När matematiken skapade världen – matematikens födelse i mänsklighetens gryning

Lebombobergen på gränsen mellan Moçambique, Swaziland och Sydafrika var kanske hem åt världens första matematiker. Någon gång i mänsklighetens gryning satt det någonstans i de här bergen en människa och karvade i ett vadben från en babian. För eftervärlden har benet blivit berömt som Lebombobenet, och människan som karvade det har ovetandes blivit världens kanske första matematiker. Foto: Bob Rayner, CC-BY-SA 2.0

I en tid skild från vår egen med någonstans uppemot åttio tusen år satt världens kanske första matematiker i det som idag benämns Lebombobergen och karvade mönster i ett vadben från en babian. Resultatet blev vad vi idag kallar Lebombobenet, världens äldsta tecken på matematiskt tänkande. Lebombobenet, och det några millennier yngre Ishangobenet, markerar startpunkten på en epok i vilken människan använt sig av matematiken för att tolka och förändra sin omvärld. Lebombobenet är en produkt av människans vilja att förstå, likaväl som hennes förmåga att med sina händer och med sitt intellekt skapa och använda verktyg och redskap.

Lebombobenet markerar det första kända mänskliga försöket att genom nedtecknad matematik förstå och avbilda sin omvärld. Det föregicks säkert av en mycket lång tid under vilken all matematik var muntlig – man frågade hur många som skulle jaga, hur många frukter man hittat eller hur många dagar det var sedan man senast träffats. Att i ett i övrigt helt muntligt samhälle komma på tanken att nedteckna matematiken är ett mycket stort steg, som säkert föregicks dels av ritningar i sanden, och dels av försök att karva i exempelvis trä. Man kan därför ana att det var just viljan att bevara beräkningen, eller att genomföra den under en längre tid, som föranledde att man tog till ett ben och en vass kniv – så vad var det som kunde ha varit så intressant att bevara? Vad räknade den här tidens människor egentligen på?

Ishangobenet, världens näst äldsta tecken på matematiskt tänkande, vilket Lebombobenet lär vara mycket likt. Av någon outgrundlig anledning har dock Lebombobenet erhållit väsentligt sämre mediatäckning. (Med andra ord: Det finns inga tillförlitliga bilder på Lebombobenet på hela den vida webben!)

Från den allra första tiden av mänsklighetens existens har matematiken varit en del av att forma vår världsbild. Colin Renfrew och Iain Morley delar i boken The Archaeology of Measurement upp människans (och därmed matematikens) utveckling i två faser: till att börja med den fas, under vilken vår art fortfarande var under utveckling, då människoliknande föregångararter lärde sig att använda stenredskap och -verktyg, och därefter den fas, som kom efter att vår art spritts över kontinenterna, då stenredskap användes till att skapa hyddor, hyddor blev till bostadshus och jägare slutligen blev till jordbrukare. Lebombobenet ligger precis i gränslandet mellan de två olika faserna.

Den andra fasen är den fas under vilken vår särart som tänkande människor med komplexa världsåskådningar kan sägas ha uppkommit. Just på grund av behovet av att mäta avstånd för att bygga, antal för att jaga, men kanske allra mest tid för att kunna odla, växte en världsbild fram som baserade sig på måttet och vad måttet gjorde med världen. Genom att mäta förändras nämligen världen: Den blir abstrakt. Renfrew och Morley skriver:

In some cases [these abstractions] offer a suggestion, a hint of order in the world. [...] The successive cycles of the Maya calendar, for instance, offer a picture of time flowing steadily forward through a series of eras. Such ideas must first have been stimulated by the practice of measuring time. And they lead on offer the possibility also that human affairs can be ordered in such a way as to fall into step with the harmonious structure that may have been detected."

Stenåldersmonumentet Newgrange på Irland, som här lyser vitt vid horisonten, är ett exempel på hur stenålderns människor intresserade sig för att mäta tid – vid vårdagjämningen lyser solen nämligen rakt in genom ett hål ovanför ingången. På så sätt visste människorna när det var dags att så. Samtidigt skapade monumentet en känsla av återkommande cykler av tid, som säkerligen måste ha påverkat människornas världsbild. Foto: Yvonne Ní Mhuiregán, CC-BY-SA 4.0

Morley skriver om matematikens användning i människans tidiga utveckling. Människan är en social varelse och för vår överlevnad och vårt tänkande står gruppen i centrum. Stenåldersmänniskan var helt beroende av sin grupp, klan eller familj. Vikten av gruppens överlevnad, och oron för motsatsen, måste därför ha satt stora avtryck i den tidiga människans tankevärld och därigenom i hennes sätt att formulera matematik. Även om man lätt kunde se ifall någon i gruppen saknades, ville man säkert räkna på sådant som antalet jägare som behövs för att fälla ett visst byte. I förlängningen fanns säkert också en vilja att jämföra olika gruppmedlemmars bidrag.

