Del 3: Aristoteles, Alexander, resten av världen och Arkimedes

Det här inlägget är det tredje och sista i en serie inlägg om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Under loppet av den grekiska antiken blev det alfabetiska talsystemet alltmer dominant, och omkring tiden för romarrikets erövring av Grekland decennierna före Kristi födelse övergav till slut även atenarna sitt eget, attiska talsystem, efter att i offentliga sammanhang ha hållit fast vid det långt efter att det fallit ur vardagligt bruk. Under tiden atenarna hållit emot, hade systemet även vunnit stor spridning utanför Grekland. Med Alexander den store blev det alfabetiska talsystemet på samma sätt som det grekiska språket standard i hela det hellenistiska riket. Det var inget som romarna lyckades ändra.

Från sin lärare Aristoteles fick Alexander den store säkert med sig kunskap om det grekiska talsystemet, som sedan följde med hela vägen till Indien. Denna gravyr av Charles Laplante från 1866 visar dem inbegripna i en diskussion.

Under den hellenistiska eran genomgick det alfabetiska talsystemet en rad förändringar, som gick hand i hand med matematikens utvidgade användningsområde. När systemet inte bara skulle passa handel utan även den framväxande astronomins behov, när matematikerna gick från geometri till aritmetik, kom de riktigt stora talen i ett annat sken. Kort sagt dög det helt enkelt inte längre att skriva alla tal över 999 som ord.

Först och främst utvidgades tecknen till en serie av tusental, genom att skriva ental ovanför sampi (trots att sampi på egen hand inte alls betydde 1000, utan 900). På så sätt betydde  (lilla alfa över sampi) 1000, och så hela vägen till theta över sampi, , som betydde 9000. Detta tusentals-sampi kom senare att förenklas till en nedsänkt apostrof före entalstecknen, så att 1000 istället skrevs ͵Α och 2000 skrevs ͵Β och så vidare.

För att komma ännu högre användes myriader, som kan kännas igen från det akrofoniska talsystemet, på liknande sätt som vi idag använder miljoner och miljarder. Förkortningen för myriad (gr. myrioi) började som M och blev sedermera endast en punkt. Sålunda beskrev astronomen Aristarchos från Samos talet "71 miljoner 755 tusen 875" som "7175 myriader 5875", och skrev det som ͵ZPOE M ͵EΩOE. (En tabell över bokstävernas värden finns i det föregående inlägget i serien.)

Aristarchos från Samos använde på tvåhundratalet f.Kr. det alfabetiska talsystemet för att beräkna storleken på solen, jorden och månen. Denna medeltida avskrift visar hans beräkningar, där man bland annat kan notera streck ovanför de bokstäver som utgör del av ett tal. Han kom även fram till att solen istället för Jorden låg i universums centrum, men fick bortsett från Arkimedes aldrig något gehör för den idén.

Centrum för astronomi och matematik i det hellenistiska riket låg i Alexandria, och staden var hem åt de allra flesta av tidens berömda matematiker. Genom den grekiska kulturens territoriella expansion kom dessa matematiker i kontakt med helt nya koncept, samtidigt som talens geometriska betydelse tappade i vikt allteftersom aritmetiken mer och mer blev matematikernas hemmaplan. Till skillnad från sina grekiska föregångare hade de hellenistiska matematikerna alltså både kontakt med och sinnelag för att ta emot en revolutionerande idé: siffran noll.

Mottagandet av noll hängde nära samman med en annan förändring i den grekiska matematiken. Den främst i Alexandria framväxande astronomin hämtade mycket av sitt arv från de babyloniska astronomin, som bland annat kännetecknades av dess 60-bassystem. Liksom sina babyloniska föregångare, började de hellenistiska matematikerna dela upp vinklar i grader, minuter och sekunder i ett slags positionssystem, och ett sådant kräver som bekant en platshållare. Annorlunda uttryckt: Ifall de hellenistiska matematikerna ville ha 60-bassystemet, fick de nollan på köpet. Inom bland annat navigation och tidmätning har systemet förblivit så gott som intakt fram till våra dagar.

Det är en sak att konstatera att de hellenistiska matematikerna använde sig av ett positionssystem, och att de därför även använde sig av en platshållande nolla, för att markera en tom position. Även om tecknet i fråga har varierat, är den vanan belagd i manuskript som bevarats från redan tidigt i den hellenistiska matematikens utveckling, senast i generationerna efter Alexander den store.

En helt annan annan sak är dock att uttala sig om hur de hellenistiska matematikerna faktiskt tänkte kring noll; sådana spekulationer är ofrånkomligen mycket vanskliga. Ämnet har ändå lockat många forskare, som i vissa fall kommit till rakt motsatta slutsatser. Så konstaterar t.ex. Otto Neugebauer, som var en amerikansk expert på egyptisk och babylonisk matematik, i sin bok The Exakt Sciences in Antiquity att det närmast är ställt utom tvivel att de hellenistiska matematikerna tänkte på noll som ett eget tal, d.v.s. som ett sätt att representera "ingenting", medan Ron Larham hör till dem som med lika stor kraft hävdar motsatsen. Debatten har inte blivit mindre infekterad av att det i så fall skulle innebära att den grekiska upptäckten av noll föregick den indiska med mer än ett halvt millennium. Beläggen för den indiska nollan är dock väsentligt starkare (som du kan läsa mer om i det här inlägget).

Biblioteket i Alexandria, här i O. von Corvens tolkning från 1800-talet, utgjorde den hellenistiska vetenskapens epicentrum. Alla böcker som fördes in eller ut ur Alexandria beslagtogs och kopierades för att kunna läggas till bibliotekets samlingar.

Men trots det faktum att tallinjen utvidgats med noll och att astronomerna fått ett helt nytt system att lägga till ett redan förvirrande komplicerat, var det högsta talet som gick att skriva fortfarande "9999 myriader 9999", d.v.s. hundra miljoner minus ett.

På det ändrade Arkimedes när han gjorde den i särklass mest berömda utvidgningen av det alfabetiska talsystemet. I sin bok Sandräknaren - som i modern sättning knappast skulle vara kortare än åtta sidor och på så vis snarare är att betrakta som matematikens första forskningsartikeln - ville Arkimedes motbevisa den vid tiden rådande uppfattningen, att det högsta talet som gick att skriva med det alfabetiska talsystemet var det antal sandkorn som finns på en strand. Boken slutar istället med att Arkimedes bestämmer hur många sandkorn det skulle få plats i hela det kända universum.

Det finns de, kung Gelon, som tror att antalet sandkorn är oändligt; och då menar jag med sand inte bara den som finns runt Syrakusa och resten av Sicilien, utan även den som finns i alla såväl bebodda som obebodda länder. Återigen finns de, som utan att betrakta det som oändligt ändå tror att inget tal, större än antalet sandkorn, kan finnas. Och det är uppenbart, att, ifall de som är av denna åsikt skulle föreställa sig ett klot av sand, stort som Jorden [...] fylld till de högsta bergens höjd med sand, skulle de vara ännu längre ifrån att erkänna att ett sådant tal skulle kunna uttryckas, som skulle överstiga antalet på detta sätt samlade sandkorn. Men med hjälp av geometriska bevis, som du skall få följa, skall jag visa att bland de tal, som jag har benämnt och beskrivit i det verk jag skickat till Zeuxippos, finns vissa som överstiger inte bara antalet sandkorn som behövs för att fylla Jorden på detta sätt, utan även antalet som krävs för att fylla hela universum.”

- Arkimedes (början på Sandräknaren, fri översättning)

När sanden till och med täcker huvudgatan i den antika staden Selinus kan den som trodde att antalet sandkorn på Sicilien var oändligt åtminstone nästan förlåtas. Sicilien var ett vanligt mål för emigrerande greker under 700- och 600-talen f.Kr. och ön blev liksom Alexandria med tiden en välintegrerad del av den grekiska kultursfären. Foto: Dennis Jarvis, CC-BY-SA 2.0

För att kunna påbörja sina beräkningar, var Arkimedes tvungen att uppfinna ett sätt att skriva siffror större än en myriad, Μ, 10 000. Hans lösning var relativt logisk.

Bara genom att använda ordet myriad i sig kunde Arkimedes på ett enkelt sätt utvidga tallinjen till hundra miljoner, d.v.s. en myriad myriader, 10⁸. Alla tal mindre än det kallade han för den första ordningens tal, medan 10⁸ i sig blev den andra ordningens enhet (den första ordningens enhet var alltså 1). Multipler av denna den andra ordningens enhet utgjorde sedan den andra ordningens tal, som sträckte sig upp till 10⁸·10⁸=10¹⁶. I farten hade Arkimedes alltså härlett det vi idag kallar för potenslagarna.

