Del 3: Aristoteles, Alexander, resten av världen och Arkimedes

Det här inlägget är det tredje och sista i en serie inlägg om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Under loppet av den grekiska antiken blev det alfabetiska talsystemet alltmer dominant, och omkring tiden för romarrikets erövring av Grekland decennierna före Kristi födelse övergav till slut även atenarna sitt eget, attiska talsystem, efter att i offentliga sammanhang ha hållit fast vid det långt efter att det fallit ur vardagligt bruk. Under tiden atenarna hållit emot, hade systemet även vunnit stor spridning utanför Grekland. Med Alexander den store blev det alfabetiska talsystemet på samma sätt som det grekiska språket standard i hela det hellenistiska riket. Det var inget som romarna lyckades ändra.

Från sin lärare Aristoteles fick Alexander den store säkert med sig kunskap om det grekiska talsystemet, som sedan följde med hela vägen till Indien. Denna gravyr av Charles Laplante från 1866 visar dem inbegripna i en diskussion.

Under den hellenistiska eran genomgick det alfabetiska talsystemet en rad förändringar, som gick hand i hand med matematikens utvidgade användningsområde. När systemet inte bara skulle passa handel utan även den framväxande astronomins behov, när matematikerna gick från geometri till aritmetik, kom de riktigt stora talen i ett annat sken. Kort sagt dög det helt enkelt inte längre att skriva alla tal över 999 som ord.

Först och främst utvidgades tecknen till en serie av tusental, genom att skriva ental ovanför sampi (trots att sampi på egen hand inte alls betydde 1000, utan 900). På så sätt betydde  (lilla alfa över sampi) 1000, och så hela vägen till theta över sampi, , som betydde 9000. Detta tusentals-sampi kom senare att förenklas till en nedsänkt apostrof före entalstecknen, så att 1000 istället skrevs ͵Α och 2000 skrevs ͵Β och så vidare.

För att komma ännu högre användes myriader, som kan kännas igen från det akrofoniska talsystemet, på liknande sätt som vi idag använder miljoner och miljarder. Förkortningen för myriad (gr. myrioi) började som M och blev sedermera endast en punkt. Sålunda beskrev astronomen Aristarchos från Samos talet "71 miljoner 755 tusen 875" som "7175 myriader 5875", och skrev det som ͵ZPOE M ͵EΩOE. (En tabell över bokstävernas värden finns i det föregående inlägget i serien.)

Aristarchos från Samos använde på tvåhundratalet f.Kr. det alfabetiska talsystemet för att beräkna storleken på solen, jorden och månen. Denna medeltida avskrift visar hans beräkningar, där man bland annat kan notera streck ovanför de bokstäver som utgör del av ett tal. Han kom även fram till att solen istället för Jorden låg i universums centrum, men fick bortsett från Arkimedes aldrig något gehör för den idén.

Centrum för astronomi och matematik i det hellenistiska riket låg i Alexandria, och staden var hem åt de allra flesta av tidens berömda matematiker. Genom den grekiska kulturens territoriella expansion kom dessa matematiker i kontakt med helt nya koncept, samtidigt som talens geometriska betydelse tappade i vikt allteftersom aritmetiken mer och mer blev matematikernas hemmaplan. Till skillnad från sina grekiska föregångare hade de hellenistiska matematikerna alltså både kontakt med och sinnelag för att ta emot en revolutionerande idé: siffran noll.

Mottagandet av noll hängde nära samman med en annan förändring i den grekiska matematiken. Den främst i Alexandria framväxande astronomin hämtade mycket av sitt arv från de babyloniska astronomin, som bland annat kännetecknades av dess 60-bassystem. Liksom sina babyloniska föregångare, började de hellenistiska matematikerna dela upp vinklar i grader, minuter och sekunder i ett slags positionssystem, och ett sådant kräver som bekant en platshållare. Annorlunda uttryckt: Ifall de hellenistiska matematikerna ville ha 60-bassystemet, fick de nollan på köpet. Inom bland annat navigation och tidmätning har systemet förblivit så gott som intakt fram till våra dagar.

Det är en sak att konstatera att de hellenistiska matematikerna använde sig av ett positionssystem, och att de därför även använde sig av en platshållande nolla, för att markera en tom position. Även om tecknet i fråga har varierat, är den vanan belagd i manuskript som bevarats från redan tidigt i den hellenistiska matematikens utveckling, senast i generationerna efter Alexander den store.

En helt annan annan sak är dock att uttala sig om hur de hellenistiska matematikerna faktiskt tänkte kring noll; sådana spekulationer är ofrånkomligen mycket vanskliga. Ämnet har ändå lockat många forskare, som i vissa fall kommit till rakt motsatta slutsatser. Så konstaterar t.ex. Otto Neugebauer, som var en amerikansk expert på egyptisk och babylonisk matematik, i sin bok The Exakt Sciences in Antiquity att det närmast är ställt utom tvivel att de hellenistiska matematikerna tänkte på noll som ett eget tal, d.v.s. som ett sätt att representera "ingenting", medan Ron Larham hör till dem som med lika stor kraft hävdar motsatsen. Debatten har inte blivit mindre infekterad av att det i så fall skulle innebära att den grekiska upptäckten av noll föregick den indiska med mer än ett halvt millennium. Beläggen för den indiska nollan är dock väsentligt starkare (som du kan läsa mer om i det här inlägget).

Biblioteket i Alexandria, här i O. von Corvens tolkning från 1800-talet, utgjorde den hellenistiska vetenskapens epicentrum. Alla böcker som fördes in eller ut ur Alexandria beslagtogs och kopierades för att kunna läggas till bibliotekets samlingar.

Men trots det faktum att tallinjen utvidgats med noll och att astronomerna fått ett helt nytt system att lägga till ett redan förvirrande komplicerat, var det högsta talet som gick att skriva fortfarande "9999 myriader 9999", d.v.s. hundra miljoner minus ett.

På det ändrade Arkimedes när han gjorde den i särklass mest berömda utvidgningen av det alfabetiska talsystemet. I sin bok Sandräknaren - som i modern sättning knappast skulle vara kortare än åtta sidor och på så vis snarare är att betrakta som matematikens första forskningsartikeln - ville Arkimedes motbevisa den vid tiden rådande uppfattningen, att det högsta talet som gick att skriva med det alfabetiska talsystemet var det antal sandkorn som finns på en strand. Boken slutar istället med att Arkimedes bestämmer hur många sandkorn det skulle få plats i hela det kända universum.

Det finns de, kung Gelon, som tror att antalet sandkorn är oändligt; och då menar jag med sand inte bara den som finns runt Syrakusa och resten av Sicilien, utan även den som finns i alla såväl bebodda som obebodda länder. Återigen finns de, som utan att betrakta det som oändligt ändå tror att inget tal, större än antalet sandkorn, kan finnas. Och det är uppenbart, att, ifall de som är av denna åsikt skulle föreställa sig ett klot av sand, stort som Jorden [...] fylld till de högsta bergens höjd med sand, skulle de vara ännu längre ifrån att erkänna att ett sådant tal skulle kunna uttryckas, som skulle överstiga antalet på detta sätt samlade sandkorn. Men med hjälp av geometriska bevis, som du skall få följa, skall jag visa att bland de tal, som jag har benämnt och beskrivit i det verk jag skickat till Zeuxippos, finns vissa som överstiger inte bara antalet sandkorn som behövs för att fylla Jorden på detta sätt, utan även antalet som krävs för att fylla hela universum.”

