Jalusimetoden, den ryske bondens algoritm och andra historiska finurligheter

Elementära beräkningar har alltsedan jordbrukets uppkomst, och säkerligen redan tidigare, varit en viktig del av människors vardag. Forskning visar att den mänskliga hjärnan föds med förmågan att räkna till tre, men att alla beräkningar med högre tal måste läras in medvetet. Då är det inte så märkligt att människor i alla tider visat stor uppfinningsrikedom vad gäller finurliga beräkningsmetoder, för att lätt och smidigt kunna genomföra nödvändiga beräkningar.

Till vår hjälp har vi fått våra tio fingrar och i vissa kulturer har man även använt tår och andra kroppsdelar. De hjälper oss bra med att genomföra enkel addition, men i många fall behövs mer än så. Steget från additionens relativt enkla sammanslagning av två tal till multiplikationens långt mycket mer abstrakta tankegångar har i många fall varit ett stort steg att överbrygga. Det är något som inte minst märks i småskolans tragglande av multiplikationstabeller.

Vilka är då våra förfäders knep för att plocka ned svåra multiplikationer till mer greppbara additioner? Ett av de allra äldsta svaren på den frågan kommer från antikens Egypten, där man använde sig av en snillrik metod.

Den egyptiska metoden för multiplikation har bevarats till oss tack vare att den nedtecknades i den numera berömda Rhindpapyrusen. Papyrusen, som stammar från 1600-talet f.Kr., är det kanske bästa bevarade exemplet på fornegyptisk matematik.

Den egyptiska metoden utgår från en tabell för tvåpotenser, d.v.s. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 och så vidare. Man har hittat spår av den här tabellen i egyptiska skrifter, så vi vet att egyptierna kände till den även om de inte hade samma begrepp för den som vi. Den stora fördelen med den egyptiska metoden är att alla multiplikationer kan förenklas till addition och dubblering, operationer som är både enkla och snabba. Av den anledningen har den kommit till användning i bland annat datorprogrammering. Datorer, som använder sig av binär räkning, har ju dessutom redan delat upp talen i tvåpotenser. Nedan visas hur man kan använda den egyptiska multiplikationen för att beräkna 15 gånger 654 (vilket för övrigt blir 9 810).

Utifrån en tabell med tvåpotenser kan man enkelt multiplicera hur stora tal som helst, något som egyptierna var tidiga med att upptäcka. För den som är intresserad av mer egyptisk matematik rekommenderas David Reimers bok Count Like an Egyptian, där han på ett lättillgängligt sätt presenterar de egyptiska beräkningsmetoderna. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En liknande metod användes under 1900-talet av medlemmar av den ryska handelsflottan - metoden har kanske något missvisande blivit känd som den ryske bondens algoritm. Vissa spekulerar till och med i att den ryska bondens algoritm skulle vara släkt med den fornegyptiska metoden. Det är dessvärre ganska så svårt att avgöra, eftersom användningen av den ryska bondens algoritm går tillbaka i historiens dimma med åtminstone ett par århundraden.

Metoden går till som så att de två talen som skall multipliceras skrivs i två kolumner, precis som i den egyptiska metoden. Talet i den vänstra kolumnen halveras tills det når 1 (och man avrundar i varje led nedåt). Den högra kolumnen dubbleras lika många gånger. Därefter stryks alla rader i tabellen där den vänstra kolumnen består av jämna tal. Sedan kan de icke strukna talen i den högra kolumnen summeras, vilket ger oss vårt svar.

Den kinesiska metoden för multiplikation har nedtecknats av filosofen och generalen Sun Zi, som är mest känd för sin militärstrategiska bok Krigskonsten. Hans levnadstid är omtvistad - traditionella källor placerar hans levnad på 400-talet f.Kr., medan vissa moderna historiker istället daterar honom ända fram till 400-talet e.Kr. Hursomhelst har han alltsedan sin levnad spelat en stor roll i den kinesiska kulturen, både som militärstrateg och som författare.

En tredje finurlig metod finner vi hos den kinesiske författaren Sun Zi. Den kinesiska metoden har vissa likheter med en modern multiplikationsuppställning. Det hela börjar med ett rutnät. Det ena talet skrivs överst, sedan lämnas en rad tom och det andra talet skrivs på den tredje raden med sin entalssiffra rakt under det första talets mest vänstra (d.v.s. "största") siffra. Den första siffran multipliceras med talet underst, som sedan flyttas ett steg till vänster. Operationen fortsätter för varje siffra i det övre talet. Här nedan kan du se hur 15 gånger 654 beräknas med den kinesiska metoden.

Den kinesiska multiplikationen genomför i ett rutnät, men liknar annars den uppställning vi använder idag. Metoden går ut på att varje siffra i det övre talet multipliceras med det undre talet. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En tredje metod för multiplikation är den så kallade jalusimetoden, som utvecklades av hinduiska matematiker i Indien och kom till Europa med Fibonaccis verk Liber Abaci, som utgavs vid mitten av 1200-talet. I Italien fick den sitt nuvarande namn, eftersom man tyckte att mönstret den liknade de jalusier som adelsfamiljerna satte för sina fönster för att hindra att kvinnorna skulle kunna ses från utsidan. Jalusimetoden förblev populär genom hela medeltiden, innan den slutligen föll ur bruk med boktryckarkonsten.

För att genomföra en multiplikation med jalusimetoden ritar man först ett rutnät med lika många rader som antalet siffror i det ena talet och lika många kolumner som i det andra. Därefter drar man diagonala streck från övre högra hörnet, så att alla rutor delas i två delar.

