När matematiken skapade världen – matematikens födelse i mänsklighetens gryning

Lebombobergen på gränsen mellan Moçambique, Swaziland och Sydafrika var kanske hem åt världens första matematiker. Någon gång i mänsklighetens gryning satt det någonstans i de här bergen en människa och karvade i ett vadben från en babian. För eftervärlden har benet blivit berömt som Lebombobenet, och människan som karvade det har ovetandes blivit världens kanske första matematiker. Foto: Bob Rayner, CC-BY-SA 2.0

I en tid skild från vår egen med någonstans uppemot åttio tusen år satt världens kanske första matematiker i det som idag benämns Lebombobergen och karvade mönster i ett vadben från en babian. Resultatet blev vad vi idag kallar Lebombobenet, världens äldsta tecken på matematiskt tänkande. Lebombobenet, och det några millennier yngre Ishangobenet, markerar startpunkten på en epok i vilken människan använt sig av matematiken för att tolka och förändra sin omvärld. Lebombobenet är en produkt av människans vilja att förstå, likaväl som hennes förmåga att med sina händer och med sitt intellekt skapa och använda verktyg och redskap.

Lebombobenet markerar det första kända mänskliga försöket att genom nedtecknad matematik förstå och avbilda sin omvärld. Det föregicks säkert av en mycket lång tid under vilken all matematik var muntlig – man frågade hur många som skulle jaga, hur många frukter man hittat eller hur många dagar det var sedan man senast träffats. Att i ett i övrigt helt muntligt samhälle komma på tanken att nedteckna matematiken är ett mycket stort steg, som säkert föregicks dels av ritningar i sanden, och dels av försök att karva i exempelvis trä. Man kan därför ana att det var just viljan att bevara beräkningen, eller att genomföra den under en längre tid, som föranledde att man tog till ett ben och en vass kniv – så vad var det som kunde ha varit så intressant att bevara? Vad räknade den här tidens människor egentligen på?

Ishangobenet, världens näst äldsta tecken på matematiskt tänkande, vilket Lebombobenet lär vara mycket likt. Av någon outgrundlig anledning har dock Lebombobenet erhållit väsentligt sämre mediatäckning. (Med andra ord: Det finns inga tillförlitliga bilder på Lebombobenet på hela den vida webben!)

Från den allra första tiden av mänsklighetens existens har matematiken varit en del av att forma vår världsbild. Colin Renfrew och Iain Morley delar i boken The Archaeology of Measurement upp människans (och därmed matematikens) utveckling i två faser: till att börja med den fas, under vilken vår art fortfarande var under utveckling, då människoliknande föregångararter lärde sig att använda stenredskap och -verktyg, och därefter den fas, som kom efter att vår art spritts över kontinenterna, då stenredskap användes till att skapa hyddor, hyddor blev till bostadshus och jägare slutligen blev till jordbrukare. Lebombobenet ligger precis i gränslandet mellan de två olika faserna.

Den andra fasen är den fas under vilken vår särart som tänkande människor med komplexa världsåskådningar kan sägas ha uppkommit. Just på grund av behovet av att mäta avstånd för att bygga, antal för att jaga, men kanske allra mest tid för att kunna odla, växte en världsbild fram som baserade sig på måttet och vad måttet gjorde med världen. Genom att mäta förändras nämligen världen: Den blir abstrakt. Renfrew och Morley skriver:

In some cases [these abstractions] offer a suggestion, a hint of order in the world. [...] The successive cycles of the Maya calendar, for instance, offer a picture of time flowing steadily forward through a series of eras. Such ideas must first have been stimulated by the practice of measuring time. And they lead on offer the possibility also that human affairs can be ordered in such a way as to fall into step with the harmonious structure that may have been detected."

Stenåldersmonumentet Newgrange på Irland, som här lyser vitt vid horisonten, är ett exempel på hur stenålderns människor intresserade sig för att mäta tid – vid vårdagjämningen lyser solen nämligen rakt in genom ett hål ovanför ingången. På så sätt visste människorna när det var dags att så. Samtidigt skapade monumentet en känsla av återkommande cykler av tid, som säkerligen måste ha påverkat människornas världsbild. Foto: Yvonne Ní Mhuiregán, CC-BY-SA 4.0

Morley skriver om matematikens användning i människans tidiga utveckling. Människan är en social varelse och för vår överlevnad och vårt tänkande står gruppen i centrum. Stenåldersmänniskan var helt beroende av sin grupp, klan eller familj. Vikten av gruppens överlevnad, och oron för motsatsen, måste därför ha satt stora avtryck i den tidiga människans tankevärld och därigenom i hennes sätt att formulera matematik. Även om man lätt kunde se ifall någon i gruppen saknades, ville man säkert räkna på sådant som antalet jägare som behövs för att fälla ett visst byte. I förlängningen fanns säkert också en vilja att jämföra olika gruppmedlemmars bidrag.

Andra viktiga aspekter som stenålderns människor med all säkerhet kände ett behov av att räkna på var de resurser som stod gruppen till buds, i form av bland annat råvaror, mat och redskap. Från den här räkningen stammade även begreppet om olika varors relativa värde – fem får för en oxe – något som får sin naturliga användbarhet i handeln. På ett större plan var matematiken med och skapade människornas världsbild, i form av egenskaper hos olika föremål – till exempel mått, vikt eller volym. Först här kan man säga att matematiken på riktigt var med och skapade människornas värld, när relativa påståenden – "det här kruset rymmer mer än det där" – ersattes av definitiva – "det här kruset är stort eftersom det rymmer fem liter". Olika kulturer hade olika måttenheter, men gemensamt hade de att måttenheterna förändrade världen.

