 |
| Hasardspel – ett ord vars ursprung av vissa sökts i arabiskans zar, tärning – har människan känt till länge, men sällan har de vunnit så mycket aktning, som när de tog plats i 1500-talets finsalonger. För oss som kommit att tänka på upplysningstiden – hasardspelets födelseepok – som en tid av rent förnuft och vetenskapens genombrott är det kanhända ovant att samtidigt föreställa sig upplysningstiden som en tid av hängivelse till chansen, till risken och till hasardspelet. Eduard Swobodas målning från åren kring 1800-talets mitt fångar känslan i hasardspelets tjusning. |
Det är kanske en av matematikhistoriens ironier, att just den gren av matematiken som kommit att spela den kanske viktigaste rollen i bygget av vårt eget tidevarvs världsbild – i allt från kvantfysik och relativitet till kaos- och spelteori – växte fram ur upplysningstidens hejdlösa fascination för hasardspel, för sannolikhetsläran har ingen mindre än fransmannen Antoine Gombaud att tacka för sin existens. Gombaud, som av eftervärlden möjligtvis borde vara ihågkommen som poet och författare, är numer förmodligen mest berömd för den fascination för tärningsspel, som han delade med så många av sina samtida. Och så, förstås, att han var vän till den berömde matematikern Blaise Pascal.
.JPG/800px-Ar%C3%A7ais_(9).JPG) |
| Det var under en vandring i de låglänta, natursköna områdena i Poitou som Antoine Gombaud och Blaise Pascal lärde känna varandra. Deras samtal skulle sedermera utvecklas till en vänskap som revolutionerade matematiken. Vem vet – kanske var det just här, nära Arçais, som de gick. Foto: Wikipediaanvändare Ji-Elle, CC-BY-SA 3.0 |
Det var år 1651 eller 1652 som Antoine Gombaud lärde känna det unga matematikgeniet Blaise Pascal under ett strövtåg i Poitou, som de båda kom att företa tillsammans med hertigen av Roannez. Sin motvilja mot matematiker till trots – de var i likhet med historikerna och språkvetarna, menade Gombaud, tröttsamma att tala med, rent av oförmögna att samtala om de normalaste av saker, och saknade därtill vanligtvis både vett och smak – fick Gombaud erkänna, att Pascal så fort han lärt känna sina färdkamrater visade sig vara en mycket vänlig och underhållande man. Pascal och Gombaud utvecklade en långvarig vänskap. Gombaud, som var författare till yrket och därvid inte heller helt saknade framgång, kunde hjälpa Pascal med hans publikationer, och fick i utbyte hjälp i sina matematiska resonemang.
Gombaud – även känd under sitt självpåtagna adelsnamn Chevalier de Méré – var nämligen amatörmatematiker med ett speciellt intresse för tärningsspel. Hans resonemang gällde i synnerhet två spel, som i olika versioner varit populära alltsedan medeltiden: Ett där man skulle kasta en tärning och satsa på huruvida man fick upp en sexa på fyra kast, samt ett där man skulle kasta två tärningar och satsa på huruvida man fick upp en dubbel-sexa på tjugofyra kast.
 |
| Tärningarna, av den katalanske konstnären Simó Gómez Polo, visar hur det kan ha sett ut när Gombaud och hans kamrater träffades för att spela tärning. |
Exakt hur Gombaud resonerade råder det delade meningar om. Den kanske troligaste versionen lyder att Gombaud, liksom de flesta av sina samtida, var av den åsikten att spelaren hade lika stor chans att vinna i båda spelen. För att räkna ut det åberopade han en mycket gammal formel, som bland andra Girolamo Cardano använt. Formeln angav hur många gånger man var tvungen att upprepa ett försök, för att oddsen för och emot att man skulle lyckas åtminstone en gång skulle var lika stora. Detta antal, de så kallade kritiska upprepningarna, beräknades genom att multiplicera den naturliga logaritmen av två med antalet gånger, på vilka försöket borde lyckas en gång. Om vi betecknar detta antal med n, och antalet kritiska upprepningar med U
50, skulle formeln kunna uttryckas i modern notation på följande sätt:
I Gombauds fall gav formeln att en tärning, som ju hamnar rätt i en sjättedel av fallen och därmed har n=6, ger ett odds på fyra (eftersom logaritmen av två är ungefär 0,7). Följaktligen skulle den som satsar på att inte få upp någon sexa på fyra slag ha lika stor chans att vinna som den som satsar på att inte få se någon sexa alls. Får man slå fler än fyra slag, lönar det sig att satsa på att det kommer upp en sexa; gäller det istället färre än fyra slag, är det mest troligt att sexorna lyser med sin frånvaro. Regeln var alltså alldeles excellent för vad Gombaud tänkte använda den till.