- Arkimedes (början på Sandräknaren, fri översättning)

När sanden till och med täcker huvudgatan i den antika staden Selinus kan den som trodde att antalet sandkorn på Sicilien var oändligt åtminstone nästan förlåtas. Sicilien var ett vanligt mål för emigrerande greker under 700- och 600-talen f.Kr. och ön blev liksom Alexandria med tiden en välintegrerad del av den grekiska kultursfären. Foto: Dennis Jarvis, CC-BY-SA 2.0

För att kunna påbörja sina beräkningar, var Arkimedes tvungen att uppfinna ett sätt att skriva siffror större än en myriad, Μ, 10 000. Hans lösning var relativt logisk.

Bara genom att använda ordet myriad i sig kunde Arkimedes på ett enkelt sätt utvidga tallinjen till hundra miljoner, d.v.s. en myriad myriader, 10⁸. Alla tal mindre än det kallade han för den första ordningens tal, medan 10⁸ i sig blev den andra ordningens enhet (den första ordningens enhet var alltså 1). Multipler av denna den andra ordningens enhet utgjorde sedan den andra ordningens tal, som sträckte sig upp till 10⁸·10⁸=10¹⁶. I farten hade Arkimedes alltså härlett det vi idag kallar för potenslagarna.

10¹⁶ blev på så sätt den tredje ordningens enhet, som multiplicerades med upp till en myriad för att bli den tredje ordningens tal, som alltså nådde ända till 10⁸·10⁸·10⁸=10²⁴. På detta vis fortsatte Arkimedes tills han nådde den myriad-myriad-ska ordningens högsta tal, 10⁸·10⁸·10⁸·...·10⁸, d.v.s. 10⁸ multiplicerat med sig själv en myriad myriad gånger, eller i modern terminologi (10⁸)¹⁰⁸. Det grekiska talsystemet ger faktiskt en bättre uppfattning om hur ogreppbart stora de här talen egentligen är.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första ordningen	1	108
Andra ordningen	108	1016
Tredje ordningen	1016	1024
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) ordningen	(108)108-1	(108)108

Men den gode Arkimedes var inte färdig där. Han definierade alla tal upp till det sista talet i den myriad-myriadska ordningen som den första periodens tal; kommande perioder utgjordes sedan av 10⁸-multiplar därav. På så sätt löpte den andra periodens tal från (10⁸)¹⁰⁸, d.v.s. den första periodens sista tal, till ((10⁸)¹⁰⁸)², på samma sätt som ordningarna tidigare skapats.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första perioden	1	(108)108
Andra perioden	(108)108	((108)108)2
Tredje perioden	((108)108)2	((108)108)3
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) perioden	((108)108)108-1	((108)108)108

Det var först här som Arkimedes nöjde sig, på ett tal så stort att inte heller vi har något ord att uttrycka det med. Det största talet Arkimedes konstruerade var det sista talet i den myriad-myriadska perioden; utskrivet i ett tal vore det en etta med 8·10⁶³ nollor efteråt, långt större än vad hans astronomiska beräkningar skulle komma att behöva. Sina astronomiska beräkningar gjorde han sedan utgående från tre antaganden:

1. "Jordens omkrets är runt 300 myriader stadia och inte större."
En stadion var 185 meter, vilket ger en omkrets på drygt en halv miljon kilometer, eller tio gånger dagens uppfattning.

2. "Jordens diameter är större än månens, och solens diameter är större än Jordens.
På den här punkten följde Arkimedes de flesta tidigare naturfilosofers uppfattning, och, ja, proportionerna har hållit i sig.
3. "Solens diameter är ungefär 30 gånger så stor som månens och inte större."
   Ingen kommentar.
4. "Solens vinkeldiameter är större än sidan på en tusenhörning inskriven i universum."
   Med detta något kryptiska påstående avsåg Arkimedes att vinkeln mellan solskivans översta och nedersta punkt inte var större än vinkeln mellan två hörn i en tusenhörning, d.v.s. mindre än 0,45 grader. Även om han hänvisar till Aristarchos, säger sig Arkimedes experimentellt ha testat påståendet, och värdet är inte alltför långt från dagens 0,54 grader.

Därifrån drog Arkimedes slutsatsen att universum var ungefär två ljusår från sida till sida, och inte skulle kräva mer än  Redan i den sjunde ordningen, vid 10⁶³, hittade Arkimedes talet han sökte. Det säger något om hur otroligt stora talen Arkimedes skapade egentligen var.

Kuriöst nog innehåller den mängden sandkorn ungefär lika många protoner som Arthur Eddington 1938 räknade ut att det fanns i hela det synliga universum, något som Arkimedes förstås inte kunde känna till. Men för att vara drygt två millennier i förväg, var han ändå inte helt fel ute - även om sandkornen i fråga var mycket mer glest utspridda än Arkimedes någonsin kunde tänka sig. Hela Sandräknaren i engelsk översättning står att finna här

Jag antar att dessa saker, kung Gelon, kommer att förefalla otroliga för de flesta människor som inte har studerat matematiken, men för dem som är bekväma med den, och har ägnat tillräcklig tanke åt frågor om Jordens, solens och månens och hela universums avstånd och storlek, kommer beviset att vara övertygande. Det var av denna anledning, som jag tänkte, att ämnet inte vore opassande för er.”

- Arkimedes (slutet på Sandräknaren, fri översättning)

Även om det antika universum inte var så stort, rymde det uppenbart väldigt många sandkorn. I sina beräkningar lät sig Arkimedes visserligen inspireras av astronomen Aristarchos från Samos i det att han använde den heliocentriska världsbilden med solen i mitten, men han hörde till undantagen. Den dominerande teorin var redan då den geocentriska världsbilden, som gjordes berömd för eftervärlden av den hellenistiske astronomen Ptolmaios från Alexandria; här i tolkning av Andreas Cellarius kring år 1660.

Arkimedes utvidgning under 200-talet f.Kr. var den sista stora förändringen av ett talsystem som från sina rötter i Miletos i Jonien kom att bli mycket långlivat - i två årtusenden upprätthöll det en i princip fullkomlig dominans. Efter att det hellenistiska riket införlivats i romarriket förblev grekiskan det dominerande språket, och den vetenskapliga traditionen levde främst i romarrikets östra halva, på grekiska, med grekiska siffertecken. När sedan romarriket delades i en östlig och en västlig halva blev grekiskan i den östra delen återigen ett statsbärande språk. Så förblev det även genom medeltidens bysantinska rike.

Det alfabetiska talsystemet fortsatte att vara det dominerande viset att skriva tal på i den östra halvan av romarriket, något som romarna helt enkelt fick anpassa sig till. På inskriptionens andra rad kan man läsa ΤΟ ΙΒ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙ ΤΟ ΚΕ ΥΠΑΤΩΙ ΤΟ ΙΕ ΤΕΙΜΗΤΙ. Det betyder ungefär "den 12:te kejsaren, den 25:te konsuln och den 15:de skatteindrivaren" (siffertecken är i fetstilt, eftersom man på inskriptioner sällan markerade vilka bokstäver som var del av tal; ΤΟ betyder ungefär "den __:de"). Inskriptionen återfinns i Efesos på ett monument dedicerat till kejsar Domitianus. Grekiskan döljer det faktum att texten handlar om en man som föddes i Rom, växte upp i Rom, härskade i Rom och år 96 e.Kr. även mördades i Rom.