Men också på många andra områden förändrade matematiken världen. Från de naturliga cyklerna – dag, natt, månad och år – skapade människan egna. En nyckeluppfinning i den här processen var med all säkerhet soluret, med vars hjälp matematiken för första gången fick grepp om tiden. Med en noggrannare indelning av dagen blev det plötsligt lättare att organisera större sammanslutningar av människor, samtidigt som kopplingen mellan matematiken och världen tydliggjordes som aldrig någonsin tidigare. I den meningen kan man säga att matematiken inte bara skapade världen, utan också samhället.

Soluret möjliggjorde en noggrannare uppdelning av tiden än vad naturen i sig erbjuder, och var därför en av grundstenarna i uppkomsten av de stora högkulturerna. De äldsta soluren stammar från det antika Egypten, medan det här hellenistiska soluret, som hittades i Ai Khanoum i dagens Afghanistan, kommer från 300- eller 200-talet. Notera att halvcirkeln delats upp i tolv delar. Foto: Wikimediaanvändare World Imaging, CC-BY-SA 3.0

Under stenåldern, under tiden då de första högkulturerna började utvecklas, och ända fram i vår egen tid, har en av gruppens allra viktigaste uppgifter varit matförsörjningen. Utan mat ingen matematik – och varken samhälle eller liv heller. Vägen från muntliga beräkningar till beräkningar i skrift var ett stort steg, men ett nödvändigt sådant för alla begynnande högkulturer. Ur matförsörjningen kom byråkratin, och ur byråkratin skriftspråket. Inte minst tydligt är denna övergång i Mesopotamien, i en process som beskrivs av Denise Schmandt-Besserat i ovannämnda bok, där beräkningar med minneshjälpmedel sakta övergick till kilskrift under århundradena före 3000 f.Kr.

Redan för mer än nio tusen år sedan, samtidigt som jordbruket för första gången började få fäste, började människor använda sig av små lerfigurer för att bokföra sina skördar. De mesopotamiska lertecknen var en till två centimeter stora och hade olika former; bland dem finner man små koner, sfärer och cylindrar. De äldsta sådana tecknen kommer från en utgrävning i Mureybet i dagens Syrien. Fyndplatsen grävdes ut under 60- och 70-talen och är idag översvämmad av Asadsjön, en vattenkraftsdamm och vattenreservoar.

Samtidigt med jordbrukets och byråkratins uppkomst upptäckte människorna behovet av att kunna bokföra sina varor; under de fem följande årtusendena spreds användningen av den här sortens lertecken över hela Mesopotamien. Just dessa lertecken kommer från Susa, i dagens Iran, och stammar från 3000-talet f.Kr. Idag återfinns de på Louvren i Paris.

Kännetecknande för de här tecknen var en sammansmältning av räkningen och det räknade. Om ovala tecken betydde krus med olja, så betydde ett sådant tecken alltid ett kärl med olja. På samma sätt som ordet "tvillingar" på svenska oupplösligt sammanför antalet (två) med det som räknas (syskon som fötts samtidigt), förde tecknet för krus med olja samman antalet (ett) och det som räknades (krus med olja). För fem lerkrus med olja behövdes fem tecken.

Efterhand började lerfigurerna att samlas ihop i små behållare. Lertecknen trycktes mot utsidan, så att små avtryck på behållarens utsida angav vad behållaren innehöll. På en sådan behållare som hittades i Habuba Kabira i dagens Syrien, idag översköljt av Tabqadammen, fanns sju avtryck av tecknet för oljekrus – och inuti låg mycket riktigt sju små, ovala lertecken fortfarande kvar. När behållaren väl förslutits fick den det värde som angavs på utsidan – det gick inte längre att kontrollera innehållet utan att utan att ta sönder behållaren. Behållarna ersattes snart med massiva bollar av lera, som plattades ut och blev till lertavlor. Så småningom började man rita symbolerna istället för att trycka figurerna mot leran och därmed hade den kilskriftens första föregångare sett dagens ljus.

När bokföringen utvecklades började lertecknen samlas ihop i små behållare som sedan förslöts. Innan leran stelnat pressades de lertecken som skulle förvaras inuti behållaren mot utsidan. Behållarens värde motsvarade det antal tecken som pressats mot utsida. Också det här föremålet kommer från 3000-talets Susa och finns idag på Louvren.

Fortfarande fanns dock ett ett-till-ett-förhållande mellan antalet tecken och det antal varor de symboliserade: En trekant betydde en enhet korn, två trekanter betydde två enheter korn, och så vidare. Detta förhållande mellan antal och vara bröts först i slutet av 3000-talet f.Kr. i och med övergången till så kallade piktografiska tecken – något som med visshet kan sägas vara ett av de allra största genombrotten i matematikens historia. Den ovala formen förlorade sin betydelse som "ett krus med olja" och blev enbart "krus med olja". Framför tecknet sattes istället världens äldsta siffertecken – en liten trekant för 1, en cirkel för 10 och en stor trekant för 60. När kvantiteterna växte i takt med att jordbruket blev effektivare, människorna fler och statsbildningarna större innebar siffertecknen en väsentlig platsbesparing. Istället för att behöva 33 tecken för att skriva 33 krus med olja, något som dessutom lätt kan bli oöverskådligt, behövdes bara sju – tre cirklar, tre små trekanter och ett tecken för krus med olja. (På den här sidan finns mer om de mesopotamiska lerfigurerna och deras utveckling till kilskriften samt bild på de tidiga piktografiska tecknen [figur 4 och 5].)

