Del 1: Matematikens födelse i kontrasternas land

Rick Stein, som gjort flera mat- och kulturprogram om Indien för engelska BBC, konstaterar att hur mycket man än vill undvika att säga vad alla andra redan har sagt, finns inget sätt att undvika att Indien faktiskt är kontrasternas land. Det gäller den indiska matematiken också, där konkret geometri samsas med abstrakta oändligheter och matematikerna varierar mellan anrika ätter och asketer. På bilden syns Haji Ali Dargah-moskén, en legendomsusad grav och moské på en ö strax utanför Bombay. Foto: Humayunn Peerzaada, CC-BY-SA 3.0

Det är alltid svårt att veta vad de tidigaste civilisationerna tänkte kring matematik. Sällan har några skrifter bevarats, och ännu mer sällan på ett språk som (oftast västerländska) historiker kunnat tyda. På grund av bristen på skriftliga källor är dagens kunskap om dåtidens matematik ofta mycket rudimentär - vad vi känner till är bara det som går att mäta eller ana i landskapet och artefakterna - och oftast vet vi därför mest om deras kunskaper i geometri.

De äldsta fynden av matematisk verksamhet på den indiska halvön stammar från Induscivilisationen, som fram till 1700 f.Kr. blomstrade längsmed floden Indus stränder i dagens Pakistan. Mätningar gjorda på tegelstenar från den antika fyndplatsen Mohenjo-daro, en gång en av Induscivilisationens största städer, visar att invånarna där måste ha använt sig av en sorts linjal: Alla stenarnas längd är jämna multipler av en enhet på ca 3,4 cm - kanske en forntida kunglig tumme? Eftersom Mohenjo-daro var en av de största centralorterna, i en av dåtidens mest framgångsrika civilisationer, torde de tekniker som användes där utgöra spetsen i den tidens teknikutveckling, med de mest påkostade byggena, den högsta kvalitén, och den trendsättande motorn i spridningen av kulturell och teknologisk utveckling.

Mohenjo-daro kännetecknas av ett rätlinjigt gatunät, där såväl strukturer som tegelstenar följer jämna längdenheter - ett tidigt exempel på hur matematiken användes. Staden var en gång en av de viktigaste i området, och av vissa ses den idag som en av Sydasiens viktigaste fornlämningar. Nu möter dock en ny uppsättning hot: Den framstående pakistanska arkeologen Dr Asma Ibrahim menar att grundvattnets ökade salthalt och ovarsamt konserveringsarbete, tillsammans med svag ekonomi och omfattande säkerhetsproblem, kan komma att ha omintetgjort ruinerna inom tjugo år.

Våra viktigaste matematiska arv från Induscivilisationen, och det arv som fortfarande lever närmast oss, är tiobassystemet. Basen tio var det vanliga i Mohenjo-daro: Om man multiplicerar tummen med tio, får man ett mått på ca 34 cm - kanske en förhistorisk fot - och också ett mått som användes flitigt i byggen. Med andra ord föredrog de som byggde att använda jämna tiomultipler; tio tum blev en fot. Vid utgrävningar i Harappa, en annan stor förhistorisk stad i Indusdalen, upptäckte arkeologerna till och med bevarade linjaler och därtill viktmått, skapade enligt samma tiobassystem och som säkerligen använts i byggen i staden. I Harappa hittade man även en bronsstav, med ett mått på drygt nio millimeter. Hundra sådana blir nämligen ett steg, som också var ett vanligt mått ibland ruinerna.

Men Harappa- och Mohenjo-daro-bornas matematik gick säkerligen långt utöver den relativt rudimentära geometri som har gjort dem berömda, men deras muntliga tradition har inte motstått tidens tand. Först efter den litterära traditionens utbredning i samband med den indo-ariska invasionen började de matematiska tankegångarna att nedtecknas. Förändringarna i det indiska samhället var långtgående. Den vediska perioden, som tiden mellan 1700 och 500 f.Kr. brukar kallas, såg uppkomsten av stabilare kungadömen, med kulturella intressen, följt av sanskrits spridning och skrivkonstens utbredning. Som en del av samhällsförändringarna uppträdde även kastsystemet. Förvaltandet och kodifieringen av religionen samlades inom det brahminska kastet, som nedtecknade de vediska skrifterna, som utgör grunden inom hinduismen, men också innehåller poetiska antydningar om att intresset för geometri levde kvar. Eftersom matematiken räknades som ett av religionens uttryck, var även denna en brahminsk angelägenhet, och det var de som utvecklade den första generationen av vad vi idag kallar våra siffror.

Står här något om matematik? Det vet vi inte, för trots att det snart har gått hundra år sedan Harappa och Mohenjo-daro upptäcktes, förblir deras skrift ett mysterium. Tecknen verkar nästintill uteslutande ha använts på stämplar, och vissa forskare tvivlar på om de verkligen motsvarar ett språk. Istället skulle de kunna representera familjer, klaner, platser eller tillverkare. Oavsett gör texternas korthet det otroligt att de skulle beröra abstrakta ämnen som matematik, och även om Induscivilisationen hade ett skriftspråk, kan man knappast tala om en litterär tradition.

