Triangulering – nu och då

Triangulering är ett av de mest finurliga sätten att mäta avstånd exakt. Metoden gör bruk av ett antal enkla geometriska påståenden, en liten dos trigonometri och så – om man vill mäta ett helt land, vill säga – en rejäl omgång äventyrliga resor. Grekerna använde trianguleringens teknik, om än inte namnet, för att mäta avståndet till skepp ute till havs, och tekniken återfinns i kinesiska matematikböcker från 200-talet e.Kr. Under 1600-talet upptäcktes dess förtjänster av europeiska matematiker, och under 17-, 18- och 1900-talen spann så trianguleringen sitt nät över hela jordklotet.

Men låt oss först fråga: Hur går en triangulering till? Vi tar ett exempel. Säg att vi börjar på en liten kulle, som vi kallar A, med utsikt över havet och över byn som ligger invid kullens fot. Från toppen av kullen kan vi se byns kyrka, som vi kallar B, och en fyr, C, på en liten kobbe nära kusten. Hur långt bort ligger egentligen fyren?

Vi börjar med att mäta vinkeln mellan fyren och kyrktornet, och finner att den är 60 grader. Därefter mäter vi, så exakt som möjligt, sträckan bort till kyrktornet, som är 100 meter. Eftersom prästen i kyrkan är mycket vänlig, låter hon oss klättra upp i kyrktornet, varifrån vi mäter vinkeln mellan kullen och fyren. Vinkeln är 80 grader. Därmed vet vi att vinkeln sedd från fyren är 40 grader. Utan att behöva ta oss ut till fyren, kan vi nu bestämma avståndet mellan kullen och fyren med hjälp av sinussatsen, som ger oss ett svar på ungefär 153 meter:

Genom att bygga på med triangel efter triangel kan vi alltså mäta upp vilka avstånd som helst, så länge vi har en exakt uppmätt sträcka att utgå ifrån. Den här insikten, den om att trianglar kan vara av stor nytta – ja, nästan oumbärliga – vid mätning av sträcka, var något kom tidigt i matematikens utveckling. Såväl i antikens Grekland som i det tidiga Kina, liksom säkerligen på många andra platser på jordklotet, använde sig matematiker av trianglar för att bestämma avstånd. I den havsomgärdade grekiska övärlden, där också anfall från sjöss under långa perioder snarast verkar ha tillhört det normala, åtminstone om man få tro de episka sagoberättelserna, var det säkerligen av största vikt att från kusten kunna uppskatta avståndet ut till ett annalkande skepp. De grekiska matematikerna använde en speciell trigonometrisk funktion, den s.k. kordan, som vi idag sällan ser, som enkelt och lätt gav de rätta förhållandena mellan vinklarna och avstånden. På sätt och vis kan kordafunktionen räknas som anmoder till våra dagars uppsättning av trigonometriska funktioner. (Mer om korda-funktionen kan du läsa i det här inlägget.)

Den här fullspäckade illustrationen av en trianguleringsliknande matematisk operation stammar från en 1700-talsutgåva av Liu Huis klassiska matematikbok från 200-talet e.Kr. Liu Hui var verksam under den tid som kallas de tre kungadömenas period, en tid av krig och oroligheter, men också av legender, historier och dramatiska sagor.

Dessa tidiga matematiker skulle säkerligen inte ha beskrivit sin metod som ”triangulering”, utan snarare som ett behändigt sätt att använda sig av triangelns matematiska egenskaper. Som specifik teknik kom trianguleringen inte i vitt spritt bruk förrän på 1600-talet. Den första trianguleringen av en större landmassa genomfördes 1615 av Willebrord Snell, som konstruerade 33 trianglar på den elva mil långa sträckan mellan Alkmaar och Bergen op Zoom i Nederländerna.

Sitt stora kändisskap skulle trianguleringen dock få först i och med den franska revolutionen. Starkt präglad av upplysningstidens ideal skulle den nya franska republiken förses med rationella och funktionella måttenheter, som skulle vara frikopplade från tidigare epokers vidskeplighet, regionala variationer och aristokratiska förtryck. Den nya måttenheten, som kallades metern, skulle ligga till grund för alla rymdmått och skulle härledas från Jordens egna proportioner – eller åtminstone Frankrikes. Bara något år efter att revolutionen först tagit fart skickades Jean Baptiste Delambre och Pierre Mechain ut för att mäta avståndet mellan Dunkirk i norr och Barcelona i syd samt beräkna den nya måttenhetens sanna storlek. (Deras resor och vedermödor, liksom i övrigt denna spännande och omvälvande tid såväl matematiskt som politiskt och historiskt, kan du läsa mer om i det här inlägget.)

