Jalusimetoden, den ryske bondens algoritm och andra historiska finurligheter

Elementära beräkningar har alltsedan jordbrukets uppkomst, och säkerligen redan tidigare, varit en viktig del av människors vardag. Forskning visar att den mänskliga hjärnan föds med förmågan att räkna till tre, men att alla beräkningar med högre tal måste läras in medvetet. Då är det inte så märkligt att människor i alla tider visat stor uppfinningsrikedom vad gäller finurliga beräkningsmetoder, för att lätt och smidigt kunna genomföra nödvändiga beräkningar.

Till vår hjälp har vi fått våra tio fingrar och i vissa kulturer har man även använt tår och andra kroppsdelar. De hjälper oss bra med att genomföra enkel addition, men i många fall behövs mer än så. Steget från additionens relativt enkla sammanslagning av två tal till multiplikationens långt mycket mer abstrakta tankegångar har i många fall varit ett stort steg att överbrygga. Det är något som inte minst märks i småskolans tragglande av multiplikationstabeller.

Vilka är då våra förfäders knep för att plocka ned svåra multiplikationer till mer greppbara additioner? Ett av de allra äldsta svaren på den frågan kommer från antikens Egypten, där man använde sig av en snillrik metod.

Den egyptiska metoden för multiplikation har bevarats till oss tack vare att den nedtecknades i den numera berömda Rhindpapyrusen. Papyrusen, som stammar från 1600-talet f.Kr., är det kanske bästa bevarade exemplet på fornegyptisk matematik.

Den egyptiska metoden utgår från en tabell för tvåpotenser, d.v.s. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 och så vidare. Man har hittat spår av den här tabellen i egyptiska skrifter, så vi vet att egyptierna kände till den även om de inte hade samma begrepp för den som vi. Den stora fördelen med den egyptiska metoden är att alla multiplikationer kan förenklas till addition och dubblering, operationer som är både enkla och snabba. Av den anledningen har den kommit till användning i bland annat datorprogrammering. Datorer, som använder sig av binär räkning, har ju dessutom redan delat upp talen i tvåpotenser. Nedan visas hur man kan använda den egyptiska multiplikationen för att beräkna 15 gånger 654 (vilket för övrigt blir 9 810).

Utifrån en tabell med tvåpotenser kan man enkelt multiplicera hur stora tal som helst, något som egyptierna var tidiga med att upptäcka. För den som är intresserad av mer egyptisk matematik rekommenderas David Reimers bok Count Like an Egyptian, där han på ett lättillgängligt sätt presenterar de egyptiska beräkningsmetoderna. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En liknande metod användes under 1900-talet av medlemmar av den ryska handelsflottan - metoden har kanske något missvisande blivit känd som den ryske bondens algoritm. Vissa spekulerar till och med i att den ryska bondens algoritm skulle vara släkt med den fornegyptiska metoden. Det är dessvärre ganska så svårt att avgöra, eftersom användningen av den ryska bondens algoritm går tillbaka i historiens dimma med åtminstone ett par århundraden.

Metoden går till som så att de två talen som skall multipliceras skrivs i två kolumner, precis som i den egyptiska metoden. Talet i den vänstra kolumnen halveras tills det når 1 (och man avrundar i varje led nedåt). Den högra kolumnen dubbleras lika många gånger. Därefter stryks alla rader i tabellen där den vänstra kolumnen består av jämna tal. Sedan kan de icke strukna talen i den högra kolumnen summeras, vilket ger oss vårt svar.

Den kinesiska metoden för multiplikation har nedtecknats av filosofen och generalen Sun Zi, som är mest känd för sin militärstrategiska bok Krigskonsten. Hans levnadstid är omtvistad - traditionella källor placerar hans levnad på 400-talet f.Kr., medan vissa moderna historiker istället daterar honom ända fram till 400-talet e.Kr. Hursomhelst har han alltsedan sin levnad spelat en stor roll i den kinesiska kulturen, både som militärstrateg och som författare.