Den bild som framträder av den tidiga indiska matematik är starkt religiöst präglad, och bevarade inte minst arvet från den förskriftliga tidens recitationstekniker i de karaktäristiska mantrana. I synnerhet talteorin förknippades med det gudomliga, och denna den vediska matematiken har blivit berömd för sina utförliga namn på ohemult höga tal. Men även det geometriska arvet från Induscivilisationens dagar kom till utlopp i de vediska skrifterna. I en rad tillägg till de religiösa Rigveda-texterna, beskriver dåtidens matematiska auktoriteter hur matematiken skulle tillämpas vid religiösa byggen. Dessa tillägg går under namnet Sulba Sutras, och kan sägas karaktärisera den vediska matematiken som inriktad på och underordnad religionen. Därmed inte sagt att den vediska matematiken inte såg flera kunniga matematiker och banbrytande upptäckter - även under denna period fanns många verksamma och framgångsrika matematiker i det vediska Indien.

Till skillnad från senare matematiker under den indiska matematikens guldålder, som samlades i skolor kring framstående centralgestalter, fördes den vediska matematiken vidare inom ätter, från far till son. Dessa ätter sysslade med både astrologi och matematik, eftersom dessa under den vediska tiden hängde tätt samman. Men eftersom astrologin var en viktig del av religionen, var det mot slutet av den vediska perioden inte lätt att framföra nya tolkningar, eftersom dessa oundvikligen skulle strida mot något inom religionen. Istället fick matematiken större utrymme, eftersom det där var lättare att vara nyskapande: En ny matematisk teori kunde alltid accepteras, så länge den inte direkt motsade något inom astrologin.

De brahminska siffrorna stammar från den vediska perioden och är den första kända versionen av de indo-arabiska siffror vi använder idag. Huruvida de ursprungligen härstammar från Indusfolken eller från någon annan kultur och ifall de redan från början var siffertecken eller utvecklades ur förkortningar är höljt i historiens dimma.

[T]here can be no doubt that our decimal place-value system was born in India and was the product of Indian civilization alone."

- Georges Ifrah

Mot slutet av den vediska perioden började två andra religioner att växa: jainismen och buddhismen. Båda var väsentligt mer abstrakta, vilket erbjöd matematikerna både större frihet och nya områden. Medan buddhismen grundades vid denna tid, hade jainismen redan då gamla anor och en välutvecklad matematisk tradition. I likhet med hinduismen fanns inom jainismen ett intresse för höga tal, exempelvis delades tiden upp i perioder om 2⁵⁸⁸ år. Man drog dock en skiljelinje mellan det stora och det oändliga: Universum, exempelvis, saknade både början och slut. Men att räkna på oändligheter är både svårt och abstrakt, och i våra ögon förefaller den jainistiska indelningen i "oändligt i en riktning, oändligt i två riktningar, oändligt i area, allestädes oändligt och evigt oändligt" något ovetenskaplig. Intresset för det ändlösa gjorde ändå att de teorier de jainistiska matematikerna utvecklade inte skulle komma att överträffas förrän med den tyske matematikern Georg Cantor kring det förra sekelskiftet.

Jainismen är en av Indiens allra äldsta religioner och finns idag spridd över hela Sydostasien. I slutet av den vediska perioden, ca 500 f.Kr., började den ortodoxa hinduismen att ifrågasättas och religioner som jainismen och buddhismen blomstrade. Följde gjorde bland annat en stark matematisk utveckling. Här ses ett jainistiskt konstverk från 1900-talets Rajastan, som illustrerar en av religionens centrala principer: Att det inte finns någon fullständig sanning, utan att allting kan ses på olika sätt.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om matematikens historia på den indiska halvön. Här hittar du den andra delen.

Den sjätte rumsdimensionen: En resa dit och tillbaks igen

En kvasikristallin struktur i en zink-mangan-holmium-kristall med tiofaldig rotationssymmetri.

År 2011 belönades Dan Shechtman med Nobelpriset i kemi för upptäckten av kvasikristaller, som paradoxalt nog kombinerar egenskapen att kunna fylla vilket område som helst med att aldrig upprepa sig. Motståndet mot Shechtmans upptäckt var därför länge mycket starkt, och upptäckten ansågs omöjligtvis kunna vara sann. Intuitivt måste en kristall vara regelbunden och se likadan ut överallt – vilket kvasikristaller inte gör. Enligt all föregående vetenskap kunde kristaller ha två-, tre-, fyra- och sexfaldig rotationssymmetri, eftersom det tillåter mönstret att upprepas i det oändliga. Shechtmans kristaller hade istället fem- och tiofaldiga rotationssymmetrier.

Forskarvärldens lösning på problemet blev istället att kristallerna utgjorde projektioner av flerdimensionella strukturer – att kvasikristallerna var regelbundna i fyra, fem eller sex dimensioner, men att de förlorade den egenskapen om man ritade av eller beskådade dem i två eller tre dimensioner. Enligt en sådan tolkning pekar därför kvasikristallerna mot existensen hos fler dimensioner än vad vi kan förnimma.