10¹⁶ blev på så sätt den tredje ordningens enhet, som multiplicerades med upp till en myriad för att bli den tredje ordningens tal, som alltså nådde ända till 10⁸·10⁸·10⁸=10²⁴. På detta vis fortsatte Arkimedes tills han nådde den myriad-myriad-ska ordningens högsta tal, 10⁸·10⁸·10⁸·...·10⁸, d.v.s. 10⁸ multiplicerat med sig själv en myriad myriad gånger, eller i modern terminologi (10⁸)¹⁰⁸. Det grekiska talsystemet ger faktiskt en bättre uppfattning om hur ogreppbart stora de här talen egentligen är.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första ordningen	1	108
Andra ordningen	108	1016
Tredje ordningen	1016	1024
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) ordningen	(108)108-1	(108)108

Men den gode Arkimedes var inte färdig där. Han definierade alla tal upp till det sista talet i den myriad-myriadska ordningen som den första periodens tal; kommande perioder utgjordes sedan av 10⁸-multiplar därav. På så sätt löpte den andra periodens tal från (10⁸)¹⁰⁸, d.v.s. den första periodens sista tal, till ((10⁸)¹⁰⁸)², på samma sätt som ordningarna tidigare skapats.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första perioden	1	(108)108
Andra perioden	(108)108	((108)108)2
Tredje perioden	((108)108)2	((108)108)3
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) perioden	((108)108)108-1	((108)108)108

Det var först här som Arkimedes nöjde sig, på ett tal så stort att inte heller vi har något ord att uttrycka det med. Det största talet Arkimedes konstruerade var det sista talet i den myriad-myriadska perioden; utskrivet i ett tal vore det en etta med 8·10⁶³ nollor efteråt, långt större än vad hans astronomiska beräkningar skulle komma att behöva. Sina astronomiska beräkningar gjorde han sedan utgående från tre antaganden:

1. "Jordens omkrets är runt 300 myriader stadia och inte större."
En stadion var 185 meter, vilket ger en omkrets på drygt en halv miljon kilometer, eller tio gånger dagens uppfattning.

2. "Jordens diameter är större än månens, och solens diameter är större än Jordens.
På den här punkten följde Arkimedes de flesta tidigare naturfilosofers uppfattning, och, ja, proportionerna har hållit i sig.
3. "Solens diameter är ungefär 30 gånger så stor som månens och inte större."
   Ingen kommentar.
4. "Solens vinkeldiameter är större än sidan på en tusenhörning inskriven i universum."
   Med detta något kryptiska påstående avsåg Arkimedes att vinkeln mellan solskivans översta och nedersta punkt inte var större än vinkeln mellan två hörn i en tusenhörning, d.v.s. mindre än 0,45 grader. Även om han hänvisar till Aristarchos, säger sig Arkimedes experimentellt ha testat påståendet, och värdet är inte alltför långt från dagens 0,54 grader.

Därifrån drog Arkimedes slutsatsen att universum var ungefär två ljusår från sida till sida, och inte skulle kräva mer än  Redan i den sjunde ordningen, vid 10⁶³, hittade Arkimedes talet han sökte. Det säger något om hur otroligt stora talen Arkimedes skapade egentligen var.

Kuriöst nog innehåller den mängden sandkorn ungefär lika många protoner som Arthur Eddington 1938 räknade ut att det fanns i hela det synliga universum, något som Arkimedes förstås inte kunde känna till. Men för att vara drygt två millennier i förväg, var han ändå inte helt fel ute - även om sandkornen i fråga var mycket mer glest utspridda än Arkimedes någonsin kunde tänka sig. Hela Sandräknaren i engelsk översättning står att finna här

Jag antar att dessa saker, kung Gelon, kommer att förefalla otroliga för de flesta människor som inte har studerat matematiken, men för dem som är bekväma med den, och har ägnat tillräcklig tanke åt frågor om Jordens, solens och månens och hela universums avstånd och storlek, kommer beviset att vara övertygande. Det var av denna anledning, som jag tänkte, att ämnet inte vore opassande för er.”

- Arkimedes (slutet på Sandräknaren, fri översättning)

Även om det antika universum inte var så stort, rymde det uppenbart väldigt många sandkorn. I sina beräkningar lät sig Arkimedes visserligen inspireras av astronomen Aristarchos från Samos i det att han använde den heliocentriska världsbilden med solen i mitten, men han hörde till undantagen. Den dominerande teorin var redan då den geocentriska världsbilden, som gjordes berömd för eftervärlden av den hellenistiske astronomen Ptolmaios från Alexandria; här i tolkning av Andreas Cellarius kring år 1660.

Arkimedes utvidgning under 200-talet f.Kr. var den sista stora förändringen av ett talsystem som från sina rötter i Miletos i Jonien kom att bli mycket långlivat - i två årtusenden upprätthöll det en i princip fullkomlig dominans. Efter att det hellenistiska riket införlivats i romarriket förblev grekiskan det dominerande språket, och den vetenskapliga traditionen levde främst i romarrikets östra halva, på grekiska, med grekiska siffertecken. När sedan romarriket delades i en östlig och en västlig halva blev grekiskan i den östra delen återigen ett statsbärande språk. Så förblev det även genom medeltidens bysantinska rike.

Det alfabetiska talsystemet fortsatte att vara det dominerande viset att skriva tal på i den östra halvan av romarriket, något som romarna helt enkelt fick anpassa sig till. På inskriptionens andra rad kan man läsa ΤΟ ΙΒ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙ ΤΟ ΚΕ ΥΠΑΤΩΙ ΤΟ ΙΕ ΤΕΙΜΗΤΙ. Det betyder ungefär "den 12:te kejsaren, den 25:te konsuln och den 15:de skatteindrivaren" (siffertecken är i fetstilt, eftersom man på inskriptioner sällan markerade vilka bokstäver som var del av tal; ΤΟ betyder ungefär "den __:de"). Inskriptionen återfinns i Efesos på ett monument dedicerat till kejsar Domitianus. Grekiskan döljer det faktum att texten handlar om en man som föddes i Rom, växte upp i Rom, härskade i Rom och år 96 e.Kr. även mördades i Rom.

Trots de indo-arabiska siffrornas intåg är det alfabetiska talsystemet i fortsatt bruk i dagens Grekland, på ungefär samma sätt som vi i Västeuropa använder romerska siffror. Fast sedan bokstaven stigma avskaffades i mitten av 1900-talet skrivs siffran 6 istället på isärplockat vis, στ.

Även om de tidigare epokernas talsystem inte längre har något praktiskt värde - om än rika i historiskt dito - så kan vi lära något av det faktum, att under alla de tusentals år som det grekiska talsystemet levde, inkorporerades det aldrig positionssystemet, även om det i alla fall från århundradena före Kristi födelse faktiskt fanns till hands. Det är något att begrunda, både för dem, som i barndomen skall lära sig att greppa det system som Arkimedes valde bort, och för att vi inte vet, vad framtidens talsystem har att erbjuda.

Därmed är den här serien om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid till ända. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Tio siffror i nästan två tusen år

Ett träsnitt från 1508 visar konkurrensen mellan det nya och det gamla sättet att räkna. De praktiskt placerade namnskyltarna anger karaktärerna som Boethius till vänster och Pythagoras till höger; trots att Boethius som dog på femhundratalet e.Kr. troligtvis aldrig ens hörde talas om indiernas nydanande symboler.

Medeltidens européer kände bara till ett talsystem, det romerska. Problemet var att det begränsades av att ha utformats efter vad som en gång hade varit romarnas matematiska behov och saknade enkla sätt att skriva noll, negativa tecken och bråktal. Potenser och exponenter, liksom plus- och minustecken fick skrivas med bokstäver, och matematiska beräkningar och bevis såg följaktligen mer ut som romaner än som vetenskap.

Medeltidens lärde hade förgäves försökt åtgärda det problemet, men resultatet blev en översvämning av tecken och förkortningar med vilka det romerska talsystemet skulle utvidgas och snart förstod ingen någonting alls. Inte nog med att de var många, utan förkortningarna var ofta långt ifrån entydiga: A kunde likaväl betyda fem som femhundra, K etthundrafemtioett likaväl som tvåhundrafemtio. Vissa matematiker hade försökt sig på att räkna med noll – och därför stod N för nulla, men N användes redan för nittio, från latinets nonaginta. Inte undra på att bankirerna fortfarande räknade på abakus – enkelt och otvetydigt, kan tänkas, men dessvärre även långsamt och allt mer omständligt. Ekonomin växte, handelskonstruktionerna blev mer komplexa och fler finansiella instrument tillkom under renässansen. Bara i sig innebar den ökade handeln inom ett Europa med lika många mynt- och måttsystem som städer och landsdelar stora mängder komplicerade beräkningar med många decimaler och restposter.