Trots de indo-arabiska siffrornas intåg är det alfabetiska talsystemet i fortsatt bruk i dagens Grekland, på ungefär samma sätt som vi i Västeuropa använder romerska siffror. Fast sedan bokstaven stigma avskaffades i mitten av 1900-talet skrivs siffran 6 istället på isärplockat vis, στ.

Även om de tidigare epokernas talsystem inte längre har något praktiskt värde - om än rika i historiskt dito - så kan vi lära något av det faktum, att under alla de tusentals år som det grekiska talsystemet levde, inkorporerades det aldrig positionssystemet, även om det i alla fall från århundradena före Kristi födelse faktiskt fanns till hands. Det är något att begrunda, både för dem, som i barndomen skall lära sig att greppa det system som Arkimedes valde bort, och för att vi inte vet, vad framtidens talsystem har att erbjuda.

Därmed är den här serien om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid till ända. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Medeltida mönster möter modern matematik

I Topkapipalatsets museum ovanför Bosporen förvaras ett oansenligt men hemlighetsfullt medeltida dokument, en nästan 30 meter lång pergamentrulle fylld med geometriska figurer, men utan text. Topkapimanuskriptet andas matematisk historia och medeltida mysterier utan motstycke; dess historia handlar om girihmönster och medeltida mosaik, som tillsammans skulle kunna utgöra material för en matematisk thriller.

Panorama från Topkapipalatset i Istanbul, manuskriptets nuvarande hem, ut över Bosporen.

Men trots att det numer är infogat i Topkapimuséets samlingar som nummer 56, kommer Topkapimanuskriptet inte ifrån Istanbul, utan har sitt ursprung i 1400-talets Persien. Någon författare känner vi inte till, men bakom upptäckten, vars möjligheter manuskriptet torgför, stod med all säkerhet en genialisk matematiker, tillika arkitekt.

Två skisser ur Topkapimanuskriptet som illustrerar  överlagrade mönster, återspeglade eller återspeglingar av en arkitektonisk stil med hela Mellanöstern som spännvidd, och mer därtill. Här finns fler foton ur Topkapimanuskriptet.

Isfahan är inte bara känd för sina gamla broar, som än idag binder samman Zayandeflodens båda stränder, utan även för den mosaik, som bland annat bekläder Darb-i Imamgravens tak. Precisionen, mönstret och effekten som uppvisas hade helt enkelt varit omöjlig utan girihmosaikens metoder - dem som nedtecknades i Topkapimanuskriptet.

Idén bakom girihmönster kan dateras till långt bak i tiden, men någonstans kring 1200-talet skedde en revolution både i exaktheten med vilken mönstren kunde förfärdigas och i komplexiteten hos de mönster som tillverkades. Fram till sekelskiftet mellan 1100- och 1200-talen tror man att alla girihmönster tillverkades med passare och linjal. Eftersom girihmönster bygger på en femfaldig rotationssymmetri, av samma typ som den Dan Shechtman fann i sina kvasikristaller (dem kan du läsa mer om i detta inlägg), blir mönstren aldrig periodiska. Oavsett hur länge man fyller på, kommer mönstret aldrig att se ut precis som det gjorde när man började. Vill man att mönstret skall upprepas, till exempel vara likadant på båda sidor om en portal, får man börja om och göra exakt på samma sätt.

Runt ett valv i den gröna moskén i Bursa, i dagens Turkiet, har en struktur upprepats flera gånger, där varje tiohörning utgör en egen startpunkt, för att skapa ett periodiskt mönster. Mosaiken kan dateras till år 1424.

Ifall man då använder linjal och passare ansamlas småfel, oavsett hur noggrann man är, och det i en sådan takt att allt bortom mycket enkla mönster är otänkbara. De långt mycket mer avancerade mönster man hittar i senare mosaik, som kan innehålla hundratals tiohörningar och ibland upprepas på flera olika längdskalor, blir därför omisskännliga tecken på uppkomsten av en helt ny teknik, byggd på den matematiska insikten, att alla linjer och vinklar kan reduceras ned till fem små, olikformiga mosaikbitar.

Topkapimanuskriptet har givit oss kännedom om de fem girihbitar som de medeltida arkitekterna använde sig av. Bitarna användes som mallar, och när mönstret var färdigt behölls bara de linjer som i figuren målats blå. Här finns en beskrivning av hur man kan bygga egna Girihmönster i gratisprogrammet Google SketchUp.

Den nya metoden spreds som en löpeld och idag kan exempel på girihmönster ses i Indien, Uzbekistan, Turkiet och på många andra platser. Till sin största rätt kom den med de förbättringar som gjordes under 1400-talet, då mönstren blev större, mer komplexa och ibland överlagrade. Det är också vid den här tiden som Topkapimanuskriptet författares. Ett av de bästa exemplen på de mer avancerade mönstren som började dyka upp under 1400-talet hittar man i Darb-i Imamgraven, som färdigställdes år 1453.

På denna mosaik från Darb-i Imamgraven har två mönster överlagrats,  dels ett stort i de svarta linjerna, och dels ett mindre som fyllts i i mellanrummen. Några exempel där tre nivåers mönster överlagrats har man dock inte kunnat finna.

På grund av sina vinklar, som alla är multipler av 36 grader, ger girihbitarna upphov till tio- och femfaldig rotationssymmetri. På så sätt anknyter de till matematiska framsteg som gjorts först under 1900-talet, ett halvt millennium senare.

Peter Lu och Paul Steinhardt, som 2007 publicerade en artikel om girihmönstren, fann nämligen en överraskande likhet mellan de medeltida mönstren och de som Roger Penrose upptäckte år 1974. De upptäckte,  att de fem girihbitarna kan förenklas ytterligare till bara två bitar, Penroses berömda kil och pil, på engelska kallade "kite and dart". (Rapporten i sin helhet kan läsas här.)

Girihmönstren kan förenklas ytterligare till Roger Penroses kil- och pilbitar. Här ses ett exempel på hur tre av bitarna kan konstrueras. De röda och blå strecken till höger i bilden åskådliggör de matchningsregler, som Penrose formulerade och som de medeltida arkitekterna intressant nog ovetandes verkar ha följt. Bilden är från Lu och Steinhardts artikel.

Girihbitarnas släktskap med Penroses mönster gäller inte bara hur de byggs upp, utan de delar också ett antal fundamentala egenskaper. Det betyder inte minst, att de på många sätt innehåller det gyllene snittet. Exempelvis bildar de tiofaldiga symmetriaxlarna som strålar ut från ett girihmönsters centrum tio identiska och likbenta trianglar med vinklarna 36, 72 och 72 grader. Förhållandet mellan den korta och de två långa sidorna i en sådan triangel är det gyllene snittet. Eftersom vinkar på 36 och 72 grader är vanligt förekommande i girihmönstren, blir också gyllene snittet det. Kanske är det också anledningen till att girihmönstren får sitt harmoniska utseende.

Del 2: En guldålder i indisk matematik

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget,och här finner du den tredje och avslutande delen.

Den indiska guldåldern, som den har kallats, inleddes med den politiska stabilitet som uppstod inom guptariket på 300-talet e.Kr, som förenade stora delar av de norra och östra delarna av dagens Indien. Bilden visar ett sällsynt exempel på måleri i guptastil från de buddhistiska grottorna i Ajanta.