Om flerdimensionella, regelbundna former avbildas i två dimensioner, kan ett oregelbundet mönster uppstå. Bilden visar en sexdimensionell kub (vad skulle vi göra utan datorer?) projicerad i två dimensioner, och mönstret har stora likheter med  kvasikristallfotografiet ovan. (Se t. ex. den här filmen för fler flerdimensionella kuber.)

Den kittlande tanken, att det kanske finns fler dimensioner än vi kan se, har inte bara inspirerat forskare - för var någonstans drar sig häxorna, tomtarna och trollen tillbaka, just som man en gång för alla skall upptäcka dem? Även mer seriösa personer, än de om övernaturliga dimensioner fabulerande berättarna, har funnit inspiration i detta oanade sätt att höja sina uttryck över vår alldaglighet. Det svårgripbara, imaginära och extraordinära har blivit ett kännemärke för den samtida matematiken såväl som konsten och arkitekturen.

En parisisk arkitekttävling vanns år 1982 av två danskar. Deras förslag var en fyrdimensionell kub i kolossalformat, avsedd som förlängning på den historiska axeln från Louvren via Tuilerierna till triumfbågen ut till La Défense. De många dimensionerna skulle symbolisera mänskligheten, för att uppväga den traditionella triumfbågens militarism.

En fyrdimensionell kub, i tre dimensioner på en tvådimensionell datorskärm, stoltiserar med av säkerhetsskäl stängda hissar i La Défense i Paris.

Men hur är det möjligt att i det hopplöst tredimensionella Paris bygga en fyrdimensionell byggnad, magi och revolutionerande dansk teknik till trots? Svar: Kuben är naturligtvis en projektion. Liksom en tredimensionell kub kan avbildas på ett tvådimensionellt papper, går en fyrdimensionell kub att avbilda i tre dimensioner.

Vad kuben, om man nu får kalla den för det, visar, bortsett från konstnärlig-filosofiska tolkningar om mänsklighet och humanitet, är att en fyrdimensionell kub har tredimensionella väggar, precis som en tredimensionell kub har tvådimensionella sidor. Från varje hörn utgår fyra kanter - precis som det utgår tre från varje hörn i en tredimensionell kub och två i en tvådimensionell kub, som av någon anledning brukar benämnas kvadrat. Vad den parisiska 4D-kuben är mindre bra på att visa, är att varje kant skiljs åt av räta vinklar mot alla andra kanter som utgår från samma hörn - och den bristen är väl förlåtlig, för hur skulle man i tre rumsdimensioner kunna visa något sådant?

En häftig, animerad och huvudbrysorsakande tesserakt, som en fyrdimensionell kub egentligen heter, rykande het direkt från Harvard.

Tre geometriska problem

Personligen tycker jag att matematik är som bäst när enkla, okomplicerade frågor leder till avancerade resonemang som till slut blir till lika enkla, eleganta svar. Sådana problem var exempelvis de antika grekerna mästare på att formulera – utan avancerade beräkningsmodeller, numeriska metoder med oändligt många steg eller axiom som strider mot all mänsklig intuition. Tre sådana problem, typiska för den grekiska matematiken, har blivit berömda på grund av sin skenbara enkelhet. Alla skulle lösas med endast passare och onumrerad linjal.

De tre geometriska problemen är alla känneteckna de för den grekiska matematiken, men i många fall är deras exakta uppkomst höljd i historiens dimma. Hippokrates, känd för sina insatser på medicinens område men även som författare till matematiska verk, står bakom en berömd sammanställning av problemen. Här ses ruinerna efter läkekonstens tempel, Asklepieion, på hans hemö Kos. Foto: Wikimediaanvändare Cup of coffee, CC-BY-SA 3.0

1. Vinkelns tredelning eller att dela en vinkel i tre lika delar
Att dela en vinkel i två lika stora vinklar är relativt enkelt, till och med med de sparsmakade verktyg grekerna ställde till vårt förfogande - man kan rent av bevisa att alla vinklar går att dela på mitten med de förutsättningarna. Att dela samma vinkel i tre lika stora delar är desto mer utmanande. Bortsett från ett antal speciella vinklar (3π/2, 9π/4, ja, alla som är en jämn tre-multipel av en konstruerbar vinkel) så krävs för tredelning av en vinkel ett speciellt villkor, som grekerna hade lika svårt för som de hade för siffran noll: Oändligheten.

Vem som först formulerade problemet med vinkelns tredelning är inte känt. Hippokrates, som intresserade sig för de tre problemen, visade däremot att det är möjligt att dela vilken vinkel som helst i tre delar om man har tillgång till en linjal med avståndsmarkeringar. En vinkel CAB kan då med tre steg delas i tre delar:

1. Dra ett streck rakt ned från C, så att det skär linjen AB i punkten D.
2. Fortsätt så att en rektangel bildas, genom att rita till linjerna CF och AF.
3. Rita ett streck AE, så att CHG och CGE blir likbenta trianglar, och HG, GC och GE lika långa som AC. Vinkeln BAG är nu en tredjedel av CAB.

En utförlig beskrivning av Hippokrates lösning på problemet, tillsammans med andra berömda matematikers lösningar, som Arkimedes, Nicomedes och Apollonius, står att finna på den här sidan.