Problemet uppstod när Gombaud betraktade spelet med två tärningar. Först resonerade han enligt en annan, mycket gammal sannolikhetsprincip, nämligen att det kritiska antalet upprepningar för två olika spel, förhåller sig på samma sätt mot varandra, som antalet möjliga, likvärdiga utfall. I moderna termer sa den här principen alltså att kvoten av U
50 och n skulle vara lika stor för båda spelen, något som lätt kan härledas från den första formeln. Utgående ifrån denna princip menade Gombaud, att eftersom sex rundor med en tärning motsvaras av trettiosex med två tärningar, borde fyra rundor för jämn vinstchans med en tärning innebära tjugofyra med två. Formeln svarade istället tjugofem. Världen gick inte under, men Gombaud utropade att aritmetiken trotsade sig själv och skrev ett brev till sin vän matematikern – Blaise Pascal.
 |
| Blaise Pascal var en sjuklig men genial ung matematiker, som år 1623 föddes som son till en skatteindrivare i staden Clermont-Ferrand i mitten av Frankrike. |
Pascal kände säkert till det som Gombaud inte insåg: att de Moivres formel bygger på en approximation, om än en mycket god sådan – nämligen att
. Vid höga n är approximationen i princip oskiljbar från verkligheten, så för kast med två tärningar, där antalet möjliga utfall är 36, fungerar formeln utmärkt. Men vid lägre värden på n, som t.ex. sex, står formeln på betydligt mer ostadig grund. Approximationen var däremot matematiskt oundviklig, för ännu var exakta sannolikheter något som bara få kunde beräkna. Tidigare namnkunniga matematiker som utforskat och skrivit böcker om sannolikhetslära, som Gerolamo Cardano och Galileo Galilei, hade alla fått nöja sig med approximationer, uppskattningar och tabeller.
Som många andra matematiska frågor, redogjorde Pascal för problemet för sin vän juristen Pierre de Fermat. I ett brev avsänt den 29 juli 1654 beskriver han Gombauds resonemang:
| Han berättade för mig att siffrorna var felaktiga av följande anledning: Om man vill få upp en sexa med en tärning har man en fördel på fyra kast, eftersom oddsen är 671 mot 625. Om man skall kasta två sexor med två tärningar har man en nackdel på 24 kast, trots att 24 förhåller sig till 36 (antalet utfall på två tärningar) på samma sätt som fyra förhåller sig till sex (antalet utfall på en tärning).”
– Blaise Pascal
|
Fermat och Pascals långvariga brevväxling och vänskap hör säkerligen till en av matematikens mest givande. Sin början tog brevkonversationen faktiskt i en annan av Gombauds frågor, den gången rörande det berömda delningsproblemet. Problemets ursprung kan sökas i matematiska gåtor som först formulerades av medeltida muslimska matematiker, men till Europa kom det först någon gång strax före 1380. Därefter togs det förgäves togs upp av flera briljanta italienska matematiker, som munken Luca Pacioli, främst känd för att ha uppfunnit den dubbla bokföringen, liksom ärkefienderna Cardano och Niccolò Tartaglia i renässansens Italien.
Kärnan i delningsproblemet är ett spel som inte kan avslutas, utan där prispengarna istället i förtid skall fördelas på ett rättvist sätt. En version, som står att finna i en matematikbok utgiven år 1602 av Lorenzo Forestani da Pescia, handlar om en gammal man, som uppskattar bollspel men själv inte längre kan spela. Istället kallar han till sig två arbetare vid gården och ger dem fyra dukater att spela om – den som först når åtta vinster skall få pengarna. Men efter nio matcher, då det står 6-3, försvinner bollen och de tvingas sluta. Den gamle mannen är ändå nöjd, så han ger de båda spelarna pengarna och uppmanar dem att (rättvist) dela upp dem emellan sig. Frågan är: Hur då?
 |
| I sin bok Summa från 1494 presenterade benediktinermunken Luca Pacioli bland annat sin lösning till delningsproblemet. Han menade att prispengarna skulle delas upp utefter ställningen då spelet avslutas – i bollspelet ovan skulle det blivit en tredjedel av dukaterna till den ene och två tredjedelar till den andre. Men Paciolis lösnings mötte kraftigt motstånd – inte minst för dess skeva utfall om spelet avbröts när endast en eller några få poäng hunnit utdelas. På denna berömda tavla från 1495 ses han tillsammans med Euklides geometri och sin egen bok inbunden i röd pärm i nedre högra hörnet. Den unge mannens identitet är dessvärre okänd – och naturligtvis hett omdebatterad. |
Pascals resonemang var banbrytande och radikalt annorlunda än alla tidigare – istället för att som Pacioli utgå ifrån de poäng som redan delats ut, ville Pascal dela prispengarna efter sannolikheten hos olika förväntade utgångar. Med andra ord föredrog Pascal framtidens ovisshet före det redan kända. Lösningen var inte intuitiv och för att utveckla den hade Pascal tvingats härleda banbrytande matematiska principer.