Vad som har kommit att benämnas den klassiska eran eller guldåldern inom antik indisk matematik inleddes med den första indiske matematiker vi känner till namnet, Aryabhata. Av en slump känner vi även till hans födelseår: Från de astrologiska referenser han lämnat, vet vi nämligen att han redan tjugotre år gammal författade sitt livs storverk, Aryabhatiya, som utkom år 499 e.Kr, varför han torde ha fötts omkring år 476 e.Kr. Var någonstans vet vi dock inte, men han lär ha levt och verkat i en stad kallad Kusumapura, som kanske (men inte helt säkert) skulle kunna vara dagens Patna.

Aryabhatiya var en bok som fanns i varje indiskt bibliotek under många århundraden efter att den utgivits. Den blev ett standardverk, en grundbult för hela guldåldern och tiden därefter. En stor del av Aryabhatiya, som lär betyda just Aryabhatas verk, ägnas åt astrologin, som han presenterar både ur ett mytologiskt perspektiv, vilket ger verket dess religiösa anknytning, och ett matematiskt, där bland annat sinusfunktionen presenteras. Boken innehåller även kapitel om geometri och aritmetik.

Att beskriva ett solurs skugga är ett av de centrala problemen i Aryabhatiya, antagligen då det förenar astrologin med geometrin. Det gigantiska soluret vid det astrologiska observatoriet Jantar Mantar i Jaipur, byggdes inte förrän i början av 1700-talet, men kan mycket väl ha inspirerats av Aryabhatiya. Soluret är så stort, att skuggan rör sig med upp till en millimeter per sekund. 

Ända sedan Aryabhatiya kom till västerlandet har den där förbryllat sina läsare, eftersom den lyckas förena mystik och poesi med matematisk klarsynthet. Verket består av 121 verser, där var och en framlägger en sats. Stilen är ibland närmast anekdotisk och boken förefaller snarast skriven för att vara ett minneshjälpmedel än en lärobok på egna ben - en antik formelsamling, kan man säga. Texter, som ju alltid var handskrivna vid den här tiden, var något mycket sällsynt, och att underlätta för läsaren att memorera innehållet var därför en klar kvalité - samtidigt följer det i fotspåren av den indiska matematikens långa muntliga tradition. Även om det genom åren skrivits kommentarer och förklaringar till verket, och kommentarer och förklaringar till dem, lämpar sig verket med andra ord inte för självstudier. (Här finns det för övrigt tillgängligt i en välkommenterad engelsk översättning.)

Vissa forskare har spekulerat i ifall Aryabhatiya främst avsågs som en sammanställning av en lång matematisk tradition, och ingenstans skriver Aryabhata uttryckligen att matematiken han presenterar var hans egen upptäckt. Satserna som presenteras varken förklaras, härleds eller exemplifieras. Men med tanke på eftermälet förefaller det trots det otroligt att han inte skulle ha bidragit med åtminstone en del av innehållet själv.

Vers 10: "100 plus 4, gånger 8 och adderat till 62 000; det är den nästan approximativa omkretsen hos en cirkel vars radie är 20 000." Därmed har Aryabhata givit sin tids kanske bästa approximation till π, som 3,1416. Det omständliga sättet att skriva är ett kännetecken för Aryabhatiya, men versmåttet gjorde texten lätt att lära sig utantill - såtillvida man kan sanskrit, vill säga.

Det Kusumapura som Aryabhata verkade i var en lärdomsstad i snabb tillväxt. Ett liknande lärocentrum grundades vid samma tid i Ujjain, och tillsammans kom de att utgöra epicentra för guldålderns vetenskapliga utveckling, som överlevde guptariket. Kanske på grund av de ökade kommunikationsmöjligheterna vetenskapsmännen och matematikerna emellan, eller tack vare att de få handskrivna böcker som kunde produceras fick en vidare läsekrets utvecklades den indiska matematiken snabbare än någonsin. Även översättningar av grekiska verk tillfördes biblioteken. Inte minst trigonometrin gjorde stora framsteg, men den kanske viktigaste följden blev en revolution inom siffersystemet. Även om de brahminska siffrorna redan hade gamla anor, var de bara ett system ibland många - dessutom fanns de i en uppsjö av varianter.

I Aryabhatiya använde sig Aryabhata inte av brahminska siffror, men hade likväl ett positionssystem och ett sådant fungerar inte utan en nolla. Som platshållare i större tal hade nollan länge använts - enligt vissa redan från århundradena innan Kristi födelse, men den som först iakttog konceptet noll, d.v.s. nollan som en egen siffra, inte bara ett avstånd mellan, låt säga, ental och hundratal, var en matematiker vid namn Brahmagupta.

Till skillnad från Kusumapura har matematikern Brahmaguptas hemstad, Ujjain, behållit sitt namn till våra dagar. Staden, som ligger vid floden Shipra, är fortfarande känd för sina universitet. Foto: Bernard Gagnon

Brahmagupta, som lär ha fötts år 598 e.Kr., utmärker sig i den indiska matematiken på många sätt. Han tillhörde inte det brahminska kastet, men erkändes ändå och var under ett långt tag ledare för lärocentrumet i Ujjain. Han är troligen också den enda antika indiska matematiker vars namn än idag utmärker både en sats och en matematisk identitet, vilka han lade fram i sitt verk Brahmasphutasiddharta. Till stilen påminner verket mycket om Aryabhatiya, och är helt författat på vers.

Brahmagupta har blivit berömd för sin sats som säger att sträckan AF är lika med FD ifall fyrkantens diagonaler skär varandra i en rät vinkel.

Till innehåller visar däremot Brahmaguptas matematik en tydlig hellenistisk influens. Efter Alexander den stores härnadståg uppstod en livskraftig grekisk kultur i den indiska halvöns nordvästra hörn, det antikens folk kände som Baktrien eller ungefär dagens Afghanistan och Pakistan. Med tiden integrerades den grekiska kulturen i den indiska, och under loppet av guptaperioden den grekiska matematikens skrifter de indiska biblioteken. Även om Brahmaguptas stil och matematik är tydligt tillhörig den indiska matematiska traditionen, har många av Brahmaguptas metoder sin grund i den grekiska matematiken, och många av hans satser är vidareutvecklingar av grekiska förlagor.

Kanske mest kännetecknande för den grekiska influensen på Brahmagupta är hans intresse för pytagoreiska tripletter, d.v.s. tre heltalslängder som tillsammans bildar en rätvinklig triangel, som exempelvis 3, 4 och 5. Efter att skrifter innehållande Pythagoras matematik förts med Alexander den store till Indien översattes de till sanskrit. Med utgångspunkt i dem generaliserade Brahmagupta teorierna och utvecklade en metod för att bestämma alla pytagoreiska tripletter. Den kunskapen kunde han använda, och skapade med hjälp av Euklides algoritm (som i den här tidens Indien talande nog betecknades kuttak, vilket ungefär betyder kvarnen eller pulverisatorn, eftersom den bryter sönder talen till deras beståndsdelar) en generell sorts lösning till en viss typ av diofantisk ekvation, d.v.s. en ekvation där man endast söker heltalslösningar. Nog var Brahmagupta en man med ett levande arv från antikens Grekland och såg långt för att han, i likhet med de greker vars verk han läste och i likhet med alla andra vetenskapsmän och matematiker, stod på giganters axlar.