Av de metoder som jag beskrivit ovan tyckte jag att jalusimetoden var den enklaste. Eftersom den utvecklades just för vårt talsystems föregångare, de indiska siffrorna, kan den till skillnad från de egyptiska och kinesiska metoderna dra nytta av positionssystemets fördelar. På den här sidan kan du läsa mer om jalusimetodens historia. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

Utöver att den är en fascinerande metod i sig själv, är jalusimetoden intressant på två sätt. Dels visar den djupet av de hinduiska matematikernas förståelse av talens grundläggande egenskaper, men dels också hur långlivad en god matematisk idé kan vara. Med hjälp av handels- och upptäcktsresande spreds den över världen - från Indien till Kina, till Mellanöstern och därifrån till Europa och slutligen även Amerika.

Några andra multiplikationsmetoder kan du hitta här.

Del 3: Matematiken, Indien och världen

Detta inlägg är den tredje delen i en serie om tre avsnitt. Här hittar du den första respektive andra delen.

Det Indien som Brahmagupta kände var ett rike i politiskt kaos. Under loppet av 500-talet föll Guptariket samman under trycket av hunniska invasioner från Centralasien och vid slutet av århundradet återstod det endast som en stadsstat kring det Kusumapura som Aryabhata en gång var verksam i. Den politiska splittring som följde kom att känneteckna medeltidens Indien, som ett splittrat landskap med med många lokala härskare och hov. Trots att tiden för den vetenskapliga vurm som odlats vid Guptarikets hov var till ända fortsatte verksamheten i lärocentren Kusumapura och Ujjain, och det var under den här perioden som den kanske mest omvälvande förändringen i det matematiska tankesättet ägde rum.

Det var också under medeltiden som det abstrakta sätt att se på talen som vuxit fram under guptaperioden började bära frukt. När tal inte längre nödvändigtvis var antal, areor eller något annat, utan kunde frikopplas och bli de abstrakta tal vi idag menar när vi använder oss av matematik, infann sig också ett nytt sätt att tänka. De indiska matematikerna var inte sena att ta vara på de nya möjligheter som följde, och medeltiden blev en blomstringstid i den indiska matematiken. Främst bland de medeltida matematikerna var en man vid namn Bashkara (men som i vissa sammanhang brukar kallas för Bashkara II för att särskilja honom från en äldre namne). Han lär ha fötts år 1114, levt till 1185 och i likhet med Brahmagupta ha varit ledare för lärocentrumet i Ujjain.

De politiska förhållandena i medeltidens Indien var kaotiska, och vad som förmodas vara Bashkaras hemstad verkar vid tiden för hans födelse ha tillhört det västra Chalukyariket. Denna anspråkslösa bildsten, som är daterad till året efter Bashkaras födelseår, är en av få existerande avbildningar av den då regerande kungen Vikarmaditya VI.

Sitt berömda verk, som snarast kan kallas den indiska matematikens universalverk, Siddhanta Shiromani, författade han endast 36 år gammal. Matematiken han tar upp är av varierande ålder och ursprung, och verket rymmer alltifrån förbättringar av matematik som varit känd sedan Aryabhatas tid till helt nyvunnen kunskap. Siddhanta Shiromani följer den indiska traditionen i det att den är skriven på vers - och har en omfattning på nära ett och ett halvt tusen sådana - men har ändå en särprägel jämfört med sina föregångare: Den nya inställning till matematik som utvecklades under början av medeltiden ger Bashkaras matematik en följsamhet bortom sina föregångare. Talet noll, negativa och positiva tal öppnade för ett helt nytt sätt att tänka, och gjorde Siddhanta Shiromani världsunikt. Framförallt är Siddhanta Shiromani skådeplats för ett monumentalt framsteg: differentialkalkylen - konsten att kunna räkna på förändringen i sig.

Att säga att Bashkara är differentialkalkylens uppfinnare vore dock enligt de flesta aningen förhastat. För det första har vi som vanligt inga bevis på att Bashkara själv var upptäckare av allt han nedtecknade, utan snarare antydningar att han sammanfattade och nedtecknade vad som lärdes ut av de lärare och visa män som var aktiva vid Ujjain. På så sätt framstår han mer en läroboksförfattare än en spetsforskare. För det andra formulerade de indiska matematikerna ingen generell metod för derivering eller integrering, och särskilde inte några tydliga koncept, utan vad de kan sägas ha vunnit är en grundläggande insikt om den sortens matematiks möjligheter, och därmed på ett rejält sätt satt igång en process som fyra hundra år senare skulle leda fram till Newton och Leibniz samtidiga upptäckt. Bashkaras verk, Siddhanta Shiromani, tjänade som den grundläggande läroboken i indisk matematisk utbildning ända fram tills den brittiska kolonialmakten övertog utbildningsväsendet drygt 700 år senare.

Sina observationer gjorde han vid observatoriet i Ujjain, på bilden, vid floden Shipra, som är Indiens ohotade astronomiska centrum. Det observatorium som idag finns i staden är visserligen inte äldre än 1700-talet, men är å andra sidan det enda av 1700-talsobservatorierna som fortfarande är i drift. Idag används det för att uppställa väderprognoser. Foto: Bernard Gagnon

Astronomin var drivkraften som fick Bashkara att utveckla de första stegen mot differentialkalkylen - i likhet med nästan alla indiska matematiker var Bashkara inte främst matematiker utan astronom. Drivkraften bakom hans intresse för matematik var astronomin och hans verksamhet förefaller ha utgått från observatoriet i Ujjain - i denna aspekt skiljde sig inte differentialkalkylen från de andra matematiska grenar som Bashkara berörde. I sitt arbete använde Bashkara troligtvis ett instrument som idag går under namnet jakobsstav, som inte nådde västerlandet förrän ett antal sekler senare och som bland annat användes för att mäta himlakroppars höjd över horisontlinjen. På ett matematiskt plan liknar tekniken triangulering och förutsätter därmed användning av de trigonometriska funktionerna. Eftersom himlakroppar som bekant rör sig, förändras vinklarna och de trigonometriska funktionerna behöver plötsligt deriveras.

