Ägg, påskharar och matematiska beräkningar

Nu närmar sig påsken med stormsteg och förhoppningsvis har värmen kommit för att stanna. Påsken infaller som bekant efter vårdagjämningen – det dygn då dag och natt är lika långa – nämligen, enligt tumregeln, den första söndagen efter den första fullmånen efter vårdagjämningen.

Påsken är en av kyrkoårets viktigaste högtider, och bristen på en gemensam dag att fira den på utgjorde ett problem för den tidiga kyrkans sammanhållning. Firandet har dock fått olika tema i olika länder, som denna bild från Santiago de Compostela. Foto: J. Pereira, CC-BY-SA 2.5

Men det var som sagt bara tumregeln. Verkligheten är som vanligt långt mycket mer komplicerad, och de munkar som under medeltiden hade för uppgift att beräkna påskens datum var ofta i den dåtida framkanten av matematiken. Beväpnade med Ptolemaios (ca 90-168 e.Kr) bild av solsystemet, med epicykler och jorden i centrum (se äldre inlägg här och här om denne briljante men ack så misstagne matematiker och astronom) och antik grekisk, medeltida bysantinsk, arabisk och europeisk matematik arbetade de fram tabeller över påskens datum långt in i framtiden.

Diskussioner om när påsken skulle infalla har förts åtminstone sedan mötet mellan påven Anicetus och biskopen Polykarpos av Smyrna år 154 e.Kr., men det var först vid det första konciliet i Nicaea (som idag ligger på Turkiets västkust) år 325 som den kristna världen fick ett gemensamt sätt att beräkna påsk. Då beslutades att hela kristendomen skulle använda det sätt som var bruk i Alexandria. Det tog dock flera århundraden innan hela den kristna världen accepterat bestämmelsen.

Denna illustration från 1493 av konciliet i Nicaea återfinns i den berömda Nürnbergkrönikan, som skildrar den kristna världens historia. Konciliet i Nicaea sammankallades av den kristne romerske kejsaren Konstantin, bland annat för att fastlägga påskens datum.

Det system som då infördes används fortfarande idag, fast på lite olika sätt. Först och främst delas året in efter en månkalender – året får tolv månader, på vardera vanligen 29 dagar – men ett sådant år är elva dagar för kort. Varje år kommer månkalendern alltså elva dagar till efter solkalendern. (Mån-månaderna definieras på så sätt att fullmånen – den formella fullmånen, som inte nödvändigtvis överensstämmer med verklighetens fullmåne – inträffar på månadens fjortonde dag.) När tre år gått och månkalendern ligger 11·3 = 33 dagar efter, skjuts en extra månad in på 30 dagar. De överskjutande dagarna blir alltså 33-30 = 3. Nästa år blir de elva till, året därpå och året därpå igen också, tills de överskjutande dagarnas antal når 3+3·11 = 36. En extra månad läggs till och, ja, dagarna minskas till 6. På det här viset upprepas processen tills de överskjutande dagarna är -1, d.v.s. tills månkalendern ligger en dag före solkalendern, något som inträffar på det nittonde året. Då läggs en skottdag in – då månen formellt sett står stilla – och kalendern börjar om. Därför går månkalendern i cykler om nitton år.

Den första månad i vilken den fjortonde dagen (dess formella fullmåne) i denna månad hamnar på eller efter vårdagjämningen den 21 mars är påskmånaden och den första söndagen efter den fjortonde dagen i denna månad är då påsken infaller. Påsken infaller som tidigast om den fjortonde dagen i någon mån-månad är just den 21 mars, samt detta är en lördag. Söndagen som följer därpå måste alltså bli påsk, som således inträffar den 22 mars. Om å andra sidan påsken inträffar den femtonde i denna månad väntar påskmånaden till nästa månad, och dess fjortonde dag blir då den 18 april. Om denna dag vidare själv skulle vara en söndag, väntar påsken till nästa söndag, som blir den 25 april, vilket är det senaste datum påsken kan inträffa.

Eftersom vårdagjämningens datum (satt i solkalendern), månens formella fullmåne (fixerat till den fjortonde i varje månad i månkalendern) och veckodagarna här samvarierar, hoppar påsken fram och tillbaka i en cykel på nästan 6 miljoner år. Sannolikheten att påsken skall inträffa ett visst datum framgår av diagrammet. Är man osäker och skall gissa, förefaller stalltipsen vara den 19 april (och det med en hisnande säkerhet på nära fyra procent).