Antagligen var det just eftersom problemet var så lätt att lösa med en numrerad linjal, som det ursprungliga problemet att dela vinkeln med endast en omarkerad linjal sällan fick någon uppmärksamhet. 1837 publicerade fransmannen Pierre Wantzel ett bevis för att det är omöjligt. Även om vissa vinklar går att dela i tre, finns ingen metod som kan dela alla vinklar, så till vida att man inte kan tänka sig att hålla på i all oändlig framtid. Vi som inte vill det får helt enkelt nöja oss med att tredelning är en redigt svår nöt att knäcka.

Problemet med tredjedelar återfinns redan i den mesopotamiska historien om Gilgamesh, som sades vara två tredjedelar gud och en tredjedel människa. Tror man att babylonierna visste om att det krävs oändligt många generationer för att åstadkomma det kan man tolka det som en subtil symbol för, exempelvis, att gudaätten skulle vara oändlig. Tror man inte på den tolkningen, så framstår det som att även de bästa kan göra matematiska felsteg, och att vissa felsteg verkar kunna leva kvar i tusentals år.

2. Cirkelns kvadratur eller att skapa en cirkel med samma area som en kvadrat
Det andra problemet är utan tvivel det äldsta av de tre - intresset för cirkelns area är lika gammalt som civilisationen själv. Svårigheten att från en cirkel skapa en kvadrat med lika stor area är ju ett problem som möter varje person som vill beräkna en cirkels area, eftersom alla areor jämförs i termer av kvadrater (vilket ju är varför vi överhuvudtaget talar om kvadratmetrar).

Den egyptiske skrivaren Ahmes, som står som författare till den berömda Rhindpapyrusen, lär ha givit anvisningen att ta bort en niondel från cirkelns radie och därefter konstruera en kvadrat med den sidan, men den förste som gav sig på att lösa problemet mer exakt var greken Anaxagoras, som enligt den alltid så välinformerade Plutarchos lär ha sysselsatt sig med problemet under tiden han satt i fängelse. Problemet var tydligen populärt bland de antika grekerna, såväl bland matematiker som icke-matematiker - faktum är att det omnämns i den samtida teaterpjäsen Fåglarna av Aristofanes.

Ifall Anaxagoras kom till någon slutsats är inte längre känt. Problemet blev under tiden mycket omtyckt i Grekland, men likväl upptäcktes ingen elegant och enkel lösning på problemet, som bara använde en omärkt linjal och passare. Faktum är att det gick så långt att grekerna började använda beteckningen cirkelkvadrerare för alla dem som utan framgång försöker göra det omöjliga.

Det intressanta med den här tidens lösningar på problemet är att de gick ut på att fylla cirkeln med trianglar eller rektanglar av allt mindre storlek - till slut, tänkte man sig, skulle månghörningen helt fylla cirkeln. Därefter var det lätt att sätta samman dem till en kvadrat och därmed ha löst problemet. Även om metoden fick kritik inte minst från Aristoteles, kan vi i efterhand konstatera att den egentligen var långt före sin tid. Tanken att en area kan beräknas genom att fylla den med oändligt många regelbundna rektanglar och trianglar av allt mindre storlek är inte många steg från 1600-talets integralkalkyl.

En av dem som konstruerade en sådan lösning var filosofen och retorikern Antifon från Aten. Han började med att placera en så stor kvadrat som möjligt i mitten av cirkeln, och fyllde därefter på med allt mindre rätvinkliga trianglar. Metoden återanvändes långt senare av Arkimedes för att ge ett närmevärde till π.

Antifon trodde att [cirkelns] area på detta sätt skulle fyllas, varför vi vid något tillfälle skulle ha en månghörning inskriven i cirkeln, med så små sidor att de skulle sammanfalla med cirkelns omkrets. Och, eftersom vi redan till varje månghörning kan skapa en lika stor kvadrat ... kan vi då också skapa en kvadrat lika stor som en cirkel.” - Simplikios från Kilikien

Staden Elis ligger i en dalgång på Peloponnesos västkust och var hemstaden för Hippias, vars bidrag till matematiken bland annat inkluderade den geniala quadratrix-kurvan med vars hjälp problemet med cirkelns kvadratur nästan kunde lösas. Till staden hörde även antikens Olympia, platsen för de antika olympiska spelen. Här ses den valvförsedda ingången till den antika arenan. Foto: Troy McKaskle, CC-BY-SA 2.0

Det stora genombrottet i lösningen av cirkelns kvadratur kom med matematikern och filosofen Hippias från Elis. Kring år 420 f.Kr. konstruerade han en kurva, som senare har kommit att bli känd som Hippias quadratrix, med vars hjälp han kunde härleda en lösning till problemet med vinkelns tredelning. Någon generation senare visade Deinostratos, en av Platons lärjungar, att den gick att använda även till att lösa problemet med cirkelns kvadratur. Haken med den här metoden var att quadratrixen i sig inte kunde konstrueras med enbart en passare och en omärkt linjal.