Arvet efter Bashkara var en bok av närmast episk omfattning, som blev blev ett tungt arv och en hög ribba för de kommande indiska matematikerna; från århundradena efter Bashkara känner vi till knappt någon matematisk utveckling. Inga böcker eller artefakter som antyder någon utveckling har i vart fall ännu inte upphittats, men att utvecklingen helt skulle ha avstannat är ändå troligt. Liknande påståenden, om att utvecklingen plötsligt skulle ha avstannat, har tidigare gjorts om andra epoker i den indiska matematiska historian, för att senare överbevisas av nya fynd. Så nya rön om senmedeltidens matematik är att vänta, men än har inga gjorts.

Den indiska matematiken hade en sista blomstringstid i Kerala på Indiens sydligaste västkust. Dess läge på den indiska oceanens handelsrutter gav matematiken god spridning, men ironiskt nog var landskapet, som varierar mellan den låglänta kuststräckan och skogklädda bergsområden, bland de första till vilka de europeiska kolonisatörerna kom.

Istället dyker spåret av matematikens vidare utveckling inte upp förrän två sekler senare, och då i staten Kerala längsmed den indiska halvöns sydligaste västkust. Matematikerna som verkade här särskiljer sig på så sätt från såväl guldålderns som medeltidens matematiker genom att de varken verkade som enskilda matematiker-astronomer vid något av de många kungliga hoven eller som läromästare vid något av de två stora lärocentren, det i Kusumapura i norr och det i Ujjain i söder. Istället samlades kring en man vid namn Madhava en grupp matematiker och bildade därmed vad som av eftervärlden har kommit att benämnas Keralaskolan.

Vad Keralaskolans medlemmar åvägabringade närmar sig i sin omfattning en matematisk revolution - den matematik de utvecklade skulle inte komma att överträffas förrän två sekler senare. Madhavas arbete - eller i vart fall det som vunnit honom berömmelse - centrerades kring oändliga serieutvecklingar, av π och av de trigonometriska funktionerna. Exempelvis fann han att sin x - en för såväl navigation som astronomi ytterligt viktig funktion, men samtidigt en notorisk felkälla i en värld med endast oexakta tabeller och en minst sagt skriande brist på miniräknare - kunde uttryckas som

Med den kunskapen kunde man åstadkomma bättre tabeller och dessutom göra bra approximationer alltefter behov (vilket ju för övrigt är samma princip som våra dagars miniräknare bygger på.) Därför bär många av de serier han formulerade, som länge benämnts efter sina europeiska upptäckare, numera även Madhavas namn.

Madhava fick många efterföljare inom Keralaskolan, vars arbete ofta cirklade kring oändliga serieutvecklingar, och på så sätt kan sägas med de trigonometriska funktionernas hjälp ha förenat den jainistiska matematikens fascination med det oändliga (som Zenon som bekant inte till fullo delade) med geometrin, aritmetiken och astronomin i den matematik som såg dagens ljus vid lärocentret i Ujjain.

Den stad som idag bär namnet Irinjalakuda lär under medeltiden ha hetat Sangamagrama och varit Madhavas födelseort. Idag är den hem till drygt 50 000 invånare. Foto: Wikipediaanvändare Challiyan.

Kerala, en av Indiens av turister mest bevistade delstater, ligger utsträckt längsmed den indiska oceanen och var därför hem för en av det medeltida Indiens viktigaste handelsknutpunkter: hamnstaden Muziris. Staden är något av ett mysterium: ingen vet var den låg (även om lovande arkeologiska utgrävningar pågår i Pattanam), ingen vet exakt vem som besökte den (även om den omnämndes av flera romerska skribenter) och ingen vet hur länge staten fortsatte att vara aktiv (även om det sägs att europeiska jesuiter var verksamma där under 1600-talet).

Hamnstaden Muziris besöktes av såväl europeiska jesuiter som arabiska handelsmän. Utbyte skedde inte bara av varor, ädelmetaller och mynt, utan Keralas hamnstäder blev hem åt en mångkulturell smältdegel. Astronomi gick ihop med navigationskunskap, navigationskunskap med matematik, och den kunskap som grundlagts vid Indusflodens stränder, emanerat ur generationer av hinduiska, jainistiska och buddhistiska matematikers arbete och vuxit till i lärocentren i Kusumapura och i Ujjain tog därigenom klivet ombord på en seglats till främmande länder, till Mellanöstern och kanske ända till Europa.

Vasco da Gamas landstigning i Kerala 1498 markerade början på direktkontakterna mellan Kerala och Europa, som tillät indisk matematik att spridas direkt till Europa. Utbytets omfattning är dock en kontroversiell fråga. Akvarellmålningen ovan är däremot inte äldre än 1880-talet, då den förfärdigades av en man vid namn Ernesto Casanova.

Även om det självklart är omöjligt att sammanfatta en hel kulturs matematiska utveckling, så återkommer vad som snart i sig blivit ett mantra: att Indien är kontrasternas land. För den indiska matematiken har ju sett allt från tegelstenars geometri till astronomisk trigonometri, och indiska matematiker har utvidgat tallinjen med allt från de negativa talen via noll till oändligheten. De har arbetat enskilt, i höga torn och djupa bibliotek, men också tillsammans, samlade i skolor och lärocentra. I kolonisationen mötte den indiska matematiken en ny rad utmaningar - Indien uppgick i det brittiska imperiet, och så även dess matematik. I många fall hyste kolonisatörerna ingen eller liten förståelse för de matematiska framsteg de indiska matematiker man mötte var arvtagare till, och vilken matematisk tradition som levde i deras kultur. Inhemsk indisk matematik avfärdades nog i de flesta fall som mysticism, och de indier som ville utöva matematik fick möta den endast i dess brittiska version. Men Indien fortsatte naturligtvis att producera begåvade matematiker. En bland dem var Srinavasa Ramanujan, Indiens kanske mest framstående matematikergeni under 1900-talet, som i en mening - måhända oavsiktligt - träffande lyckades sammanfatta den indiska matematikens utveckling hand i hand med den religiösa astrologin, när han en gång lär ha sagt:

Sir, an equation has no meaning for me unless it expresses a thought of God.” - Srinavasa Ramanujan

Därmed är den här serien om antik indisk matematik till ända. Här finner du det första och det andra avsnittet.

