Medeltida mönster möter modern matematik

I Topkapipalatsets museum ovanför Bosporen förvaras ett oansenligt men hemlighetsfullt medeltida dokument, en nästan 30 meter lång pergamentrulle fylld med geometriska figurer, men utan text. Topkapimanuskriptet andas matematisk historia och medeltida mysterier utan motstycke; dess historia handlar om girihmönster och medeltida mosaik, som tillsammans skulle kunna utgöra material för en matematisk thriller.

Panorama från Topkapipalatset i Istanbul, manuskriptets nuvarande hem, ut över Bosporen.

Men trots att det numer är infogat i Topkapimuséets samlingar som nummer 56, kommer Topkapimanuskriptet inte ifrån Istanbul, utan har sitt ursprung i 1400-talets Persien. Någon författare känner vi inte till, men bakom upptäckten, vars möjligheter manuskriptet torgför, stod med all säkerhet en genialisk matematiker, tillika arkitekt.

Två skisser ur Topkapimanuskriptet som illustrerar  överlagrade mönster, återspeglade eller återspeglingar av en arkitektonisk stil med hela Mellanöstern som spännvidd, och mer därtill. Här finns fler foton ur Topkapimanuskriptet.

Isfahan är inte bara känd för sina gamla broar, som än idag binder samman Zayandeflodens båda stränder, utan även för den mosaik, som bland annat bekläder Darb-i Imamgravens tak. Precisionen, mönstret och effekten som uppvisas hade helt enkelt varit omöjlig utan girihmosaikens metoder - dem som nedtecknades i Topkapimanuskriptet.

Idén bakom girihmönster kan dateras till långt bak i tiden, men någonstans kring 1200-talet skedde en revolution både i exaktheten med vilken mönstren kunde förfärdigas och i komplexiteten hos de mönster som tillverkades. Fram till sekelskiftet mellan 1100- och 1200-talen tror man att alla girihmönster tillverkades med passare och linjal. Eftersom girihmönster bygger på en femfaldig rotationssymmetri, av samma typ som den Dan Shechtman fann i sina kvasikristaller (dem kan du läsa mer om i detta inlägg), blir mönstren aldrig periodiska. Oavsett hur länge man fyller på, kommer mönstret aldrig att se ut precis som det gjorde när man började. Vill man att mönstret skall upprepas, till exempel vara likadant på båda sidor om en portal, får man börja om och göra exakt på samma sätt.

Runt ett valv i den gröna moskén i Bursa, i dagens Turkiet, har en struktur upprepats flera gånger, där varje tiohörning utgör en egen startpunkt, för att skapa ett periodiskt mönster. Mosaiken kan dateras till år 1424.

Ifall man då använder linjal och passare ansamlas småfel, oavsett hur noggrann man är, och det i en sådan takt att allt bortom mycket enkla mönster är otänkbara. De långt mycket mer avancerade mönster man hittar i senare mosaik, som kan innehålla hundratals tiohörningar och ibland upprepas på flera olika längdskalor, blir därför omisskännliga tecken på uppkomsten av en helt ny teknik, byggd på den matematiska insikten, att alla linjer och vinklar kan reduceras ned till fem små, olikformiga mosaikbitar.

Topkapimanuskriptet har givit oss kännedom om de fem girihbitar som de medeltida arkitekterna använde sig av. Bitarna användes som mallar, och när mönstret var färdigt behölls bara de linjer som i figuren målats blå. Här finns en beskrivning av hur man kan bygga egna Girihmönster i gratisprogrammet Google SketchUp.

Den nya metoden spreds som en löpeld och idag kan exempel på girihmönster ses i Indien, Uzbekistan, Turkiet och på många andra platser. Till sin största rätt kom den med de förbättringar som gjordes under 1400-talet, då mönstren blev större, mer komplexa och ibland överlagrade. Det är också vid den här tiden som Topkapimanuskriptet författares. Ett av de bästa exemplen på de mer avancerade mönstren som började dyka upp under 1400-talet hittar man i Darb-i Imamgraven, som färdigställdes år 1453.