En tredje finurlig metod finner vi hos den kinesiske författaren Sun Zi. Den kinesiska metoden har vissa likheter med en modern multiplikationsuppställning. Det hela börjar med ett rutnät. Det ena talet skrivs överst, sedan lämnas en rad tom och det andra talet skrivs på den tredje raden med sin entalssiffra rakt under det första talets mest vänstra (d.v.s. "största") siffra. Den första siffran multipliceras med talet underst, som sedan flyttas ett steg till vänster. Operationen fortsätter för varje siffra i det övre talet. Här nedan kan du se hur 15 gånger 654 beräknas med den kinesiska metoden.

Den kinesiska multiplikationen genomför i ett rutnät, men liknar annars den uppställning vi använder idag. Metoden går ut på att varje siffra i det övre talet multipliceras med det undre talet. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

En tredje metod för multiplikation är den så kallade jalusimetoden, som utvecklades av hinduiska matematiker i Indien och kom till Europa med Fibonaccis verk Liber Abaci, som utgavs vid mitten av 1200-talet. I Italien fick den sitt nuvarande namn, eftersom man tyckte att mönstret den liknade de jalusier som adelsfamiljerna satte för sina fönster för att hindra att kvinnorna skulle kunna ses från utsidan. Jalusimetoden förblev populär genom hela medeltiden, innan den slutligen föll ur bruk med boktryckarkonsten.

För att genomföra en multiplikation med jalusimetoden ritar man först ett rutnät med lika många rader som antalet siffror i det ena talet och lika många kolumner som i det andra. Därefter drar man diagonala streck från övre högra hörnet, så att alla rutor delas i två delar.

Av de metoder som jag beskrivit ovan tyckte jag att jalusimetoden var den enklaste. Eftersom den utvecklades just för vårt talsystems föregångare, de indiska siffrorna, kan den till skillnad från de egyptiska och kinesiska metoderna dra nytta av positionssystemets fördelar. På den här sidan kan du läsa mer om jalusimetodens historia. Grafik: Matematikens historia (mattehist.blogspot.se), CC-BY-SA 3.0

Utöver att den är en fascinerande metod i sig själv, är jalusimetoden intressant på två sätt. Dels visar den djupet av de hinduiska matematikernas förståelse av talens grundläggande egenskaper, men dels också hur långlivad en god matematisk idé kan vara. Med hjälp av handels- och upptäcktsresande spreds den över världen - från Indien till Kina, till Mellanöstern och därifrån till Europa och slutligen även Amerika.

Några andra multiplikationsmetoder kan du hitta här.

Tio siffror i nästan två tusen år

Ett träsnitt från 1508 visar konkurrensen mellan det nya och det gamla sättet att räkna. De praktiskt placerade namnskyltarna anger karaktärerna som Boethius till vänster och Pythagoras till höger; trots att Boethius som dog på femhundratalet e.Kr. troligtvis aldrig ens hörde talas om indiernas nydanande symboler.

Medeltidens européer kände bara till ett talsystem, det romerska. Problemet var att det begränsades av att ha utformats efter vad som en gång hade varit romarnas matematiska behov och saknade enkla sätt att skriva noll, negativa tecken och bråktal. Potenser och exponenter, liksom plus- och minustecken fick skrivas med bokstäver, och matematiska beräkningar och bevis såg följaktligen mer ut som romaner än som vetenskap.

Medeltidens lärde hade förgäves försökt åtgärda det problemet, men resultatet blev en översvämning av tecken och förkortningar med vilka det romerska talsystemet skulle utvidgas och snart förstod ingen någonting alls. Inte nog med att de var många, utan förkortningarna var ofta långt ifrån entydiga: A kunde likaväl betyda fem som femhundra, K etthundrafemtioett likaväl som tvåhundrafemtio. Vissa matematiker hade försökt sig på att räkna med noll – och därför stod N för nulla, men N användes redan för nittio, från latinets nonaginta. Inte undra på att bankirerna fortfarande räknade på abakus – enkelt och otvetydigt, kan tänkas, men dessvärre även långsamt och allt mer omständligt. Ekonomin växte, handelskonstruktionerna blev mer komplexa och fler finansiella instrument tillkom under renässansen. Bara i sig innebar den ökade handeln inom ett Europa med lika många mynt- och måttsystem som städer och landsdelar stora mängder komplicerade beräkningar med många decimaler och restposter.