Men den viktigaste av Brahmaguptas framsteg var något som grekerna motsatte sig och som inte skulle vinna spridning i västerlandet förrän renässansen. Talet noll, att inte bara använda symbolen noll som platshållare i tal skrivna med positionssystem, utan själva uppfattningen om ett tecken för att beteckna intigheten, tomheten, är en mycket unik tanke i den matematiska historien. Vissa hävdar till och med att den bara uppstod en enda gång - i Indien.

Sunya, som betyder inget eller tomhet på sanskrit, är ett buddhistiskt koncept, som i 600-talets Indien omvandlades till sant banbrytande matematik. Foto: Sukanto Debnath

Att utnämna Brahmagupta till talet nolls uppfinnare vore kanske en smula förhastat, men han är den som slutligen kom att sätta upptäckten på pränt. I Brahmasphutasiddharta ger han följande arton regler hur man skall räkna de fyra talesätten med noll och positiva och negativa tal:

1. Summan av två positiva tal är positiv.
2. Summan av två negativa tal är negativ.
3. Summan av noll och ett negativt tal är negativ.
4. Summan av noll och ett positivt tal är positiv.
5. Summan av noll och noll är noll.
6. Summan av ett positivt och ett negativt tal är skillnaden mellan dem; eller, ifall de är lika, noll.
7. Vid subtraktion dras det mindre från det större, positivt tal från positivt tal.
8. Vid subtraktion dras det mindre från det större, negativt tal från negativt tal.
9. Men när det större skall dras från det mindre är skillnaden omvänd.
10. När positivt skall dras från negativt, och negativt från positivt, skall de adderas ihop.
11. Produkten av en negativ kvantitet och en positiv kvantitet är negativ.
12. Produkten av två negativa kvantiteter är positiv.
13. Produkten av två positiva kvantiteter är positiv.
14. Positivt tal delat på positivt tal eller negativt delat på negativt är positivt.
15. Positivt delat på negativt är negativt. Negativt delat på positivt är negativt.
16. Ett positivt eller negativt tal delat på noll är ett bråktal med noll som nämnare.
17. Noll delat på ett negativt eller positivt tal är antingen noll eller uttryckt som ett bråk med noll som täljare och det ändliga talet som nämnare.
18. Noll delat på noll är noll.

Långlivade har Brahmaguptas 18 regler varit, det är det minsta man kan säga. Med undantag för den sista är de idag precis lika giltiga som den dag för snart ett och ett halvt årtusende sedan då de för första gången sattes i skrift. Att den sista inte visat sig lika hållbar som de andra är kanske ett mindre problem i det perspektivet.

Brahmaguptas sätt att ansträngningslöst gå från att generalisera kring de positiva talen till de negativa antyder ett abstrakt sätt att se talen. De är inte längre antal eller areor, utan siffror med en abstrakt innebörd. På så sätt kan man säga att de indiska matematikerna inte bara utvecklade siffrornas form, utan uppfann själva konceptet siffra. Detta minst sagt gigantiska språng framåt blir otvetydigt när Brahmagupta blandar in noll, och vad noll delat på noll är. Utan ett sådant abstrakt synsätt vore den frågan fullkomligt meningslös. Sedd på det viset blir den artonde regeln inte längre den felaktiga västgötaklimaxen utan den viktigaste regeln som får avsluta ett matematikens banbrytande manifest; att vår tid råkar ha en avvikande åsikt i själva sakfrågan är ju en mindre sak.

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget, och här finner du den tredje och avslutande delen.

Tio siffror i nästan två tusen år

Ett träsnitt från 1508 visar konkurrensen mellan det nya och det gamla sättet att räkna. De praktiskt placerade namnskyltarna anger karaktärerna som Boethius till vänster och Pythagoras till höger; trots att Boethius som dog på femhundratalet e.Kr. troligtvis aldrig ens hörde talas om indiernas nydanande symboler.

Medeltidens européer kände bara till ett talsystem, det romerska. Problemet var att det begränsades av att ha utformats efter vad som en gång hade varit romarnas matematiska behov och saknade enkla sätt att skriva noll, negativa tecken och bråktal. Potenser och exponenter, liksom plus- och minustecken fick skrivas med bokstäver, och matematiska beräkningar och bevis såg följaktligen mer ut som romaner än som vetenskap.

Medeltidens lärde hade förgäves försökt åtgärda det problemet, men resultatet blev en översvämning av tecken och förkortningar med vilka det romerska talsystemet skulle utvidgas och snart förstod ingen någonting alls. Inte nog med att de var många, utan förkortningarna var ofta långt ifrån entydiga: A kunde likaväl betyda fem som femhundra, K etthundrafemtioett likaväl som tvåhundrafemtio. Vissa matematiker hade försökt sig på att räkna med noll – och därför stod N för nulla, men N användes redan för nittio, från latinets nonaginta. Inte undra på att bankirerna fortfarande räknade på abakus – enkelt och otvetydigt, kan tänkas, men dessvärre även långsamt och allt mer omständligt. Ekonomin växte, handelskonstruktionerna blev mer komplexa och fler finansiella instrument tillkom under renässansen. Bara i sig innebar den ökade handeln inom ett Europa med lika många mynt- och måttsystem som städer och landsdelar stora mängder komplicerade beräkningar med många decimaler och restposter.

Svaret på Europas problem låg i Orienten. Med bättre kommunikationer och ökad efterfrågan efter österns lyxvaror bland Europas rika, kom de europeiska köpmännen i kontakt med de arabiska, och även med deras sätt att föra räkenskaper.

Renässansens Italien hade täta kontakter med Orienten - handeln över Medelhavet var en av de viktiga motorerna i Europas ekonomi, och kulturutbytet stod inte långt efter. Tillsammans med guld och siden kom från Orienten även ny matematik, vetenskap och kunskap. Även kyrkan ville gärna vara med, den här målningen av Gentile Bellini visar den antike evangelisten Markus predikande för en samling handelsmän från både öst och väst, glatt konverserande.

Bakom revolutionen låg sonen till en italiensk tulltjänsteman i Bugia, eller Béijaïa i nuvarande Algeriet. Hans namn var Leonardo Pisano Bigollo, men mer känd har han blivit under namnet Fibonacci. Från de arabiska köpmän som hans far arbetade med fick den unge Fibonacci lära känna en helt ny värld av matematik – matematik som var mycket bättre lämpad för att räkna på vinster, förluster, kostnader och räntor. Men det här var matematik som baserade sig på ett helt annat talsystem, ett där man använde tio helt nya siffror, 0 till 9, och där siffrorna dessutom fick helt olika betydelser beroende på hur de stod i relation till varandra.

Foulkaporten i Béjaïas stadsmur, staden där Fibonacci växte upp och lärde känna de arabiska handelsmännens matematik.

Medan Europa fortfarande räknade med I, V, X, L, C, D och M, och hela den djungel av ytterligare bokstäver som medeltidens matematiker lagt därtill, utvecklade Fibonacci ett helt nytt sätt att räkna. Han blev stormförtjust och skrev i sin bok Liber Abaci att till och med den store Pythagoras matematik framstod som ett misstag i jämförelse med indiernas sätt att räkna. I sin bok använde han därför det nya systemet och med en rad exempel, kanske mest intressant vikt- och måttomräkning, ränteberäkningar och valutaväxling, visade han hur lätthanterligt och smidigt det var.