Svaret på Europas problem låg i Orienten. Med bättre kommunikationer och ökad efterfrågan efter österns lyxvaror bland Europas rika, kom de europeiska köpmännen i kontakt med de arabiska, och även med deras sätt att föra räkenskaper.

Renässansens Italien hade täta kontakter med Orienten - handeln över Medelhavet var en av de viktiga motorerna i Europas ekonomi, och kulturutbytet stod inte långt efter. Tillsammans med guld och siden kom från Orienten även ny matematik, vetenskap och kunskap. Även kyrkan ville gärna vara med, den här målningen av Gentile Bellini visar den antike evangelisten Markus predikande för en samling handelsmän från både öst och väst, glatt konverserande.

Bakom revolutionen låg sonen till en italiensk tulltjänsteman i Bugia, eller Béijaïa i nuvarande Algeriet. Hans namn var Leonardo Pisano Bigollo, men mer känd har han blivit under namnet Fibonacci. Från de arabiska köpmän som hans far arbetade med fick den unge Fibonacci lära känna en helt ny värld av matematik – matematik som var mycket bättre lämpad för att räkna på vinster, förluster, kostnader och räntor. Men det här var matematik som baserade sig på ett helt annat talsystem, ett där man använde tio helt nya siffror, 0 till 9, och där siffrorna dessutom fick helt olika betydelser beroende på hur de stod i relation till varandra.

Foulkaporten i Béjaïas stadsmur, staden där Fibonacci växte upp och lärde känna de arabiska handelsmännens matematik.

Medan Europa fortfarande räknade med I, V, X, L, C, D och M, och hela den djungel av ytterligare bokstäver som medeltidens matematiker lagt därtill, utvecklade Fibonacci ett helt nytt sätt att räkna. Han blev stormförtjust och skrev i sin bok Liber Abaci att till och med den store Pythagoras matematik framstod som ett misstag i jämförelse med indiernas sätt att räkna. I sin bok använde han därför det nya systemet och med en rad exempel, kanske mest intressant vikt- och måttomräkning, ränteberäkningar och valutaväxling, visade han hur lätthanterligt och smidigt det var.

Fibonaccis bok togs väl emot av Europas vetenskapsmän och bankirer, men det fanns en grupp som inte riktigt delade de andras fascination. Det nya talsystemet hade nämligen ett stort fel:
När bankirerna gjorde alla sina beräkningar på abakus kunde man som kund se på och till och med förstå vad bankirerna gjorde. Den kund som såg att bankiren fuskade, kunde se till att få banken i bankrutt – rent bokstavligt, för en ohederlig bankir kunde få sitt bord sönderslaget, på latin banca rupta. Nu, med de nya siffrorna, satt bankirerna och ritade rader av små krumelurer på ett papper, figurer som ingen tidigare ens hade sett, och än mindre kunde förstå. Återigen visar språket historiens spår – det är inte någon slump att orden siffra och chiffer är så lika, för de kommer nämligen från samma ord, arabiskans al-sifr, från samma tid, senmedeltiden, och från samma strid, de som var för och de som var emot det nya systemet.

Både de som tvivlade och de som entusiastiskt omfamnade det nya systemets möjligheter hade helt rätt. Medan det nya systemet öppnade för mer handel, snabbare transaktioner och slutligen även bättre levnadsstandard, innebar det också mer pengar åt bankirerna, som inte var sena att omvandla dem till makt. En hel rad av Europas namnkunniga adels- och kungaätter gjorde sin entré under den här tiden: Mest berömd av dem alla kanske just Medicifamiljen, men även familjen Grimaldi, som idag fortfarande regerar i Monaco, och många fler hade senmedeltidens och renässansens samhällsomvälvande matematik att tacka för sin makt.

Huset Medici blev rikt och mäktigt genom den ökade handeln i Italien under medeltidens slut som också slutligen gjorde det romerska talsystemet för kraftlöst för den nya tidens ekonomiska och vetenskapliga beräkningar. Här är portalen som en gång satt på en av Medicifamiljens banker, numera på muséet för antik konst i Milano. Foto: Stefano Stabile.

Men redan på tolvhundratalet hade de indisk-arabiska siffrorna en lång historia, och varken Fibonacci eller de arabiska handelsmännen visste troligtvis varifrån de kom. Idag tror vi oss faktiskt veta, för svaret ligger gömt i en text skriven på björknäver med anor från trehundratalets Indien. Idag kallas den texten för Bakhshalimanuskriptet, och den återupptäcktes först under sommaren 1881 i närheten av en by med samma namn i dagens Pakistan. Manuskriptet är en kopia från någonstans omkring 800- eller 900-talet av ett ännu äldre manuskript – kanske så gammalt som från etthundratalet före Kristi födelse, men de flesta forskare brukar datera det till omkring just 300-talet e.Kr.

Vad man upptäckte när man började läsa texten var i huvudsak en handbok i algebra och aritmetik. Utöver att manuskriptets stil är förvånansvärt rättfram och ordnad, med vissa delar skrivna i prosa och med tydliga teser och exempel till skillnad från senare antik indisk matematik, så anses Bakhshalimanuskriptet ofta vara det första exemplet på användning av siffran 0 i den form den senare skulle komma till vår sida av världen. (Siffran noll i sig hade dock funnits i andra versioner långt tidigare, inte minst berömt är att den orsakade pytagoréerna mycket huvudbry.)

De indoarabiska siffrorna i vardande, på det sätt de skrevs i det mellan ett och två tusen år gamla Bakhshalimanuskriptet. Redan kan en europé känna igen några av tecknen.

De indiska matematikerna använde siffran noll och ansamlade med dess och de övriga nio siffrornas hjälp en ansenlig kunskap på astronomins område. Troligtvis var det de indiska matematikernas skicklighet inom astronomin som inspirerade den nestorianske biskopen Severus Sebokht – som år 662 omnämnde de indiska siffrorna – till hans jakt på ett effektivt sätt att beräkna påskens datum.

Vi vet egentligen inget om hur spridda de indiska siffrorna var vid det här laget, men enligt en historia som medeltidskrönikören Ibn al-Qifti har att berätta, så kom det år 776 en indisk matematiker till den abbasidiske kalifen al-Mansurs hov i Bagdad. Den indiske matematikern visade kalifen hur lätt man kunde beräkna halvkordan (en variant av sinusfunktionen) med hjälp av de nya siffror, som han fört med sig från Indien. Kalifen blev så förtjust att han beställde en översättning av den indiska boken till arabiska, så att hans undersåtar kunde lära sig det kraftfulla verktyg han själv just hade fått ta del av. Under elvahundratalet kom den arabiska översättningen i händerna på en ung och nyfiken italienare – just det, Fibonacci – och genom honom spred sig siffrorna vidare till resten av Europa. Resten är, så att säga, historia.

Den här framsidan på en bok i aritmetik från 1549, angivet med romerska siffror, visar det första bevarade exemplet på de nya siffrorna i den form och ordning som de kom att få i Europa; och med européerna följde de till resten av världen.

Ekonomi på matematiska

Jag har kommit att se på matematiken som närmast sinnebilden av Platons idévärld, med vilket han menade den värld av samband och information som styr den värld som tingen – och världen – faktiskt existerar i. Av detta följer att matematiken är en upptäckt, funnen när vårt intellekt hittat sätt att systematisera, förstå och analysera vår omvärld. På så sätt tränger våra tankar igenom de faktiska tingen till de bakomliggande sammanhangen och generella dragen som finns gömda däri, en definition av matematik som kanske ligger närmare logik än den faktiska matte de flesta möter i skolan, även om det där skulle kunna finnas spår av denna matematiska upptäckt – exempelvis något så simpelt som de naturliga talens sammankoppling med ett, två, tre, fyra äpplen. Eller vad som helst – huvudpunkten är att vår omgivning går att räkna.