I talens och varornas uppdelning kan vi också se de första riktiga siffrornas födelse. Med deras hjälp skulle den sumeriska matematiken komma att blomstra – separerade från tingen kunde de abstrakta siffrorna få eget liv och användas för att göra beräkningar om helt andra saker än byråkrati. Samtidigt ärvde de nya, abstrakta siffrorna något från lertecknen som föregick dem, förmågan att adderas och subtraheras, divideras och multipliceras. De lertecken som för mer än femtusen år sedan användes av Mesopotamiens människor var på så sätt den första formen av själva konceptet tal. Men, det är ju klart, tydligheten i att två lertecken plus tre lertecken blir fem lertecken kan aldrig ersättas av abstrakta siffertecken på en lertavla – och kanske var det därför de två systemet samexisterade, sida vid sida, i omkring tusen år.

Del 2: Grekiska talsystem från järn till Jonien

Det här inlägget är det andra i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den första delen.

William Bouguereaus målning av den blinde Homeros stämmer väl överens med bilden av det idylliska arkaiska Grekland. I verkligheten präglades tidsepoken av dramatiska maktkamper mellan traditionella makthavare som aristokrati och kungaätter och nyrika handelsmän, snabb ekonomisk tillväxt, befolkningsexplosion och gryende demokratiska tankeströmningar.

Det arkaiska Grekland, som de drygt tre århundradena mellan 800 och 480 f.Kr. brukar kallas, var tiden då den kultur som vi förknippar med det antika Grekland föddes. Det var Thales och Pythagoras tid, det var tiden för de första grekiska stadsstaterna och de första olympiska spelen och det var en tid präglad av livlig handel mellan greker och fenicier.

Framförallt var det jakten på metallråvaror som förde grekerna i kontakt med deras grannfolk. Medan den minoiska och den mykenska kulturen båda varit bronsålderskulturer, steg det akaiska Grekland in i järnåldern. Det skapade en ny efterfrågan efter järn att smida bättre redskap och inte minst vapen med. Från och med 700-talet f.Kr. sökte sig grekiska kolonister ut för att grunda grekiska städer i metallrika länder, varifrån den värdefulla råvaran sedan kunde skickas hem.

Inte ens under antiken var floden Orontes stor nog för en handelsflotta, men dalgångens riktning har i alla tider gjort den viktig för landtransport. Under antiken grundades den grekiska kolonin Posideon vid flodens mynning, som handelsstation vid ändpunkten på handelsvägen mot det järnrika anatoliska och iranska inlanden. Det var troligen här som grekerna inte bara kom i kontakt med det feniciska alfabetet,  utan även anpassade det till sitt eget språk. Foto: Bernard Gagnon

På så sätt kom de grekiska handelsmännen i kontakt med fenicierna, ett möte som skulle komma att förändra den grekiska kulturen i grunden. Inte minst anammade man ett nytt alfabet, som med små förändringar blivit det alfabet som används i Grekland idag - och med lite större förändringar lever kvar i det alfabet som du läser just nu.

Nära nog samtidigt som det romerska talsystemet utvecklades i det tidiga Rom, utvecklades i Aten också ett talsystem, inspirerat av det nya, feniciska alfabetet. Detta det attiska talsystemet, efter regionen kring Aten, är också känt som det akrofoniska talsystemet, eftersom talen symboliserades av sin förstabokstav (akrofoniskt efter grekiskans ἄκρος, akros, första, inledande, högsta och φωνή, phone, ljud eller röst), och kom i användning under 500-talet f.Kr.

Liksom sina föregångare var det attiska talsystemets huvudsakliga användningsområde handeln - man räknade vikt, volym och, sist men inte minst, pengar. Handeln som utgick från Aten gav dess talsystem spridning över hela det egeiska havet, och gjorde det attiska talsystemet till det dominerande i det klassiska Grekland. Denna silverdrachme från 460-talet f.Kr. myntades i Aten, något som visas av Pallas Athenas huvud på ena sidan, och stadens symbol, ugglan, samt bokstäverna Α, Θ och Ε på den andra.

Kanske på grund av sin samtida utveckling, har det attiska och det romerska talsystemet mycket gemensamt; exempelvis har man tecken för samma tal: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 och så vidare, som sattes samman genom addition. Mycket tyder på att kontakterna mellan Aten och Rom redan vid den här tiden var omfattande, exempelvis utropades både den romerska republiken och den atenska demokratin år 508 f.Kr. Men till skillnad från det romerska talsystemet, där ordningsföljden på talen avgjorde om de skulle adderas eller subtraheras, adderades alltid sammanskrivna attiska tal. Ordningsföljden är istället oftast från den högsta valören till den minsta, även om vissa skrivare tycks ha föredragit lite mer oordning.

På en annan punkt skiljde sig det attiska talsystemet från det romerska, och från i stort sett alla andra talsystem för den delen, inklusive det feniciska, som man annars skulle kunna misstänkt som inspirationskälla: Man använde talens förstabokstäver som symboler. Det gjorde det säkert enklare att minnas talens betydelse för de människor, som sällan använde sig av matematik. Ett skrevs fortfarande med ett streck, men sedan skrevs 5 med pi, Π, för pente och 10 med delta, Δ, för deka. Hundra skrevs med Η (eta) för hekaton, tusen med X (chi) för chilioi och tio tusen med M, för myrioi. För den som är van vid de romerska siffrornas valörer, verkar systemet som upplagt för missförstånd.

Men det attiska talsystemet hade ännu en finess: En ytterligare serie med tal kunde framställas genom att skrivas inuti Π. Eftersom Π stod för 5, multiplicerades det tal som skrevs inuti det med fem. Vid den här tiden skrevs Π med ett kort högerben, och således betydde

(d.v.s. delta i pi) femtio. Likaledes kunde konstrueras tal för 500, 5000, och 50 000.