Svaret på Europas problem låg i Orienten. Med bättre kommunikationer och ökad efterfrågan efter österns lyxvaror bland Europas rika, kom de europeiska köpmännen i kontakt med de arabiska, och även med deras sätt att föra räkenskaper.

Renässansens Italien hade täta kontakter med Orienten - handeln över Medelhavet var en av de viktiga motorerna i Europas ekonomi, och kulturutbytet stod inte långt efter. Tillsammans med guld och siden kom från Orienten även ny matematik, vetenskap och kunskap. Även kyrkan ville gärna vara med, den här målningen av Gentile Bellini visar den antike evangelisten Markus predikande för en samling handelsmän från både öst och väst, glatt konverserande.

Bakom revolutionen låg sonen till en italiensk tulltjänsteman i Bugia, eller Béijaïa i nuvarande Algeriet. Hans namn var Leonardo Pisano Bigollo, men mer känd har han blivit under namnet Fibonacci. Från de arabiska köpmän som hans far arbetade med fick den unge Fibonacci lära känna en helt ny värld av matematik – matematik som var mycket bättre lämpad för att räkna på vinster, förluster, kostnader och räntor. Men det här var matematik som baserade sig på ett helt annat talsystem, ett där man använde tio helt nya siffror, 0 till 9, och där siffrorna dessutom fick helt olika betydelser beroende på hur de stod i relation till varandra.

Foulkaporten i Béjaïas stadsmur, staden där Fibonacci växte upp och lärde känna de arabiska handelsmännens matematik.

Medan Europa fortfarande räknade med I, V, X, L, C, D och M, och hela den djungel av ytterligare bokstäver som medeltidens matematiker lagt därtill, utvecklade Fibonacci ett helt nytt sätt att räkna. Han blev stormförtjust och skrev i sin bok Liber Abaci att till och med den store Pythagoras matematik framstod som ett misstag i jämförelse med indiernas sätt att räkna. I sin bok använde han därför det nya systemet och med en rad exempel, kanske mest intressant vikt- och måttomräkning, ränteberäkningar och valutaväxling, visade han hur lätthanterligt och smidigt det var.

Fibonaccis bok togs väl emot av Europas vetenskapsmän och bankirer, men det fanns en grupp som inte riktigt delade de andras fascination. Det nya talsystemet hade nämligen ett stort fel:
När bankirerna gjorde alla sina beräkningar på abakus kunde man som kund se på och till och med förstå vad bankirerna gjorde. Den kund som såg att bankiren fuskade, kunde se till att få banken i bankrutt – rent bokstavligt, för en ohederlig bankir kunde få sitt bord sönderslaget, på latin banca rupta. Nu, med de nya siffrorna, satt bankirerna och ritade rader av små krumelurer på ett papper, figurer som ingen tidigare ens hade sett, och än mindre kunde förstå. Återigen visar språket historiens spår – det är inte någon slump att orden siffra och chiffer är så lika, för de kommer nämligen från samma ord, arabiskans al-sifr, från samma tid, senmedeltiden, och från samma strid, de som var för och de som var emot det nya systemet.

Både de som tvivlade och de som entusiastiskt omfamnade det nya systemets möjligheter hade helt rätt. Medan det nya systemet öppnade för mer handel, snabbare transaktioner och slutligen även bättre levnadsstandard, innebar det också mer pengar åt bankirerna, som inte var sena att omvandla dem till makt. En hel rad av Europas namnkunniga adels- och kungaätter gjorde sin entré under den här tiden: Mest berömd av dem alla kanske just Medicifamiljen, men även familjen Grimaldi, som idag fortfarande regerar i Monaco, och många fler hade senmedeltidens och renässansens samhällsomvälvande matematik att tacka för sin makt.