Motsatsen till denna uppfattning måste vara att matematiken är en uppfinning. Återigen att vårt intellekt funnit ett sätt att systematisera och klassificera i avsikt att förstå och på så sätt dra vittgående slutsatser. På så sätt skulle den matematik vi i så fall uppfunnit vara ett sätt att beskriva vår omvärld – och därigenom blir matematiken ett språk. Och liksom hos ett språk finns möjligheten att applicera detta i en stor mångfald av situationer – som i syften knutna till astronomi och kronologi likt medeltidens beräkningar av påsken (se detta inlägg) eller grekernas strävan efter att knyta vinklar och avstånd till varandra med kordafunktionen, beskrivet i detta inlägg. Således har matematikens utveckling även skett utanför vad som traditionellt betecknats som den matematiska vetenskapen. Och, givet att matematiken är att betrakta som ett språk, vore ju dettas motsats lika absurd som att svenska endast skulle användas inom svensk lingvistisk vetenskap. Den matematiska historien, i egenskap av ett språk eller verktyg, har alltså även skrivits utanför själva matematiken. De kanske mest självklara områdena där så skett är de naturvetenskapliga ämnena, i synnerhet fysik, men även samhällsvetenskaper har använt matematik som redskap.

Så är kanske tydligast för ekonomin, även om kända klassiska ekonomer som John Stuart Mill, delvis Malthus och Marx, för att nämna några, huvudsakligen använde verbal analys och historiska exempel. Även om den klassiska ekonomin huvudsakligen berodde på en induktiv metod, där kunskap drogs ur generaliseringar av verkliga skeenden, använde även de, naturligtvis, slutsatser dragna ur teori och antaganden. Den huvudsakliga skillnaden mot neoklassisk ekonomi, som följde därefter, var metoden och vart den användes. Den klassiska ekonomin fokuserade mer på att förklara och diskutera verkliga fenomen som pågick i samhället, det vill säga huruvida en stat bör göra si eller så eller varför priset på ull beter sig på ett visst sätt, även om det fanns exempel i den andra riktningen. Ett sådant är Says lag, som är mer generell, men inte nödvändigtvis behöver vara formulerad genom deduktiva resonemang (logiskt utvunnen ur teoretiska påståenden), och formulerad inte genom matematik utan i ord.

Anledningen bakom intresset för klassisk ekonomi är dess kontrast mot neoklassisk ekonomi. Skiftet mellan dessa är naturligtvis inte exakt, men kan bedömas ligga under de två sista decennierna av 1800-talet. Den neoklassiska ekonomin skiljer sig från den klassiska genom sin användning av matematik och deduktion. Exempelvis kom begrepp som olika slags nytta att användas och ekonomer började resonera sig fram från påståenden som att alla människor är rationella till slutsatser som sedan skulle kunna appliceras på den verkliga ekonomin. En sådan slutsats formulerades av den neoklassiska ekonomen Irving Fisher, vars formel brukar kallas för Fishers ekvation (so u mean it's fishy?) och skrivs vanligen

där M är penningmängden, V pengarnas omloppshastighet, P prisnivån i samhället och T alla transaktioner. Ett vanligt sätt att presentera formeln är att i en ekonomi i jämvikt, det vill säga V och T är konstanta, innebär en ökning av penningmängden M, vilket skulle kunna vara att Riksbanken trycker mer sedlar än som kasseras, att P måste öka – varor och tjänster blir dyrare. Fenomenet kallas inflation. Att Fisher knöt samman sin teori till en matematisk formel gjorde den generell och överskådlig, men samtidigt innebär det på gott och ont att teorin tas ur sin kontext, eller sammanhang. Trots det har mängden matematik i ekonomin bara ökat.

Även andra neoklassiska ekonomer under 1800-talet sysslade mycket med matematik, exempelvis Léon Walras, Antoine Cournot och Nicolas-François Canard, även om det stora genombrottet för matematisk ekonomi kommit under 1900-talet med ekonometri, generell jämviktsanalys och spelteori men även med användandet av avancerade datormodeller.

Men den kanske viktigaste konsekvensen av ekonomins matematiserande är nog att det inneburit att ekonomin bytt karaktär, från en samhällsvetenskap till en naturvetenskap. Man glömmer lätt hur beroende en undersökning av människan är av sin kontext, eller sammanhang. En människa är en så pass komplex varelse med så många olika, sammanflätade faktorer att ingenting blir överskådligt om vi inte klumpar ihop de flesta och kallar det för kontext. Ekonomin har i sin naturvetenskapliga anda skapat naturlagar – Says lag, Fishers ekvation, Moores lag och så vidare. Dessa är visserligen mönster och generaliseringar som hjälper oss att förstå och förutse vår omvärld, men att benämna dem lagar är kanske att gå steget för långt. Matematiken är ett fantastiskt verktyg för att skapa generaliseringar, men man får ta sig i akt, även generaliseringar kan gå för långt.

En annan kritik som riktats mot matematisk ekonomi är att den kan begränsa urval vid undersökningar, ekonomer väljer ogärna problem och frågeställningar vars svar inte nås genom användande av en redan utarbetad matematisk modell. I mycket högre grad än verbala resonemang är matematiska modeller kostsamma och svåra att utveckla, resultatet är att ekonomiska resonemang kan tendera att använda samma banor om och om igen, och kanske på så sätt nå ett svar med lägre förklaringsvärde än vad som egentligen kunnat uppnås.

Trots detta bör man inte endast se den negativa aspekten. Faktum är att matematik har en nästintill magisk förmåga att igenkänna mönster och samband att ställa upp och genomföra experiment utan att riskera att riskera någons liv – vad hade ekonomin varit utan statistik och BNP, för att inte nämna datorsimulationer?

För vidare läsning kring ekonomins idéhistoria rekommenderas De ekonomiska idéernas historia av Martin Kragh, som också är källan till ekonomin i detta inlägg.

(o)Logiska Symboler

Först och främst: Det här är inte ett seriöst inlägg.

Matematiken tycks genom åren ha fått fler och fler symboler. Operationer och relationer som förr skrevs med bokstäver har successivt fått egna krumelurer. Om än kanske inte riktigt symbolisk, har matten blivit ett symbolspråk. Medan de medeltida matematikerna exempelvis skrev x² med bokstäver har det blivit allt svårare efterhand som vi tvingats hantera vem vet längre hur många dimensioner. Detsamma gäller rottecken, deltan, kongruenser, pilar åt olika håll och kanter, matriser, mängdlära och, inte minst, logiska tecken. För så många som säger att matte är ett eget språk (kallat exempelvis matematiska), så vore det väl synd om den saknade så grundläggande ordförråd som "och","eller" och "inte"?

Men redan där stöter vi på problemen, för vad menas egentligen med ”och”, vad menas med ”eller” eller till och med vad menas med ”inte”? Om jag nu inte tar tre äpplen, betyder det att jag tar fler, färre eller inga? Kan jag ta fyra och säga att jag inte tar tre?

Skulle man ta fyra äpplen härifrån skulle nog Paul Gauguin bli besviken.

Skriftspråkets rikedom på tvetydigheter är både dess förtrollning och dess förbannelse. För vad vore livet om man inte kunde säga något och mena något annat? Oklarheterna gör att skrift- och i synnerhet talspråket blir så svårt att säga något exakt på, men samtidigt så lämpade att vara kreativ med.

Det uppkommer ett annat problem med ”eller”. Om någon frågar ”Skall du gå in eller ut?” så förväntas du troligen inte svara ”Javisst, både och!” vilket du enligt all matematisk logik mycket väl borde kunna – men ingen kommer att förstå dig. Kanske borde vi alla börja tänka logiskt?

Ytterligare problem (det är tydligen bara det logik består av) uppkommer när man skall definiera ”men”. Utsagan ”A men B” (t.ex. det är soligt men det regnar) betyder ju bokstavligen att båda gäller (solen skiner och regnet faller) men ändå innehåller den mer information – de är på något sätt motsatta, man skulle helt enkelt inte förvänta sig att båda gällde samtidigt, det kommer att regna i morgon med.

Detsamma gäller naturligtvis även för alla andra begrepp som skall översättas från vårt vanliga språk till matematiska. Därför har matematiken egna tecken och betydelser för dessa tre ord:

∧	och
∨	eller
¬	inte

Notera att vi nu kan skriva ett känt citat på (engelsk) matematiska:

2b∨¬2b

om man för en stund bortser från det faktum att detta rent stringent faktiskt betyder att man samtidigt kan både vara och inte vara. Var det förresten Schrödingers katt som gick förbi där borta?

De här tre tecknen, de booleska begreppen, har blivit väldigt användbara inom programmering även om de då av naturliga skäl skrivs med vanliga bokstäver. De ingår i en uppsättning tecken som klassificeras som satslogik. Tre prominenta namn i sammanhang med satslogiken är George Boole (som givit begreppen deras namn), Gottlob Friege och Bertrand Russel. Även andra delar av matematiken och logiken håller sig med egna tecken, och vissa, däribland kanske mest prominent är mängdläran, har inte ens brytt sig om att snåla på dem.

George Boole föddes 1815 i ett rött tegelhus Lincolnshire i England och dog 1908 på Irland. Liknar han inte Abraham Lincoln?