Akropolis i Aten, som uppfördes med de pengar som Aten vunnit genom sitt handelsnätverk i egeiska havet, det s.k. deliska förbundet, har kommit att bli en symbol för Atens stormakt. Men det antika Grekland var aldrig homogent och i andra delar av Grekland såg talsystemet helt annorlunda ut. Foto: A. Savin Copyleft/Free Art License

Till skillnad från Rom var Grekland splittrat i många små stater, med olika måttenheter, valutor och till och med varianter på talsystemet, oftast i fråga om tecknens form. Vissa stadsstater hade till och med en egen version av alfabetet - för att inte nämna Sparta, som länge inte ansåg sig behöva något överhuvudtaget.

Den mest kända varianten av både tal- och skrivsätten är den som användes i Aten och det inte bara för att Aten skulle komma att bli hem för några av antikens mest berömda personligheter, eller för att det skulle bli framtidens grekiska huvudstad. Aten under den grekiska guldåldern utvecklades till en regional handelsstormakt, och dess sjöflotta och funktion som handelsknutpunkt gav inflytande över hela den östra Medelhavsregionen. I handelsmännens fotspår följde tal- och skrivsystemen tätt, som på så sätt vann spridning även bortom sitt ursprung i Attika.

Bakom Miletos amfiteater reser sig bergen. Staden ligger i en dalgång på det egeiska havets östra strand och var en av de största och rikaste städerna i det antika Jonien. Landskapet utgjorde ett slags multikulturell handels- och mötesplats mellan Grekland och kulturerna i Mellanöstern och kom att bli känt för visdom, filosofi och matematik. Foto: I. Panteleon.

Det andra antika grekiska talsystemet som kommit att bli känt uppstod troligen knappt hundra år efter att det attiska talsystemet i Jonien, på det som idag är Turkiets västkust. Att ge ett exakt datum för dess uppkomst är svårt, eftersom dess framväxt i likhet med de flesta sådana utvecklingar var långsam och gradvis, olika varianter följde varandra, och systemen såg olika ut på olika platser. De äldsta spåren av detta det joniska talsystemet kommer från Miletos, och har daterats till så tidigt som 700-talet f.Kr., medan den äldsta användningen av talsystemet i den form det senare kom att bli berömt låter vänta på sig ända till 500-talet f.Kr., då det användes för avståndsmarkörer i Eupalinos tunnel på Samos.

Systemet i fråga, som även brukar kallas det alfabetiska, gick ut på att de grekiska bokstäverna försågs med siffervärden, så att exempelvis Α (alfa) betydde 1, B (beta) 2 och Γ (gamma) 3. Θ (theta) betydde 9 och sedan kom Ι (iota) som betydde 10. Därefter växte talen med tio, så att Κ (kappa) betydde 20 och Λ (lambda) 30 och på så sätt fick man tal som räckte till att skriva 999, genom att kombinera ett tecken för ental, ett tecken för tiotal och ett tecken för hundratal. Precis som i det akrofoniska systemet skrevs talen ihop genom addition, så att tal som t.ex. 33, skrev som ΛΓ (d.v.s. 30 + 3). Siffror särskiljdes från vanliga bokstäver med ett streck ovanför, som senare kommit att bli en egen sorts accent, ʹ, efter talet istället.

Ental		Tiotal		Hundratal
Α	1	Ι	10	Ρ	100
Β	2	Κ	20	Σ	200
Γ	3	Λ	30	Τ	300
Δ	4	Μ	40	Υ	400
Ε	5	Ν	50	Φ	500
ϛ/Ϝ	6	Ξ	60	Χ	600
Ζ	7	Ο	70	Ψ	700
Η	8	Π	80	Ω	800
Θ	9	ϟ	90	ϡ	900

Problemet med att använda de grekiska bokstäverna som tal är att de endast är 24 till antalet, medan nio bokstäver till entalen (Α till Θ), nio till tiotalen och nio till hundratalen kräver allt som allt 27 tecken. Till de tre kvarvarande talen användes tre andra bokstäver: stigma, ϛ, som betydde 6, koppa, ϟ, som betydde 90, och sampi, ϡ, som stod för 900. Var och en har en spännande historia att berätta, och alla säger de något om det talsystem de kom att ingå i.

Eupalinos tunnel på Samos byggdes på 500-talet f.Kr. för att förse den dåvarande huvudstaden, som idag heter Pytagoreion, med färskvatten även under torka och belägring. Den över en kilometer långa tunneln utmärktes med avståndsmarkörer, som tros vara den äldsta bevarade användningen av det joniska alfabetiska talsystemet. För att färdigställa arbetet så snabbt som möjligt, grävdes tunneln från båda håll samtidigt. Tack vare snillrik ingenjörskonst och en hel del matematiska beräkningar, möttes man precis i mitten. Här finns en spännande beskrivning av tunneln och äventyret med att utforska den.

Stigma, som ockuperar den sjätte platsen i det alfabetiska talsystemet, är egentligen en ligatur mellan sigma och tao. Den hör inte alls hemma där, eftersom den utvecklades först under medeltiden. Under antiken skrev man istället talet sex med bokstaven digamma, Ϝ, en fenicisk bokstav som följt med när alfabetet lånades in. I det feniciska språket betecknade digamma ett wau-ljud (liknande engelskans w), som fortfarande finns i de semitiska språken, till vilka feniciskan hörde, men saknades i grekiskan. Bokstaven föll därför ganska snart ur bruk; kvarstod gjorde det endast som siffra. (Processen tog olika lång tid i olika landskap, så bokstaven hann spridas vidare till etruskiskan, där den senare kom att återuppstå bland annat i våra dagars F).