Del 2: En guldålder i indisk matematik

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget,och här finner du den tredje och avslutande delen.

Den indiska guldåldern, som den har kallats, inleddes med den politiska stabilitet som uppstod inom guptariket på 300-talet e.Kr, som förenade stora delar av de norra och östra delarna av dagens Indien. Bilden visar ett sällsynt exempel på måleri i guptastil från de buddhistiska grottorna i Ajanta.

Vad som har kommit att benämnas den klassiska eran eller guldåldern inom antik indisk matematik inleddes med den första indiske matematiker vi känner till namnet, Aryabhata. Av en slump känner vi även till hans födelseår: Från de astrologiska referenser han lämnat, vet vi nämligen att han redan tjugotre år gammal författade sitt livs storverk, Aryabhatiya, som utkom år 499 e.Kr, varför han torde ha fötts omkring år 476 e.Kr. Var någonstans vet vi dock inte, men han lär ha levt och verkat i en stad kallad Kusumapura, som kanske (men inte helt säkert) skulle kunna vara dagens Patna.

Aryabhatiya var en bok som fanns i varje indiskt bibliotek under många århundraden efter att den utgivits. Den blev ett standardverk, en grundbult för hela guldåldern och tiden därefter. En stor del av Aryabhatiya, som lär betyda just Aryabhatas verk, ägnas åt astrologin, som han presenterar både ur ett mytologiskt perspektiv, vilket ger verket dess religiösa anknytning, och ett matematiskt, där bland annat sinusfunktionen presenteras. Boken innehåller även kapitel om geometri och aritmetik.

Att beskriva ett solurs skugga är ett av de centrala problemen i Aryabhatiya, antagligen då det förenar astrologin med geometrin. Det gigantiska soluret vid det astrologiska observatoriet Jantar Mantar i Jaipur, byggdes inte förrän i början av 1700-talet, men kan mycket väl ha inspirerats av Aryabhatiya. Soluret är så stort, att skuggan rör sig med upp till en millimeter per sekund. 

Ända sedan Aryabhatiya kom till västerlandet har den där förbryllat sina läsare, eftersom den lyckas förena mystik och poesi med matematisk klarsynthet. Verket består av 121 verser, där var och en framlägger en sats. Stilen är ibland närmast anekdotisk och boken förefaller snarast skriven för att vara ett minneshjälpmedel än en lärobok på egna ben - en antik formelsamling, kan man säga. Texter, som ju alltid var handskrivna vid den här tiden, var något mycket sällsynt, och att underlätta för läsaren att memorera innehållet var därför en klar kvalité - samtidigt följer det i fotspåren av den indiska matematikens långa muntliga tradition. Även om det genom åren skrivits kommentarer och förklaringar till verket, och kommentarer och förklaringar till dem, lämpar sig verket med andra ord inte för självstudier. (Här finns det för övrigt tillgängligt i en välkommenterad engelsk översättning.)

Vissa forskare har spekulerat i ifall Aryabhatiya främst avsågs som en sammanställning av en lång matematisk tradition, och ingenstans skriver Aryabhata uttryckligen att matematiken han presenterar var hans egen upptäckt. Satserna som presenteras varken förklaras, härleds eller exemplifieras. Men med tanke på eftermälet förefaller det trots det otroligt att han inte skulle ha bidragit med åtminstone en del av innehållet själv.

Vers 10: "100 plus 4, gånger 8 och adderat till 62 000; det är den nästan approximativa omkretsen hos en cirkel vars radie är 20 000." Därmed har Aryabhata givit sin tids kanske bästa approximation till π, som 3,1416. Det omständliga sättet att skriva är ett kännetecken för Aryabhatiya, men versmåttet gjorde texten lätt att lära sig utantill - såtillvida man kan sanskrit, vill säga.

Det Kusumapura som Aryabhata verkade i var en lärdomsstad i snabb tillväxt. Ett liknande lärocentrum grundades vid samma tid i Ujjain, och tillsammans kom de att utgöra epicentra för guldålderns vetenskapliga utveckling, som överlevde guptariket. Kanske på grund av de ökade kommunikationsmöjligheterna vetenskapsmännen och matematikerna emellan, eller tack vare att de få handskrivna böcker som kunde produceras fick en vidare läsekrets utvecklades den indiska matematiken snabbare än någonsin. Även översättningar av grekiska verk tillfördes biblioteken. Inte minst trigonometrin gjorde stora framsteg, men den kanske viktigaste följden blev en revolution inom siffersystemet. Även om de brahminska siffrorna redan hade gamla anor, var de bara ett system ibland många - dessutom fanns de i en uppsjö av varianter.

I Aryabhatiya använde sig Aryabhata inte av brahminska siffror, men hade likväl ett positionssystem och ett sådant fungerar inte utan en nolla. Som platshållare i större tal hade nollan länge använts - enligt vissa redan från århundradena innan Kristi födelse, men den som först iakttog konceptet noll, d.v.s. nollan som en egen siffra, inte bara ett avstånd mellan, låt säga, ental och hundratal, var en matematiker vid namn Brahmagupta.

Till skillnad från Kusumapura har matematikern Brahmaguptas hemstad, Ujjain, behållit sitt namn till våra dagar. Staden, som ligger vid floden Shipra, är fortfarande känd för sina universitet. Foto: Bernard Gagnon

Brahmagupta, som lär ha fötts år 598 e.Kr., utmärker sig i den indiska matematiken på många sätt. Han tillhörde inte det brahminska kastet, men erkändes ändå och var under ett långt tag ledare för lärocentrumet i Ujjain. Han är troligen också den enda antika indiska matematiker vars namn än idag utmärker både en sats och en matematisk identitet, vilka han lade fram i sitt verk Brahmasphutasiddharta. Till stilen påminner verket mycket om Aryabhatiya, och är helt författat på vers.

