Medeltida mönster möter modern matematik

I Topkapipalatsets museum ovanför Bosporen förvaras ett oansenligt men hemlighetsfullt medeltida dokument, en nästan 30 meter lång pergamentrulle fylld med geometriska figurer, men utan text. Topkapimanuskriptet andas matematisk historia och medeltida mysterier utan motstycke; dess historia handlar om girihmönster och medeltida mosaik, som tillsammans skulle kunna utgöra material för en matematisk thriller.

Panorama från Topkapipalatset i Istanbul, manuskriptets nuvarande hem, ut över Bosporen.

Men trots att det numer är infogat i Topkapimuséets samlingar som nummer 56, kommer Topkapimanuskriptet inte ifrån Istanbul, utan har sitt ursprung i 1400-talets Persien. Någon författare känner vi inte till, men bakom upptäckten, vars möjligheter manuskriptet torgför, stod med all säkerhet en genialisk matematiker, tillika arkitekt.

Två skisser ur Topkapimanuskriptet som illustrerar  överlagrade mönster, återspeglade eller återspeglingar av en arkitektonisk stil med hela Mellanöstern som spännvidd, och mer därtill. Här finns fler foton ur Topkapimanuskriptet.

Isfahan är inte bara känd för sina gamla broar, som än idag binder samman Zayandeflodens båda stränder, utan även för den mosaik, som bland annat bekläder Darb-i Imamgravens tak. Precisionen, mönstret och effekten som uppvisas hade helt enkelt varit omöjlig utan girihmosaikens metoder - dem som nedtecknades i Topkapimanuskriptet.

Idén bakom girihmönster kan dateras till långt bak i tiden, men någonstans kring 1200-talet skedde en revolution både i exaktheten med vilken mönstren kunde förfärdigas och i komplexiteten hos de mönster som tillverkades. Fram till sekelskiftet mellan 1100- och 1200-talen tror man att alla girihmönster tillverkades med passare och linjal. Eftersom girihmönster bygger på en femfaldig rotationssymmetri, av samma typ som den Dan Shechtman fann i sina kvasikristaller (dem kan du läsa mer om i detta inlägg), blir mönstren aldrig periodiska. Oavsett hur länge man fyller på, kommer mönstret aldrig att se ut precis som det gjorde när man började. Vill man att mönstret skall upprepas, till exempel vara likadant på båda sidor om en portal, får man börja om och göra exakt på samma sätt.

Runt ett valv i den gröna moskén i Bursa, i dagens Turkiet, har en struktur upprepats flera gånger, där varje tiohörning utgör en egen startpunkt, för att skapa ett periodiskt mönster. Mosaiken kan dateras till år 1424.

Ifall man då använder linjal och passare ansamlas småfel, oavsett hur noggrann man är, och det i en sådan takt att allt bortom mycket enkla mönster är otänkbara. De långt mycket mer avancerade mönster man hittar i senare mosaik, som kan innehålla hundratals tiohörningar och ibland upprepas på flera olika längdskalor, blir därför omisskännliga tecken på uppkomsten av en helt ny teknik, byggd på den matematiska insikten, att alla linjer och vinklar kan reduceras ned till fem små, olikformiga mosaikbitar.

Topkapimanuskriptet har givit oss kännedom om de fem girihbitar som de medeltida arkitekterna använde sig av. Bitarna användes som mallar, och när mönstret var färdigt behölls bara de linjer som i figuren målats blå. Här finns en beskrivning av hur man kan bygga egna Girihmönster i gratisprogrammet Google SketchUp.

Den nya metoden spreds som en löpeld och idag kan exempel på girihmönster ses i Indien, Uzbekistan, Turkiet och på många andra platser. Till sin största rätt kom den med de förbättringar som gjordes under 1400-talet, då mönstren blev större, mer komplexa och ibland överlagrade. Det är också vid den här tiden som Topkapimanuskriptet författares. Ett av de bästa exemplen på de mer avancerade mönstren som började dyka upp under 1400-talet hittar man i Darb-i Imamgraven, som färdigställdes år 1453.

På denna mosaik från Darb-i Imamgraven har två mönster överlagrats,  dels ett stort i de svarta linjerna, och dels ett mindre som fyllts i i mellanrummen. Några exempel där tre nivåers mönster överlagrats har man dock inte kunnat finna.

På grund av sina vinklar, som alla är multipler av 36 grader, ger girihbitarna upphov till tio- och femfaldig rotationssymmetri. På så sätt anknyter de till matematiska framsteg som gjorts först under 1900-talet, ett halvt millennium senare.

Peter Lu och Paul Steinhardt, som 2007 publicerade en artikel om girihmönstren, fann nämligen en överraskande likhet mellan de medeltida mönstren och de som Roger Penrose upptäckte år 1974. De upptäckte,  att de fem girihbitarna kan förenklas ytterligare till bara två bitar, Penroses berömda kil och pil, på engelska kallade "kite and dart". (Rapporten i sin helhet kan läsas här.)

Girihmönstren kan förenklas ytterligare till Roger Penroses kil- och pilbitar. Här ses ett exempel på hur tre av bitarna kan konstrueras. De röda och blå strecken till höger i bilden åskådliggör de matchningsregler, som Penrose formulerade och som de medeltida arkitekterna intressant nog ovetandes verkar ha följt. Bilden är från Lu och Steinhardts artikel.