Frikopplad från sin bokstavsbetydelse, steg digamma in i medeltiden. Den bytte namn till episemon och tappade sin nedre skänkel. Den C-liknande formen gjorde därefter att den blandades ihop med en annan medeltida uppfinning, stigma, ς, en ligatur eller sammansättning av sigma och tau. Som stigma fortsatte den senare att utvecklas, så att det idag är svårt att se hur sigma och tau tillsammans skulle få detta något osannolika utseende.

Historien om koppa, ϟ, liknar i många stycken den om stigma. Eftersom feniciskan har två k-ljud följde två separata bokstäver, kappa, Κ, och koppa, ϟ, med. Kappa blev det vanliga sättet att skriva ljudet, medan koppa används ifall bokstaven efter K var O, som i staden Korint. Korint, vars namn följaktligen började på koppa, gjorde bokstaven till sin symbol och präglade den på sina mynt, som detta från slutet av 500-talet f.Kr. I den versionen blev bokstaven ursprunget till det latinska alfabetets Q, medan den i grekiskan föll ur bruk drygt hundra år senare. Som siffra förändrades dess form successivt till dagens ϟ. Foto: Marie-Lan Nguyen

Det här inlägget är det andra i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den första delen.

Del 1: Talsystem och matematik i bronsålderns Grekland

Trots att det grekiska talsystemet användes av de flesta av antikens mest namnkunniga matematiker - Thales, Pytagoras, Euklides, Eratosthenes, Aristoteles och Arkimedes - kommer det ofta i skymundan av sin romerska motsvarighet. För den praktiskt lagde må de två talsystemen kanske vara sak samma, för även om de är olika varandra är de lika hopplöst trassliga i jämförelse med det indo-arabiska. Men, å andra sidan, varför låta något sådant fördärva en god historia?

Sir Arthur Evans upptäckte och namngav den minoiska kulturen, som blomstrade på Kreta under den grekiska bronsåldern och skapade ett av Greklands äldsta kända skrift- och talsystem. Ännu fri från den moderna arkeologins skrupler, satte Sir Arthur Evans efter att ha upptäckt palatset på Knossos - en gång den minoiska kulturens epicentrum - igång med att återuppbygga det. Hur nära sanningen han egentligen kom lär vi aldrig få veta, men det är förstås inget som bekommer vare sig turistnäring eller fantasi. Foto: Aviad Bublil, CC-BY-SA 3.0

Det äldsta skriftspråk som utvecklades i den egeiska övärlden kommer från det minoiska folket, som en gång bebodde Kreta, och som under numer berömda former upptäcktes av den engelske arkeologen Sir Arthur Evans. I egentlig mening var Evans inte Knossos upptäckare, men blev år 1900 den förste att genomföra utgrävningar på den plats som kom att göra honom berömd.

Innan hustrun Margarets död hade Evans kommit över en inskription på ett okänt språk. Redan när han landsteg på Kreta 1894, hittade han tydliga spår av samma språk och kunde konstatera att han hittat inskriptionens ursprung. Men att låta upptäckten leda till utgrävningar var dessvärre inte möjligt, eftersom Kreta vid tiden tillhörde det ottomanska riket, som med avsikt att hindra utgrävningar krävde att arkeologerna först köpte hela området för ett mycket högt satt pris. Konstruktionen, känd som firman efter det dekret som krävdes för att få tillstånd för utgrävningar, hade flera gånger tvingat arkeologer att tomhänta återvända hem, bland dem Trojas och Mykenes upptäckare Heinrich Schliemann.

Efter att ha besegrat en Venedig och Nederländerna 1649 förblev Kreta en del av det ottomanska riket i nära 250 år. Först när ottomanerna drog sig tillbaka släpptes de regler, som i princip innebar ett förbud mot arkeologiska utgrävningar. Upptäckten av den minoiska kulturen, dess konst, dess byggnader men kanske främst dess språk och sedermera även dess talsystem, följde kort därefter. Denna tavla målades sju år efter slaget av den vid tillfället trettonårige Abraham Beerstraten.

Efter att de sista ottomanska trupperna fyra år senare lämnat ön, stod det Evans slutligen fritt att påbörja sina utgrävningar. Det visade sig snart att det mystiska språket hörde hemma i en tidigare okänd civilisation, som Evans namngav den minoiska kulturen, som genom sitt uttrycksfulla formspråk, mystiska ursprung och plötsliga undergång alltsedan dess har fascinerat såväl forskare som allmänhet. Det minoiska språket, som nedtecknades med Linear A-alfabetet, saknar levande släktingar och har förblivit odechiffrerat, något som minst sagt bidragit till det minoiska mysteriet.

Med siffrorna är det turligt nog något bättre ställt. Eftersom den huvudsakliga uppgiften för skriftspråket vid den här tiden var affärsöverenskommelser, innehåller de flesta kända fragment på ett eller annat sätt siffror. Från fragmenten framträder en bild av ett talsystem, som inte så överraskande har stora likheter med det egyptiska, som minoerna redan på tidigt stadium förde handel och hade kulturutbyte med. Liksom det egyptiska talsystemet hade det minoiska siffertecken för 1 (ett vertikalt streck), 10 (en prick), 100 (en ring) och 1000 (en ring med streck).