Historien om två målare som skulle måla en trumpet

Först tänkte jag återberätta vad som kan kallas en "matematisk rolig historia", eller åtminstone en paradox.

Om man tar kurvan till y=(1/x), vilket är ett mycket vanligt exempel på en asymptot (dvs. en kurva som närmar sig en linje utan att någonsin nå den, i det här fallet linjerna x=0 och y=0), och ritar upp den för x>1 så blir resultatet en backe som börjar i y=1 då x=1 och får y=0 då x når oändligheten.

Roteras denna kurva kring x-axeln, så att en rotationskropp skapas, blir resultatet en oändligt lång trumpet. Men eftersom matematikens natur så är denna kurva färglös sätter vi två målare på att måla den i en dyr djupblå kulör. De får vardera en burk färg, och måste måla hela kurvan, ända bort till oändligheten. Om den ena får i uppdrag att måla kurvan med pensel, medan den andra får i uppdrag att fylla kurvan med blå färg - vem förbrukar mest av den dyra färgen?

Det självklara och intuitiva svaret på den här frågan är naturligtvis den som fyller kurvan (det måste väl gå åt mer om man fyller kurvan än om man bara målar dess sidor?) - trots att jag redan från början skrev att det var en paradox. Det rätta svaret är därför att den som målar med pensel förbrukar mest färg.

Att måla trumpeten betyder att målaren måste gå längsmed hela kurvan, och måla varje halvmeter med penseln för sig. Oavsett hur snål och sparsam målaren är med färgen, kommer förbrukningen att vara i evigt, eftersom kurvan är oändligt lång. Den som skulle fylla kurvan å andra sidan behöver bara stå på ena sidan, och eftersom arean under en 1/x-kurva är möjlig att bestämma matematiskt, det vill säga att den är begränsad och har ett värde, kan vi avgöra hur mycket färg den här målaren kommer att förbruka.

Formeln för längden av en kurva är

eller mer specifikt för vårt fall (nu multiplicerad med radien 1/x och 2 π eftersom det är arean av kurvan vi vill åt)

Denna integral går mot oändligheten, varför målaren som målar med pensel aldrig kommer att bli klar. "Volymen" på "trumpeten" bestäms av en vanlig integral insatt i formeln för en cylinders volym (eftersom trumpeten i grund och botten är en mycket uttänjd och ihopdragen cylinder, där höjden har ersatts med en annan, icke-horisontell funktion) och målaren som fyller trumpeten kommer att bli klar ganska snart. Volymen är nämligen begränsad enligt

hur otroligt det än må låta. (Enheten här är volymenheter, men beror av vad som ansätts på axlarna.)

Formeln som jag använde för att bestämma kurvans längd är egentligen höjdpunkten (inte ens jag märkte det) i dagens inlägg. Den härleds genom att man väljer ett litet delta-x (jag tänker inte ge mig på att skriva den grekiska bokstaven delta här och nu) och får därför ett delta-y. Om man använder Pythagoras sats på dessa får man en delta-längd på kurvan uttryckt i x och/eller y. Med lite förenkling och integration har man formeln. Detsamma gäller ifall man önskar den för ett polärt koordinatsystem.

Den formeln är ett ganska så kraftfullt verktyg, även om den innehåller en kvadratrot som gör den svår att lösa exakt. I fall som dessa gör sig därför numeriska integraler ganska väl.

Det gyllene snittet under fem tusen år

Hunden, människans bäste vän? Inte då, det gyllene snittet låter sig inte besegras så lätt! "De lyckliga hundarna" av Richard Ansdell.

Alltsedan de kambriska havens värld har det funnits snäckor, anfäderna till dagens snäckor, de snäckor vars skal urmänniskorna plockade och beundrade längs stenålderns havsstränder, och de besitter en matematisk hemlighet. Fast deras koppling till det gyllene snittet är nog inte så vidare hemlig längre. Fortfarande, efter att ha levt i en värld där vi ser det gyllene snittet varthän vi än vänder våra ögon, verkar det aldrig upphöra att fascinera oss. Kanske är det just därför vi dras till det, kanske är det vår världs emblem. Och mer exakt är talet ett plus kvadratroten ur fem genom två, eller det gyllene snittet.

Att både snäckor och kottar, lika väl som solrosor och myriader av andra ting i naturens värld går att hänföra till det gyllene snittet var kanske just den inspirationskälla som ligger till grund för den konst och matematik som följt i dess spår. Både som proportion, det gyllene snittet, och som sidorna på en rektangel, den gyllene rektangeln, har talet följt med oss sedan urminnes tider. Rektangeln lär vara den skönaste möjliga, utvald av människor i alla kulturer. Och då måste den vara ett framgångsrecept för den som vill skapa slående konst.
Somliga tror att redan de gamla egyptierna kom underfund med detta i sitt sökande efter en byggnad som kunde överskrida barriären till livet efter detta - den som ställer sig mitt på en av pyramidernas sidor, förväntas komma fram till att avståndet till toppen, längs med ytan, förhåller sig med det gyllene snittet till tre decimalers noggrannhet till avståndet till pyramidens centrum. För den äldsta befästa användningen av det gyllene snittet får vi dock vänta ytterligare ett och ett halvt millennium, till det antika Grekland.

Gyllene snittet eller inte, ligger pyramidernas skönhet i deras matematik?

Man kan säga, att den grekiska matematiska traditionen sträcker sig från Thales från Miletos, via hans lärjunge Pythagoras och Pythagoras lärjungar tills Sokrates, Platon och Aristoteles. Däremellan finner vi Euklides, och, runt den tid då Parthenon på Akropolis i Aten uppfördes, skulptören Fidias. Fidias betraktades redan av romarna som en av Greklands mest briljanta konstnärer, med både ett av den antika världens sju underverk bland sina skapelser och de två statyerna av Athena, staden Atens skyddsgudinna, som då prydde templet, och deltog i att göra det världsberömt. Hans verk lever idag endast genom kopior, varav de flesta gjordes under romersk tid, men minnet av honom har idag fått en återfödelse genom att man under 1900-talet lät den första bokstaven i hans namn, den grekiska bokstaven φ, fi, beteckna den proportion som var pionjär med att använda. Det gyllene snittet skrivs därför ofta

Pythagoréerna höll det gyllene snittet som en gudomlighet i sin av talmystik uppbyggda världsbild, liksom π, men blev av båda djupt besvikna, när det upptäcktes att de var irrationella, och således gick på kors med en annan av pythagoréernas grundprinciper, att alla tal kan skapas genom att dela två heltal med varandra. Den uppfattningen fanns för övrigt i stort i hela det antika grekiska samhället, och det var därför inte så märkligt att grekerna vände sig till bråken när de försökte uttrycka tal som pi eller det gyllene snittet i siffror. Idag brukar vi ju benämna dem approximationer, men jag skulle kunna tänka mig att de antika grekerna i alla fall för en stund trodde sig ha funnit det exakta uttrycket. Likaväl kan man ju föreställa sig den antike grekiske matematiker som med ljus och lykta söker längsmed tallinjen av idel rationella tal; "Men det måste ju finnas någonstans här!". Men lika besvikna över det gyllene snittet som över pi behövde pythagoréerna inte bli; ett vanligt sätt att definiera det gyllene snittet på är faktiskt med hjälp av ett bråk:

där förhållandet a till b motsvarar det gyllene snittet, vilket man ser om man sätter in b=1, eftersom man då får a=φ; sätter man in b=2 får man a=2φ. Om man då just sätter in b=1 så får man istället en andragradsekvation, vars lösning är just det gyllene snittet:

Den visar på en av det gyllene snittets kännetecknande egenskaper, nämligen att φ i kvadrat är detsamma som φ+1. (Något man får fram om man adderar x+1 till vardera sidan.)

Ett fragment från en avskrift av Euklides Elementa från omkring 100 e.Kr., det matematiska grundverk som också innehåller den första matematiska beskrivningen av det gyllene snittet.

Den första matematiska beskrivningen av det gyllene snittet står dock att finna i Euklides Elementa, ett av matematikens absoluta grundverk. Euklides, utöver att han bland annat visade att det gyllene snittet är irrationellt, gav den kanske enklast möjliga geometriska definitionen av det gyllene snittet, den som inspirerade det matematiska uttryck som vi använde som startpunkt precis här ovanför. Euklides, som kallar proportionen för den ytterlighetens och medelvärdets förhållande, i fri översättning från engelskan, eftersom min antika grekiska tyvärr är i behov av allvarligt förbättringsarbete, definierar den genom att dra en rät linje och dela den i två, så att en kort och en lång del skapas. Han säger då att den korta förhåller sig till den långa biten med det gyllene snittet, ifall det råder samma proportion mellan dem, som det gör mellan den långa biten och hela sträckan. Rent och elegant, men i behov av en illustration:

Euklides definition av det gyllene snittet; där proportionen mellan a och b är densamma som proportionen mellan a och hela sträckan, a+b. Definitionen är fortfarande, med över två millennier på nacken, en av de mest använda.