Mycket av Delambres och Mechains framgångar berodde på att de hade med sig ett nytt instrument, som uppfunnits av den franske matematikern, vetenskapsmannen och teknikern Jean-Charles de Borda. Med hjälp av Bordacirkeln kunde trianguleringen genomföras både enklare och med större precision. Trots det tog det hela sex år att triangulera enbart från nord till syd – även med ständigt förbättrad teknik skulle trianguleringen av hela nationen ta lång tid att genomföra.

Även om revolutionens ideal – frihet, jämlikhet och broderskap – av förklarliga skäl aldrig vann någon större uppskattning bland den övriga europeiska eliten, spred sig trianguleringen över hela kontinenten. Under loppet av 1800-talet mättes fler och fler europeiska länder upp; att exakt kunna definiera vad som låg utanför, men framförallt inom, nationens gränser kom att bli en avgörande del i övergången från löst sammanhållna furstendömen till moderna nationalstater. Och än mer var de exakta avstånden oundgängliga för 1800-talets stora infrastrukturprojekt: telegrafledningarna, järnvägen och vägarna.

Det här trianguleringsnätet över Rheinland-Hessen i sydvästra Tyskland stammar från 1900-talets tidigaste år, och utgör ett perfekt exempel på hur triangel efter triangel kunde fogades samman till en exaktare karta.

De imperiebyggande britterna hade inte bara de brittiska öarna att mäta upp utan även sina kolonier, som på imperiets höjdpunkt tillsammans täckte en fjärdedel av Jordens landmassa. Trianguleringen av den indiska halvön skulle komma att bli en lång och mödosam process: Många drabbades av smittsamma sjukdomar, vägarna var oftast svårframkomliga och inte sällan tillgängliga enbart under några få månader per år. Men de rundresande engelsmännen upptäckte också helt nya, för västvärlden okända platser. Bland Himalayas toppar upptäckte man ett flertal nya bergstoppar, som var högre än alla tidigare kartlagda berg. Den högsta av de nya bergstopparna utropades därefter, försiktigt nog, till världens troligtvis högsta berg. Dessvärre hade det redan så många olika namn bland den lokala befolkningen, att engelsmännen till en början inte visste riktigt vad de skulle kalla bergstoppen. Därför fann de sig tvungna att tillföra ytterligare ett namn och trianguleringsorganisationens ledare, Andrew Waugh, beslöt att döpa den nya toppen efter sin företrädare, George Everest.

Mount Everest, som berget fick heta (mot George Everests vilja), mättes upp till exakt 29 000 fot, eller ungefär 8 840 meter. Det, bestämde man sig kvick för, gick inte för sig, eftersom alla då skulle tro att man i all hast gissat sig till ett ungefärligt, fint avrundat värde. Av den anledningen bestämde sig Waugh för att helt enkelt lägga till två fot på måttet, varefter världen fick veta att världens högsta berg, det nyupptäckta Mount Everest, var 29 002 fot högt. Men när hela historien kom ut fanns så klart den där kvicktänkte människan, som kunde konstatera att Waugh blev den förste som satte två fot på Mount Everests topp. I efterhand har Waugh dock fått åtminstone delvis rätt – den senaste angivelsen är 8 848 meter.

Mount Everests topp, som här visar sig mäktig i kvällssolen, upptäcktes under en trianguleringsexpedition och döptes efter dess (smått ovillige) före detta ledare, som väl att märka uttalade sitt namn med ett långt första E. På Darjeeling-dialekten, tibetanska och nepalesiska bär berget namnen Deodungha, Chomolungma och Sagarmāthā. Foto: Ralf Keyser, CC-BY-SA 2.0

Triangulering är en lång och mödosam process – ja, ibland kunde den rent av vara farlig. Sedan 1980-talet har trianguleringen i stort ersatts, först av geopositioneringssystem, GPS, och sedermera även av högupplösta satellitfotografier. Så på vår planet används triangulering inte så mycket längre – men väl i rymden. Liksom grekerna ursprungligen med trianglars hjälp kunde bestämma avståndet till ett skepp ute till havs, använder dagens astronomer trianguleringens tekniker för att bestämma avståndet till avlägsna stjärnor och himlakroppar.