På denna mosaik från Darb-i Imamgraven har två mönster överlagrats,  dels ett stort i de svarta linjerna, och dels ett mindre som fyllts i i mellanrummen. Några exempel där tre nivåers mönster överlagrats har man dock inte kunnat finna.

På grund av sina vinklar, som alla är multipler av 36 grader, ger girihbitarna upphov till tio- och femfaldig rotationssymmetri. På så sätt anknyter de till matematiska framsteg som gjorts först under 1900-talet, ett halvt millennium senare.

Peter Lu och Paul Steinhardt, som 2007 publicerade en artikel om girihmönstren, fann nämligen en överraskande likhet mellan de medeltida mönstren och de som Roger Penrose upptäckte år 1974. De upptäckte,  att de fem girihbitarna kan förenklas ytterligare till bara två bitar, Penroses berömda kil och pil, på engelska kallade "kite and dart". (Rapporten i sin helhet kan läsas här.)

Girihmönstren kan förenklas ytterligare till Roger Penroses kil- och pilbitar. Här ses ett exempel på hur tre av bitarna kan konstrueras. De röda och blå strecken till höger i bilden åskådliggör de matchningsregler, som Penrose formulerade och som de medeltida arkitekterna intressant nog ovetandes verkar ha följt. Bilden är från Lu och Steinhardts artikel.

Girihbitarnas släktskap med Penroses mönster gäller inte bara hur de byggs upp, utan de delar också ett antal fundamentala egenskaper. Det betyder inte minst, att de på många sätt innehåller det gyllene snittet. Exempelvis bildar de tiofaldiga symmetriaxlarna som strålar ut från ett girihmönsters centrum tio identiska och likbenta trianglar med vinklarna 36, 72 och 72 grader. Förhållandet mellan den korta och de två långa sidorna i en sådan triangel är det gyllene snittet. Eftersom vinkar på 36 och 72 grader är vanligt förekommande i girihmönstren, blir också gyllene snittet det. Kanske är det också anledningen till att girihmönstren får sitt harmoniska utseende.

Ett litet cirkelresonemang

Det är lätt att förledas tro att städer är organiska. Det räcker att se hur stor del som består av trä – och inte att glömma, människor; de är ju själva kärnan i varje stad. Även om man skulle kunna resonera att trähusstäder likaväl som stenhusstäder (i viktprocent) huvudsakligen består av sten och grus, så var det inte det jag menade.

Det är även lätt att förledas tro att städer växer enligt organiska mönster – eller, det vill säga, i organisk avsaknad av mönster –  att de breder ut sig av sig själva, sväljer böljande kullar, dämmer ut marskland och leder om floder, och att de gör så organiskt, utan planering.

Den världsberömda toskanska staden San Gimignano, skiss av Joseph Pennel, 1883

Den känsla (det är inte för inte människor nästintill vallfärdar till San Gimignano) som finns i en sådan, organisk, stad är något som många stadsplanerare försökt återskapa. Det är någonting i de vindlande gatorna som fångar och som trollbinder; inte bara det att de skyddar mycket bättre mot vind och kyla än de långa, breda avenyer som sedermera har blivit – och fortfarande är – moderna. Själv skulle jag förmoda, att ett mer detaljrikt arkitektoniskt formspråk är mindre känsligt mot att någon detalj försvinner eller förfars – om mönstret inte är uppenbart, blir det inte märkbart mindre uppenbart om en del av det uteblir – medan om man istället har en minimalistisk stadsplanering ser allting fantastiskt ut i datormodellen där det är helt och rent, men så blir det tyvärr aldrig i vår allestädes närvarande verklighet.

Men allt det där var ett stickspår, och ett alldeles för långt sådant också om man sätter den sidan till, för huvudnyheten är en nyhet som mer sanningsenligt skulle benämnas gammelhet numera, presenterad i denna artikel i SvD. Där presenteras nämligen teorin om att alla dessa fina, charmiga organiska städer inte överhuvudtaget var organiska, utan snarare frukten av mästerlig och rationell stadsplanering.

