen visat sig till god tjänst för vetenskapen.

Ett sådant tillfälle var när Sir Arthur Eddington år 1919 använde en solförmörkelse för att bekräfta Albert Einsteins då fyra år gamla relativitetsteori. Redan vid skiftet mellan 17- och 1800-talen hade Henry Cavendish och Johann Georg von Soldner till synes oberoende av varandra konstaterat att ljus påverkas av gravitationskraften och därför böjs av runt tunga föremål, som till exempel himlakroppar. Men 1915, när Einstein höll på att slutföra sitt arbete på den allmänna relativitetsteorin, upptäckte han att värdet som de hundra år tidigare hade beräknat bara var hälften så stort som det borde vara. Den andra halvan kunde istället förklaras med den allmänna relativitetsteorin.

Att mäta upp hur ljuset böjdes av runt solen, den tyngsta himlakroppen i vår närhet, skulle komma att bli det första starka indiciet på att Einstein hade rätt, och gjorde dessutom fysikern och matematikern med den galna frisyren berömd i hela världen. För att genomföra experimenten behövde Sir Arthur Eddington en total solförmörkelse, eftersom stjärnorna precis intill solskivan inte är synliga i dagsljus. Observationerna genomfördes samtidigt, den 29 maj 1919, på båda sidor om Atlanten: dels i Sobral i Brasilien, och dels av Eddington själv i São Tomé och Príncipe utanför Afrikas västkust. Resultaten var spektakulära och vann Eddington och Einstein en plats på världens löpsidor.

I sitt experiment undersökte sir Arthur Eddington om solens gravitation kunde böja ljus, så som Einstein hade förutsett. För att kunna se stjärnorna precis invid solskivan fick man invänta den totala solförmörkelsen i maj 1919. Till vänster syns den experimentuppställning forskningsgruppen satte upp i Sobral i Brasilien. Experimenten redovisades för övriga världen i en vetenskaplig artikel som publicerades i Royal Societys tidskrift året därpå. Artikeln illustrerades bland annat av bilden till höger, som visar den förtäckta solskivan omgiven av de något otydliga, men ändock så viktiga, stjärnorna.

Relativitetsteorin var vid den här tiden ny och fortfarande hett omdebatterad. Eddingtons experiment ifrågasattes och många var snabba att peka ut brister och felaktigheter i mätningarna. Men till skeptikernas besvikelse kom resultaten att stå sig mycket väl: Vid solförmörkelse efter solförmörkelse genom 1900-talet kunde såväl de omvända som skeptikerna allt klarare se exaktheten i Einsteins förutsägelser.

Därmed är serien om matematikens, astronomins och solförmörkelsernas historia till ända. Den första delen hittar du här.

Mörkrets matematik, del I: Matematiken och solförmörkelsen

Det här inlägget är det första i en serie av två inlägg om matematikens nära samband med astronomins och solförmörkelsernas historia – om förutsägelser och om observationer. Det andra inlägget hittar du här.

Floden Halys, vars namn på antik grekiska betyder "den salta floden", utgjorde under antiken gräns mellan Mindre Asien och resten av Asien. Decennierna efter slaget vid Halys tjänade den även som gräns mellan Medien i öster och Lydien i väster. Idag flyter den genom Turkiet och bär namnet Kızılırmak, vilket på turkiska betyder "den röda floden". Foto: Wikipediaanvändare Avniyazici, CC-BY-SA 3.0

Eftermiddagen den 28 maj år 585 f. Kr. möttes den mediska hären under ledning av kung Kyaraxes och den lydiska hären under ledning av kung Alyattes II på var sin sida floden Halys. Den grekiske författaren Herodotus berättar hur kriget mellan lydierna och medierna hade gått fram och tillbaka i många år, med stora förluster på båda sidor. De båda härarna förväntade sig en sen solnedgång följd av en fullmåne, så att även detta slag skulle kunna fortsätta till sent in på natten.

The Lydians however and the Medes, when they saw that it had become night instead of day, ceased from their fighting and were much more eager both of them that peace should be made between them.” - Herodotus 1.74 (i översättning av G. C. Macaulay)

Plötsligt omslöts härarna av mörker. Solskivan försvann från himmelen och dagen blev till natt. Förskräckelsen måste ha varit stor – på båda sidor mottogs det som ett dåligt omen, ett tecken på att gudarna motsatte sig slaget. Hastigt slöts fred mellan de stridande parterna, och för att befästa den oväntade och osannolika freden beslöt man att den lydiska prinsessan Aryenis skulle giftas bort med den mediske prinsen Astyages. Men mot alla odds höll freden och floden Halys förblev gränsen mellan de båda rikena i de följande nära fyra decennierna.

Totala solförmörkelser är visserligen ovanliga, men solförmörkelsen år 585 f.Kr. var speciell på ett helt annat sätt, ett sätt som gjorde att den utmärkte sig gentemot alla tidigare solförmörkelser i mänsklighetens historia: Den var förutsagd. Föga kunde de stridande ana, att en matematiker inte långt ifrån slagfältet hade förvandlat solförmörkelsen från ett övernaturligt omen till en rent matematisk angelägenhet. Hans namn var Thales från Miletos.

Fortfarande idag bär solförmörkelsen på en viss inneboende och oförklarlig kraft, men för mer än två millennier sedan, när ingen visste när, hur eller varför de uppkom, blev de till kraftfulla gudomliga omen. Här syns solförmörkelsen i mars 2015 från Tórshavn på Färöarna. Foto: Wikipediaanvändare Schnuffel2002, CC-BY-SA 3.0

Och, frågar man sig, hur gjorde då Thales för att förutsäga solförmörkelsen? Svaret är att ingen vet, men han utgick säkerligen från de lärdomar, bland annat om babylonisk astronomi, som han gjort på sina resor till Egypten. Vissa tvivlare har till och med frågat sig ifall han verkligen förutsåg solförmörkelsen, som Herodotus påstod, eller ifall han egentligen bara var den förste som förstod orsakerna till en förmörkelse, som andra antika skribenter berättar. Kanske, resonerar man, bredde Herodotus på för att få berätta en bättre historia, men kanske visste han något, som vi inte vet, eller kanske kan även en mästare ibland göra fel. Troligast är nog att Thales med god matematisk blick sett ett mönster i det rika material och de utförliga tabeller som stod honom till buds. Mönstret kunde han sedan enkelt förlänga, och därmed räkna ut ungefär när nästa solförmörkelse borde äga rum.

Thales utgångsmaterial kom med all säkerhet från de resor till det faraonska Egypten han företagit i sin ungdom; de forna egyptierna var nämligen arvtagare till en rik kunskapsmassa på astronomins område. Vilka skatter, härledda från den babyloniska astronomin såväl som vunna av rikets egna invånare, som gömde sig i det väldiga biblioteket i Alexandria kommer vi aldrig att få veta, men säkert är att det där fanns nedtecknat många värdefulla observationer av himmelens olika fenomen. Redan tidigt brydde Mesopotamiens invånare sina huvuden inför solförmörkelsernas till synes oförutsägbara uppträdande. Tabeller över datum för olika solförmörkelser, upprättade av assyriska astronomer, har blivit till ett ovärderligt hjälpmedel för dateringen av händelser i Mesopotamien. Här rörde det sig visserligen inte om några förutsägelser, men inte desto mindre noggranna observationer under lång tid. De äldsta mesopotamiska tabellerna inleds med en total solförmörkelse som skall ha ägt rum den tredje maj år 1375 f.Kr.

