Diskussion om en dimension

Hösten har kommit på riktigt och snart har vintern anlänt. Vad passar då bättre än en varm
och behaglig sydländsk höstbild av Nicolas Poussin?

Det är lätt att tänka sig att matematik och filosofi är två väsensskilda ämnen. Det är enkelt att förleda sig att tro att matematik bara skulle kunna användas till prognoser om skördens storlek, hur regnet skall falla eller planeterna ställa sig, och det därtill endast med en viss sannolikhet, som bara - egentligen - stämmer över mycket långa tider. Filosofin å andra sidan kanske skulle missa de detaljerna fullständigt och snarare diskutera skördens, landskapets och människornas natur, deras relation och, bara för att, dess varande.

Då tycker nog jag att idén om en idévärld (som Platon en gång resonerade kring) är mer tilltalande; matematiken är den underliggande verklighet - något slags rutnät, ett system - som världen är byggd efter. Matematik existerar ingenstans, men finns ändå överallt.

Nog är Amsterdam ordnat, med en matematisk struktur - men var i Amsterdam ligger matematiken?

Genom att avkoda detta system kan man till och med förutsäga upptäckter som inte är gjorda, något som inte är alltför ovanligt i matematikens historia. Men om nu förutsägelser är kraftfulla, kan de även ibland förefalla något för kraftfulla. Faran är att vi gör överförutsägelser och överabstraktioner, och ibland fäster de sig i våra världsbilder. Ett sådant exempel kan vara dimensionsbegreppet, som är lätt att förväxla med de koordinataxlar som används för att efterhärma dimensionerna i matematiska modeller, som grafer, datoranimationer och -spel. Den finns en stor skillnad mellan en dimensionsaxel och koordinataxel: Ett koordinatsystem (ett, två, tre eller fyrdimensionella) har en nollpunkt, origo, och riktningar, dem vi kallar x, y och z. Universum som bara har dimensionsaxlar saknar nollpunkt och riktning - universum har inte ett upp eller ner!

Låt oss likna koordinataxeln med en linjal. Den kan bevisligen vara antingen upp-och-ned eller "ned-och-upp". Den kan vara vinklade ett visst antal grader åt det ena eller andra och den går att dela upp i vektorkomposanter (länk till bild på Wikipedia), medan en dimensionsaxel inte går att vinkla, vrida eller mäta med - hur långt befinner du dig från universums origo, just nu? Och om de saknar de tre fundamentala egenskaperna, kan man då verkligen hävda att de finns?

En dimensionsaxel har ingen början, inget slut och ingen riktning. Den har ingen nollpunkt, den skär andra riktningslösa dimensionsaxlar både i alla och i ingen punkt. Det är först när vi definierar dess existens - och utgångspunkt - som vi kan räkna med den, eller ens tänka på den.

På något vis skapar vi dimensionernas existens när vi tänker på dem, och då finns de i vår tankevärld, vår idévärld. Sättet att tänka på dimensionerna som tre linjer är en slags gemensam tankevärld, där vi delar tankemönster mellan varandra. Dimensionerna har blivit en social konstruktion.

Dimensionerna bildar på så sätt en idévärld, som är gemensam för de som delar just det sättet att tänka. Kan vi tro att en utomjording, någon som inte delar den här gemensamma tankevärlden, skulle kunna förstå vad vi menar med begreppet "dimension"? Kan vi tro att en utomjording skulle förstå var vi menar med matematik eller ens med tal?

Hur ligger det då till med tiden, den fjärde dimensionen, går att det att föra samma resonemang om den? Har den någon riktning, storlek, eller nollpunkt, och finns den överhuvudtaget utanför våra huvuden och ekvationer? Och skulle då en utomjording kunna förstå vad vi menar med historia?

(Vill du läsa mer om dimensioner? Då finns två äldre inlägg för dig här: Den sjätte rumsdimensionen: En resa dit och tillbaks igen och Onaturliga dimensioner och matematiska konstverk)

Den sjätte rumsdimensionen: En resa dit och tillbaks igen

En kvasikristallin struktur i en zink-mangan-holmium-kristall med tiofaldig rotationssymmetri.

År 2011 belönades Dan Shechtman med Nobelpriset i kemi för upptäckten av kvasikristaller, som paradoxalt nog kombinerar egenskapen att kunna fylla vilket område som helst med att aldrig upprepa sig. Motståndet mot Shechtmans upptäckt var därför länge mycket starkt, och upptäckten ansågs omöjligtvis kunna vara sann. Intuitivt måste en kristall vara regelbunden och se likadan ut överallt – vilket kvasikristaller inte gör. Enligt all föregående vetenskap kunde kristaller ha två-, tre-, fyra- och sexfaldig rotationssymmetri, eftersom det tillåter mönstret att upprepas i det oändliga. Shechtmans kristaller hade istället fem- och tiofaldiga rotationssymmetrier.