Fibonaccis bok togs väl emot av Europas vetenskapsmän och bankirer, men det fanns en grupp som inte riktigt delade de andras fascination. Det nya talsystemet hade nämligen ett stort fel:
När bankirerna gjorde alla sina beräkningar på abakus kunde man som kund se på och till och med förstå vad bankirerna gjorde. Den kund som såg att bankiren fuskade, kunde se till att få banken i bankrutt – rent bokstavligt, för en ohederlig bankir kunde få sitt bord sönderslaget, på latin banca rupta. Nu, med de nya siffrorna, satt bankirerna och ritade rader av små krumelurer på ett papper, figurer som ingen tidigare ens hade sett, och än mindre kunde förstå. Återigen visar språket historiens spår – det är inte någon slump att orden siffra och chiffer är så lika, för de kommer nämligen från samma ord, arabiskans al-sifr, från samma tid, senmedeltiden, och från samma strid, de som var för och de som var emot det nya systemet.

Både de som tvivlade och de som entusiastiskt omfamnade det nya systemets möjligheter hade helt rätt. Medan det nya systemet öppnade för mer handel, snabbare transaktioner och slutligen även bättre levnadsstandard, innebar det också mer pengar åt bankirerna, som inte var sena att omvandla dem till makt. En hel rad av Europas namnkunniga adels- och kungaätter gjorde sin entré under den här tiden: Mest berömd av dem alla kanske just Medicifamiljen, men även familjen Grimaldi, som idag fortfarande regerar i Monaco, och många fler hade senmedeltidens och renässansens samhällsomvälvande matematik att tacka för sin makt.

Huset Medici blev rikt och mäktigt genom den ökade handeln i Italien under medeltidens slut som också slutligen gjorde det romerska talsystemet för kraftlöst för den nya tidens ekonomiska och vetenskapliga beräkningar. Här är portalen som en gång satt på en av Medicifamiljens banker, numera på muséet för antik konst i Milano. Foto: Stefano Stabile.

Men redan på tolvhundratalet hade de indisk-arabiska siffrorna en lång historia, och varken Fibonacci eller de arabiska handelsmännen visste troligtvis varifrån de kom. Idag tror vi oss faktiskt veta, för svaret ligger gömt i en text skriven på björknäver med anor från trehundratalets Indien. Idag kallas den texten för Bakhshalimanuskriptet, och den återupptäcktes först under sommaren 1881 i närheten av en by med samma namn i dagens Pakistan. Manuskriptet är en kopia från någonstans omkring 800- eller 900-talet av ett ännu äldre manuskript – kanske så gammalt som från etthundratalet före Kristi födelse, men de flesta forskare brukar datera det till omkring just 300-talet e.Kr.

Vad man upptäckte när man började läsa texten var i huvudsak en handbok i algebra och aritmetik. Utöver att manuskriptets stil är förvånansvärt rättfram och ordnad, med vissa delar skrivna i prosa och med tydliga teser och exempel till skillnad från senare antik indisk matematik, så anses Bakhshalimanuskriptet ofta vara det första exemplet på användning av siffran 0 i den form den senare skulle komma till vår sida av världen. (Siffran noll i sig hade dock funnits i andra versioner långt tidigare, inte minst berömt är att den orsakade pytagoréerna mycket huvudbry.)

De indoarabiska siffrorna i vardande, på det sätt de skrevs i det mellan ett och två tusen år gamla Bakhshalimanuskriptet. Redan kan en europé känna igen några av tecknen.

De indiska matematikerna använde siffran noll och ansamlade med dess och de övriga nio siffrornas hjälp en ansenlig kunskap på astronomins område. Troligtvis var det de indiska matematikernas skicklighet inom astronomin som inspirerade den nestorianske biskopen Severus Sebokht – som år 662 omnämnde de indiska siffrorna – till hans jakt på ett effektivt sätt att beräkna påskens datum.

Vi vet egentligen inget om hur spridda de indiska siffrorna var vid det här laget, men enligt en historia som medeltidskrönikören Ibn al-Qifti har att berätta, så kom det år 776 en indisk matematiker till den abbasidiske kalifen al-Mansurs hov i Bagdad. Den indiske matematikern visade kalifen hur lätt man kunde beräkna halvkordan (en variant av sinusfunktionen) med hjälp av de nya siffror, som han fört med sig från Indien. Kalifen blev så förtjust att han beställde en översättning av den indiska boken till arabiska, så att hans undersåtar kunde lära sig det kraftfulla verktyg han själv just hade fått ta del av. Under elvahundratalet kom den arabiska översättningen i händerna på en ung och nyfiken italienare – just det, Fibonacci – och genom honom spred sig siffrorna vidare till resten av Europa. Resten är, så att säga, historia.

Den här framsidan på en bok i aritmetik från 1549, angivet med romerska siffror, visar det första bevarade exemplet på de nya siffrorna i den form och ordning som de kom att få i Europa; och med européerna följde de till resten av världen.

Ett litet cirkelresonemang

Det är lätt att förledas tro att städer är organiska. Det räcker att se hur stor del som består av trä – och inte att glömma, människor; de är ju själva kärnan i varje stad. Även om man skulle kunna resonera att trähusstäder likaväl som stenhusstäder (i viktprocent) huvudsakligen består av sten och grus, så var det inte det jag menade.

Det är även lätt att förledas tro att städer växer enligt organiska mönster – eller, det vill säga, i organisk avsaknad av mönster –  att de breder ut sig av sig själva, sväljer böljande kullar, dämmer ut marskland och leder om floder, och att de gör så organiskt, utan planering.

Den världsberömda toskanska staden San Gimignano, skiss av Joseph Pennel, 1883

Den känsla (det är inte för inte människor nästintill vallfärdar till San Gimignano) som finns i en sådan, organisk, stad är något som många stadsplanerare försökt återskapa. Det är någonting i de vindlande gatorna som fångar och som trollbinder; inte bara det att de skyddar mycket bättre mot vind och kyla än de långa, breda avenyer som sedermera har blivit – och fortfarande är – moderna. Själv skulle jag förmoda, att ett mer detaljrikt arkitektoniskt formspråk är mindre känsligt mot att någon detalj försvinner eller förfars – om mönstret inte är uppenbart, blir det inte märkbart mindre uppenbart om en del av det uteblir – medan om man istället har en minimalistisk stadsplanering ser allting fantastiskt ut i datormodellen där det är helt och rent, men så blir det tyvärr aldrig i vår allestädes närvarande verklighet.

Men allt det där var ett stickspår, och ett alldeles för långt sådant också om man sätter den sidan till, för huvudnyheten är en nyhet som mer sanningsenligt skulle benämnas gammelhet numera, presenterad i denna artikel i SvD. Där presenteras nämligen teorin om att alla dessa fina, charmiga organiska städer inte överhuvudtaget var organiska, utan snarare frukten av mästerlig och rationell stadsplanering.

Medeltidens stadsplanerare var inte ensamma om att uppskatta cirkelformade gator, Royal Crescent i Bath, är ett exempel på det georgianska Englands arkitektur, även om just den här gatan nog inte får lä av sin cirkelform. En bit bort syns ytterligare en cirkelformad gata, The Circus.