Det skulle dock dröja mer än tolv hundra år innan en man upptäckte vidden av det gyllene snittets nära koppling till talens självaste natur; hans namn var Fibonacci. Boken han lät publicera år 1202 var banbrytande på många sätt (se detta inlägg), inte minst för den studie på kaniner han beskrev. Varje kanin, enligt Fibonacci, föder en ny kaninunge per månad, som tar en månad att växa upp innan den skaffar egna kaninungar. Onödiga komplikationer som att det måste vara två kaniner för att det överhuvudtaget skall bli kaniner skalade Fibonacci bort. En kaninunge kommer därför inte att skaffa någon kanin månad ett. Månad två gör den dock så, och då finns det två kaniner. Men den nyfödda kaninen är för ung, och nästa månad föds det fortfarande bara en kanin, och det finns tre kaniner. Men då finns det med en gång två kaniner som skaffar kaninungar, och nästa månad finns det fem kaniner, tre vuxna och två ungar. Följaktligen finns det månaden därpå fem kaniner, sedan åtta, tretton, tjugoett och trettiofyra. Fibonaccis talserie är skapad.

Men det förbluffande är fortfarande kvar; om man delar ett fibonaccital, som vi kallar F(n), med fibonaccitalet innan, F(n-1), får man, ju större fibonaccital man väljer, en kvot allt närmare phi, det gyllene snittet. Vi kan se att 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3=1,66...; 8/5=1,6; 13/8=1,625; 1,61538...; och så vidare; 39088169/24157817=1,618033989... om x är kvoten mellan ett fibonaccital och det förra, så får vi

Beviset var dock inte Fibonaccis förtjänst, utan utformades av Johannes Kepler, ett århundrade senare. Ungefär samtidigt publicerades den första decimalapproximationen av det gyllene snittet, av Michael Maestlin, år 1597, istället för de bråk som grekerna försökte fånga det gyllene snittet i, och som Euklides visade var omöjligt, ändock är det lika omöjligt att skriva talet som ett decimaltal.

Under upplysningen fann man många exempel på det gyllene snittet i naturen, som gick väl i linje med tidens melodi: att världen är matematisk som ett klockverk. 1835 benämndes proportionen för första gången det gyllene snittet, istället för Euklides ytterlighetens och medelvärdets förhållande, och på nittonhundratalet fick Fidias ge namn åt förhållandet. Men det gyllene snittet ligger alltför nära vår värld för att försvinna med den deterministiska, förutsägbara och urverkslika världsbilden, och dyker upp till och med i Roger Penrose mönster och Dan Shechtmans Nobelprisbelönade kvasikristaller. Men det är en annan historia.

Är det gyllene snittet med och leder oss in i en fjärde rumsdimension? En legering av zink, mangan och holmium uppvisar ett oregelbundet mönster med det gyllene snittets proportioner. Bild: Wikimedia Commons-användare Materialscientist, CC BY-SA 3.0

För exempel på det gyllene snittets förekomst i geometrin, se den här externa sidan.

Det romerska talsystemet

Det romerska talsystemet har kommit att bli ett långlivat system. Med sina rötter i den norditalienska förhistorien, har det levat kvar och utvecklats genom antiken, medeltiden och renässansen, för att fram till vår tid leva sida vid sida med det indo-arabiska talsystemet. På vägen har mycket skett, som påverkat hur det använts och fungerat. Här syns talet 52 på en antik inskription på Kolloseum i Rom. Foto: Ben Mitchell, CC-BY-SA 3.0.

Det romerska talsystemet, som tvärtemot vad namnet antyder egentligen är mycket äldre än den romerska civilisation själv, är ett av vår världs äldsta ännu levande arv från det förgångna. Fortfarande, efter mer än tretusen år, är det i daglig användning i stort sett alla av samhällets områden, för att numrera alltifrån kungligheter till klockslag och närhelst annars de indo-arabiska siffrorna inte riktigt skulle passa. På sätt och vis är det därför märkligt att kalla de romerska siffrorna för romerska, dels för att de är äldre än romarna, och dels för de lika mycket är våra, som de inte egentligen är romarnas.

Principen bakom det romerska talsystemet är mycket enkel och har ett omfång på sju bokstäver, som vardera tilldelats ett siffervärde:

I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

På så sätt är det romerska talsystemet mycket platseffektivt när det kommer till att skriva höga, jämna tal, som t.ex. hundra eller tusen, medan mer ovanliga tal blir desto mer komplicerade. Om bokstäverna placeras i sjunkande följd skall de adderas, så att VI = 6, medan de skall subtraheras om de placeras i stigande följd, alltså IV = 4. Därför skrivs 558 som DLVIII, men 559 som DLIX. År 2000 är lätt att skriva, MM, till och med kortare än med indo-arabiska siffror, men 1492 blir desto längre, MCDXCII.

Det romerska talsystemets position var ohotad i vart fall fram till början av tolvhundratalet, då Leonardo från Pisa, mer känd under tillnamnet Fibonacci, publicerade sin bok Liber Abaci, där han – utöver att han uppfann världens säkerligen mest berömda talserie – för första gången introducerade den europeiska befolkningen till de indo-arabiska siffrornas krafter. (Fibonacci, hans siffror och deras väg från Indien till Europa kan du läsa mer om i detta inlägg.)

Tävlingar som denna från 1527, där en deltagare använde en abakus och romerska siffror (i det här fallet mannen längst till höger) och den andra papper och penna och indo-arabiska siffror (här mannen längst till vänster), var vanliga i den tid då de indo-arabiska siffrorna var nya. Man ville ta reda på vilket räknesätt som gav snabbast resultat, men framförallt säkerställa att båda svarade likadant. Misstron mot de nya siffrorna var utbredd – det var inte för inte som en förvirrad publik omvandlade arabiskans sifr, som betyder noll, det nya tal som följde med det indo-arabiska talsystemet, inte bara till siffra, utan också det mer nedvärderande chiffer.

Den grundläggande skillnaden mellan det indo-arabiska och det romerska talsystemet kan ses i ljuset av deras användningsområden. De romerska talen användes för att skriva ned saker, för att överföra eller bevara information, medan själva beräkningarna alltid gjordes på en abacus eller kulram. Användningen av kulramar var vitt spridd redan under romersk tid, då bläck och papper dessutom var något dyrt som inte användes i onödan.

Kraften i de indo-arabiska talen visar sig först när man börjar göra beräkningar med dem, när själva matematiken utförs i siffror på papper och inte med kulram. Introduktionen av indo-arabiska siffror är därför tätt kopplad till kulramens tillbakagång.

De nya talen, som när de kom till Europa redan under lång tid använts av indiska och sedan även arabiska astronomer, var inte bara ett talsystem för den tidiga medeltidens relativt enkla ekonomiska beräkningar, utan för matematisk akrobatik med trigonometriska funktioner och för de invecklade ekonomiska konstruktioner som började att uppkomma mot medeltidens slut. Plötsligt gällde handeln inte mynt eller får utan summor som skulle överföras från en valuta till en annan, procent av belopp, räntor och mycket annat. Som de medeltida matematikerna snart fick erfara var sådana övningar stort sett omöjliga att genomföra med de gamla, romerska talen.

Motståndet mot de nya siffrorna var dock stort även bland de som själva utförde sina beräkningar. För att möta de allt mer komplexa matematiska behov som började uppkomma utan att fördenskull släppa de gamla beprövade talen, började det tidigt att uppkomma olika slags anpassningar och tillägg, i många fall århundraden innan de indo-arabiska siffrorna blev kända. Inte minst krävdes redan på tidigt stadium avancerade astronomiska beräkningar för att bestämma påskens datum, något som under lång tid utgjorde en grundläggande matematisk stridsfråga (som du kan läsa mer om i det här inlägget). När beräkningarna började innehålla högre tal och fler tal, behövdes smidigare sätt att skriva dem på. Därför uppfann de medeltida matematikerna nya bokstäver, som O för 11 från franskans onze, N för 90, från latinet nonaginta, eller F för 40, från engelskans forty.