Brahmagupta har blivit berömd för sin sats som säger att sträckan AF är lika med FD ifall fyrkantens diagonaler skär varandra i en rät vinkel.

Till innehåller visar däremot Brahmaguptas matematik en tydlig hellenistisk influens. Efter Alexander den stores härnadståg uppstod en livskraftig grekisk kultur i den indiska halvöns nordvästra hörn, det antikens folk kände som Baktrien eller ungefär dagens Afghanistan och Pakistan. Med tiden integrerades den grekiska kulturen i den indiska, och under loppet av guptaperioden den grekiska matematikens skrifter de indiska biblioteken. Även om Brahmaguptas stil och matematik är tydligt tillhörig den indiska matematiska traditionen, har många av Brahmaguptas metoder sin grund i den grekiska matematiken, och många av hans satser är vidareutvecklingar av grekiska förlagor.

Kanske mest kännetecknande för den grekiska influensen på Brahmagupta är hans intresse för pytagoreiska tripletter, d.v.s. tre heltalslängder som tillsammans bildar en rätvinklig triangel, som exempelvis 3, 4 och 5. Efter att skrifter innehållande Pythagoras matematik förts med Alexander den store till Indien översattes de till sanskrit. Med utgångspunkt i dem generaliserade Brahmagupta teorierna och utvecklade en metod för att bestämma alla pytagoreiska tripletter. Den kunskapen kunde han använda, och skapade med hjälp av Euklides algoritm (som i den här tidens Indien talande nog betecknades kuttak, vilket ungefär betyder kvarnen eller pulverisatorn, eftersom den bryter sönder talen till deras beståndsdelar) en generell sorts lösning till en viss typ av diofantisk ekvation, d.v.s. en ekvation där man endast söker heltalslösningar. Nog var Brahmagupta en man med ett levande arv från antikens Grekland och såg långt för att han, i likhet med de greker vars verk han läste och i likhet med alla andra vetenskapsmän och matematiker, stod på giganters axlar.

Men den viktigaste av Brahmaguptas framsteg var något som grekerna motsatte sig och som inte skulle vinna spridning i västerlandet förrän renässansen. Talet noll, att inte bara använda symbolen noll som platshållare i tal skrivna med positionssystem, utan själva uppfattningen om ett tecken för att beteckna intigheten, tomheten, är en mycket unik tanke i den matematiska historien. Vissa hävdar till och med att den bara uppstod en enda gång - i Indien.

Sunya, som betyder inget eller tomhet på sanskrit, är ett buddhistiskt koncept, som i 600-talets Indien omvandlades till sant banbrytande matematik. Foto: Sukanto Debnath

Att utnämna Brahmagupta till talet nolls uppfinnare vore kanske en smula förhastat, men han är den som slutligen kom att sätta upptäckten på pränt. I Brahmasphutasiddharta ger han följande arton regler hur man skall räkna de fyra talesätten med noll och positiva och negativa tal:

1. Summan av två positiva tal är positiv.
2. Summan av två negativa tal är negativ.
3. Summan av noll och ett negativt tal är negativ.
4. Summan av noll och ett positivt tal är positiv.
5. Summan av noll och noll är noll.
6. Summan av ett positivt och ett negativt tal är skillnaden mellan dem; eller, ifall de är lika, noll.
7. Vid subtraktion dras det mindre från det större, positivt tal från positivt tal.
8. Vid subtraktion dras det mindre från det större, negativt tal från negativt tal.
9. Men när det större skall dras från det mindre är skillnaden omvänd.
10. När positivt skall dras från negativt, och negativt från positivt, skall de adderas ihop.
11. Produkten av en negativ kvantitet och en positiv kvantitet är negativ.
12. Produkten av två negativa kvantiteter är positiv.
13. Produkten av två positiva kvantiteter är positiv.
14. Positivt tal delat på positivt tal eller negativt delat på negativt är positivt.
15. Positivt delat på negativt är negativt. Negativt delat på positivt är negativt.
16. Ett positivt eller negativt tal delat på noll är ett bråktal med noll som nämnare.
17. Noll delat på ett negativt eller positivt tal är antingen noll eller uttryckt som ett bråk med noll som täljare och det ändliga talet som nämnare.
18. Noll delat på noll är noll.

Långlivade har Brahmaguptas 18 regler varit, det är det minsta man kan säga. Med undantag för den sista är de idag precis lika giltiga som den dag för snart ett och ett halvt årtusende sedan då de för första gången sattes i skrift. Att den sista inte visat sig lika hållbar som de andra är kanske ett mindre problem i det perspektivet.

Brahmaguptas sätt att ansträngningslöst gå från att generalisera kring de positiva talen till de negativa antyder ett abstrakt sätt att se talen. De är inte längre antal eller areor, utan siffror med en abstrakt innebörd. På så sätt kan man säga att de indiska matematikerna inte bara utvecklade siffrornas form, utan uppfann själva konceptet siffra. Detta minst sagt gigantiska språng framåt blir otvetydigt när Brahmagupta blandar in noll, och vad noll delat på noll är. Utan ett sådant abstrakt synsätt vore den frågan fullkomligt meningslös. Sedd på det viset blir den artonde regeln inte längre den felaktiga västgötaklimaxen utan den viktigaste regeln som får avsluta ett matematikens banbrytande manifest; att vår tid råkar ha en avvikande åsikt i själva sakfrågan är ju en mindre sak.

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget, och här finner du den tredje och avslutande delen.