För att konstruera Hippias quadratrix behövdes ett särskilt instrument, som bestod av två stavar och en kvadrat. Den ena staven satt fast i kvadratens sidor, på så sätt att den kunde skjutas uppåt och nedåt, medan den andra var fäst i ett av hörnen och med en glidande infästning i den andra staven. Skärningspunkten mellan dem skapade quadratrixen. Bild: Wikimediaanvändar Kmhkmh, CC-BY-SA 3.0

Kan vi med dagens matematik till hjälp lösa problemet med cirkelns kvadratur? För att göra det, behöver vi först betrakta proportionen mellan en kvadrats sida och en cirkels radie. En kvadrat med sidan s har arean s², medan en cirkel med radien r har arean πr². Om vi vill skapa en cirkel med samma area som en kvadrat, får vi först sätta areorna lika, d.v.s.

För att få fram cirkelns radie måste alltså sträckan delas med kvadratroten ur π. Problemet är att roten ur π, liksom π självt, är tal går inte att skapa med de verktyg som grekerna ställde till vårt förfogande. På ett sätt var det just det problemet var det som Arkimedes mötte på, och anledning till att han använde Antifons metod för att skapa en approximation till π. Ytterst beror det på att π är ett s.k. transcendent tal, något som bevisades av matematikern Ferdinand von Lindemann år 1882, vilket i korta ordalag betyder att det inte är en lösning till någon algebraisk ekvation - fast det är en annan historia.

3. Kubens fördubbling eller att bestämma sidan på en kub som är dubbelt så stor som en annan kub
Det tredje problemet är troligtvis det yngsta av de tre problemen. Uppgiften är att att till en kub med känd sida och volym skapa en kub med dubbla volymen. Ganska snart började dock problemet cirkulera i en mer generell form: Att till en given kub konstruera en ny kub, vars volym förhåller sig till den gamla kubens volym med samma proportion som två givna linjers längder förhåller sig till varandra.

Av de tre geometriska problemen var detta det under antiken mest berömda, fast var med anledning av en anekdot om när Aten drabbades av pesten känt som det deliska problemet. Den mest underhållande, men knappast sanningsenliga, versionen av anekdoten ger den hellenistiske matematikern Theon från Smyrna, som återberättar en historia från Eratosthenes numer förlorade verk Platonikos. Han berättar, att när Atens invånarna frågade oraklet på Delos hur de skulle bli av med pesten fick de svaret att de i Apollons, tillfrisknandets gud, tempel skulle konstruera ett nytt altare, som var dubbelt så stort som det gamla. Byggmästarna, vars uppgift ombyggnationen blev, hade ingen aning om hur de skulle gå till väga för att uppfylla gudens önskningar, och rådfrågade därför i sin förvirring Platon. Denne vise herre svarade att guden i själva verket inte alls var intresserad av ett dubbelt så stort altare. Istället ville guden göra grekerna skamsna för deras ointresse för matematiken och motvilja mot geometrin.

Oraklet på Delos meddelade atenarna att de skulle bli av med pesten om de konstruerade ett nytt altare, som var dubbelt så stort som det gamla. Anekdoten fick sedan ge namn åt problemet med kubens fördubbling. Pesten som drabbade Aten år 430 f.Kr. hade dock ingen likhet med medeltidens böldpest. Vissa forskare menar istället att atenarna drabbades av tyfus, medan andra hävdar att sjukdomen under de millennier som gått antingen dött ut eller förändrats så mycket att vi inte längre kan känna igen den. Rykande färsk forskning föreslår att det egentligen rörde sig om ett tidigt utbrott av ebola. Notera dock att Platon, som ju är del av anekdoten, år 430 f.Kr. ännu inte var född. Tavlan ovan har målats av den flamländske konstnären Michiel Sweerts.

Det första genombrottet i lösningen av det deliska problemet stod Hippokrates för. Genom en genial upptäckt kunde han reducera problemet till att från två givna linjer, a och b, finna två linjer x och y, sådana att proportionen mellan a och x är densamma som den mellan x och y respektive y och b, eller med modern matematisk notation:

Hur kom då Hippokrates fram till att de två problemen egentligen var ett och samma - att man genom att lösa det ena, också hade löst det andra? Med modern matematik går det relativt enkelt att uttrycka:

Det säger oss att en kub med sidan a, som har volymen a³, förhåller sig till en kub med sidan x, som har volymen x³, på samma sätt som a förhåller sig till b. På så sätt kommer volymen av kuben med sidan a att förhålla sig till kuben med sidan x på samma sätt som linjen a förhåller till linjen b. Uppgiften kan därför förenklas till att från två givna linjer a och x skapa linjerna y och b. Vårt resonemang bygger dock på modern matematik - hur Hippokrates kom fram till samma slutsats får förbli ett mysterium att förbrylla de lärda.

En gång trodde man att man hittat matematikern Archytas skulptur i Villa dei Papyri i Herculeanum nära Pompeji. Senare visade sig statyn istället avbilda Pytagoras. Till villan hörde en gång ett stort bibliotek, som begravdes under askan från vulkanen och på så sätt blivit det enda bevarade antika biblioteket. Mycket av vår kunskap om antiken kommer från de dokument som hittats under utgrävningarna. I romersk tid var villan en samlingsplats för människor som följde den grekiske filosofen Epikuros läror, där filosofiska diskussioner och gott sällskap alltid stod högt i kurs. Foto: Dave Hill och Margie Kleerup, CC-BY-SA 2.0

Det allra största genombrottet vad gäller det deliska problemet kommer dock från en annan antik matematiker, Archytas. Hans upptäckt förbättrades sedan av en annan matematiker, Menaichmos, också han en vän till Platon och dessutom bror till Deinostratos, som löste problemet med cirkelns kvadratur. Archytas lösning är anmärkningsvärd, som Thomas Heath skriver i boken A history of Greek mathematics, "especially when his date is considered (first half of fourth century B.C.), because it is not a construction in a plane, but a bold construction in three dimensions".