Den här lerskärvan kommer från det nyassyriska riket och är ett fragment av en planisfär, ett slags stjärnkarta som de assyriska astronomerna skapade utefter sina observationer.

Sådana tabeller kan ha upprättats redan tusen år tidigare av kinesiska astronomer, i alla fall om man får tro den olyckliga berättelsen om de två astrologerna Ho och Hi, som i oktober 2136 f.Kr. blev hängda efter att ha missat att förutspå en förmörkelse. Att just de kinesiska och babyloniska civilisationerna var tidiga med att försöka förutsäga solförmörkelser är för övrigt inte så märkvärdigt – båda kulturerna använde sig nämligen av månkalendrar. Eftersom solförmörkelser bara inträffar när månen är full, inträffar de alltid på den första dagen i en sådan mån-månad. På så sätt fick de kinesiska och babyloniska astronomerna en extra ledtråd till att solförmörkelserna faktiskt gick att förutsäga.

Men med tanke på hur oregelbundet solförmörkelser uppträder var det nog få som kunde åtnjuta ett långt liv på posten som hovastrolog. För härskaren var det däremot av stor vikt att på förhand känna till när solförmörkelserna skulle uppträda, eftersom förmörkelserna av allmänheten tolkades som kraftiga omen och därmed fick stor politisk betydelse. Att solskivan plötsligt försvann har av så gott som alla forntida kulturer tolkats som tecken på gudarnas vrede eller himmelska missöden – det kinesiska ordet för solförmörkelse, 日食, rìshí, betyder bokstavligen ungefär ”solen äts” efter den en gång populära uppfattningen att förmörkelserna berodde på att en drake åt upp solskivan. Ännu under 1800-talet lär man för övrigt ha kunnat höra den kinesiska flottan avlossa tomma skott under en förmörkelse, i syfte att skrämma bort den glupska draken.

Det finns dock inget som tyder på att dessa tidiga kinesiska astrologer, verksamma under slutet av 2000-talet f.Kr., skulle ha förstått mekanismen bakom solförmörkelserna. Snarare kan man tro att deras förutsägelser baserades på ett slags försök till mönsterigenkänning, och säkerligen en saftig dos vidskepelse och ritualer. Astronomen Shi Shen, som levde i Wei-kungadömet i centrala Kina på 300-talet f.Kr., menade att solförmörkelserna berodde på stora solfläckar som täckte hela solens yta. Även om just den teorin som bekant sedermera har visat sig felaktig, kan han istället gå till historien på ämnet solfläckar. Uppkomsten av en teori med något bättre överensstämmelse gentemot vår egen tids uppfattning dateras av vissa forskare till knappt tre århundraden senare, eller med andra ord decennierna före Kristi födelse. Ytterligare två århundraden senare kunde de kinesiska astrologerna pusta ut på riktigt, eftersom kännedomen om månens och solens rörelser då nått en sådan utsträckning att solförmörkelserna kunde förutsägas utifrån astronomiska observationer.

Även de mayanska astronomerna nådde framgång i sina förutsägelser av solförmörkelsen, enligt vissa bedömare lika stor eller rent av större än sina europeiska eller österländska gelikar. Idag är det dessvärre svårt att säga något bestämt om saken, eftersom deras arbete brändes under den europeiska erövringen. I ruinstaden Chichén Itzá kan man dock beskåda resterna av detta forntida observatorium. Foto: Bruno Girin, CC-BY-SA 2.0

Förmågan att i förväg kunna förutsäga solförmörkelsernas inträffande utvecklades även i västerlandet. Mycket av de antika människornas kunskap i astronomi verkar ha kommit från den numer snarast mytiske astronomen Hipparkos, vars verk dessvärre så gott som fullständigt har försvunnit över årens lopp. Hans bidrag till astronomin har istället levat vidare genom att det låg till grund för den grekisk-egyptiske astronomen Ptolemaios arbete. Ptolemaios, som var verksam i Alexandria under decennierna omkring 150 e.Kr, har blivit berömd för eftervärlden genom att utarbeta den modell av solsystemet, med jorden i mitten och övriga himlakroppar roterande däromkring, som kom att förbli den förhärskande i nära nog ett och ett halvt millennium efter hans död. I sitt storverk Almagest sammanställde han antikens omfattande men fragmentariska astronomiska visdom till ett astronomiskt system. Här skapade han en sammanhängande bild av solsystemets beskaffenhet; han beskrev planeternas, månens och solens banor, och fastslog stjärnornas och Jordens belägenheter. Tack vare denna astronomiska strukturering, som utöver sina briser också måste sägas ha innehållit en hel del klarsyntheter, kunde Ptolemaios se mönster i solförmörkelsernas upprinnelse, och det på ett mycket djupare plan än vad Thales kunde. Hela det sjätte bandet av Almagest ägnades åt sol- och månförmörkelserna.

Bland den vanliga romerska befolkningen var det få som varken ville eller egentligen kunde acceptera att sol- eller månförmörkelser var vetenskapliga fenomen och inte gudomliga tecken. Både kännedomen om sol- och månförmörkelsernas orsaker och vetskapen om möjligheten att förutsäga deras inträffande verkar ha varit allmängods enbart hos den bildade, intellektuella eliten – bland de klassiska författarna, som Seneca, den äldre Plinius, Gallius och Dio Cassius med många flera, finner vi ett antal kraftfulla försvar av den vetenskapliga förklaringen. Men dessa författare var även väl medvetna om möjligheten att utnyttja det vanliga folkets okunskap: Det är enklare att manipulera vidskepliga människor än att undervisa dem. Trots vetenskapens framsteg kunde solförmörkelser fortfarande, liksom under Thales dagar tusen år tidigare, komma att bli avgörande för vem som vann ett slag. För att använda kraften i solförmörkelsen till sin egen fördel, försökte officerarna ofta i förväg sprida rykten bland sina soldater, för att förebygga att förmörkelsen emottogs som ett dåligt omen – och i vissa fall lär de dessutom ha försökt sprida det motsatta ryktet i fiendelägret. Och säkerligen lät sig många soldater övertygas: även med ett dåligt omen är det ju trots allt fortfarande osagt vems olycka det förebådar.

Det romerska riket saknade all antydan till ett allmänt utbildningsväsende, och genom hela dess nästan tusenåriga historia känner vi enbart till ett fåtal tillfällen, då någon gjorde ett allvarligt menat försök att i någon större utsträckning upplysa den romerska underklassen om det meningslösa i att tolka solförmörkelserna som skräckinjagande omen. Ett sådant tillfälle var då kejsar Claudius fick reda på att en solförmörkelse skulle äga rum på hans födelsedag. Eftersom Claudius popularitet bland den vanliga befolkningen redan var sviktande, såg kejsaren nyttan i att på förhand utfärda ett publikt meddelande som redogjorde både för detaljerna kring solförmörkelsen och för dess vetenskapliga orsaker. Men texten kunde ju dessvärre enbart läsas av de redan skrivkunniga – som antagligen också var de som minst behövde läsa den – och det finns heller inget som tyder på att den vann någon större spridning.

Kejsar Claudius föddes som avlägsen ättling till Julius Caesar och växte upp som ett sjukligt och handikappat barn. Men tack vare det stod han efter kejsar Neros död kvar som släktens ende manlige överlevande, enbart för att Nero aldrig bedömt honom som ett reellt hot. När han insåg att han skulle utropas till kejsare blev han så vettskrämd, och det egentligen med all rätt, att det kejserliga gardets soldater fick dra fram honom från bakom en gardin. Claudius motvilliga och lätt dråpliga trontillträde har utgjort material för många historier genom åren. Den här tavlan målades av Sir Lawrence Alma Tadema, som förfärdigade flera målningar på ämnet.