S, härlett från latinets septem, kunde stå för 7, men kunde från latinets septaginta lika väl betyda 70. Från det grekiska talsystemet lånade man stigma, Ϛ, med betydelsen 6. Den vördnadsvärde Beda, som levde och verkade i 700-talets England, förkortade latinets nulla, noll, till N, trots att bokstaven redan användes för att beteckna 90. Här ses han på en tavla av James Doyle Penrose från 1902 i färd med att översätta Johannesevangeliet.

Men Europa är stort och medeltidens människor talade än fler språk än vad vi gör idag, och eftersom många tal till råga på allt börjar på samma bokstav kom nog de nya tilläggen till det romerska talsystemet i längden att kosta mer än de smakade. För det romerska talsystemet kvarstod ändå en rad grundläggande problem:

1. Bråkräkningen var mycket mindre välutvecklad och i allt väsentligt härledd från romerska myntenheter.
2. Negativa tal, i den mån de ens gick att skriva, var klumpiga och lätta att missförstå.
3. Trots trevande försök saknades ett gemensamt sätt att skriva talet noll.

Kort sagt saknade det romerska talsystemet standardisering, utan varierade istället vilt från författare till författare och mellan olika platser. När handeln blev internationell och vetenskapen fortskred räckte det helt enkelt inte längre till. Numera finns det vissa regler även för det romerska talsystemet, men om man tittar noga på de antika siffrorna ser man att de reglerna inte alltid stämmer. Romarna skrev nämligen på känsla, och först i modern tid har man försökt att standardisera det romerska talsystemet.

Onaturliga dimensioner och matematiska konstverk

Inom den klassiska matematiken finns tre (möjligen 4) dimensioner. Så vad är då tex. 1,9537?

Jo, det är en fraktal dimension. Trots att de är nya i sin nuvarande användning, finns det faktiskt gamla exempel, som Girih-mönstren klicka på länken för att komma till inlägget om dem.

Benoit Mandelbrot är mannen bakom dagens oortodoxa geometri. Han var en okänd matematiker och få läste hans bok, men så läste en datoranimatör på Boeing och insåg hur han skulle gå runt dåtidens sega datorer och göra bra bakgrunder till flygplansbilderna. Han började med en eller två pyramider. Varje sida på ovansidan gjorde han om till en ny pyramid. Genom att fortsätta så hade han ett bergslandskap - och en fraktal.

Fraktaler har även andra fördelar som att en fraktalt formad antenn ger bättre mottagning och brus i elektronik fördelar sig fraktalt. Träden i regnskogen fördelar sig fraktalt, vilket gör det enkelt att räkna ut hur mycket koldioxid skogen absorberar.

Inom dagens matematik har fraktalerna fått en viktig plats. De har gjort det möjligt att räkna på helt nya saker, tex. saker som har oändlig omkrets men ändlig yta, och att väldigt mycket av naturen är formad fraktalt, just därför att det blig effektivast.

Att det finns fraktaler i naturen har vissa japanska konstnärer upptäckt. Titta på molnens form i denna målning av Hiroshige Utagawa.

Dessutom är fraktalerna i sig mycket vackra, speciellt i 3D. Besök Mandelbulbs sida och häpna!

God Jul
Gott Nytt År
&
God Fortsättning

Pythagoras och hans pythagoréer

De flesta antika grekiska städer hade sina monumentala gudatempel, med stadens beskyddare eller beskyddarinna på hedersplatsen. Det här fotografiet visar ruinerna efter det Hera-tempel som en gång tronade över den grekiska kolonin Kroton i dagens Kalabrien, Italien, pytagoréernas hemstad.

Pythagoras är kanske mest känd för sin bekanta sats som säger att kvadraten av hypotenusan är lika med kvadraten på kateterna - men i antikens värld hade mästarna inte för vana att begränsa sig till endast sina ämnen. Enligt legenden, återberättad av Alf Henriksson, reste den unge Pythagoras, född i början av 500-talet f.Kr. på Samos, till Egypten, där han fick se bygget av pyramider. (Redan här kan man börja dra öronen åt sig, eftersom höjdpunkten på pyramidbyggartraditionen inföll redan på nittonhundratalet f.Kr., d.v.s. gott ett och ett halvt årtusende före Pythagoras födelse. Men, som visa människor sagt förut: Varför fördärva en god historia?)

Hur som helst, av egyptierna fick han lära sig ett genialt sätt att skapa rätvinkliga trianglar. Egyptierna tog ett rep, knöt tolv knutar med jämna avstånd från varandra och vek sedan ihop allt till en triangel med tre, fyra respektive fem knutar på var sida - triangeln var garanterat rätvinklig! Pythagoras, som varit elev hos en annan stor grekisk matematiker, Thales, måste ha vetat att detta var sant, eftersom Thales bevisat att alla trianglar som kan ritas i en halvcirkel måste ha en rät vinkel:

Thales var Pythagoras lärare och troligtvis den som gjorde Pythagoras så intresserad av trianglar att han reste hela vägen till Egypten. Den här animationen illustrerar Thales teorem, som säger att vinkeln B i bilden alltid är 90 grader.

I glädje över upptäckten av sitt teorem lär Thales ha offrat en oxe för att tacka gudarna, och när Pythagoras upptäckt sin sats, ville han så klart inte vara sämre. Därför offrade Pythagoras hundra oxar till gudarna, möjligtvis i templet på bilden längst upp. Och i efterhand kan vi väl ge Pythagoras åtminstone lite rätt - är inte hans sats minst hundra gånger mer berömd än Thales sats?

Den enkla anledningen till att Pythagoras offrade de hundra oxarna just på Kroton, en liten grekisk koloni i dagens Kalabrien, Italien, var att det var dit han hade flyttat efter att ha gjort sig till ovän med tyrannen hemma på Samos. Antagligen fanns det också ett annat skäl - Pythagoras planerade att grunda en sekt, och för sådana är kanske inte miljön direkt hälsosam mitt emellan tre av dåtidens imperiers maktsfärer, Aten, Egypten och Persien. 

Detta samfund, som eftervärlden i ett infall av fantasilöshet benämnt pythagoréerna, hade sitt säte i just staden Kroton under 500-talet f.Kr. Samfundet utgjordes av grekiska aristokrater och många har tvistat ifall de tillät kvinnliga medlemmar. Sekten var mysticistisk till sin natur, och centralt låg tron på talens magi, något som syns inte minst på deras talesätt, allt är tal. Mottot betydde för pythagoréerna att allting kunde mätas och skapas genom att dela och att lägga ihop tal - eller med andra ord, alla tal kunde skapas ur alla andra tal genom att enbart använda de fyra räknesätten.

Pytagoréernas udda leverne hade från första början gjort dem ringaktade, och därför de var tvungna att fly Grekland för ett liv på Sicilien i dåtidens världs utkant; troligtvis utsattes de för förtal från andra städer, där man ville hindra att ungdomarna anslöt sig till hans sekt, som syns på den här målningen av Fyodor Bronnikov. Säkerligen ligger detta förtal, traderat över generationer av skribenter, bakom många av alla de goda historier som Pythagoras har fått vara föremål för. Men ännu viktigare är att vi kommer ihåg honom och hans sekt som de matematiska pionjärer de var, med ett otal banbrytande matematiska upptäckter och kanske även som vishetslärare. Kända borde de åtminstone vara för Pythagoras devis állon heautón, varmed han menade att man skall behandla sin vän som sitt andra jag. Uttalandet är kanske mest känt i sin aningen missvisande latinska översättning, alter ego.

Att de samtidigt trodde på den magiska kraften i speciella tal, som pi och det gyllene snittet (liksom pentagonens gudomlighet), åsamkade dessvärre problem. Nyheten skulle nämligen komma att nå dem, att varken pi eller det gyllene snittet kunde uttryckas med de fyra räknesätten, eller, med andra ord, att just de tal som pytagoréerna höll för gudomliga var irrationella. Pytagoréerna benämnde dem aloga, vilket bokstavligen betyder ologiska, eftersom de bröt mot den talmagiska logik som pytagoréerna ansåg förhärskande. Ordet översattes till sedan till latin, där det blir irrationella. Pytagoréerna tillhörde således den sista generationen som levde i den antika grekiska föreställningen att alla tal kunde uttryckas geometriskt, mätas och läggas i trianglar, ett synsätt som inte minst Pytagoras sats vittnar om. Denna sats, som var en av pytagoréernas stoltheter och till synes talens gudomlighet bevisad, tycktes nog vända sig mot dem när de upptäckte att hypotenusan till en rätvinklig triangel med sidorna ett är roten ur två, ett ofrånkomligen irrationellt, omätbart och ologiskt tal. Det kunde visserligen approximeras, men approximationer, ungefärligheter och närmevärden göre sig icke besvär i den gudomligt exakta, mätbara och geometriska, pythagoreiska matematiken.