Del 1: Matematikens födelse i kontrasternas land

Rick Stein, som gjort flera mat- och kulturprogram om Indien för engelska BBC, konstaterar att hur mycket man än vill undvika att säga vad alla andra redan har sagt, finns inget sätt att undvika att Indien faktiskt är kontrasternas land. Det gäller den indiska matematiken också, där konkret geometri samsas med abstrakta oändligheter och matematikerna varierar mellan anrika ätter och asketer. På bilden syns Haji Ali Dargah-moskén, en legendomsusad grav och moské på en ö strax utanför Bombay. Foto: Humayunn Peerzaada, CC-BY-SA 3.0

Det är alltid svårt att veta vad de tidigaste civilisationerna tänkte kring matematik. Sällan har några skrifter bevarats, och ännu mer sällan på ett språk som (oftast västerländska) historiker kunnat tyda. På grund av bristen på skriftliga källor är dagens kunskap om dåtidens matematik ofta mycket rudimentär - vad vi känner till är bara det som går att mäta eller ana i landskapet och artefakterna - och oftast vet vi därför mest om deras kunskaper i geometri.

De äldsta fynden av matematisk verksamhet på den indiska halvön stammar från Induscivilisationen, som fram till 1700 f.Kr. blomstrade längsmed floden Indus stränder i dagens Pakistan. Mätningar gjorda på tegelstenar från den antika fyndplatsen Mohenjo-daro, en gång en av Induscivilisationens största städer, visar att invånarna där måste ha använt sig av en sorts linjal: Alla stenarnas längd är jämna multipler av en enhet på ca 3,4 cm - kanske en forntida kunglig tumme? Eftersom Mohenjo-daro var en av de största centralorterna, i en av dåtidens mest framgångsrika civilisationer, torde de tekniker som användes där utgöra spetsen i den tidens teknikutveckling, med de mest påkostade byggena, den högsta kvalitén, och den trendsättande motorn i spridningen av kulturell och teknologisk utveckling.

Mohenjo-daro kännetecknas av ett rätlinjigt gatunät, där såväl strukturer som tegelstenar följer jämna längdenheter - ett tidigt exempel på hur matematiken användes. Staden var en gång en av de viktigaste i området, och av vissa ses den idag som en av Sydasiens viktigaste fornlämningar. Nu möter dock en ny uppsättning hot: Den framstående pakistanska arkeologen Dr Asma Ibrahim menar att grundvattnets ökade salthalt och ovarsamt konserveringsarbete, tillsammans med svag ekonomi och omfattande säkerhetsproblem, kan komma att ha omintetgjort ruinerna inom tjugo år.

Våra viktigaste matematiska arv från Induscivilisationen, och det arv som fortfarande lever närmast oss, är tiobassystemet. Basen tio var det vanliga i Mohenjo-daro: Om man multiplicerar tummen med tio, får man ett mått på ca 34 cm - kanske en förhistorisk fot - och också ett mått som användes flitigt i byggen. Med andra ord föredrog de som byggde att använda jämna tiomultipler; tio tum blev en fot. Vid utgrävningar i Harappa, en annan stor förhistorisk stad i Indusdalen, upptäckte arkeologerna till och med bevarade linjaler och därtill viktmått, skapade enligt samma tiobassystem och som säkerligen använts i byggen i staden. I Harappa hittade man även en bronsstav, med ett mått på drygt nio millimeter. Hundra sådana blir nämligen ett steg, som också var ett vanligt mått ibland ruinerna.

Men Harappa- och Mohenjo-daro-bornas matematik gick säkerligen långt utöver den relativt rudimentära geometri som har gjort dem berömda, men deras muntliga tradition har inte motstått tidens tand. Först efter den litterära traditionens utbredning i samband med den indo-ariska invasionen började de matematiska tankegångarna att nedtecknas. Förändringarna i det indiska samhället var långtgående. Den vediska perioden, som tiden mellan 1700 och 500 f.Kr. brukar kallas, såg uppkomsten av stabilare kungadömen, med kulturella intressen, följt av sanskrits spridning och skrivkonstens utbredning. Som en del av samhällsförändringarna uppträdde även kastsystemet. Förvaltandet och kodifieringen av religionen samlades inom det brahminska kastet, som nedtecknade de vediska skrifterna, som utgör grunden inom hinduismen, men också innehåller poetiska antydningar om att intresset för geometri levde kvar. Eftersom matematiken räknades som ett av religionens uttryck, var även denna en brahminsk angelägenhet, och det var de som utvecklade den första generationen av vad vi idag kallar våra siffror.

Står här något om matematik? Det vet vi inte, för trots att det snart har gått hundra år sedan Harappa och Mohenjo-daro upptäcktes, förblir deras skrift ett mysterium. Tecknen verkar nästintill uteslutande ha använts på stämplar, och vissa forskare tvivlar på om de verkligen motsvarar ett språk. Istället skulle de kunna representera familjer, klaner, platser eller tillverkare. Oavsett gör texternas korthet det otroligt att de skulle beröra abstrakta ämnen som matematik, och även om Induscivilisationen hade ett skriftspråk, kan man knappast tala om en litterär tradition.

Den bild som framträder av den tidiga indiska matematik är starkt religiöst präglad, och bevarade inte minst arvet från den förskriftliga tidens recitationstekniker i de karaktäristiska mantrana. I synnerhet talteorin förknippades med det gudomliga, och denna den vediska matematiken har blivit berömd för sina utförliga namn på ohemult höga tal. Men även det geometriska arvet från Induscivilisationens dagar kom till utlopp i de vediska skrifterna. I en rad tillägg till de religiösa Rigveda-texterna, beskriver dåtidens matematiska auktoriteter hur matematiken skulle tillämpas vid religiösa byggen. Dessa tillägg går under namnet Sulba Sutras, och kan sägas karaktärisera den vediska matematiken som inriktad på och underordnad religionen. Därmed inte sagt att den vediska matematiken inte såg flera kunniga matematiker och banbrytande upptäckter - även under denna period fanns många verksamma och framgångsrika matematiker i det vediska Indien.