Huset Medici blev rikt och mäktigt genom den ökade handeln i Italien under medeltidens slut som också slutligen gjorde det romerska talsystemet för kraftlöst för den nya tidens ekonomiska och vetenskapliga beräkningar. Här är portalen som en gång satt på en av Medicifamiljens banker, numera på muséet för antik konst i Milano. Foto: Stefano Stabile.

Men redan på tolvhundratalet hade de indisk-arabiska siffrorna en lång historia, och varken Fibonacci eller de arabiska handelsmännen visste troligtvis varifrån de kom. Idag tror vi oss faktiskt veta, för svaret ligger gömt i en text skriven på björknäver med anor från trehundratalets Indien. Idag kallas den texten för Bakhshalimanuskriptet, och den återupptäcktes först under sommaren 1881 i närheten av en by med samma namn i dagens Pakistan. Manuskriptet är en kopia från någonstans omkring 800- eller 900-talet av ett ännu äldre manuskript – kanske så gammalt som från etthundratalet före Kristi födelse, men de flesta forskare brukar datera det till omkring just 300-talet e.Kr.

Vad man upptäckte när man började läsa texten var i huvudsak en handbok i algebra och aritmetik. Utöver att manuskriptets stil är förvånansvärt rättfram och ordnad, med vissa delar skrivna i prosa och med tydliga teser och exempel till skillnad från senare antik indisk matematik, så anses Bakhshalimanuskriptet ofta vara det första exemplet på användning av siffran 0 i den form den senare skulle komma till vår sida av världen. (Siffran noll i sig hade dock funnits i andra versioner långt tidigare, inte minst berömt är att den orsakade pytagoréerna mycket huvudbry.)

De indoarabiska siffrorna i vardande, på det sätt de skrevs i det mellan ett och två tusen år gamla Bakhshalimanuskriptet. Redan kan en europé känna igen några av tecknen.

De indiska matematikerna använde siffran noll och ansamlade med dess och de övriga nio siffrornas hjälp en ansenlig kunskap på astronomins område. Troligtvis var det de indiska matematikernas skicklighet inom astronomin som inspirerade den nestorianske biskopen Severus Sebokht – som år 662 omnämnde de indiska siffrorna – till hans jakt på ett effektivt sätt att beräkna påskens datum.

Vi vet egentligen inget om hur spridda de indiska siffrorna var vid det här laget, men enligt en historia som medeltidskrönikören Ibn al-Qifti har att berätta, så kom det år 776 en indisk matematiker till den abbasidiske kalifen al-Mansurs hov i Bagdad. Den indiske matematikern visade kalifen hur lätt man kunde beräkna halvkordan (en variant av sinusfunktionen) med hjälp av de nya siffror, som han fört med sig från Indien. Kalifen blev så förtjust att han beställde en översättning av den indiska boken till arabiska, så att hans undersåtar kunde lära sig det kraftfulla verktyg han själv just hade fått ta del av. Under elvahundratalet kom den arabiska översättningen i händerna på en ung och nyfiken italienare – just det, Fibonacci – och genom honom spred sig siffrorna vidare till resten av Europa. Resten är, så att säga, historia.

Den här framsidan på en bok i aritmetik från 1549, angivet med romerska siffror, visar det första bevarade exemplet på de nya siffrorna i den form och ordning som de kom att få i Europa; och med européerna följde de till resten av världen.

Det gyllene snittet under fem tusen år

Hunden, människans bäste vän? Inte då, det gyllene snittet låter sig inte besegras så lätt! "De lyckliga hundarna" av Richard Ansdell.

Alltsedan de kambriska havens värld har det funnits snäckor, anfäderna till dagens snäckor, de snäckor vars skal urmänniskorna plockade och beundrade längs stenålderns havsstränder, och de besitter en matematisk hemlighet. Fast deras koppling till det gyllene snittet är nog inte så vidare hemlig längre. Fortfarande, efter att ha levt i en värld där vi ser det gyllene snittet varthän vi än vänder våra ögon, verkar det aldrig upphöra att fascinera oss. Kanske är det just därför vi dras till det, kanske är det vår världs emblem. Och mer exakt är talet ett plus kvadratroten ur fem genom två, eller det gyllene snittet.