Exakthetens försvinnande blev som en dödsstöt för pythagoréerna, men det slutade ändå inte där. Ytterligare ett tal som inte riktigt passade in dök snart upp: noll - ett envist tal, med vilket man kan multiplicera vilket annat tal som helst, och ändå alltid kommat tillbaka till noll. Om man dividerar noll med vilket som helst annat tal får man också bara noll och, ännu värre, alla tal delade på noll är outtydbara. Noll är sannerligen matematikens svarta hål.

Elegant animation av ett lika elegant (med dock ett bland många) bevis av Pythagoras sats. Tyvärr vet vi dock inte ifall det verkligen var Pythagoras som stod bakom den sats som fått bära hans namn. Här ses en animation av ett geometriskt bevis av satsen, av John Blackburne, CC-BY-SA 3.0.

När Pythagoras slutligen dog, antagligen bitter och desperat av alla motgångar hans tid hade sköljt över hans matematik. Hans sekt inbegreps i tumultartade stridigheter, där de som ville förskjuta de nya upptäckterna motsattes av dem som ville omfamna nyheterna och revidera Pythagoras läror efter den nya tidens matematik. Av naturliga skäl slutade Greklands aristokrater att flockas till hans krets. Pythagoras lär ändock har ha gått en heroisk död till mötes.

Länge hade pytagoréernas hemstad Kroton, där man ansåg att det var oetiskt att döda ormar men likväl både offrade oxar och gick i krig mot grannstäderna, stridit mot grannstaden Sybaris, en stad vida känd för sina utsvävningar. Som straff för vad pytagoréerna ansåg vara invånarnas omoraliska leverne hade man förstört staden i grunden. Om det verkligen var sybariterna eller några andra fiender som hämnades vet vi inte, men Kroton erövrades och Pythagoras, som av naturliga skäl stod högt på fiendens lista, hanns ikapp. Slutligen kom den store matematikern till en situation, där han för sin överlevnad var tvungen att fly rakt in i ett bönfält. Mästaren lär heroiskt ha valt att gå i döden, istället för att trampa ned bönorna, som han ansåg vara människans nära släktingar. På så sätt dog antikens mest egendomlige matematiker, även om spillror av hans sekt levde kvar. Pytagoréernas storhetstid var dock för evigt förvisad till historieböckerna.

Den gyllene rektangeln

Heras eller Poseidons tempel, därom tvista de lärde, i den etruskiska staden Paestum, Italien. Byggdes gjorde det under den tid då Paestum, staden som en gång i världen var känd för sina rosor, var en grekiskt koloni. Med sina 2000 års historia är det ett gott exempel på hur de antika grekerna använde det gyllene snittets proportioner - i tempelfasaden kan man se många gyllene rektanglar.

Den grekiska antikens guldålders mest namnkunniga författare, dramatiker, konstnärer och skulptörer: Fidias, Theukydides, Myron, Polykleitos, Euripides, Sofokles, Aristofanes, Sokrates, Anaxagoras upplevde alla Atens blomstrande, Parthenons uppförande, och den grekiska kulturens spridning över medelhavsområdet. Med sig från Grekland tog dessa kolonisatörer arkitektoniska och konstnärliga ideal, uppfattningar om de perfekta proportionerna, och om den gyllene rektangeln.

Det sägs att fortfarande efter snart två och ett halvt millennium, väljer en människa mellan ett antal olika rektangulära former den som mest liknar den gyllene rektangeln. Fortfarande används den i arkitektur och konst, och det mest kända exemplet är säkerligen Mona Lisas matematiska anletsdrag. Enkelt definierat, är en gyllene rektangel en rektangel där långsidans relation med kortsidan är det gyllene snittet, det vill säga 1 till φ ≈ 1,618..., eller mer exakt,  φ = x, där

(Mer om matematiken bakom det gyllene snittet står att finna i det här inlägget.)

Vi omges bokstavligen av gyllene rektanglar, från de antika templen, som Parthenon på Akropolis eller templet i Paestum, via Leonardo da Vincis Mona Lisa, vars berömda skönhet förstärks av berömdheten hos hennes matematiska proportioner, till Le Corbusiers arkitektur. Gyllene rektanglar och det gyllene snittet, proportionerna mellan kort- och långsidan i rektangeln, är minst sagt flitigt använda i konsten, och har varit så sedan mycket länge. Efter att se den i så mycket, och så ofta, är det kanske inte så märkvärdigt, om man får tro att vi upplever rektangeln som den mest fulländade formen.

Många av da Vincis verk visar på den nära kopplingen mellan konst och vetenskap, men få så som Mona Lisa och den gyllene rektangeln. Ytterst är en gyllene rektangel, som precis passar runt ansiktet, om den delas i en kvadrat bildas ytterligare en gyllene rektangel, och i sin tur kan delas; kvadraterna kan sedan placeras på olika sätt i den stora, nedre kvadraten, och passar alla till ansiktets olika former. Grafik: Juan ángel Paniagua Sánchez, CC BY 2.5.

Vissa hävdar att detta förhållande har sina rötter i evolutionen; under vår historia på savannen har de gynnats som snabbt kan blicka ut över den mest relevanta delen av vårt synfält för att se byten eller rovdjur. En av dem som förespråkar denna förklaring är Adrian Bejan, som menar att vår uppskattning av formen beror på tiden det tar att spana av synfältet i horisontell och vertikal riktning. Relationen mellan dessa två hastigheter, hastigheten som vi undersöker vår omvärld i vertikal respektive horisontell riktning, anser han stämmer med det gyllene snittet. Därför blir den rektangel som vi snabbast ser, och i dess mest primitiva kontext kan söka av efter potentiella faror eller möjligheter - eller på den paleolitiska savannen, rovdjur eller byten - just det, en gyllene rektangel.

Därutöver har många djur proportioner som påminner om det gyllene snittet; hur solrosfrön är arrangerade är ett berömt exempel; proportionen mellan avståndet från golvet till naveln respektive golvet till hjässan likaså. Därför finns det de som menar att det gyllene snittet är speciellt platseffektivt, energisparande eller till och med inbyggt i materians innersta.

Solrosen har inte ensamrätt på sina gyllene proportioner; här en skivtaklök från Göteborgs botaniska trädgård som gör den högresta sommarblomman äran stridig. Foto: Max Ronnersjö.

Sedan finns det naturligtvis de som tvivlar också - så många sätt att mäta, och så många sätt att mixtra med proportionerna, menar man, vore det snarast märkligt, om inte de flesta ting på ett eller annat sätt uppvisar ett eller annat gyllene snitt - men varför fördärva en god historia? Obestridligt är ju ändå, att talet uppkommer många gånger om i vår värld, och inte minst inom matematiken.

Tvivel åsido, har ändå få teman i matematiken genom historiens lopp visat sig så värda talesättet "kärt barn har många namn". Förutom just gyllene, har snittet kallats såväl gudomligt som extremt och genomsnittligt. Under 1900-talet har talet förlänats en symbol, φ, den grekiska bokstaven fi, efter den antike grekiske skulptören Fidias inital. Fidias är en av de tidigaste och kanske mest flitiga av proportionens användare, berömd för att ha skulpterat bland annat Zeusstatyn i Olympia, ett av antikens sju underverk. Tyvärr har dock alla skulptörens många mästerverk blivit förstörd långt innan vår tid, så spekulationer om vilka decimaler proportionerna har, är och förblir vanskliga, alla romerska och sentida kopior till trots.

Till Pythagoras och hans anhängares enorma förtret, är det gyllene snittet ett irrationellt tal. Antikens människors misstro mot denna sorts tal visas redan i dess namn, som direktöversatt betyder ett ologiskt tal. Pythagoréerna trodde, i likhet med de flesta greker vid denna tid, att alla tal gick att skriva som bråktal; man skulle helt enkelt kunna mäta upp talet som ett exakt avstånd endast genom att lägga enheter av samma storlek på rad - det går ju bra med nästan allt mellan himmel och jord, en sten kan mätas upp genom att lägga fem fem gånger mindre stenar på rad bredvid och ett tolv millimeter brett sandkorn kan mätas med tolv enmillimeters eller sex tvåmillimeters sandkorn. Men med pythagoréernas två mest heliga tal, pi och fi, var detta av någon anledning omöjligt - likaså med roten ur två, resultatet av den enklaste och mest rena triangeln, med båda kateterna lika med ett, om man använder mästaren Pythagoras egen sats. För en from pythagoré verkade nog undergången hotande nära, när själva talen som de dyrkade tycktes vända sig emot dem.