Kanske var det på grund av den utbredda okunnigheten och den romerska underklassens förakt för vetenskapliga förklaringar som kunskapen om solförmörkelsernas förutsägbarhet så gott som dog ut i och med det romerska rikets fall. Almagest själv överlevde folkvandringstiden enbart tack vare att den översattes till arabiska – något som märks inte minst i dess namn. Ptolemaios själv gav sin bok den grekiska titeln Μαθηματικὴ Σύνταξις, Mathematike Syntaxis, eller på svenska ungefär ”Matematiska avhandlingar”. Efterhand som boken vann allt större erkännande bland astronomerna började man benämna den enbart ”Den stora avhandlingen”, eller helt enkelt ”Den största”, på grekiska Μεγίστη, Megíste – något som i den arabiska översättningen blev ungefär Al-majisti. När den sedermera översattes tillbaka till latin, fastställdes titeln till Almagest.

Astronomerna under den islamska guldåldern var på inget sätt passiva mottagare, utan vidareutvecklade och förfinade tabellerna i Almagest, liksom byggde på med ny kunskap. Men eftersom ingen antik kopia bevarats har vi svårt att avgöra vad de tillförde och vad som fanns från början. Det är därför närmast felaktigt att se Almagest enbart som Ptolemaios verk, för i själva verket formades den nog lika mycket av efterföljande vetenskapsmän, men som oftast förblivit anonyma. Till undantagen får vi räkna al-Khwarazmi, vars namn bland annat bevarats i vårt ord "algoritm" och som utvecklade nydanande beräkningsmetoder som gjorde de astronomiska beräkningarna noggrannare, Muhammad al-Battani, som förbättrade Ptolemaios beräkningar, och Ibn Junus, som kombinerade de nyvunna framstegen inom trigonometri med egna observationer för att göra nya, bättre tabeller över sol- och månförmörkelser.

Muqattamhöjderna utanför Kairo var under 1000-talet hem åt kalifen al-Hakami, från vars residens Ibn Junus genomförde sina observationer. Men bara något århundrade efter astronomens död störtades fatimiddynastin av erövraren Saladin, som lät uppföra nya befästningsverk runt Kairo – kronan på verket blev ett stort citadell på Muqattamhöjderna. Det imponerande byggnadsverket avbildades på detta vis av L. C. Tiffany år 1872, och står fortfarande att beskåda.

En total solförmörkelse över Västeuropa, nedtecknad i England och Tyskland, den andre augusti år 1133, skulle visa hur lite av de romerska och islamska astronomernas och matematikernas framsteg som hade nått de bredare lagren av befolkningen. Fortfarande var allmänhetens bild av solförmörkelser, som ett ont omen, inte särskilt olik den som vi känner från Romarrikets invånare, och i båda länderna var man snabb att finna förklaringar till just vad det var för ont som nu hade befallt dem.

För engelsmännen föreföll förklaringen ganska enkel. Dagen före solförmörkelsen hade kung Henrik I avseglat mot Normandie, som då var en engelsk provins på det franska fastlandet – solförmörkelsen betydde tvivelsutan att kungen skulle dö! I den anglosaxiska krönikan kan man läsa, hur engelsmännen "were very much astonished and terrified, and said that a great event should come hereafter". Och till försäkran för alla de vidskepliga föll det sig också på det sättet: Kungen skulle aldrig komma tillbaka till de brittiska öarna.

The day after the thirty-second year of his reign was completed, Henry, on the nones of August, [...] set sail for Normandy. This was the last, the fatal voyage of his reign. [... O]n the fourth day of the week, the elements manifested their sorrow at this great man's last departure. For the sun on that day, at the sixth hour, shrouded his glorious face, as the poets say, in hideous darkness, agitating the hearts of men by an eclipse: and on the sixth day of the week, early in the morning, there was so great an earthquake, that the ground appeared absolutely to sink down [...] During the eclipse I saw stars around the sun: and, at the time of the earthquake, the wall of the house in which I was sitting was lifted up by two shocks, and settled again with a third. The king, therefore, continued in Normandy for the space of three whole years [... until] the kalends of December, on which night he died.” - William of Malmesbury (översättning från latin av J.A. Giles)

Det här inlägget är det första i en serie av två inlägg om matematikens nära samband med astronomins och solförmörkelsernas historia – om förutsägelser och om observationer. Det andra inlägget hittar du här.

Daniel Bernoulli, S:t Petersburglotteriet och vikten av en plats i Basel

Daniel Bernoullis väg till matematiken var allt annat än rak. Född i Groningen i Nederländerna år 1700 endast åtta dagar in på det nya seklet, tillhörde han en av Europas mest framstående matematikersläkter. Hans far, Johann Bernoulli, var professor i matematik vid universitetet i Groningen, men bestämde sig tidigt för att hans son inte skulle välja matematikens bana – liksom hans egen far en gång hävdat, menade nu Johann Bernoulli att det helt enkelt inte fanns någon försörjning i matematiken. Redan vid 13 års ålder skickades Daniel istället till Schweiz för att studera filosofi och logik.

Studierna gick lysande, och sin fritid ägnade den unge filosofistudenten åt att lära sig mer om två helt nya fält inom matematiken: integral- och differentialkalkyl. Tre år senare återvände han med en examen hem till Groningen. Fadern ville nu sätta honom som lärling hos en handelsman, med förhoppningen att Daniel en gång skulle kunna försörja familjen. Men Daniel Bernoulli tvärvägrade. Hans far fick ge med sig, och de båda kom överens om att Daniel skulle återvända till universitetet i Basel, den här gången för att studera medicin, i utbyte mot att fadern introducerade honom till sitt eget arbete på kinetisk energi. När Daniel 1720 tog sin examen – den här gången i anatomi och botanik – var det efter att ha gjort ett arbete där han applicerade differentialkalkylen på lungornas arbete.

Efter att två gånger ha misslyckats med att få en professur vid universitetet i Basel gav sig Daniel Bernoulli av till Venedig. Väl i Venedig blev han dessvärre sjuk, och kunde inte fortsätta sina medicinstudier som han hade tänkt. Istället ägnade han tiden åt matematik, och det var här som hans intresse för sannolikhetslära väcktes. Sannolikhetsläran var ytterligare ett av dåtidens mest hett debatterade fält inom matematikens område: Bara femtio år tidigare hade Blaise Pascal och Pierre de Fermat upptäckt hur man matematiskt kunde beräkna sannolikheten för ett slumpmässigt utfall. Efter sin vistelse i Venedig kunde Daniel Bernoulli publicera sin första bok, som innehöll ett antal snillrika såväl matematiska som tekniska lösningar. Boken vann honom både Parisakademins matematikpris och – slutligen – en professur i matematik, vid S:t Petersburgs nygrundade vetenskapsakademi, tillsammans med sin bror Nicolaus Bernoulli.

S:t Petersburg vid floden Nevas utlopp grundades av tsar Peter den store under 1700-talets första årtionde för att bli tsardömets nya huvudstad, dess port mot västerhaven och en ny europeisk storstad. I staden byggdes flera storslagna byggnader i europeisk stil; exempelvis inleddes bygget av det berömda Katarinapalatset, som ses på bilden ovan, redan 1717. Peter den store grundade även stadens vetenskapsakademi år 1724, bara ett år innan bröderna Bernoulli anlände. Foto: Alex Florstein, CC-BY-SA 3.0

Det lär vara just Nicolaus som först kom på det problem som sedermera kommit att bli känt som S:t Petersburgparadoxen: Antag att ett kasino erbjuder ett enkelt spel, som går ut på att singla en slant. Varje gång det kommer upp en krona så dubbleras vinsten, men kommer det istället upp en klave avslutas spelet och vinsten betalas ut. Vid vilken insats är det lönsamt att delta i spelet? Vad borde den rationelle spelaren vara beredd att betala för att spela?