Linear A-inskriften från Hagia Triada verkar vara en bokföringslista från vinhandeln. På raden längst ned, från vänster till höger, finns först två tecken, som enligt nuvarande teori skall utläsas ku-ro, som ofta användes i räkenskaper och troligtvis betydde summa. Därefter kommer en ring, tre prickar och ett L-liknande vinkeltecken. Dessa är själva siffertecknen - ringen betyder hundra, prickarna betyder vardera tio och vinkeln en halv. Summan i fråga är alltså 130,50. Om det sedan är volym, pris eller något helt annat, får antas underförstått om man bara hade förstått resten av texten.

De minoiska enheterna baserade sig på storleken på förvaringskärlen, de så kallade pithoi. Ett sådant kärl rymde ungefär 30 liter, så de minoiska enheterna var följaktligen ganska stora. Därför var det nog inte så sällan som man ville ha en halv, en åttondels, eller kanske just hundratrettio och en halv amfora vin och för det krävdes ett ganska märkvärdigt matematiskt grepp: bråkräkning.

Återigen är det likheten med det egyptiska talsystemet som är mest slående, de som bland annat använde bråkal för att lösa några av världens äldsta andragradsekvationer. I likhet med sina sydliga handelspartners använde sig minoerna nämligen endast av bråk med 1 som täljare. Genom att addera dem med varandra och med heltal kunde man konstruera alla rationella tal, vilket var allt den tidens människor kände till.

Från vinkeln, tecknet för en halv som i exemplet om vinhandeln, gick minoerna vidare och skapade fler tecken för bråktal - endast några få av dessa är kända för oss. Bland annat kunde man konstruera tecknet för en fjärdedel genom att vända på vinkeln, och drog man sedan ett streck rakt över, så att tecknet för en fjärdedel delades i två, betydde det logiskt nog en åttondel. Ett kors betydde en femtedel och två kors betydde då föga överraskande två femtedelar.

Någon påhittig person har räknat ut att de fragment av minoiska texter och inskrifter som finns bevarade tillsammans inte utgör mer än en dryg A4, och då är det ju inte så märkligt att man någonstans kommer till en gräns där vår kunskap inte sträcker sig mycket längre, för det behövs till slut en viss tur, för att någon skall ha plitat ned just det tecknet på ett fragment som kom att överleva i nästan fyra tusen år. Det finns även hypoteser om tecken för tolftedelar, sextondelar och mycket annat, men de flesta bråktal fortfarande lite utav en gissningslek, om än en ganska intressant sådan, som du kan läsa mer om exempelvis på den här sidan. Och på den här sidan finns mer om Linear A och det minoiska språket.

Dessa rikt dekorerade pithoi, förvaringskärl, hittades på Knossos (bortsett från den bortersta, som hittades i Tylissos) och finns idag på det närbelägna arkeologiska museet i Heraklion. De användes för vinförvaring och ser passande nog ut att rymma ungefär 30 liter. Foto: J. Ollé, CC-BY-SA 3.0

Kreta, så heter ett land mitt ute på blånande djupet

vågomsvallat och bördigt och skönt; där finnes det mänskor

tusendetals, en oräknelig mängd, och nittio städer.

Språken där ljuda i kapp om varann, ty där finnas achaier,

finnas behjärtade kreter i mängd och stolta kydoner,

finnas ock dorer av stammarna tre och bålde pelasger.

Men bland städerna Knossos är störst, där Minos var konung,

vilken vart nionde år med den mäktige Zeus fick ett samtal

Homeros Odysséen, i översättning av Erland Lagerlöf.

Orsakerna till den minoiska kulturens plötsliga nedgång under mitten av 1400-talet f.Kr. har blivit ett kontroversiellt ämne, där såväl vulkanutbrott som skogsavverkning och ekosystemkollaps har föreslagits. Kort därefter erövrades ön av mykenska makthavare, som tog till sig det minoiska skrift- och talsystemet.

Vanligtvis avbildade de mykenska freskerna krigiska motiv, som t.ex. denna stridsvagn från 1200-talet f.Kr. Även om stilen och färgvalet påminner mycket om de minoiska konstverken är skillnaden i motiv slående, något som kanske speglar den mykenska kulturens mer utsatta läge på fastlandet.

Även om det mykenska maktövertagandet kanske var olyckligt för de erövrade minoerna, är det en av nyckelhändelserna i det minoiska tal- och skriftsystemets utveckling och för våra förutsättningar att förstå det. Till skillnad från minoiskan, som till synes är helt obesläktat med alla kända språk (vissa släktingar har föreslagits, men de är utan undantag minst lika mystiska själva), var mykenskan ett indo-europeiskt språk och troligtvis den äldsta kända varianten av det som skulle bli dagens grekiska.

Det mykenska skrivtecknen var således mycket lika de minoiska - man har kommit fram till att språken delade runt 80 procent av teckenuppsättningen. Den mykenska varianten av alfabetet har fått namnet Linear B, att jämföra med minoiskans Linear A. Detsamma gäller för talsystemen, som var uppbyggda på mycket liknande sätt. De skillnader som fanns motsvarar de man naturligen skulle kunna förvänta sig av språkens föränderlighet, under loppet av de århundraden som språket var i bruk förändrades naturligtvis formen på de handskrivna tecknen gradvis. På så sätt omvandlades exempelvis tecknet för 10, som i minoiskan varit en punkt, till att i mykenskan bli ett horisontellt streck.

Mykensk bokföring nedtecknades på lagom stora, cigarrformade lerbitar som kavlades ut till avlånga tavlor, som förstördes när räkenskapsåret var slut. En eldsvåda räddade däremot de här lertavlorna genom att bränna dess gods, så att de numera kan beskådas i rum 12 på British Museum i London.  På den minsta tavlans översta rad kan man läsa

 

där det första tecknet betyder bagge, följt av siffran två. Därefter kommer tecknet för tacka, följt av siffran 72. På raden under står

där den första delen betyder pa-i-to, det mykenska namnet på staden Phaistos, och återigen tecknet för bagge, den här gången följt av siffran 8.