Girihbitarnas släktskap med Penroses mönster gäller inte bara hur de byggs upp, utan de delar också ett antal fundamentala egenskaper. Det betyder inte minst, att de på många sätt innehåller det gyllene snittet. Exempelvis bildar de tiofaldiga symmetriaxlarna som strålar ut från ett girihmönsters centrum tio identiska och likbenta trianglar med vinklarna 36, 72 och 72 grader. Förhållandet mellan den korta och de två långa sidorna i en sådan triangel är det gyllene snittet. Eftersom vinkar på 36 och 72 grader är vanligt förekommande i girihmönstren, blir också gyllene snittet det. Kanske är det också anledningen till att girihmönstren får sitt harmoniska utseende.

Insekter med matematiska insikter

På sin resa till Nordamerika, blev Carl von Linnés apostel Pehr Kalm, född och uppvuxen i Ångermanland och med ett vetenskapsintresse från universitetet i Åbo, vittne till ett märkvärdigt, och matematiskt naturfenomen. År 1747 hade han lämnat Göteborgs hamn på väg mot "Norra America" via England, för att kartlägga vilka arter som stod att finna i den nya världen. Bland alla de träd och växter som Kalm tog med sig hem, fanns troligtvis en beskrivning av en märklig sorts cikada. Visserligen var Kalm inte först med att observera arten, i synnerhet inte om man räknar med alla de indianer som genom åren levat sida vid sida med den, men det var tack vare honom som Linné kunde ge den dess namn, Cicada septendeci, eller, i fri översättning, sjuttoncikadan. Även om den har fått ett extra Magi pålagt på sitt förnamn, och följaktligen numera heter Magicicada septendeci, kvarstår både det särskiljande efternamnet, och det särskiljande beteendet.

Magicicada septendeci fick sitt efternamn, som på latin betyder just sjutton, av Linné, efter att hans apostel Pehr Kalm hade observerat artens märkvärdiga beteende.

I sin bok "En Resa til Norra America" gav Kalm dock aldrig någon beskrivning av den märkliga cikadan, även om han hade många andra märkvärdiga historier att berätta; som om den svensk, vilket Kalm är noga med att poängtera, som kommit på ett effektivt sätt att rensa sin flodstrand från bisamråttor. Med brinnande svavel och täppta ingångar var det bara att gräva upp de döda bisamråttorna som låg där inne. Inte nog med att personen i fråga slapp problemet med djuren, han fick även inkomsten från skinnen. Som tur är, skulle nog de flesta säga idag, kom den effektiva metoden inte på modet, och bisamråttan är fortfarande utbredd över större delen av jordklotet; dock inte i Sverige - kanske var vi lite väl uppfinningsrika.

Men det beteende som gör det faktum att Kalm inte nämnde cikadorna i sin bok förvånande, är deras cyklicitet - tillsammans med sex andra Magicicada-arter dyker sjuttoncikadan upp med jämna intervall - fyra arter på sjutton år, tre på tretton.

Året innan utbrottet sker, kan man se att vegetationens tillväxt minskar: det är larverna som äter på rötterna. När dessa larver sedan kläcks, översvämmas området med cikador. Cikadorna äter på löven, parar sig och lägger ägg innan de dör; nästa generation dyker upp tretton eller sjutton år senare. De döda cikadorna ligger kvar på marken, där de återför den näring till jorden som de tog som larver.

Den här cikadan kommer från norra Illinois, där cikadorna dyker upp vart sjuttonde år - nästa gång år 2024.

Men det är ändå aningen märkvärdigt, att både 13 och 17 är primtal; och om nu cikadorna är beroende av primtal, så varför duger inte fem, sju eller elva, eller nitton, tjugotre, tjugonio eller trettioett?

Forskarnas teori är att cikadornas primtalscyklicitet är ett sätt att undvika andra djur - de allra flesta djurpopulationer är nämligen cykliska, satta i självsvängning av tillgång till mat och mängden rovdjur. När mattillgången blir mindre sjunker antalet individer, som minskar påfrestningarna på matkällan, som då ökar, för att återigen tillåta expansion i de konsumerande arternas populationer, och följaktligen kommer en primtalscyklisk cikadafalmilj att sammanfalla med rovdjuren minst antal gånger, eftersom endast rovdjursarter med cyklicitet på en multipel av 13 eller 17 kan utgöra något långvarigt hot mot cikadabeståndet. Ingen vanlig fågelart kan, hur mycket de än skulle vilja, äta alla cikadorna under ett cikadaår, och varje fågelart som försöker anpassa sitt bestånd efter cikadorna kommer säkert att vara död och begraven innan nästa cikadageneration kläcks; därför måste också tiden mellan generationerna vara lång nog - så att rovdjuren hinner anpassa sitt antal till ett liv utan cikador, men också kort nog, att tillräckligt många ägg överlever i marken, varför primtalen 13 och 17 verkar vara de optimala. Ehuru grym för det mesta, och ibland på samma gång, så är naturen visst ganska finurlig ibland?

Cikadorna kan minst sagt bli många, här tycks de ha tagit en hel rad buskar i besittning. Foto: Arthur D. Guilani.
För en närbild av en sjuttonårscikada, se den här bilden, som jag av, hm, estetiska skäl valt bort att ta med.