Låt oss först titta på några exempel. Spelet börjar med en potentiell vinst på en krona (d.v.s. 2⁰ kronor). Slanten singlas, och visar en krona – vinsten dubbleras och blir två kronor (2¹ kronor). Ytterligare en gång kommer en krona upp – vinsten stiger till fyra kronor (2²) kronor) – innan det slutligen kommer en klave, vinsten dubbleras en sista gång och de nu åtta kronorna (2³ kronor) delas ut. Få av oss skulle nog vilja betala särskilt mycket för att få delta. Om vi låter R symbolisera krona och L klave, kan vi skriva utfallet så här:

RRL	2·2·2 = 8 kr

Några andra möjliga utfall vore:

RL	2·2 = 4 kr
RRRRRL	2·2·2·2·2·2 = 64 kr
RRRRRRRRRL	2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 210 = 1024 kr

I de flesta fall är vinsten ganska låg, men å andra sidan drar den snabbt iväg. Skulle vi ha den ovanliga lyckan att få tjugo kronor på raken, ja, då skulle vinsten överstiga en miljon. Ge oss ytterligare tio kronor och vinsten går plötsligt över en miljard. Vinsten efter att ha fått upp krona 29 gånger och klave den trettionde är 2³⁰ kronor – men sannolikheten för att vi skall få upp så många kronor är bara en på 2³⁰ gånger. Och just där ligger paradoxens kärna: Vinsten stiger lika snabbt, som sannolikheten avtar.

Låt oss titta på sannolikheten och vinsten för de fem troligaste utfallen:

Utfall	Sannolikhet	Vinst	Nytta
L	0,5 (d.v.s. 50 procent)	21 = 2 kr	1 kr
RL	0,25	22 = 4 kr	1 kr
RRL	0,125	23 = 8 kr	1 kr
RRRL	0,0625	24 = 16 kr	1 kr
RRRRL	0,03125	25 = 32 kr	1 kr

Den fjärde kolumnen visar nyttan hos varje utfall, eller det som på engelska brukar benämnas utfallets utility. Nyttan beräknas för varje tänkbart utfall genom att multiplicera vinsten med sannolikheten för att uppnå den (det var just det som Blaise Pascal utnyttjade i sitt matematiska resonemang om nyttan med religion). Man brukar säga att hela spelets nytta är summan av alla enskilda utfalls nytta, eller kort sagt hur mycket man kan förvänta sig att i genomsnitt vinna, ifall man spelar spelet tillräckligt många gånger. I S:t Petersburgparadoxens fall är den sammanlagda nyttan oändligt – eller, i klarspråk: det är lönsamt att delta i spelet, oavsett vilken insats som krävs, för i det långa loppet kommer man alltid att vinna tillbaks den. Trots det är mycket få rationella spelare beredda att betala ens en insats på 100 kronor.

Här har tre fiktiva spelare (tant Grön, tant Brun och tant Gredelin) vardera fått spela tusen rundor i S:t Petersburglotteriet med hjälp av en datorsimulering. Kurvorna visar spelarnas genomsnittliga vinst (på y-axeln) fram till just det partiet (på x-axeln). Tant Brun leder starkt i början och har efter bara 150 partier en genomsnittlig vinst på nästan 20 kronor, medan tant Gredelin knappar in längsmed vägen – när alla partier spelats klart har hon vunnit i genomsnitt nästan 15 kronor per parti. Under alla tusen partierna kommer tant Grön aldrig upp i en genomsnittlig vinst på 10 kronor. Generellt kan man säga, att ju längre man spelar, desto högre kommer den genomsnittliga vinsten att bli.

Här har tant Grön, tant Brun och tant Gredelin fått spela ytterligare tusen rundor i S:t Petersburglotteriet, den här gången mot en insats på 10 kr per runda. Insatsen är visserligen låg, men det tar ändå över 700 rundor för tant Brun att som sista spelare uppnå en positiv nettovinst. Avbryts spelet efter 200 rundor kommer kasinot att ha gått med vinst gentemot alla tre spelarna. Men om spelet fortsätter oändligt länge, kommer alla spelare någon gång att ha gått med vinst, oavsett hur hög insats lotteriet väljer att ta ut. Bara för de 700 rundorna krävs dock någonstans omkring 1400 slantsinglingar per spelare – eller för de tre tanterna totalt nästan tolv timmars arbete, ifall varje slantsingling tar tio sekunder. Att uppnå lönsamhet i S:t Petersburglotteriet är alltså något som tar rejält med tid.

Bara åtta månader efter att de båda bröderna anlänt till S:t Petersburg dog Nicolaus i feber. Daniel Bernoulli bestämde sig för att publicera broderns arbete på S:t Petersburgparadoxen i vetenskapsakademiens egen tidsskrift; han bifogade till och med Nicolaus egen beskrivning av problemet. Nicolaus hade löst paradoxen genom att mena att människor helt bortser från möjligheter som är så osannolika, att de sker endast en på tio tusen gånger. I en mycket holländsk jämförelse konstaterade han att nederländarna uppenbarligen kände sig trygga bakom sina fördämningar, trots att dessa med just en tiotusendels sannolikhet brast. Det mänskliga psyket bortser helt enkelt från så osannolika händelser, eftersom de praktiskt taget aldrig inträffar, och det, menade Nicolaus, skulle vara hela förklaringen till att så få skulle vara beredda att spela mot en stor insats, trots att matematiken visar att det i slutändan vore lönsamt.

Till Nicolaus problembeskrivning och lösning tillförde Daniel en annan lösning: Tänk om nyttan inte är konstant – en enda krona kanske inte tillför lika mycket, när man vet att man redan har vunnit en miljard. Daniel Bernoulli menade istället att lyckan var logaritmisk – att nyttan av att ha vunnit en extra krona inte var direkt kopplad till krontalet, utan till logaritmen av det. Nyttan skulle således beräknas som logaritmen av penningvinsten gånger sannolikheten, istället för bara penningvinsten gånger sannolikheten. Tabellen ovan skulle då få ett lite annorlunda utseende:

Utfall	Sannolikhet	Vinst	Nytta
L	0,5 (d.v.s. 50 procent)	21 = 2 kr	0,1505
RL	0,25	22 = 4 kr	0,1505
RRL	0,125	23 = 8 kr	0,1128
RRRL	0,0625	24 = 16 kr	0,0752
RRRRL	0,03125	25 = 32 kr	0,0470

Nu, äntligen, är nyttan konvergent! Det betyder att vi kan beräkna spelets totala nytta trots att antalet möjliga utfall är oändligt, och komma fram till att den rationelle spelaren är beredd att betala högst fyra kronor per runda för att delta. I den ursprungliga versionen vägde Daniel Bernoulli dessutom in spelarens tidigare förmögenhet. Tanken att ett sannolikhetsspel kunde ha olika värde för olika personer, och rent av vara lönsamt för båda parter, låg i tiden – det tidiga 1700-talet var, när allting kommer omkring, faktiskt försäkringsbolagens födelseepok. Många har dock kritiserat Daniel Bernoullis lösning för att vara ogrundad: Vad säger egentligen att nyttan med pengar skulle följa just en logaritmisk kurva? Dessutom ger Daniel Bernoullis lösningsmetod en i mångas tycke alltför låg siffra. Kanske finns det andra kurvor, som bättre svarar mot hur vi människor värderar pengar. För övrigt är det lätt att anpassa paradoxen, så att nyttan återigen blir divergent.