Till skillnad från senare matematiker under den indiska matematikens guldålder, som samlades i skolor kring framstående centralgestalter, fördes den vediska matematiken vidare inom ätter, från far till son. Dessa ätter sysslade med både astrologi och matematik, eftersom dessa under den vediska tiden hängde tätt samman. Men eftersom astrologin var en viktig del av religionen, var det mot slutet av den vediska perioden inte lätt att framföra nya tolkningar, eftersom dessa oundvikligen skulle strida mot något inom religionen. Istället fick matematiken större utrymme, eftersom det där var lättare att vara nyskapande: En ny matematisk teori kunde alltid accepteras, så länge den inte direkt motsade något inom astrologin.

De brahminska siffrorna stammar från den vediska perioden och är den första kända versionen av de indo-arabiska siffror vi använder idag. Huruvida de ursprungligen härstammar från Indusfolken eller från någon annan kultur och ifall de redan från början var siffertecken eller utvecklades ur förkortningar är höljt i historiens dimma.

[T]here can be no doubt that our decimal place-value system was born in India and was the product of Indian civilization alone."

- Georges Ifrah

Mot slutet av den vediska perioden började två andra religioner att växa: jainismen och buddhismen. Båda var väsentligt mer abstrakta, vilket erbjöd matematikerna både större frihet och nya områden. Medan buddhismen grundades vid denna tid, hade jainismen redan då gamla anor och en välutvecklad matematisk tradition. I likhet med hinduismen fanns inom jainismen ett intresse för höga tal, exempelvis delades tiden upp i perioder om 2⁵⁸⁸ år. Man drog dock en skiljelinje mellan det stora och det oändliga: Universum, exempelvis, saknade både början och slut. Men att räkna på oändligheter är både svårt och abstrakt, och i våra ögon förefaller den jainistiska indelningen i "oändligt i en riktning, oändligt i två riktningar, oändligt i area, allestädes oändligt och evigt oändligt" något ovetenskaplig. Intresset för det ändlösa gjorde ändå att de teorier de jainistiska matematikerna utvecklade inte skulle komma att överträffas förrän med den tyske matematikern Georg Cantor kring det förra sekelskiftet.

Jainismen är en av Indiens allra äldsta religioner och finns idag spridd över hela Sydostasien. I slutet av den vediska perioden, ca 500 f.Kr., började den ortodoxa hinduismen att ifrågasättas och religioner som jainismen och buddhismen blomstrade. Följde gjorde bland annat en stark matematisk utveckling. Här ses ett jainistiskt konstverk från 1900-talets Rajastan, som illustrerar en av religionens centrala principer: Att det inte finns någon fullständig sanning, utan att allting kan ses på olika sätt.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om matematikens historia på den indiska halvön. Här hittar du den andra delen.

Triangulering – nu och då

Triangulering är ett av de mest finurliga sätten att mäta avstånd exakt. Metoden gör bruk av ett antal enkla geometriska påståenden, en liten dos trigonometri och så – om man vill mäta ett helt land, vill säga – en rejäl omgång äventyrliga resor. Grekerna använde trianguleringens teknik, om än inte namnet, för att mäta avståndet till skepp ute till havs, och tekniken återfinns i kinesiska matematikböcker från 200-talet e.Kr. Under 1600-talet upptäcktes dess förtjänster av europeiska matematiker, och under 17-, 18- och 1900-talen spann så trianguleringen sitt nät över hela jordklotet.

Men låt oss först fråga: Hur går en triangulering till? Vi tar ett exempel. Säg att vi börjar på en liten kulle, som vi kallar A, med utsikt över havet och över byn som ligger invid kullens fot. Från toppen av kullen kan vi se byns kyrka, som vi kallar B, och en fyr, C, på en liten kobbe nära kusten. Hur långt bort ligger egentligen fyren?

Vi börjar med att mäta vinkeln mellan fyren och kyrktornet, och finner att den är 60 grader. Därefter mäter vi, så exakt som möjligt, sträckan bort till kyrktornet, som är 100 meter. Eftersom prästen i kyrkan är mycket vänlig, låter hon oss klättra upp i kyrktornet, varifrån vi mäter vinkeln mellan kullen och fyren. Vinkeln är 80 grader. Därmed vet vi att vinkeln sedd från fyren är 40 grader. Utan att behöva ta oss ut till fyren, kan vi nu bestämma avståndet mellan kullen och fyren med hjälp av sinussatsen, som ger oss ett svar på ungefär 153 meter:

Genom att bygga på med triangel efter triangel kan vi alltså mäta upp vilka avstånd som helst, så länge vi har en exakt uppmätt sträcka att utgå ifrån. Den här insikten, den om att trianglar kan vara av stor nytta – ja, nästan oumbärliga – vid mätning av sträcka, var något kom tidigt i matematikens utveckling. Såväl i antikens Grekland som i det tidiga Kina, liksom säkerligen på många andra platser på jordklotet, använde sig matematiker av trianglar för att bestämma avstånd. I den havsomgärdade grekiska övärlden, där också anfall från sjöss under långa perioder snarast verkar ha tillhört det normala, åtminstone om man få tro de episka sagoberättelserna, var det säkerligen av största vikt att från kusten kunna uppskatta avståndet ut till ett annalkande skepp. De grekiska matematikerna använde en speciell trigonometrisk funktion, den s.k. kordan, som vi idag sällan ser, som enkelt och lätt gav de rätta förhållandena mellan vinklarna och avstånden. På sätt och vis kan kordafunktionen räknas som anmoder till våra dagars uppsättning av trigonometriska funktioner. (Mer om korda-funktionen kan du läsa i det här inlägget.)