Forskarvärldens lösning på problemet blev istället att kristallerna utgjorde projektioner av flerdimensionella strukturer – att kvasikristallerna var regelbundna i fyra, fem eller sex dimensioner, men att de förlorade den egenskapen om man ritade av eller beskådade dem i två eller tre dimensioner. Enligt en sådan tolkning pekar därför kvasikristallerna mot existensen hos fler dimensioner än vad vi kan förnimma.

Om flerdimensionella, regelbundna former avbildas i två dimensioner, kan ett oregelbundet mönster uppstå. Bilden visar en sexdimensionell kub (vad skulle vi göra utan datorer?) projicerad i två dimensioner, och mönstret har stora likheter med  kvasikristallfotografiet ovan. (Se t. ex. den här filmen för fler flerdimensionella kuber.)

Den kittlande tanken, att det kanske finns fler dimensioner än vi kan se, har inte bara inspirerat forskare - för var någonstans drar sig häxorna, tomtarna och trollen tillbaka, just som man en gång för alla skall upptäcka dem? Även mer seriösa personer, än de om övernaturliga dimensioner fabulerande berättarna, har funnit inspiration i detta oanade sätt att höja sina uttryck över vår alldaglighet. Det svårgripbara, imaginära och extraordinära har blivit ett kännemärke för den samtida matematiken såväl som konsten och arkitekturen.

En parisisk arkitekttävling vanns år 1982 av två danskar. Deras förslag var en fyrdimensionell kub i kolossalformat, avsedd som förlängning på den historiska axeln från Louvren via Tuilerierna till triumfbågen ut till La Défense. De många dimensionerna skulle symbolisera mänskligheten, för att uppväga den traditionella triumfbågens militarism.

En fyrdimensionell kub, i tre dimensioner på en tvådimensionell datorskärm, stoltiserar med av säkerhetsskäl stängda hissar i La Défense i Paris.

Men hur är det möjligt att i det hopplöst tredimensionella Paris bygga en fyrdimensionell byggnad, magi och revolutionerande dansk teknik till trots? Svar: Kuben är naturligtvis en projektion. Liksom en tredimensionell kub kan avbildas på ett tvådimensionellt papper, går en fyrdimensionell kub att avbilda i tre dimensioner.

Vad kuben, om man nu får kalla den för det, visar, bortsett från konstnärlig-filosofiska tolkningar om mänsklighet och humanitet, är att en fyrdimensionell kub har tredimensionella väggar, precis som en tredimensionell kub har tvådimensionella sidor. Från varje hörn utgår fyra kanter - precis som det utgår tre från varje hörn i en tredimensionell kub och två i en tvådimensionell kub, som av någon anledning brukar benämnas kvadrat. Vad den parisiska 4D-kuben är mindre bra på att visa, är att varje kant skiljs åt av räta vinklar mot alla andra kanter som utgår från samma hörn - och den bristen är väl förlåtlig, för hur skulle man i tre rumsdimensioner kunna visa något sådant?

En häftig, animerad och huvudbrysorsakande tesserakt, som en fyrdimensionell kub egentligen heter, rykande het direkt från Harvard.

Onaturliga dimensioner och matematiska konstverk

Inom den klassiska matematiken finns tre (möjligen 4) dimensioner. Så vad är då tex. 1,9537?

Jo, det är en fraktal dimension. Trots att de är nya i sin nuvarande användning, finns det faktiskt gamla exempel, som Girih-mönstren klicka på länken för att komma till inlägget om dem.

Benoit Mandelbrot är mannen bakom dagens oortodoxa geometri. Han var en okänd matematiker och få läste hans bok, men så läste en datoranimatör på Boeing och insåg hur han skulle gå runt dåtidens sega datorer och göra bra bakgrunder till flygplansbilderna. Han började med en eller två pyramider. Varje sida på ovansidan gjorde han om till en ny pyramid. Genom att fortsätta så hade han ett bergslandskap - och en fraktal.

Fraktaler har även andra fördelar som att en fraktalt formad antenn ger bättre mottagning och brus i elektronik fördelar sig fraktalt. Träden i regnskogen fördelar sig fraktalt, vilket gör det enkelt att räkna ut hur mycket koldioxid skogen absorberar.

Inom dagens matematik har fraktalerna fått en viktig plats. De har gjort det möjligt att räkna på helt nya saker, tex. saker som har oändlig omkrets men ändlig yta, och att väldigt mycket av naturen är formad fraktalt, just därför att det blig effektivast.

Att det finns fraktaler i naturen har vissa japanska konstnärer upptäckt. Titta på molnens form i denna målning av Hiroshige Utagawa.

Dessutom är fraktalerna i sig mycket vackra, speciellt i 3D. Besök Mandelbulbs sida och häpna!

God Jul
Gott Nytt År
&
God Fortsättning