Hur det än förhåller sig med den saken, kvarstår det faktum att S:t Petersburglotteriet är en matematisk paradox: För den som har oändligt mycket tid och oändligt lite att ägna den åt är S:t Petersburglotteriet definitivt vägen till oändlig rikedom – oavsett insats. Robert Martin jämför S:t Petersburglotteriet med en penningmaskin. På maskinens tangentbord behöver man bara knappa in en valfri siffra, vilken som helst, för att maskinen skall trycka ut den mängden kronor – ungefär som en bankomat utan koppling till ett konto. Få skulle bry sig om maskinens pris, givet att betalningen kan skjutas upp till efter leverans. Penningmaskinen och S:t Petersburglotteriet är egentligen samma sak, förutom att en motsvarande stor vinst i S:t Petersburglotteriet endast kommer med en mycket liten sannolikhet. Men får man spela oändligt många gånger, kommer vinsterna till slut också att bli oändliga, oavsett vilken insats kasinot kräver för att man skall få delta.

Daniel Bernoulli fick till slut sin professur vid Basels universitet. Innan dess hade han lämnat in totalt tre olika ansökningar, men alla gånger avslagits vid den sista omgångens lottning om platsen. Inte undra på att sannolikheter kom att intressera den unge matematikern.

Daniel Bernoulli lämnade S:t Petersburg tillsammans med sin yngre bror Johann Bernoulli år 1733. Kanske var det just tack vare det ogästvänliga klimatet och staden han aldrig trivdes i, som gjorde att tiden i Ryssland enligt vissa bedömare blev hans allra mest produktiva tid. Året efter tillträdde han slutligen en professur i botanik vid Basels universitet.

Två vänner i Paris: Chevalier de Méré, Pascal och sannolikhetslärans födelse

Hasardspel – ett ord vars ursprung av vissa sökts i arabiskans zar, tärning – har människan känt till länge, men sällan har de vunnit så mycket aktning, som när de tog plats i 1500-talets finsalonger. För oss som kommit att tänka på upplysningstiden – hasardspelets födelseepok – som en tid av rent förnuft och vetenskapens genombrott är det kanhända ovant att samtidigt föreställa sig upplysningstiden som en tid av hängivelse till chansen, till risken och till hasardspelet. Eduard Swobodas målning från åren kring 1800-talets mitt fångar känslan i hasardspelets tjusning.

Det är kanske en av matematikhistoriens ironier, att just den gren av matematiken som kommit att spela den kanske viktigaste rollen i bygget av vårt eget tidevarvs världsbild – i allt från kvantfysik och relativitet till kaos- och spelteori – växte fram ur upplysningstidens hejdlösa fascination för hasardspel, för sannolikhetsläran har ingen mindre än fransmannen Antoine Gombaud att tacka för sin existens. Gombaud, som av eftervärlden möjligtvis borde vara ihågkommen som poet och författare, är numer förmodligen mest berömd för den fascination för tärningsspel, som han delade med så många av sina samtida. Och så, förstås, att han var vän till den berömde matematikern Blaise Pascal.

Det var under en vandring i de låglänta, natursköna områdena i Poitou som Antoine Gombaud och Blaise Pascal lärde känna varandra. Deras samtal skulle sedermera utvecklas till en vänskap som revolutionerade matematiken. Vem vet – kanske var det just här, nära Arçais, som de gick. Foto: Wikipediaanvändare Ji-Elle, CC-BY-SA 3.0

Det var år 1651 eller 1652 som Antoine Gombaud lärde känna det unga matematikgeniet Blaise Pascal under ett strövtåg i Poitou, som de båda kom att företa tillsammans med hertigen av Roannez. Sin motvilja mot matematiker till trots – de var i likhet med historikerna och språkvetarna, menade Gombaud, tröttsamma att tala med, rent av oförmögna att samtala om de normalaste av saker, och saknade därtill vanligtvis både vett och smak – fick Gombaud erkänna, att Pascal så fort han lärt känna sina färdkamrater visade sig vara en mycket vänlig och underhållande man. Pascal och Gombaud utvecklade en långvarig vänskap. Gombaud, som var författare till yrket och därvid inte heller helt saknade framgång, kunde hjälpa Pascal med hans publikationer, och fick i utbyte hjälp i sina matematiska resonemang.

Gombaud – även känd under sitt självpåtagna adelsnamn Chevalier de Méré – var nämligen amatörmatematiker med ett speciellt intresse för tärningsspel. Hans resonemang gällde i synnerhet två spel, som i olika versioner varit populära alltsedan medeltiden: Ett där man skulle kasta en tärning och satsa på huruvida man fick upp en sexa på fyra kast, samt ett där man skulle kasta två tärningar och satsa på huruvida man fick upp en dubbel-sexa på tjugofyra kast.

Tärningarna, av den katalanske konstnären Simó Gómez Polo, visar hur det kan ha sett ut när Gombaud och hans kamrater träffades för att spela tärning.

Exakt hur Gombaud resonerade råder det delade meningar om. Den kanske troligaste versionen lyder att Gombaud, liksom de flesta av sina samtida, var av den åsikten att spelaren hade lika stor chans att vinna i båda spelen. För att räkna ut det åberopade han en mycket gammal formel, som bland andra Girolamo Cardano använt. Formeln angav hur många gånger man var tvungen att upprepa ett försök, för att oddsen för och emot att man skulle lyckas åtminstone en gång skulle var lika stora. Detta antal, de så kallade kritiska upprepningarna, beräknades genom att multiplicera den naturliga logaritmen av två med antalet gånger, på vilka försöket borde lyckas en gång. Om vi betecknar detta antal med n, och antalet kritiska upprepningar med U₅₀, skulle formeln kunna uttryckas i modern notation på följande sätt:

I Gombauds fall gav formeln att en tärning, som ju hamnar rätt i en sjättedel av fallen och därmed har n=6, ger ett odds på fyra (eftersom logaritmen av två är ungefär 0,7). Följaktligen skulle den som satsar på att inte få upp någon sexa på fyra slag ha lika stor chans att vinna som den som satsar på att inte få se någon sexa alls. Får man slå fler än fyra slag, lönar det sig att satsa på att det kommer upp en sexa; gäller det istället färre än fyra slag, är det mest troligt att sexorna lyser med sin frånvaro. Regeln var alltså alldeles excellent för vad Gombaud tänkte använda den till.

Problemet uppstod när Gombaud betraktade spelet med två tärningar. Först resonerade han enligt en annan, mycket gammal sannolikhetsprincip, nämligen att det kritiska antalet upprepningar för två olika spel, förhåller sig på samma sätt mot varandra, som antalet möjliga, likvärdiga utfall. I moderna termer sa den här principen alltså att kvoten av U₅₀ och n skulle vara lika stor för båda spelen, något som lätt kan härledas från den första formeln. Utgående ifrån denna princip menade Gombaud, att eftersom sex rundor med en tärning motsvaras av trettiosex med två tärningar, borde fyra rundor för jämn vinstchans med en tärning innebära tjugofyra med två. Formeln svarade istället tjugofem. Världen gick inte under, men Gombaud utropade att aritmetiken trotsade sig själv och skrev ett brev till sin vän matematikern – Blaise Pascal.

Blaise Pascal var en sjuklig men genial ung matematiker, som år 1623 föddes som son till en skatteindrivare i staden Clermont-Ferrand i mitten av Frankrike.