Efter att ha fått svidande kritik från andra matematiker i Paris, sökte Pascal därför efter någon annan som kunde och ville diskutera hans tankegångar. Det var genom sin bekantskap med matematikern tillika kunglige bibliotikarien Pierre de Carcavi som han då kom han i kontakt med juristen Pierre de Fermat, bosatt och verksam i Toulouse. Fermat, som hade känt Pascals far, var inte ovillig att inleda en brevväxling med den unge och briljante Blaise. Dessutom förde det honom närmare både den matematiska kretsen i Paris, och underlättade när han skulle publicera sina böcker.
Fermat var inte det minsta främmande för Pascals resonemang; han hade rent av parallellt utvecklat liknande tankebanor. Brevväxlingen varade genom hela sommaren och in på hösten 1654. Pascals och Fermats idé var grundläggande lika varandra – men radikalt olika deras föregångares. Istället för att betrakta de poäng som redan delats ut, ville de fokusera på de poäng som var kvar att fördela. Genom att föreställa sig alla möjliga utfall och bestämma sannolikheten för dem fördelade de prispengarna efter det i genomsnitt mest troliga utfallet. I Forestanis bollspel, som vi får anta avgörs fullständigt av turen, hade det inneburit följande 64 tänkbara och lika sannolika framtider:
| A | A | A | A | A | A | | A | A | A | A | A | B | | A | A | A | A | B | A | | A | A | A | A | B | B | | A | A | A | B | A | A | | A | A | A | B | A | B |
| A | A | A | B | B | A | | A | A | A | B | B | B | | A | A | B | A | A | A | | A | A | B | A | A | B | | A | A | B | A | B | A | | A | A | B | A | B | B |
| A | A | B | B | A | A | | A | A | B | B | A | B | | A | A | B | B | B | A | | A | A | B | B | B | B | | A | B | A | A | A | A | | A | B | A | A | A | B |
| A | B | A | A | B | A | | A | B | A | A | B | B | | A | B | A | B | A | A | | A | B | A | B | A | B | | A | B | A | B | B | A | | A | B | A | B | B | B |
| A | B | B | A | A | A | | A | B | B | A | A | B | | A | B | B | A | B | A | | A | B | B | A | B | B | | A | B | B | B | A | A | | A | B | B | B | A | B |
| A | B | B | B | B | A | | A | B | B | B | B | B | | B | A | A | A | A | A | | B | A | A | A | A | B | | B | A | A | A | B | A | | B | A | A | A | B | B |
| B | A | A | B | A | A | | B | A | A | B | A | B | | B | A | A | B | B | A | | B | A | A | B | B | B | | B | A | B | A | A | A | | B | A | B | A | A | B |
| B | A | B | A | B | A | | B | A | B | A | B | B | | B | A | B | B | A | A | | B | A | B | B | A | B | | B | A | B | B | B | A | | B | A | B | B | B | B |
| B | B | A | A | A | A | | B | B | A | A | A | B | | B | B | A | A | B | A | | B | B | A | A | B | B | | B | B | A | B | A | A | | B | B | A | B | A | B |
| B | B | A | B | A | A | | B | B | A | B | A | B | | B | B | B | A | A | A | | B | B | B | A | A | B | | B | B | B | A | B | A | | B | B | B | A | B | B |
| B | B | B | B | A | A | | B | B | B | B | A | B | | B | B | B | B | B | A | | B | B | B | B | B | B |
När spelet avbryts och ställningen är 6-3, har spelaren i underläge (vars vinster i diagrammet ovan symboliserats med B) knappt 11 procents chans att vinna, eftersom vinsten tillfaller honom i endast sju av Pascals 64 tänkbara framtider. Spelaren i överläge (symboliserad med A) vinner i de resterande 57 tänkbara framtiderna och har således en vinstchans på lite drygt 89 procent.