I allra högsta grad formades det mykenska talsystemet av de omständigheter som det användes under. Behovet av ett talsystem uppkom först när storgårdar och statsbildningar nådde en storlek som krävde skriftlig administration. Den bokföring som fördes begränsade sig därför också till de varor och kvantiteter som var relevanta för storgården eller rent av för ett mindre kungarike - en halv eller en femtedels amfora av något var i det perspektivet inte längre särdeles relevant.

Kanske var det av denna anledning, som bråktalen föll bort under överföringen av det minoiska talsystemet till dess nya mykenska brukare. En annan anledning är också att man på det mykenska fastlandet använde sig av mindre enheter, istället för minoernas otympligt stora 30-litersurnor. De mykenska enheterna förefaller mycket mer praktiskt lagda, och verkar ha överensstämt med vad en person kan bära. Därför fanns också olika enheter för olika sorters varor - tio liter säd väger bara drygt hälften av vad tio liter vin.

Men eftersom vår kännedom om det mykenska talsystemet så gott som uteslutande baserar sig på arkeologiska fynd, kan man inte utesluta att beräkningar gjordes även i andra sammanhang, men att de gjordes på billigare och mindre långlivade material, som trä eller rent av på fuktad sand. Dessa beräkningar kanske rörde mindre kvantiteter, men vi kan bara spekulera i vilka tecken som användes för att beskriva dem. Exempelvis har nästan inga måttkärl bevarat, troligtvis eftersom sådana karvades ur trä - att uppnå sådan noggrannhet med mer tåligt lergods, som förändrar form under bränningen, är i princip omöjligt.

Den forntida stad som givit civilisationen dess namn, Mykene, ligger på en höjd, med utsikt över den omgivande, bördiga jordbruksmarken. Redan under bronsåldern odlades här fikon, oliver, vin och spannmål. För de kvantiteter av jordbruksprodukter som odlades här, behövdes säkerligen den största av de mykenska viktenheterna, talanton, som delades upp i trettio mindre enheter, som kallades dimnaion, som fortsatte att användas på Cypern långt in i antiken. Mer att läsa om jordbruk och mykenska enheter finns i John Chadwicks The Mycenaean World. Foto: Hansueli Krapf, CC-BY-SA 3.0

Genom att analysera handstilen från de tusentals mykenska inskriptioner som har hittats, har man också kunnat konstatera att alla författats av en begränsad grupp skriftlärda, främst samlade kring de olika kungliga hoven. Det var även här som alla beräkningar och all bokföring gjordes, vilka tillsammans utgjorde det mykenska talsystemets hela användningsområde. Denna ensidighet som de arkeologiska fynden indikerar utgjorde också ett hot mot tal- och skriftsystemets överlevnad, för när statsbildningarna och därmed bokföringen kollapsade, följde både alfabetet och taltecknen snabbt efter.

Både den minoiska och den mykenska kulturen hörde hemma i den grekiska bronsåldern, en period som fick ett dramatiskt slut kring år 1100 f.Kr. Liksom med den minoiska kulturens fall är de exakta orsakerna till den mykenska civilisationens kollaps höljda i historiens dimma. Flera teorier har presenterats om att klimatförändringar, kanske orsakade av utsläpp av sot och växthusgaser från ett vulkanutbrott, skulle ha orsakat missväxt, desperation och politisk instabilitet, eller att ett vulkanutbrott i sig skulle har orsakat förödelse och katastrof. Vissa har till och med djärvts föreslå, att det inte alls rörde sig om någon bronsålderskollaps, utan att arkeologerna bara har letat på fel ställen. Hur det ligger till med den saken, lär framtiden få utvisa.

Efter att ha gjort stora vinster i indigohandeln begav sig Heinrich Schliemann till Grekland och fann inför en misstroende världs ögon sagornas Troja. Därefter, i Alf Henrikssons välfunna ord, "begav han sig efter Iliadens anvisningar till de trakter varifrån stadens förstörare skulle ha kommit och grävde där med sömngångaraktig säkerhet fram även det guldrika Mykene, Agamemnons stad." På bilden syns lejonporten, stadens mest berömda kännemärke.

I det kaos som rådde de följande två århundradena dog de sista spillrorna av det mykensk-minoiska skrift- och talsystemet ut. Ur askan växte istället ett nytt Grekland fram - ett Grekland som inte minst blivit känt genom Homeros två mäktiga epos, Iliaden och Odysséen, Thales upptäckter och Pythagoras uppseendeväckande leverne.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den andra delen i serien.

Det romerska talsystemet

Det romerska talsystemet har kommit att bli ett långlivat system. Med sina rötter i den norditalienska förhistorien, har det levat kvar och utvecklats genom antiken, medeltiden och renässansen, för att fram till vår tid leva sida vid sida med det indo-arabiska talsystemet. På vägen har mycket skett, som påverkat hur det använts och fungerat. Här syns talet 52 på en antik inskription på Kolloseum i Rom. Foto: Ben Mitchell, CC-BY-SA 3.0.

Det romerska talsystemet, som tvärtemot vad namnet antyder egentligen är mycket äldre än den romerska civilisation själv, är ett av vår världs äldsta ännu levande arv från det förgångna. Fortfarande, efter mer än tretusen år, är det i daglig användning i stort sett alla av samhällets områden, för att numrera alltifrån kungligheter till klockslag och närhelst annars de indo-arabiska siffrorna inte riktigt skulle passa. På sätt och vis är det därför märkligt att kalla de romerska siffrorna för romerska, dels för att de är äldre än romarna, och dels för de lika mycket är våra, som de inte egentligen är romarnas.