Pascal kände säkert till det som Gombaud inte insåg: att de Moivres formel bygger på en approximation, om än en mycket god sådan – nämligen att . Vid höga n är approximationen i princip oskiljbar från verkligheten, så för kast med två tärningar, där antalet möjliga utfall är 36, fungerar formeln utmärkt. Men vid lägre värden på n, som t.ex. sex, står formeln på betydligt mer ostadig grund. Approximationen var däremot matematiskt oundviklig, för ännu var exakta sannolikheter något som bara få kunde beräkna. Tidigare namnkunniga matematiker som utforskat och skrivit böcker om sannolikhetslära, som Gerolamo Cardano och Galileo Galilei, hade alla fått nöja sig med approximationer, uppskattningar och tabeller.

Som många andra matematiska frågor, redogjorde Pascal för problemet för sin vän juristen Pierre de Fermat. I ett brev avsänt den 29 juli 1654 beskriver han Gombauds resonemang:

Han berättade för mig att siffrorna var felaktiga av följande anledning: Om man vill få upp en sexa med en tärning har man en fördel på fyra kast, eftersom oddsen är 671 mot 625. Om man skall kasta två sexor med två tärningar har man en nackdel på 24 kast, trots att 24 förhåller sig till 36 (antalet utfall på två tärningar) på samma sätt som fyra förhåller sig till sex (antalet utfall på en tärning).” – Blaise Pascal

Fermat och Pascals långvariga brevväxling och vänskap hör säkerligen till en av matematikens mest givande. Sin början tog brevkonversationen faktiskt i en annan av Gombauds frågor, den gången rörande det berömda delningsproblemet. Problemets ursprung kan sökas i matematiska gåtor som först formulerades av medeltida muslimska matematiker, men till Europa kom det först någon gång strax före 1380. Därefter togs det förgäves togs upp av flera briljanta italienska matematiker, som munken Luca Pacioli, främst känd för att ha uppfunnit den dubbla bokföringen, liksom ärkefienderna Cardano och Niccolò Tartaglia i renässansens Italien.

Kärnan i delningsproblemet är ett spel som inte kan avslutas, utan där prispengarna istället i förtid skall fördelas på ett rättvist sätt. En version, som står att finna i en matematikbok utgiven år 1602 av Lorenzo Forestani da Pescia, handlar om en gammal man, som uppskattar bollspel men själv inte längre kan spela. Istället kallar han till sig två arbetare vid gården och ger dem fyra dukater att spela om – den som först når åtta vinster skall få pengarna. Men efter nio matcher, då det står 6-3, försvinner bollen och de tvingas sluta. Den gamle mannen är ändå nöjd, så han ger de båda spelarna pengarna och uppmanar dem att (rättvist) dela upp dem emellan sig. Frågan är: Hur då?

I sin bok Summa från 1494 presenterade benediktinermunken Luca Pacioli bland annat sin lösning till delningsproblemet. Han menade att prispengarna skulle delas upp utefter ställningen då spelet avslutas – i bollspelet ovan skulle det blivit en tredjedel av dukaterna till den ene och två tredjedelar till den andre. Men Paciolis lösnings mötte kraftigt motstånd – inte minst för dess skeva utfall om spelet avbröts när endast en eller några få poäng hunnit utdelas. På denna berömda tavla från 1495 ses han tillsammans med Euklides geometri och sin egen bok inbunden i röd pärm i nedre högra hörnet. Den unge mannens identitet är dessvärre okänd – och naturligtvis hett omdebatterad.

Pascals resonemang var banbrytande och radikalt annorlunda än alla tidigare – istället för att som Pacioli utgå ifrån de poäng som redan delats ut, ville Pascal dela prispengarna efter sannolikheten hos olika förväntade utgångar. Med andra ord föredrog Pascal framtidens ovisshet före det redan kända. Lösningen var inte intuitiv och för att utveckla den hade Pascal tvingats härleda banbrytande matematiska principer.

Efter att ha fått svidande kritik från andra matematiker i Paris, sökte Pascal därför efter någon annan som kunde och ville diskutera hans tankegångar. Det var genom sin bekantskap med matematikern tillika kunglige bibliotikarien Pierre de Carcavi som han då kom han i kontakt med juristen Pierre de Fermat, bosatt och verksam i Toulouse. Fermat, som hade känt Pascals far, var inte ovillig att inleda en brevväxling med den unge och briljante Blaise. Dessutom förde det honom närmare både den matematiska kretsen i Paris, och underlättade när han skulle publicera sina böcker.

Fermat var inte det minsta främmande för Pascals resonemang; han hade rent av parallellt utvecklat liknande tankebanor. Brevväxlingen varade genom hela sommaren och in på hösten 1654. Pascals och Fermats idé var grundläggande lika varandra – men radikalt olika deras föregångares. Istället för att betrakta de poäng som redan delats ut, ville de fokusera på de poäng som var kvar att fördela. Genom att föreställa sig alla möjliga utfall och bestämma sannolikheten för dem fördelade de prispengarna efter det i genomsnitt mest troliga utfallet. I Forestanis bollspel, som vi får anta avgörs fullständigt av turen, hade det inneburit följande 64 tänkbara och lika sannolika framtider:

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

A

A

A

A

B

A

A

A

A

A

B

B

A

A

A

B

A

A

A

A

A

B

A

B

A

A

A

B

B

A

A

A

A

B

B

B

A

A

B

A

A

A

A

A

B

A

A

B

A

A

B

A

B

A

A

A

B

A

B

B

A

A

B

B

A

A

A

A

B

B

A

B

A

A

B

B

B

A

A

A

B

B

B

B

A

B

A

A

A

A

A

B

A

A

A

B

A

B

A

A

B

A

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

A

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

A

A

B

A

B

B

B

A

B

B

A

A

A

A

B

B

A

A

B

A

B

B

A

B

A

A

B

B

A

B

B

A

B

B

B

A

A

A

B

B

B

A

B

A

B

B

B

B

A

A

B

B

B

B

B

B

A

A

A

A

A

B

A

A

A

A

B

B

A

A

A

B

A

B

A

A

A

B

B

B

A

A

B

A

A

B

A

A

B

A

B

B

A

A

B

B

A

B

A

A

B

B

B

B

A

B

A

A

A

B

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

B

A

B

B

A

A

B

A

B

B

A

B

B

A

B

B

B

A

B

A

B

B

B

B

B

B

A

A

A

A

B

B

A

A

A

B

B

B

A

A

B

A

B

B

A

A

B

B

B

B

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

B

B

B

A

A

A

B

B

B

A

A

B

B

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

B

B

B

B

B

A

A

B

B

B

B

A

B

B

B

B

B

B

A

B

B

B

B

B

B

När spelet avbryts och ställningen är 6-3, har spelaren i underläge (vars vinster i diagrammet ovan symboliserats med B) knappt 11 procents chans att vinna, eftersom vinsten tillfaller honom i endast sju av Pascals 64 tänkbara framtider. Spelaren i överläge (symboliserad med A) vinner i de resterande 57 tänkbara framtiderna och har således en vinstchans på lite drygt 89 procent.

Pascals och Fermats fördelning av prispengarna är mycket mer radikal än deras föregångares, något som också säger en del om det mänskliga psyket – det är nog få som i den underlägsne spelarens plats skulle uppleva att de endast har tio procent chans att vinna. Är det måhända det som Pascal, i form av en skulptur utförd av Augustin Pajou, sitter och funderar på, numera i en vinge av Louvren?