Genidraget i Archytas lösning är hans insikt, att skärningspunkten mellan en parabel och en hyperbel skapar en kurva, som vrider sig i tre dimensioner. Med andra ord går den inte att rita ut på ett papper. I Gauss ord är kurvan negativ, men till den tiden skulle det dröja mer än två millennier. En fullständig beskrivning av Archytas lösning kan läsas i Thomas Heaths bok (sid. 246-249), eller i sammandrag på den här hemsidan.

Att den är slående, det är nog det minsta man kan säga om Archytas lösning - det är en komplicerad konstruktion i tre dimensioner, där halvcylindrar och koner trängs med ellipser och cirklar; allt för att konstruera de linjer x och y som Hippokrates anbefallt. Till och med i ett modernt 3D-program är Archytas konstruktion svår att genomskåda - frågan är hur han själv inte bara lyckades föreställa sig en sådan figur, utan även kunde dra slutsatsen att han därigenom hade konstruerat rätt längder.

Hur magnifikt genial Archytas lösning än må vara, kan den inte kringgå den grundläggande svårigheten som gör alla de tre problemen olösliga. Det gäller för π, som i problemet med vinkelns tredelning, och för roten ur π, som i problemet med cirkelns kvadratur, som Pierre Wantzel visade på 1830-talet, men även för kubikroten ur två, som i det deliska problemet. Som den siste store företrädaren för pytagoréernas matematik, måste Archytas ha känt den starkaste frustrationen inför dessa irrationella tal. Problemet är dock inte i sig att talen är irrationella - pentagrammet går trots sina irrationella sidor mycket bra att konstruera geometriskt, något som Euklides visade i sin Elementa. För att konstruera kubikroten ur två krävs däremot en figur i tre dimensioner, vilket var precis vad Archytas levererade. I ett plan, d.v.s. begränsat till två dimensioner, är det - per definition, eftersom kubikroten har just med volym att göra - omöjligt.

Trots det fick alla de tre problemen till slut sin lösning av geniala matematiker och filosofer i Platons generation. Att de fortfarande betraktades som olösliga, beror på att grekerna hade rangordnat de olika lösningsmetodernas elegans. Bäst var de så kallade platonska lösningarna, som skulle genomföras i ett plan med bara passare och omärkt linjal. Därefter kom lösningar med kägelsnitt, som ellipser och parabler. Minst eleganta ansågs de lösningar, där det behövdes ett speciellt verktyg, som Hippias quadratrix-instrument.

Med en vidare definition kan, som grekerna själva visade, alla de tre problemen lösas. Origami är ett annat, kraftfullt alternativ. På sätt och vis var det alltså inte problemen i sig som var omöjliga, utan grekerna själva. Genom Platons idealism, vars popularitet bara skulle stiga, uteslöt de alla möjliga lösningar, och låste sig vid att finna de omöjliga. Samtidigt som de formulerade enkla och eleganta problem, kan man säga, att de i sin jakt på elegans satte på sig sin egen ögonbindel.

Königsbergs sju broar

En schematisk bild av de sju broarna på en karta från 1652 - uppgiften är att gå över alla en och endast en gång var. Illustration: Bogdan Giuşcă, CC-BY-SA 3.0

Königsbergs sju broar är ett vår tids mest kända matematisk-logiska problem. Trots att det formulerades redan år 1736 av den tyske matematikern Leonhard Euler (Königsberg, dagens Kaliningrad, var på den tiden tyskt). Trots sitt så tidiga datum, anses problemet idag markera topologins födelse, en av den moderna matematikens huvudgrenar.

Problemets kärna är att finna ett visst sammanhang mellan de olika delarna av staden, sammanbundna av sju, för stadsplanering välplacerade, men för matematiken ack så förargligt illa placerade broar. Upplägget sammanknyter till den matematiska grenen topologi (av grekiskans topos, plats, och logos, studie eller förnuft) som sysslar med olika formers sammanhang, dimensioner och ytor. Ett av de mest välkända exemplen är att en kopp och en doughnut är topologiskt lika, eftersom de båda är massiva förutom ett hål, medan fatet är en egen topologisk form, eftersom det saknar hålet i fråga.

En än mer schematisk skiss av problemet; här syns det tydligt att varje punkt  är förbunden med ett udda antal broar, vilket ger vandringen fyra start- och ändpunkter. Att vi tagit bort själva staden spelar kanske mindre roll, det är väl bara den som skall gå vandringen som bryr sig?