Att både snäckor och kottar, lika väl som solrosor och myriader av andra ting i naturens värld går att hänföra till det gyllene snittet var kanske just den inspirationskälla som ligger till grund för den konst och matematik som följt i dess spår. Både som proportion, det gyllene snittet, och som sidorna på en rektangel, den gyllene rektangeln, har talet följt med oss sedan urminnes tider. Rektangeln lär vara den skönaste möjliga, utvald av människor i alla kulturer. Och då måste den vara ett framgångsrecept för den som vill skapa slående konst.
Somliga tror att redan de gamla egyptierna kom underfund med detta i sitt sökande efter en byggnad som kunde överskrida barriären till livet efter detta - den som ställer sig mitt på en av pyramidernas sidor, förväntas komma fram till att avståndet till toppen, längs med ytan, förhåller sig med det gyllene snittet till tre decimalers noggrannhet till avståndet till pyramidens centrum. För den äldsta befästa användningen av det gyllene snittet får vi dock vänta ytterligare ett och ett halvt millennium, till det antika Grekland.

Gyllene snittet eller inte, ligger pyramidernas skönhet i deras matematik?

Man kan säga, att den grekiska matematiska traditionen sträcker sig från Thales från Miletos, via hans lärjunge Pythagoras och Pythagoras lärjungar tills Sokrates, Platon och Aristoteles. Däremellan finner vi Euklides, och, runt den tid då Parthenon på Akropolis i Aten uppfördes, skulptören Fidias. Fidias betraktades redan av romarna som en av Greklands mest briljanta konstnärer, med både ett av den antika världens sju underverk bland sina skapelser och de två statyerna av Athena, staden Atens skyddsgudinna, som då prydde templet, och deltog i att göra det världsberömt. Hans verk lever idag endast genom kopior, varav de flesta gjordes under romersk tid, men minnet av honom har idag fått en återfödelse genom att man under 1900-talet lät den första bokstaven i hans namn, den grekiska bokstaven φ, fi, beteckna den proportion som var pionjär med att använda. Det gyllene snittet skrivs därför ofta

Pythagoréerna höll det gyllene snittet som en gudomlighet i sin av talmystik uppbyggda världsbild, liksom π, men blev av båda djupt besvikna, när det upptäcktes att de var irrationella, och således gick på kors med en annan av pythagoréernas grundprinciper, att alla tal kan skapas genom att dela två heltal med varandra. Den uppfattningen fanns för övrigt i stort i hela det antika grekiska samhället, och det var därför inte så märkligt att grekerna vände sig till bråken när de försökte uttrycka tal som pi eller det gyllene snittet i siffror. Idag brukar vi ju benämna dem approximationer, men jag skulle kunna tänka mig att de antika grekerna i alla fall för en stund trodde sig ha funnit det exakta uttrycket. Likaväl kan man ju föreställa sig den antike grekiske matematiker som med ljus och lykta söker längsmed tallinjen av idel rationella tal; "Men det måste ju finnas någonstans här!". Men lika besvikna över det gyllene snittet som över pi behövde pythagoréerna inte bli; ett vanligt sätt att definiera det gyllene snittet på är faktiskt med hjälp av ett bråk:

där förhållandet a till b motsvarar det gyllene snittet, vilket man ser om man sätter in b=1, eftersom man då får a=φ; sätter man in b=2 får man a=2φ. Om man då just sätter in b=1 så får man istället en andragradsekvation, vars lösning är just det gyllene snittet:

Den visar på en av det gyllene snittets kännetecknande egenskaper, nämligen att φ i kvadrat är detsamma som φ+1. (Något man får fram om man adderar x+1 till vardera sidan.)

Ett fragment från en avskrift av Euklides Elementa från omkring 100 e.Kr., det matematiska grundverk som också innehåller den första matematiska beskrivningen av det gyllene snittet.