Sent på kvällen den 29 november 1654 genomgick Pascal sitt livs mest omvälvande upplevelse. I något som moderna tråkmånsar försökt bortförklara som ett migränanfall såg Pascal en uppenbarelse från Gud – "eld, Abrahams Gud, Isaacs Gud, men varken filosofernas eller vetenskapsmännens", som han skrev. Pascals omvändelse hade en stark påverkan på hans gärning. Efter att under nästan ett års tid – alltsedan han först lärde känna Gombaud – ha studerat hasardspelens matematik, vände sig Pascal till teologin och religionen. Liksom sina systrar anslöt han sig till den jansenistiska gruppen, där både chansspel och vetenskap ansågs som syndiga, som tomma illusioner och undanflykter från livets verkliga syfte.

Den jansenistiska rörelsen var en katolsk strömning som utgick från Cornelius Jansens läror, som började vinna spridning främst i Frankrike under åren kring 1640. Pascals familj var nära knuten till den jansenistiska rörelsen, och till Blaises bedrövelse beslöt hans syster att gå i kloster efter faderns död. På grund av sin avvikande teologi kom jansenisterna i ökande grad på kant med den katolska kyrkan, något som slutade med att rörelsen upplöstes med våld i början av 1700-talet. Här ses hur de jansenistiska nunnorna i klostret i Port-Royal-des-Champs förs bort år 1709.

Fram till slutet av sin levnad fortsatte Pascal att samla sina tankar i skrift. Efter hans död år 1662, endast 39 år gammal, utgavs de i samlad form som en bok, Les Pensées, eller på svenska ungefär Tankar. I not 23 presenterar Pascal ett av bokens mest välkända resonemang, i form av en dialog mellan honom själv och den icke-religiöse vännen Antoine Gombaud. Resonemanget är knappast varken matematiskt eller teologiskt, men väl en god illustration av hur Pascal bar med sig sin känsla för sannolikheter i teologin – och en god anekdot.

Pascal menar att värdet på ett spel, anledningen att överhuvudtaget delta, kan bestämmas genom att multiplicera den möjliga vinsten med sannolikheten att vinna den, på samma sätt som spelets risker kan uppskattas genom att multiplicera sannolikheten att förlora med värdet som i så fall skulle gå förlorat. Utifrån det presenterar Pascal sin tes, känd som Le pari, eller på svenska ungefär Vadet. Vadet ifråga gäller huruvida man skall leva som om Gud existerar – som Pascal efter hans omvändelse – eller som om Gud inte existerar – som Gombaud gjorde. Vadet är således ett spel, där spelet i sig står på spel.

Pascals slutsats är att oavsett hur liten man tror att sannolikheten är för att Gud verkligen existerar, så bör man leva som att han gör det, eftersom vinsten – evigt liv och evig lycka efter döden – är oändligt stor. Att inte tvingas leva efter religionens strikta bud må också vara en vinst, men eftersom den är begränsad både i tid och i rum, bleknar den i jämförelse med den oändliga vinst som är möjlig ifall Gud faktiskt existerar. Till slut tvingas även Gombaud motvilligt att ge med sig.

Monsieur Pascals tankar kring religion och andra ämnen vann god spridning och trycktes i flera utgåvor. Boken ansågs betydelsefull både för sitt innehåll och sitt språkliga värde.

Även efter sin omvändelse upprätthöll Pascal en viss kontakt med Gombaud. Även Gombaud var intresserad av spelets matematik, men som Pascal uttryckte det: "Han är en kvicktänkt karl, men ingen matematiker." Och Gombaud märkte att han hölls utanför Pascals och de andra matematikernas seriösa resonemang. Trots att det var han som en gång väckt diskussionen, var det ingen som tänkte på honom när matematikens världskarta ritades om. I ett brev till Pascal, som själv brukade lägga stor vikt vid att poängtera vad som varit hans insats, uppmärksammade Gombaud sin vän på hur mycket av hans resonemang som berodde på Gombaud. Men för det brevet vann han inget, förutom hovfolkets spe – som sade, att här var den som trodde sig "kunna lära Madame de Maintenon etikett och Pascal matematik" – och Leibniz skratt. Nej, Antoine Gombaud, le Chevalier de Méré, har förblivit en anekdotisk figur i matematikens utkanter.

Del 2: Skrivkonst och matematik i Inkarikets tidevarv

Det här inlägget är det sista i en serie om två inlägg om inkafolkets quipus. Det första inlägget hittar du här.

På den här quipun syns tydligt de rader, som separerade knutar med entals-, tiotals- och hundratalsbetydelse. Knutarna på den nedersta raden betydde ental, nästa rad tiotal och den (på den här quipun) översta raden hundratal. Man har hittat quipus med upp till sex rader av knutar. Just den här quipun residerar idag på Museum für Völkerkunde i Berlin. En sammanställning av bilder på intressanta quipus har gjorts av Harvard University inom ramen för Khipu Database Project, vars hemsida återfinns här.

Det under lång tid dominerande sättet att utläsa quipus – som tabeller av siffror utan vare sig rubriker eller förklarande text – växte fram ur den engelske arkeologen L. Leyland Lockes banbrytande arbete i början av 1920-talet. Locke insåg att knutarna på quipus hade olika numeriskt värde, beroende på hur högt på tråden de satt. Quipus var alltså ett slags positionssystem! Knutar som satt längst ut från huvudsnöret räknades som ental. Nästa grupp in mot huvudsnöret representerade tiotal, och så vidare.

En schematisk skiss över hur Locke uttolkade quipus visar de olika nivåerna på knutar och vilka värden det ger till trådarna. En quipu byggde på ett huvudsnöre, på vilket sidotrådar knöts. Sidotrådarna kunde fästas på huvudsnöret på flera olika sätt och t.o.m. ha egna sidotrådar. Vilken ände av huvudsnöret som representerade början markerades med en stor knut. En lättillgänglig beskrivning av hur knutarna på quipus kan ha utlästs ges av Marcia och Robert Ascher i boken Code of the Quipu.

Som senare quipu-forskare poängterat utelämnar Locke mycket av den information, som bevisligen lagrades in i quipus på andra sätt än med rader av knutar. En viktig del i arbetet med att framställa en quipu var att kombinera olikfärgat garn till trådar med en lång rad olika färger och strukturer. Locke lämnar ingen förklaring till varför det skulle vara så viktigt och beskriver inte heller de många olika sorters knutar, som quipucamayocs använde sig av. Idag tror man att de olika färgerna användes för att särskilja olika varor eller olika slags information.

Lockes tolkning, att quipus uteslutande var numeriska, eller rent av ett slags statistik, förblev den förhärskande bilden av quipus fram till ungefär 1970-talet, men utgör än idag grundbulten i vår kunskap om quipus. Gradvis har vår förståelse av quipus utvidgats, och vi vet idag att de inte enbart användes för att bevara och överföra statistik. Kanske hade de rent av litterära kvaliteter, för även om man ännu inte lyckats utläsa någon hel quipu från Inkarikets tid, har somliga försökt matcha mönstret av knutar mot de versmått som används i dikter på quechua, Inkarikets administrativa språk såväl som inkafolkets språk än idag.

En annan kritik mot Lockes uttolkning är att många quipus skickades långväga över det vidsträckta riket och förvarades långa tider i arkiv, ofta både lokalt och vid det kejserliga hovet i Cuzco. Hur skulle en mottagande quipucamayoc kunna känna till knutarnas betydelse, ifall quipun inte innehöll mer information än bara siffror? I ögonvittnesskildingar från inkatiden kan man till och med hitta beskrivningar av hur en quipucamayoc under en ny Inkakejsares kröning läste upp alla den föregående kejsarens dåd och förtjänster utifrån arkiverade quipus. Mycket tyder alltså på att en quipu kunde innehålla mer information än bara siffror.