Om man studerar skissen ovan är kan man se att det är omöjligt att göra den perfekta stadsvandringen genom Königsberg (inte bara för att Königsberg idag inte längre finns; staden bombades hårt under andra världskriget och nästan alla invånare föll offer, antingen för kriget eller dess följder). Varje plats som har ett udda antal förbindelser måste vara en start- eller slutpunkter, eftersom en punkt med tre förbindelser måste passeras en gång, och en med fem två gånger. I bägge fallen blir en bro kvar, varför man måste ta just den punkten som start- eller slutpunkt. Men med tre punkter med tre och en med fem förbindelser, måste ju alla kartans fyra punkter vara start- eller slutpunkter. Någon sådan vandring känns vi väl inte vid?

Königsberg före kriget på ett foto från 1800-talets slut. Staden skadades allvarligt under det andra världskriget och idag finns bara tre av broarna kvar. Av de byggnader som fanns på ön i mitten av staden, har bara katedralen återuppbyggts. Området korsas idag av en stor bilväg, som också har svalt två av de tre kvarvarande broarna.

Idag återstår i stort sett bara en av broarna, och förutom katedralen finns på ön inte längre någon stad. Men historier går fortfarande om att det, på den tiden då alla broarna fortfarande fanns kvar, efter några timmar på ett Gasthaus var vanligt att försöka gå den berömda vandringen. Många kommit tillbaka för mer att dricka och hävdade sig då ha lyckats med sin vandring. Dessvärre har ingen klarat av att återupprepa vandringen i dagsljus. Men vem vet, kanske gömde det sig en åttonde bro någonstans, en bro som bara fanns om natten?

Genom staden flyter Pregel. På det här fotografiet från 1800-talets slut syns två av broarna och stadens börshus. Huset står mirakulöst nog kvar än idag, men de båda broarna är sedan länge borta.

Triangulering – nu och då

Triangulering är ett av de mest finurliga sätten att mäta avstånd exakt. Metoden gör bruk av ett antal enkla geometriska påståenden, en liten dos trigonometri och så – om man vill mäta ett helt land, vill säga – en rejäl omgång äventyrliga resor. Grekerna använde trianguleringens teknik, om än inte namnet, för att mäta avståndet till skepp ute till havs, och tekniken återfinns i kinesiska matematikböcker från 200-talet e.Kr. Under 1600-talet upptäcktes dess förtjänster av europeiska matematiker, och under 17-, 18- och 1900-talen spann så trianguleringen sitt nät över hela jordklotet.

Men låt oss först fråga: Hur går en triangulering till? Vi tar ett exempel. Säg att vi börjar på en liten kulle, som vi kallar A, med utsikt över havet och över byn som ligger invid kullens fot. Från toppen av kullen kan vi se byns kyrka, som vi kallar B, och en fyr, C, på en liten kobbe nära kusten. Hur långt bort ligger egentligen fyren?

Vi börjar med att mäta vinkeln mellan fyren och kyrktornet, och finner att den är 60 grader. Därefter mäter vi, så exakt som möjligt, sträckan bort till kyrktornet, som är 100 meter. Eftersom prästen i kyrkan är mycket vänlig, låter hon oss klättra upp i kyrktornet, varifrån vi mäter vinkeln mellan kullen och fyren. Vinkeln är 80 grader. Därmed vet vi att vinkeln sedd från fyren är 40 grader. Utan att behöva ta oss ut till fyren, kan vi nu bestämma avståndet mellan kullen och fyren med hjälp av sinussatsen, som ger oss ett svar på ungefär 153 meter:

Genom att bygga på med triangel efter triangel kan vi alltså mäta upp vilka avstånd som helst, så länge vi har en exakt uppmätt sträcka att utgå ifrån. Den här insikten, den om att trianglar kan vara av stor nytta – ja, nästan oumbärliga – vid mätning av sträcka, var något kom tidigt i matematikens utveckling. Såväl i antikens Grekland som i det tidiga Kina, liksom säkerligen på många andra platser på jordklotet, använde sig matematiker av trianglar för att bestämma avstånd. I den havsomgärdade grekiska övärlden, där också anfall från sjöss under långa perioder snarast verkar ha tillhört det normala, åtminstone om man få tro de episka sagoberättelserna, var det säkerligen av största vikt att från kusten kunna uppskatta avståndet ut till ett annalkande skepp. De grekiska matematikerna använde en speciell trigonometrisk funktion, den s.k. kordan, som vi idag sällan ser, som enkelt och lätt gav de rätta förhållandena mellan vinklarna och avstånden. På sätt och vis kan kordafunktionen räknas som anmoder till våra dagars uppsättning av trigonometriska funktioner. (Mer om korda-funktionen kan du läsa i det här inlägget.)

Den här fullspäckade illustrationen av en trianguleringsliknande matematisk operation stammar från en 1700-talsutgåva av Liu Huis klassiska matematikbok från 200-talet e.Kr. Liu Hui var verksam under den tid som kallas de tre kungadömenas period, en tid av krig och oroligheter, men också av legender, historier och dramatiska sagor.

Dessa tidiga matematiker skulle säkerligen inte ha beskrivit sin metod som ”triangulering”, utan snarare som ett behändigt sätt att använda sig av triangelns matematiska egenskaper. Som specifik teknik kom trianguleringen inte i vitt spritt bruk förrän på 1600-talet. Den första trianguleringen av en större landmassa genomfördes 1615 av Willebrord Snell, som konstruerade 33 trianglar på den elva mil långa sträckan mellan Alkmaar och Bergen op Zoom i Nederländerna.