Principen bakom det romerska talsystemet är mycket enkel och har ett omfång på sju bokstäver, som vardera tilldelats ett siffervärde:

I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

På så sätt är det romerska talsystemet mycket platseffektivt när det kommer till att skriva höga, jämna tal, som t.ex. hundra eller tusen, medan mer ovanliga tal blir desto mer komplicerade. Om bokstäverna placeras i sjunkande följd skall de adderas, så att VI = 6, medan de skall subtraheras om de placeras i stigande följd, alltså IV = 4. Därför skrivs 558 som DLVIII, men 559 som DLIX. År 2000 är lätt att skriva, MM, till och med kortare än med indo-arabiska siffror, men 1492 blir desto längre, MCDXCII.

Det romerska talsystemets position var ohotad i vart fall fram till början av tolvhundratalet, då Leonardo från Pisa, mer känd under tillnamnet Fibonacci, publicerade sin bok Liber Abaci, där han – utöver att han uppfann världens säkerligen mest berömda talserie – för första gången introducerade den europeiska befolkningen till de indo-arabiska siffrornas krafter. (Fibonacci, hans siffror och deras väg från Indien till Europa kan du läsa mer om i detta inlägg.)

Tävlingar som denna från 1527, där en deltagare använde en abakus och romerska siffror (i det här fallet mannen längst till höger) och den andra papper och penna och indo-arabiska siffror (här mannen längst till vänster), var vanliga i den tid då de indo-arabiska siffrorna var nya. Man ville ta reda på vilket räknesätt som gav snabbast resultat, men framförallt säkerställa att båda svarade likadant. Misstron mot de nya siffrorna var utbredd – det var inte för inte som en förvirrad publik omvandlade arabiskans sifr, som betyder noll, det nya tal som följde med det indo-arabiska talsystemet, inte bara till siffra, utan också det mer nedvärderande chiffer.

Den grundläggande skillnaden mellan det indo-arabiska och det romerska talsystemet kan ses i ljuset av deras användningsområden. De romerska talen användes för att skriva ned saker, för att överföra eller bevara information, medan själva beräkningarna alltid gjordes på en abacus eller kulram. Användningen av kulramar var vitt spridd redan under romersk tid, då bläck och papper dessutom var något dyrt som inte användes i onödan.

Kraften i de indo-arabiska talen visar sig först när man börjar göra beräkningar med dem, när själva matematiken utförs i siffror på papper och inte med kulram. Introduktionen av indo-arabiska siffror är därför tätt kopplad till kulramens tillbakagång.

De nya talen, som när de kom till Europa redan under lång tid använts av indiska och sedan även arabiska astronomer, var inte bara ett talsystem för den tidiga medeltidens relativt enkla ekonomiska beräkningar, utan för matematisk akrobatik med trigonometriska funktioner och för de invecklade ekonomiska konstruktioner som började att uppkomma mot medeltidens slut. Plötsligt gällde handeln inte mynt eller får utan summor som skulle överföras från en valuta till en annan, procent av belopp, räntor och mycket annat. Som de medeltida matematikerna snart fick erfara var sådana övningar stort sett omöjliga att genomföra med de gamla, romerska talen.

Motståndet mot de nya siffrorna var dock stort även bland de som själva utförde sina beräkningar. För att möta de allt mer komplexa matematiska behov som började uppkomma utan att fördenskull släppa de gamla beprövade talen, började det tidigt att uppkomma olika slags anpassningar och tillägg, i många fall århundraden innan de indo-arabiska siffrorna blev kända. Inte minst krävdes redan på tidigt stadium avancerade astronomiska beräkningar för att bestämma påskens datum, något som under lång tid utgjorde en grundläggande matematisk stridsfråga (som du kan läsa mer om i det här inlägget). När beräkningarna började innehålla högre tal och fler tal, behövdes smidigare sätt att skriva dem på. Därför uppfann de medeltida matematikerna nya bokstäver, som O för 11 från franskans onze, N för 90, från latinet nonaginta, eller F för 40, från engelskans forty.

S, härlett från latinets septem, kunde stå för 7, men kunde från latinets septaginta lika väl betyda 70. Från det grekiska talsystemet lånade man stigma, Ϛ, med betydelsen 6. Den vördnadsvärde Beda, som levde och verkade i 700-talets England, förkortade latinets nulla, noll, till N, trots att bokstaven redan användes för att beteckna 90. Här ses han på en tavla av James Doyle Penrose från 1902 i färd med att översätta Johannesevangeliet.

Men Europa är stort och medeltidens människor talade än fler språk än vad vi gör idag, och eftersom många tal till råga på allt börjar på samma bokstav kom nog de nya tilläggen till det romerska talsystemet i längden att kosta mer än de smakade. För det romerska talsystemet kvarstod ändå en rad grundläggande problem:

1. Bråkräkningen var mycket mindre välutvecklad och i allt väsentligt härledd från romerska myntenheter.
2. Negativa tal, i den mån de ens gick att skriva, var klumpiga och lätta att missförstå.
3. Trots trevande försök saknades ett gemensamt sätt att skriva talet noll.

Kort sagt saknade det romerska talsystemet standardisering, utan varierade istället vilt från författare till författare och mellan olika platser. När handeln blev internationell och vetenskapen fortskred räckte det helt enkelt inte längre till. Numera finns det vissa regler även för det romerska talsystemet, men om man tittar noga på de antika siffrorna ser man att de reglerna inte alltid stämmer. Romarna skrev nämligen på känsla, och först i modern tid har man försökt att standardisera det romerska talsystemet.