Den här fullspäckade illustrationen av en trianguleringsliknande matematisk operation stammar från en 1700-talsutgåva av Liu Huis klassiska matematikbok från 200-talet e.Kr. Liu Hui var verksam under den tid som kallas de tre kungadömenas period, en tid av krig och oroligheter, men också av legender, historier och dramatiska sagor.

Dessa tidiga matematiker skulle säkerligen inte ha beskrivit sin metod som ”triangulering”, utan snarare som ett behändigt sätt att använda sig av triangelns matematiska egenskaper. Som specifik teknik kom trianguleringen inte i vitt spritt bruk förrän på 1600-talet. Den första trianguleringen av en större landmassa genomfördes 1615 av Willebrord Snell, som konstruerade 33 trianglar på den elva mil långa sträckan mellan Alkmaar och Bergen op Zoom i Nederländerna.

Sitt stora kändisskap skulle trianguleringen dock få först i och med den franska revolutionen. Starkt präglad av upplysningstidens ideal skulle den nya franska republiken förses med rationella och funktionella måttenheter, som skulle vara frikopplade från tidigare epokers vidskeplighet, regionala variationer och aristokratiska förtryck. Den nya måttenheten, som kallades metern, skulle ligga till grund för alla rymdmått och skulle härledas från Jordens egna proportioner – eller åtminstone Frankrikes. Bara något år efter att revolutionen först tagit fart skickades Jean Baptiste Delambre och Pierre Mechain ut för att mäta avståndet mellan Dunkirk i norr och Barcelona i syd samt beräkna den nya måttenhetens sanna storlek. (Deras resor och vedermödor, liksom i övrigt denna spännande och omvälvande tid såväl matematiskt som politiskt och historiskt, kan du läsa mer om i det här inlägget.)

Mycket av Delambres och Mechains framgångar berodde på att de hade med sig ett nytt instrument, som uppfunnits av den franske matematikern, vetenskapsmannen och teknikern Jean-Charles de Borda. Med hjälp av Bordacirkeln kunde trianguleringen genomföras både enklare och med större precision. Trots det tog det hela sex år att triangulera enbart från nord till syd – även med ständigt förbättrad teknik skulle trianguleringen av hela nationen ta lång tid att genomföra.

Även om revolutionens ideal – frihet, jämlikhet och broderskap – av förklarliga skäl aldrig vann någon större uppskattning bland den övriga europeiska eliten, spred sig trianguleringen över hela kontinenten. Under loppet av 1800-talet mättes fler och fler europeiska länder upp; att exakt kunna definiera vad som låg utanför, men framförallt inom, nationens gränser kom att bli en avgörande del i övergången från löst sammanhållna furstendömen till moderna nationalstater. Och än mer var de exakta avstånden oundgängliga för 1800-talets stora infrastrukturprojekt: telegrafledningarna, järnvägen och vägarna.

Det här trianguleringsnätet över Rheinland-Hessen i sydvästra Tyskland stammar från 1900-talets tidigaste år, och utgör ett perfekt exempel på hur triangel efter triangel kunde fogades samman till en exaktare karta.

De imperiebyggande britterna hade inte bara de brittiska öarna att mäta upp utan även sina kolonier, som på imperiets höjdpunkt tillsammans täckte en fjärdedel av Jordens landmassa. Trianguleringen av den indiska halvön skulle komma att bli en lång och mödosam process: Många drabbades av smittsamma sjukdomar, vägarna var oftast svårframkomliga och inte sällan tillgängliga enbart under några få månader per år. Men de rundresande engelsmännen upptäckte också helt nya, för västvärlden okända platser. Bland Himalayas toppar upptäckte man ett flertal nya bergstoppar, som var högre än alla tidigare kartlagda berg. Den högsta av de nya bergstopparna utropades därefter, försiktigt nog, till världens troligtvis högsta berg. Dessvärre hade det redan så många olika namn bland den lokala befolkningen, att engelsmännen till en början inte visste riktigt vad de skulle kalla bergstoppen. Därför fann de sig tvungna att tillföra ytterligare ett namn och trianguleringsorganisationens ledare, Andrew Waugh, beslöt att döpa den nya toppen efter sin företrädare, George Everest.

Mount Everest, som berget fick heta (mot George Everests vilja), mättes upp till exakt 29 000 fot, eller ungefär 8 840 meter. Det, bestämde man sig kvick för, gick inte för sig, eftersom alla då skulle tro att man i all hast gissat sig till ett ungefärligt, fint avrundat värde. Av den anledningen bestämde sig Waugh för att helt enkelt lägga till två fot på måttet, varefter världen fick veta att världens högsta berg, det nyupptäckta Mount Everest, var 29 002 fot högt. Men när hela historien kom ut fanns så klart den där kvicktänkte människan, som kunde konstatera att Waugh blev den förste som satte två fot på Mount Everests topp. I efterhand har Waugh dock fått åtminstone delvis rätt – den senaste angivelsen är 8 848 meter.

Mount Everests topp, som här visar sig mäktig i kvällssolen, upptäcktes under en trianguleringsexpedition och döptes efter dess (smått ovillige) före detta ledare, som väl att märka uttalade sitt namn med ett långt första E. På Darjeeling-dialekten, tibetanska och nepalesiska bär berget namnen Deodungha, Chomolungma och Sagarmāthā. Foto: Ralf Keyser, CC-BY-SA 2.0

Triangulering är en lång och mödosam process – ja, ibland kunde den rent av vara farlig. Sedan 1980-talet har trianguleringen i stort ersatts, först av geopositioneringssystem, GPS, och sedermera även av högupplösta satellitfotografier. Så på vår planet används triangulering inte så mycket längre – men väl i rymden. Liksom grekerna ursprungligen med trianglars hjälp kunde bestämma avståndet till ett skepp ute till havs, använder dagens astronomer trianguleringens tekniker för att bestämma avståndet till avlägsna stjärnor och himlakroppar.