Sitt stora kändisskap skulle trianguleringen dock få först i och med den franska revolutionen. Starkt präglad av upplysningstidens ideal skulle den nya franska republiken förses med rationella och funktionella måttenheter, som skulle vara frikopplade från tidigare epokers vidskeplighet, regionala variationer och aristokratiska förtryck. Den nya måttenheten, som kallades metern, skulle ligga till grund för alla rymdmått och skulle härledas från Jordens egna proportioner – eller åtminstone Frankrikes. Bara något år efter att revolutionen först tagit fart skickades Jean Baptiste Delambre och Pierre Mechain ut för att mäta avståndet mellan Dunkirk i norr och Barcelona i syd samt beräkna den nya måttenhetens sanna storlek. (Deras resor och vedermödor, liksom i övrigt denna spännande och omvälvande tid såväl matematiskt som politiskt och historiskt, kan du läsa mer om i det här inlägget.)

Mycket av Delambres och Mechains framgångar berodde på att de hade med sig ett nytt instrument, som uppfunnits av den franske matematikern, vetenskapsmannen och teknikern Jean-Charles de Borda. Med hjälp av Bordacirkeln kunde trianguleringen genomföras både enklare och med större precision. Trots det tog det hela sex år att triangulera enbart från nord till syd – även med ständigt förbättrad teknik skulle trianguleringen av hela nationen ta lång tid att genomföra.

Även om revolutionens ideal – frihet, jämlikhet och broderskap – av förklarliga skäl aldrig vann någon större uppskattning bland den övriga europeiska eliten, spred sig trianguleringen över hela kontinenten. Under loppet av 1800-talet mättes fler och fler europeiska länder upp; att exakt kunna definiera vad som låg utanför, men framförallt inom, nationens gränser kom att bli en avgörande del i övergången från löst sammanhållna furstendömen till moderna nationalstater. Och än mer var de exakta avstånden oundgängliga för 1800-talets stora infrastrukturprojekt: telegrafledningarna, järnvägen och vägarna.

Det här trianguleringsnätet över Rheinland-Hessen i sydvästra Tyskland stammar från 1900-talets tidigaste år, och utgör ett perfekt exempel på hur triangel efter triangel kunde fogades samman till en exaktare karta.

De imperiebyggande britterna hade inte bara de brittiska öarna att mäta upp utan även sina kolonier, som på imperiets höjdpunkt tillsammans täckte en fjärdedel av Jordens landmassa. Trianguleringen av den indiska halvön skulle komma att bli en lång och mödosam process: Många drabbades av smittsamma sjukdomar, vägarna var oftast svårframkomliga och inte sällan tillgängliga enbart under några få månader per år. Men de rundresande engelsmännen upptäckte också helt nya, för västvärlden okända platser. Bland Himalayas toppar upptäckte man ett flertal nya bergstoppar, som var högre än alla tidigare kartlagda berg. Den högsta av de nya bergstopparna utropades därefter, försiktigt nog, till världens troligtvis högsta berg. Dessvärre hade det redan så många olika namn bland den lokala befolkningen, att engelsmännen till en början inte visste riktigt vad de skulle kalla bergstoppen. Därför fann de sig tvungna att tillföra ytterligare ett namn och trianguleringsorganisationens ledare, Andrew Waugh, beslöt att döpa den nya toppen efter sin företrädare, George Everest.

Mount Everest, som berget fick heta (mot George Everests vilja), mättes upp till exakt 29 000 fot, eller ungefär 8 840 meter. Det, bestämde man sig kvick för, gick inte för sig, eftersom alla då skulle tro att man i all hast gissat sig till ett ungefärligt, fint avrundat värde. Av den anledningen bestämde sig Waugh för att helt enkelt lägga till två fot på måttet, varefter världen fick veta att världens högsta berg, det nyupptäckta Mount Everest, var 29 002 fot högt. Men när hela historien kom ut fanns så klart den där kvicktänkte människan, som kunde konstatera att Waugh blev den förste som satte två fot på Mount Everests topp. I efterhand har Waugh dock fått åtminstone delvis rätt – den senaste angivelsen är 8 848 meter.

Mount Everests topp, som här visar sig mäktig i kvällssolen, upptäcktes under en trianguleringsexpedition och döptes efter dess (smått ovillige) före detta ledare, som väl att märka uttalade sitt namn med ett långt första E. På Darjeeling-dialekten, tibetanska och nepalesiska bär berget namnen Deodungha, Chomolungma och Sagarmāthā. Foto: Ralf Keyser, CC-BY-SA 2.0

Triangulering är en lång och mödosam process – ja, ibland kunde den rent av vara farlig. Sedan 1980-talet har trianguleringen i stort ersatts, först av geopositioneringssystem, GPS, och sedermera även av högupplösta satellitfotografier. Så på vår planet används triangulering inte så mycket längre – men väl i rymden. Liksom grekerna ursprungligen med trianglars hjälp kunde bestämma avståndet till ett skepp ute till havs, använder dagens astronomer trianguleringens tekniker för att bestämma avståndet till avlägsna stjärnor och himlakroppar.