Medeltidens stadsplanerare var inte ensamma om att uppskatta cirkelformade gator, Royal Crescent i Bath, är ett exempel på det georgianska Englands arkitektur, även om just den här gatan nog inte får lä av sin cirkelform. En bit bort syns ytterligare en cirkelformad gata, The Circus.

Snarare, menar man, att vår uppfattning om den "organiska", medeltida staden är en nostalgisk missuppfattning, född ur jämförelsen av industrialismens rektangulära Manhattan och de raka gatorna i de romerska garnisonsstäderna med mysiga, ofta kulturminnesmärkta städer från 1000-talets våg av stadsgrundanden. Istället menar Klaus Humpert och Martin Schenk som skrivit den bok artikeln refererar, Entdeckung der mittelalterlichen Stadtplanung, eller ungefär "Upptäckten av medeltidens stadsplanering", att städerna ritades upp efter detaljerade stadsplaner bestående av regelbundna geometriska former: rektanglar, cirklar, trianglar, kvadrater och oktagoner.

Definitionen av en cirkel (var vänlig och plocka fram den högdragna rösten) är att alla punkter längsmed dess omkrets har samma avstånd till en och samma fixerade punkt i planet. Och det ger den en rad spännande egenskaper. För det första har den oändligt många hörn, vilket innebär att den ger mesta möjliga area med minsta möjliga omkrets. För det andra ger den ett behov, och en möjlighet, att bestämma π. Man skulle visserligen kunna finna rader av spännande egenskaper, men just denna leder oss in på något annat spännande – nämligen ytterligare en antik grekisk hatkärlek: Cirkeln och Sfären.

I den grekiska världsbilden, kom dessas perfektion näst efter det gyllene snittet (länk till tidigare inlägg); Aristoteles ansåg att hela universum var uppbyggt av en rad överlagrade sfärer med jorden i mitten, en vy senare övertagen av kyrkan; de antika grekerna var långt ifrån främmande från idén att jorden i sig skulle vara en sfär och Ptolemaios (och i synnerhet det efterföljande millenniets astronomer) gick långt i sina försök att bevisa att alla planeterna rörde sig i cirklar och cirklar på andra cirklar, cykler och epicykler, runt jorden. Den åsikten, bortsett från solens och epicyklernas plats respektive varande i det hela, hade för övrigt även Kopernikus. Pythagoréerna (länk till tidigare inlägg) lär dessutom har sett cirkeln som en symbol för själen.

Även om det ptolemeiska systemet fortsätter att ge nästan lika noggranna förutsägelser om planeternas plats på himlen, är dess komplexitet hisnande. Den spanske kungen Alfonso X, som försökte reda ut problemet, lär i desperation när planeterna fick över 40 epicykler var ha utropat att han om ha varit med vid skapelsen, så hade han kunnat ge några goda råd.

Men, liksom alltid och liksom med det gyllene snittet, fanns det en lite hake. De antika grekerna var nämligen av den åsikten, att alla tal skulle gå att uttrycka i bråkform, vilket, förargligt nog, inte är möjligt med varken φ, det gyllene snittet, eller π – även om många genom årens lopp har försökt; vissa har faktiskt kommit mycket nära. Till råga på allt är π transcendentalt, det vill säga är inte roten till någon algebraisk ekvation.

Cirkeln som konstnärlig form har uppskattats i många kulturer, kanske för att den, till skillnad från vår egen värld, har ett så klart centrum. Detta silkesföremål i mongolisk stil stammar från det medeltida Mesopotamien och är 79 cm i diameter.

Cirkeln återkommer genom vår kulturhistoria. Leonardo da Vincis vitruvianske man är ett exempel, andra är alla de cykliska förlopp som ständigt omger oss, liksom det berömda ekorrhjulet. Faktum är att de är så vanliga att det är lätt att förledas tro att allt är cykliska förlopp, för att, så att säga, sluta cirkeln.

Och slutligen vid närmare eftertanke: Om något inlägg, så kan detta omöjligtvis ha varit ett stickspår. Anledningen är enkel: jag har aldrig sett ett cirkelformigt sådant. För vändplatser räknas väl inte?