Snarare, menar man, att vår uppfattning om den "organiska", medeltida staden är en nostalgisk missuppfattning, född ur jämförelsen av industrialismens rektangulära Manhattan och de raka gatorna i de romerska garnisonsstäderna med mysiga, ofta kulturminnesmärkta städer från 1000-talets våg av stadsgrundanden. Istället menar Klaus Humpert och Martin Schenk som skrivit den bok artikeln refererar, Entdeckung der mittelalterlichen Stadtplanung, eller ungefär "Upptäckten av medeltidens stadsplanering", att städerna ritades upp efter detaljerade stadsplaner bestående av regelbundna geometriska former: rektanglar, cirklar, trianglar, kvadrater och oktagoner.

Definitionen av en cirkel (var vänlig och plocka fram den högdragna rösten) är att alla punkter längsmed dess omkrets har samma avstånd till en och samma fixerade punkt i planet. Och det ger den en rad spännande egenskaper. För det första har den oändligt många hörn, vilket innebär att den ger mesta möjliga area med minsta möjliga omkrets. För det andra ger den ett behov, och en möjlighet, att bestämma π. Man skulle visserligen kunna finna rader av spännande egenskaper, men just denna leder oss in på något annat spännande – nämligen ytterligare en antik grekisk hatkärlek: Cirkeln och Sfären.

I den grekiska världsbilden, kom dessas perfektion näst efter det gyllene snittet (länk till tidigare inlägg); Aristoteles ansåg att hela universum var uppbyggt av en rad överlagrade sfärer med jorden i mitten, en vy senare övertagen av kyrkan; de antika grekerna var långt ifrån främmande från idén att jorden i sig skulle vara en sfär och Ptolemaios (och i synnerhet det efterföljande millenniets astronomer) gick långt i sina försök att bevisa att alla planeterna rörde sig i cirklar och cirklar på andra cirklar, cykler och epicykler, runt jorden. Den åsikten, bortsett från solens och epicyklernas plats respektive varande i det hela, hade för övrigt även Kopernikus. Pythagoréerna (länk till tidigare inlägg) lär dessutom har sett cirkeln som en symbol för själen.

Även om det ptolemeiska systemet fortsätter att ge nästan lika noggranna förutsägelser om planeternas plats på himlen, är dess komplexitet hisnande. Den spanske kungen Alfonso X, som försökte reda ut problemet, lär i desperation när planeterna fick över 40 epicykler var ha utropat att han om ha varit med vid skapelsen, så hade han kunnat ge några goda råd.

Men, liksom alltid och liksom med det gyllene snittet, fanns det en lite hake. De antika grekerna var nämligen av den åsikten, att alla tal skulle gå att uttrycka i bråkform, vilket, förargligt nog, inte är möjligt med varken φ, det gyllene snittet, eller π – även om många genom årens lopp har försökt; vissa har faktiskt kommit mycket nära. Till råga på allt är π transcendentalt, det vill säga är inte roten till någon algebraisk ekvation.

Cirkeln som konstnärlig form har uppskattats i många kulturer, kanske för att den, till skillnad från vår egen värld, har ett så klart centrum. Detta silkesföremål i mongolisk stil stammar från det medeltida Mesopotamien och är 79 cm i diameter.

Cirkeln återkommer genom vår kulturhistoria. Leonardo da Vincis vitruvianske man är ett exempel, andra är alla de cykliska förlopp som ständigt omger oss, liksom det berömda ekorrhjulet. Faktum är att de är så vanliga att det är lätt att förledas tro att allt är cykliska förlopp, för att, så att säga, sluta cirkeln.

Och slutligen vid närmare eftertanke: Om något inlägg, så kan detta omöjligtvis ha varit ett stickspår. Anledningen är enkel: jag har aldrig sett ett cirkelformigt sådant. För vändplatser räknas väl inte?

Ägg, påskharar och matematiska beräkningar

Nu närmar sig påsken med stormsteg och förhoppningsvis har värmen kommit för att stanna. Påsken infaller som bekant efter vårdagjämningen – det dygn då dag och natt är lika långa – nämligen, enligt tumregeln, den första söndagen efter den första fullmånen efter vårdagjämningen.

Påsken är en av kyrkoårets viktigaste högtider, och bristen på en gemensam dag att fira den på utgjorde ett problem för den tidiga kyrkans sammanhållning. Firandet har dock fått olika tema i olika länder, som denna bild från Santiago de Compostela. Foto: J. Pereira, CC-BY-SA 2.5

Men det var som sagt bara tumregeln. Verkligheten är som vanligt långt mycket mer komplicerad, och de munkar som under medeltiden hade för uppgift att beräkna påskens datum var ofta i den dåtida framkanten av matematiken. Beväpnade med Ptolemaios (ca 90-168 e.Kr) bild av solsystemet, med epicykler och jorden i centrum (se äldre inlägg här och här om denne briljante men ack så misstagne matematiker och astronom) och antik grekisk, medeltida bysantinsk, arabisk och europeisk matematik arbetade de fram tabeller över påskens datum långt in i framtiden.

Diskussioner om när påsken skulle infalla har förts åtminstone sedan mötet mellan påven Anicetus och biskopen Polykarpos av Smyrna år 154 e.Kr., men det var först vid det första konciliet i Nicaea (som idag ligger på Turkiets västkust) år 325 som den kristna världen fick ett gemensamt sätt att beräkna påsk. Då beslutades att hela kristendomen skulle använda det sätt som var bruk i Alexandria. Det tog dock flera århundraden innan hela den kristna världen accepterat bestämmelsen.

Denna illustration från 1493 av konciliet i Nicaea återfinns i den berömda Nürnbergkrönikan, som skildrar den kristna världens historia. Konciliet i Nicaea sammankallades av den kristne romerske kejsaren Konstantin, bland annat för att fastlägga påskens datum.

Det system som då infördes används fortfarande idag, fast på lite olika sätt. Först och främst delas året in efter en månkalender – året får tolv månader, på vardera vanligen 29 dagar – men ett sådant år är elva dagar för kort. Varje år kommer månkalendern alltså elva dagar till efter solkalendern. (Mån-månaderna definieras på så sätt att fullmånen – den formella fullmånen, som inte nödvändigtvis överensstämmer med verklighetens fullmåne – inträffar på månadens fjortonde dag.) När tre år gått och månkalendern ligger 11·3 = 33 dagar efter, skjuts en extra månad in på 30 dagar. De överskjutande dagarna blir alltså 33-30 = 3. Nästa år blir de elva till, året därpå och året därpå igen också, tills de överskjutande dagarnas antal når 3+3·11 = 36. En extra månad läggs till och, ja, dagarna minskas till 6. På det här viset upprepas processen tills de överskjutande dagarna är -1, d.v.s. tills månkalendern ligger en dag före solkalendern, något som inträffar på det nittonde året. Då läggs en skottdag in – då månen formellt sett står stilla – och kalendern börjar om. Därför går månkalendern i cykler om nitton år.

Den första månad i vilken den fjortonde dagen (dess formella fullmåne) i denna månad hamnar på eller efter vårdagjämningen den 21 mars är påskmånaden och den första söndagen efter den fjortonde dagen i denna månad är då påsken infaller. Påsken infaller som tidigast om den fjortonde dagen i någon mån-månad är just den 21 mars, samt detta är en lördag. Söndagen som följer därpå måste alltså bli påsk, som således inträffar den 22 mars. Om å andra sidan påsken inträffar den femtonde i denna månad väntar påskmånaden till nästa månad, och dess fjortonde dag blir då den 18 april. Om denna dag vidare själv skulle vara en söndag, väntar påsken till nästa söndag, som blir den 25 april, vilket är det senaste datum påsken kan inträffa.