Den första matematiska beskrivningen av det gyllene snittet står dock att finna i Euklides Elementa, ett av matematikens absoluta grundverk. Euklides, utöver att han bland annat visade att det gyllene snittet är irrationellt, gav den kanske enklast möjliga geometriska definitionen av det gyllene snittet, den som inspirerade det matematiska uttryck som vi använde som startpunkt precis här ovanför. Euklides, som kallar proportionen för den ytterlighetens och medelvärdets förhållande, i fri översättning från engelskan, eftersom min antika grekiska tyvärr är i behov av allvarligt förbättringsarbete, definierar den genom att dra en rät linje och dela den i två, så att en kort och en lång del skapas. Han säger då att den korta förhåller sig till den långa biten med det gyllene snittet, ifall det råder samma proportion mellan dem, som det gör mellan den långa biten och hela sträckan. Rent och elegant, men i behov av en illustration:

Euklides definition av det gyllene snittet; där proportionen mellan a och b är densamma som proportionen mellan a och hela sträckan, a+b. Definitionen är fortfarande, med över två millennier på nacken, en av de mest använda.

Det skulle dock dröja mer än tolv hundra år innan en man upptäckte vidden av det gyllene snittets nära koppling till talens självaste natur; hans namn var Fibonacci. Boken han lät publicera år 1202 var banbrytande på många sätt (se detta inlägg), inte minst för den studie på kaniner han beskrev. Varje kanin, enligt Fibonacci, föder en ny kaninunge per månad, som tar en månad att växa upp innan den skaffar egna kaninungar. Onödiga komplikationer som att det måste vara två kaniner för att det överhuvudtaget skall bli kaniner skalade Fibonacci bort. En kaninunge kommer därför inte att skaffa någon kanin månad ett. Månad två gör den dock så, och då finns det två kaniner. Men den nyfödda kaninen är för ung, och nästa månad föds det fortfarande bara en kanin, och det finns tre kaniner. Men då finns det med en gång två kaniner som skaffar kaninungar, och nästa månad finns det fem kaniner, tre vuxna och två ungar. Följaktligen finns det månaden därpå fem kaniner, sedan åtta, tretton, tjugoett och trettiofyra. Fibonaccis talserie är skapad.

Men det förbluffande är fortfarande kvar; om man delar ett fibonaccital, som vi kallar F(n), med fibonaccitalet innan, F(n-1), får man, ju större fibonaccital man väljer, en kvot allt närmare phi, det gyllene snittet. Vi kan se att 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3=1,66...; 8/5=1,6; 13/8=1,625; 1,61538...; och så vidare; 39088169/24157817=1,618033989... om x är kvoten mellan ett fibonaccital och det förra, så får vi

Beviset var dock inte Fibonaccis förtjänst, utan utformades av Johannes Kepler, ett århundrade senare. Ungefär samtidigt publicerades den första decimalapproximationen av det gyllene snittet, av Michael Maestlin, år 1597, istället för de bråk som grekerna försökte fånga det gyllene snittet i, och som Euklides visade var omöjligt, ändock är det lika omöjligt att skriva talet som ett decimaltal.

Under upplysningen fann man många exempel på det gyllene snittet i naturen, som gick väl i linje med tidens melodi: att världen är matematisk som ett klockverk. 1835 benämndes proportionen för första gången det gyllene snittet, istället för Euklides ytterlighetens och medelvärdets förhållande, och på nittonhundratalet fick Fidias ge namn åt förhållandet. Men det gyllene snittet ligger alltför nära vår värld för att försvinna med den deterministiska, förutsägbara och urverkslika världsbilden, och dyker upp till och med i Roger Penrose mönster och Dan Shechtmans Nobelprisbelönade kvasikristaller. Men det är en annan historia.

Är det gyllene snittet med och leder oss in i en fjärde rumsdimension? En legering av zink, mangan och holmium uppvisar ett oregelbundet mönster med det gyllene snittets proportioner. Bild: Wikimedia Commons-användare Materialscientist, CC BY-SA 3.0

För exempel på det gyllene snittets förekomst i geometrin, se den här externa sidan.