 |
| Pascals och Fermats fördelning av prispengarna är mycket mer radikal än deras föregångares, något som också säger en del om det mänskliga psyket – det är nog få som i den underlägsne spelarens plats skulle uppleva att de endast har tio procent chans att vinna. Är det måhända det som Pascal, i form av en skulptur utförd av Augustin Pajou, sitter och funderar på, numera i en vinge av Louvren? |
Sent på kvällen den 29 november 1654 genomgick Pascal sitt livs mest omvälvande upplevelse. I något som moderna tråkmånsar försökt bortförklara som ett migränanfall såg Pascal en uppenbarelse från Gud – "eld, Abrahams Gud, Isaacs Gud, men varken filosofernas eller vetenskapsmännens", som han skrev. Pascals omvändelse hade en stark påverkan på hans gärning. Efter att under nästan ett års tid – alltsedan han först lärde känna Gombaud – ha studerat hasardspelens matematik, vände sig Pascal till teologin och religionen. Liksom sina systrar anslöt han sig till den jansenistiska gruppen, där både chansspel och vetenskap ansågs som syndiga, som tomma illusioner och undanflykter från livets verkliga syfte.
 |
| Den jansenistiska rörelsen var en katolsk strömning som utgick från Cornelius Jansens läror, som började vinna spridning främst i Frankrike under åren kring 1640. Pascals familj var nära knuten till den jansenistiska rörelsen, och till Blaises bedrövelse beslöt hans syster att gå i kloster efter faderns död. På grund av sin avvikande teologi kom jansenisterna i ökande grad på kant med den katolska kyrkan, något som slutade med att rörelsen upplöstes med våld i början av 1700-talet. Här ses hur de jansenistiska nunnorna i klostret i Port-Royal-des-Champs förs bort år 1709. |
Fram till slutet av sin levnad fortsatte Pascal att samla sina tankar i skrift. Efter hans död år 1662, endast 39 år gammal, utgavs de i samlad form som en bok,
Les Pensées, eller på svenska ungefär
Tankar. I not 23 presenterar Pascal ett av bokens mest välkända resonemang, i form av en dialog mellan honom själv och den icke-religiöse vännen Antoine Gombaud. Resonemanget är knappast varken matematiskt eller teologiskt, men väl en god illustration av hur Pascal bar med sig sin känsla för sannolikheter i teologin – och en god anekdot.
Pascal menar att värdet på ett spel, anledningen att överhuvudtaget delta, kan bestämmas genom att multiplicera den möjliga vinsten med sannolikheten att vinna den, på samma sätt som spelets risker kan uppskattas genom att multiplicera sannolikheten att förlora med värdet som i så fall skulle gå förlorat. Utifrån det presenterar Pascal sin tes, känd som
Le pari, eller på svenska ungefär
Vadet. Vadet ifråga gäller huruvida man skall leva som om Gud existerar – som Pascal efter hans omvändelse – eller som om Gud inte existerar – som Gombaud gjorde. Vadet är således ett spel, där spelet i sig står på spel.
Pascals slutsats är att oavsett hur liten man tror att sannolikheten är för att Gud verkligen existerar, så bör man leva som att han gör det, eftersom vinsten – evigt liv och evig lycka efter döden – är oändligt stor. Att inte tvingas leva efter religionens strikta bud må också vara en vinst, men eftersom den är begränsad både i tid och i rum, bleknar den i jämförelse med den oändliga vinst som är möjlig ifall Gud faktiskt existerar. Till slut tvingas även Gombaud motvilligt att ge med sig.
 |
| Monsieur Pascals tankar kring religion och andra ämnen vann god spridning och trycktes i flera utgåvor. Boken ansågs betydelsefull både för sitt innehåll och sitt språkliga värde. |
Även efter sin omvändelse upprätthöll Pascal en viss kontakt med Gombaud. Även Gombaud var intresserad av spelets matematik, men som Pascal uttryckte det: "Han är en kvicktänkt karl, men ingen matematiker." Och Gombaud märkte att han hölls utanför Pascals och de andra matematikernas seriösa resonemang. Trots att det var han som en gång väckt diskussionen, var det ingen som tänkte på honom när matematikens världskarta ritades om. I ett brev till Pascal, som själv brukade lägga stor vikt vid att poängtera vad som varit hans insats, uppmärksammade Gombaud sin vän på hur mycket av hans resonemang som berodde på Gombaud. Men för det brevet vann han inget, förutom hovfolkets spe – som sade, att här var den som trodde sig "kunna lära Madame de Maintenon etikett och Pascal matematik" – och Leibniz skratt. Nej, Antoine Gombaud, le Chevalier de Méré, har förblivit en anekdotisk figur i matematikens utkanter.
_in_Kedareshvara_temple_at_Balligavi4.JPG/682px-Virgal_(hero_stone)_in_Kedareshvara_temple_at_Balligavi4.JPG)