Under utgrävningar av ruinstaden Puruchuco nära Lima hittades ett lerkärl med tjugoen quipus, till synes nedgrävt i vad som förefaller ha varit en quipucamayocs verkstad. De tjugoen quipus har därefter kommit att erbjuda en viktig ledtråd till hur enskilda quipus relaterade till varandra, hur de hängde samman och tillsammans skapade ett meningsfullt nätverk av information.

Ruinstaden Puruchuco, numera omringad av den växande mångmiljonstaden Lima, fungerade under Inkarikets tid som ett viktigt administrativt centrum. Till komplexet hörde bland annat en quipucamayocs verkstad. I verkstadens golv hittades ett lerkärl med tjugoen quipus nedgrävt. Foto: Harley Calvert, CC-BY-SA 3.0

Med hjälp av en dataanalys av quipurna från Puruchuco upptäckte Gary Urton och Carrie J. Brezine att åtminstone fem av de quipus som hittades i Puruchuco tillsammans bildar ett slags bokföringshierarki, där flera detaljerade quipus successivt sammanställs i allt mer övergripande nivåer. Varje nivå fanns åtminstone i två exemplar, vilket tyder på att det ena skulle skickas iväg, antagligen till hovet i Cuzco, och det andra behållas lokalt som referens. De mest detaljerade quipus, det Urton och Brezine betecknar nivå I, kännetecknas av en sekvens av fyra färger som upprepas flera gånger. Färgerna går igen i quipus på nästa nivå, där flera av värdena med samma färg på nivå I summeras. På samma sätt sammanställs quipus på nivå II till quipus på nivå III. Både siffror och färger stämmer mycket väl överens mellan de tre nivåerna.

De båda övre nivåernas quipu innehåller ett inledande stycke på ungefär tolv trådar med tre typiska 8-formiga knutar. Denna konstellation av knutar skulle enligt Urton och Brezine kunna vara ett slags knut-namn på Puruchuco, så att de quipucamayocs som tog emot och arkiverade quipus i Cuzco skulle veta varifrån just dessa quipus kom. Quipus på nivå I saknar sådan märkning, kanske för att de inte var avsedda att transporteras någonstans. Kanske hade de redan sänts in till Puruchuco från någon mindre kringliggande by och bar därför den byns, för oss okända märkning.

Denna färgglada quipu visar vilken värdefull informationskälla trådarnas färger skulle kunna vara. Även om vi inte känner till deras exakta betydelse, vet vi numera att de spelade en viktig roll när en quipu lästes ut. Fortfarande tvistar de lärde om färgerna var standardiserade, så att en viss färg betydde samma sak för alla quipucamayocs, eller om varje quipucamayoc hade sin egen uppsättning betydelser och färger. Även om det saknas bevis, verkar ju det faktum att quipus skickades mellan Inkarikets städer tyda på det förstnämnda. Foto: Wikipediaanvändare Lyndsaruell, CC-BY-SA 3.0 

Under årtiondena efter den spanska erövringen av Inkariket var det flera författare, med indianskt såväl som spanskt eller blandat påbrå, som försökte nedteckna de vanor och traditioner som hade hört Inkarikets tidevarv till. Medvetna om att kulturen stod inför dramatiska förändringar ville de sammanfatta det viktigaste från tiden innan spanjorernas ankomst, i form memoarer, historier och reseskildringar. Dessvärre lämnade ingen av dessa författare någon heltäckande beskrivning av hur quipus fungerade. Inte heller verkar någon spanjor lyckats lära sig deras svåra konst, trots att de tvingades erkänna att Inkarikets bokföring var både effektiv och pålitlig. Och att kunskapen om hur det egentligen gick till inte spreds är kanske inte så märkligt – troligtvis var det en yrkeshemlighet som vaktades noga av de knutskriftslärda.

Quipus var välfungerande sätt att nedteckna data, tabeller och kanske även litterära berättelser och beskrivningar. De tvingar oss att omvärdera bilden av Inkariket som ett rike utan skriftspråk. För att göra sina beräkningar, använde inkafolket olika hjälpmedel i form av stenar, majskorn eller en speciell sorts kulramsliknande konstruktion, som kallades yupana (som kan ses längst ned till vänster i den här bilden från det föregående inlägget). Vi vet att astrologer vid inkahovet noga kunde bestämma datum för astronomiska händelser, som t.ex. när inkakejsaren reste till Solön i Titicacasjön för att tillsammans med aristokratin beskåda vår- och höstdagjämningen. För att kunna göra det, måste de ha haft någon slags trigonometrisk kunskap. Av den anledningen har vissa, ännu förgäves, försökt mönsterigenkänna viktiga tal, t.ex. π, som borde dyka upp i de quipus som förväntas beskriva de astronomiska beräkningarna.

Solön i Titicacasjön blev efter sitt införlivande i Inkariket en vallfärdsort dit det kejserliga hovet och aristokratin reste för högtidliga ritualer. Inkahovet förlitade sig på speciella astrologer och matematiker, som bestämde datum för de olika högtiderna. Säkerligen fördes dessa kalendrar med hjälp av en quipu, men eftersom ingen lyckats läsa ut någon quipus betydelse, vet vi inte vilken. Foto: Steve Bennett, CC-BY-SA 4.0

På grund av alla de historiens vagheter som omgärdar inkafolkets quipus är det kanske inte så märkligt, att "Hade Inkariket något skriftspråk?" är den mest fruktade frågan bland de som forskar om Inkarikets historia, eftersom frågan i all sin enkelhet saknar ett bra svar. Nej, inkafolket hade inget skriftspråk i västerländsk mening – tecken tryckta i lera eller ritade på pergament eller papper. Men ändå är det omisskännligen så, att Inkariket uppvisade en grad av komplexitet, organisation och struktur, kort sagt ordning, som vore helt omöjlig utan något slags skriftspråk. Utifrån fragmentarisk, ibland till och med förvirrad, förtegen eller fördomsfull vittnesbörd, framträder en bild av en kultur med litterär tradition och historieskrivning långt utöver vad conquistadorerna eller historikerna kunde föreställa sig.

Under loppet av de senaste decennierna har vår förståelse av Inkarikets quipus revolutionerats. Många quipus är visserligen tabeller av siffror och statistiska data, råmaterialet för att driva ett av världens stora imperier, men quipus har visat sig innehålla mycket mer. Under kröningsceremonin i Cuzco ingick att quipucamayoc läste upp den döde kejsarens stordåd, kontrakt och överenskommelser nedtecknades med knutarnas hjälp. Det är uppenbart att det ännu döljer sig många hemligheter i de trådarnas olika färger, knutarnas olika former och vävningen olika riktningar. Och återigen finns det gott hopp om att de ännu så länge tysta quipus en dag åter skall få tala.

Vissa quipus kunde bli mycket omfattande, om det var mycket information som skulle överföras. Siffror och kanske även text bäddades in i quipus med hjälp av egenskaper som knutarnas form och trådarnas färger. Vår förståelse för dem är dock ännu i sin linda – quipus väntar ännu på sin Champollion. Just den här quipun finns idag i Världskulturmuseets samlingar i Göteborg. Fler bilder på quipus finns på den här hemsidan. Foto: Gary Urton

Det här inlägget är det sista i en serie om två inlägg om inkafolkets quipus. Det första inlägget hittar du här.