Eftersom vårdagjämningens datum (satt i solkalendern), månens formella fullmåne (fixerat till den fjortonde i varje månad i månkalendern) och veckodagarna här samvarierar, hoppar påsken fram och tillbaka i en cykel på nästan 6 miljoner år. Sannolikheten att påsken skall inträffa ett visst datum framgår av diagrammet. Är man osäker och skall gissa, förefaller stalltipsen vara den 19 april (och det med en hisnande säkerhet på nära fyra procent).

Det romerska talsystemet

Det romerska talsystemet har kommit att bli ett långlivat system. Med sina rötter i den norditalienska förhistorien, har det levat kvar och utvecklats genom antiken, medeltiden och renässansen, för att fram till vår tid leva sida vid sida med det indo-arabiska talsystemet. På vägen har mycket skett, som påverkat hur det använts och fungerat. Här syns talet 52 på en antik inskription på Kolloseum i Rom. Foto: Ben Mitchell, CC-BY-SA 3.0.

Det romerska talsystemet, som tvärtemot vad namnet antyder egentligen är mycket äldre än den romerska civilisation själv, är ett av vår världs äldsta ännu levande arv från det förgångna. Fortfarande, efter mer än tretusen år, är det i daglig användning i stort sett alla av samhällets områden, för att numrera alltifrån kungligheter till klockslag och närhelst annars de indo-arabiska siffrorna inte riktigt skulle passa. På sätt och vis är det därför märkligt att kalla de romerska siffrorna för romerska, dels för att de är äldre än romarna, och dels för de lika mycket är våra, som de inte egentligen är romarnas.

Principen bakom det romerska talsystemet är mycket enkel och har ett omfång på sju bokstäver, som vardera tilldelats ett siffervärde:

I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

På så sätt är det romerska talsystemet mycket platseffektivt när det kommer till att skriva höga, jämna tal, som t.ex. hundra eller tusen, medan mer ovanliga tal blir desto mer komplicerade. Om bokstäverna placeras i sjunkande följd skall de adderas, så att VI = 6, medan de skall subtraheras om de placeras i stigande följd, alltså IV = 4. Därför skrivs 558 som DLVIII, men 559 som DLIX. År 2000 är lätt att skriva, MM, till och med kortare än med indo-arabiska siffror, men 1492 blir desto längre, MCDXCII.

Det romerska talsystemets position var ohotad i vart fall fram till början av tolvhundratalet, då Leonardo från Pisa, mer känd under tillnamnet Fibonacci, publicerade sin bok Liber Abaci, där han – utöver att han uppfann världens säkerligen mest berömda talserie – för första gången introducerade den europeiska befolkningen till de indo-arabiska siffrornas krafter. (Fibonacci, hans siffror och deras väg från Indien till Europa kan du läsa mer om i detta inlägg.)

Tävlingar som denna från 1527, där en deltagare använde en abakus och romerska siffror (i det här fallet mannen längst till höger) och den andra papper och penna och indo-arabiska siffror (här mannen längst till vänster), var vanliga i den tid då de indo-arabiska siffrorna var nya. Man ville ta reda på vilket räknesätt som gav snabbast resultat, men framförallt säkerställa att båda svarade likadant. Misstron mot de nya siffrorna var utbredd – det var inte för inte som en förvirrad publik omvandlade arabiskans sifr, som betyder noll, det nya tal som följde med det indo-arabiska talsystemet, inte bara till siffra, utan också det mer nedvärderande chiffer.

Den grundläggande skillnaden mellan det indo-arabiska och det romerska talsystemet kan ses i ljuset av deras användningsområden. De romerska talen användes för att skriva ned saker, för att överföra eller bevara information, medan själva beräkningarna alltid gjordes på en abacus eller kulram. Användningen av kulramar var vitt spridd redan under romersk tid, då bläck och papper dessutom var något dyrt som inte användes i onödan.

Kraften i de indo-arabiska talen visar sig först när man börjar göra beräkningar med dem, när själva matematiken utförs i siffror på papper och inte med kulram. Introduktionen av indo-arabiska siffror är därför tätt kopplad till kulramens tillbakagång.

De nya talen, som när de kom till Europa redan under lång tid använts av indiska och sedan även arabiska astronomer, var inte bara ett talsystem för den tidiga medeltidens relativt enkla ekonomiska beräkningar, utan för matematisk akrobatik med trigonometriska funktioner och för de invecklade ekonomiska konstruktioner som började att uppkomma mot medeltidens slut. Plötsligt gällde handeln inte mynt eller får utan summor som skulle överföras från en valuta till en annan, procent av belopp, räntor och mycket annat. Som de medeltida matematikerna snart fick erfara var sådana övningar stort sett omöjliga att genomföra med de gamla, romerska talen.

Motståndet mot de nya siffrorna var dock stort även bland de som själva utförde sina beräkningar. För att möta de allt mer komplexa matematiska behov som började uppkomma utan att fördenskull släppa de gamla beprövade talen, började det tidigt att uppkomma olika slags anpassningar och tillägg, i många fall århundraden innan de indo-arabiska siffrorna blev kända. Inte minst krävdes redan på tidigt stadium avancerade astronomiska beräkningar för att bestämma påskens datum, något som under lång tid utgjorde en grundläggande matematisk stridsfråga (som du kan läsa mer om i det här inlägget). När beräkningarna började innehålla högre tal och fler tal, behövdes smidigare sätt att skriva dem på. Därför uppfann de medeltida matematikerna nya bokstäver, som O för 11 från franskans onze, N för 90, från latinet nonaginta, eller F för 40, från engelskans forty.

S, härlett från latinets septem, kunde stå för 7, men kunde från latinets septaginta lika väl betyda 70. Från det grekiska talsystemet lånade man stigma, Ϛ, med betydelsen 6. Den vördnadsvärde Beda, som levde och verkade i 700-talets England, förkortade latinets nulla, noll, till N, trots att bokstaven redan användes för att beteckna 90. Här ses han på en tavla av James Doyle Penrose från 1902 i färd med att översätta Johannesevangeliet.

Men Europa är stort och medeltidens människor talade än fler språk än vad vi gör idag, och eftersom många tal till råga på allt börjar på samma bokstav kom nog de nya tilläggen till det romerska talsystemet i längden att kosta mer än de smakade. För det romerska talsystemet kvarstod ändå en rad grundläggande problem:

1. Bråkräkningen var mycket mindre välutvecklad och i allt väsentligt härledd från romerska myntenheter.
2. Negativa tal, i den mån de ens gick att skriva, var klumpiga och lätta att missförstå.
3. Trots trevande försök saknades ett gemensamt sätt att skriva talet noll.

Kort sagt saknade det romerska talsystemet standardisering, utan varierade istället vilt från författare till författare och mellan olika platser. När handeln blev internationell och vetenskapen fortskred räckte det helt enkelt inte längre till. Numera finns det vissa regler även för det romerska talsystemet, men om man tittar noga på de antika siffrorna ser man att de reglerna inte alltid stämmer. Romarna skrev nämligen på känsla, och först i modern tid har man försökt att standardisera det romerska talsystemet.