Andra viktiga aspekter som stenålderns människor med all säkerhet kände ett behov av att räkna på var de resurser som stod gruppen till buds, i form av bland annat råvaror, mat och redskap. Från den här räkningen stammade även begreppet om olika varors relativa värde – fem får för en oxe – något som får sin naturliga användbarhet i handeln. På ett större plan var matematiken med och skapade människornas världsbild, i form av egenskaper hos olika föremål – till exempel mått, vikt eller volym. Först här kan man säga att matematiken på riktigt var med och skapade människornas värld, när relativa påståenden – "det här kruset rymmer mer än det där" – ersattes av definitiva – "det här kruset är stort eftersom det rymmer fem liter". Olika kulturer hade olika måttenheter, men gemensamt hade de att måttenheterna förändrade världen.

Men också på många andra områden förändrade matematiken världen. Från de naturliga cyklerna – dag, natt, månad och år – skapade människan egna. En nyckeluppfinning i den här processen var med all säkerhet soluret, med vars hjälp matematiken för första gången fick grepp om tiden. Med en noggrannare indelning av dagen blev det plötsligt lättare att organisera större sammanslutningar av människor, samtidigt som kopplingen mellan matematiken och världen tydliggjordes som aldrig någonsin tidigare. I den meningen kan man säga att matematiken inte bara skapade världen, utan också samhället.

Soluret möjliggjorde en noggrannare uppdelning av tiden än vad naturen i sig erbjuder, och var därför en av grundstenarna i uppkomsten av de stora högkulturerna. De äldsta soluren stammar från det antika Egypten, medan det här hellenistiska soluret, som hittades i Ai Khanoum i dagens Afghanistan, kommer från 300- eller 200-talet. Notera att halvcirkeln delats upp i tolv delar. Foto: Wikimediaanvändare World Imaging, CC-BY-SA 3.0

Under stenåldern, under tiden då de första högkulturerna började utvecklas, och ända fram i vår egen tid, har en av gruppens allra viktigaste uppgifter varit matförsörjningen. Utan mat ingen matematik – och varken samhälle eller liv heller. Vägen från muntliga beräkningar till beräkningar i skrift var ett stort steg, men ett nödvändigt sådant för alla begynnande högkulturer. Ur matförsörjningen kom byråkratin, och ur byråkratin skriftspråket. Inte minst tydligt är denna övergång i Mesopotamien, i en process som beskrivs av Denise Schmandt-Besserat i ovannämnda bok, där beräkningar med minneshjälpmedel sakta övergick till kilskrift under århundradena före 3000 f.Kr.

Redan för mer än nio tusen år sedan, samtidigt som jordbruket för första gången började få fäste, började människor använda sig av små lerfigurer för att bokföra sina skördar. De mesopotamiska lertecknen var en till två centimeter stora och hade olika former; bland dem finner man små koner, sfärer och cylindrar. De äldsta sådana tecknen kommer från en utgrävning i Mureybet i dagens Syrien. Fyndplatsen grävdes ut under 60- och 70-talen och är idag översvämmad av Asadsjön, en vattenkraftsdamm och vattenreservoar.

Samtidigt med jordbrukets och byråkratins uppkomst upptäckte människorna behovet av att kunna bokföra sina varor; under de fem följande årtusendena spreds användningen av den här sortens lertecken över hela Mesopotamien. Just dessa lertecken kommer från Susa, i dagens Iran, och stammar från 3000-talet f.Kr. Idag återfinns de på Louvren i Paris.

Kännetecknande för de här tecknen var en sammansmältning av räkningen och det räknade. Om ovala tecken betydde krus med olja, så betydde ett sådant tecken alltid ett kärl med olja. På samma sätt som ordet "tvillingar" på svenska oupplösligt sammanför antalet (två) med det som räknas (syskon som fötts samtidigt), förde tecknet för krus med olja samman antalet (ett) och det som räknades (krus med olja). För fem lerkrus med olja behövdes fem tecken.

Efterhand började lerfigurerna att samlas ihop i små behållare. Lertecknen trycktes mot utsidan, så att små avtryck på behållarens utsida angav vad behållaren innehöll. På en sådan behållare som hittades i Habuba Kabira i dagens Syrien, idag översköljt av Tabqadammen, fanns sju avtryck av tecknet för oljekrus – och inuti låg mycket riktigt sju små, ovala lertecken fortfarande kvar. När behållaren väl förslutits fick den det värde som angavs på utsidan – det gick inte längre att kontrollera innehållet utan att utan att ta sönder behållaren. Behållarna ersattes snart med massiva bollar av lera, som plattades ut och blev till lertavlor. Så småningom började man rita symbolerna istället för att trycka figurerna mot leran och därmed hade den kilskriftens första föregångare sett dagens ljus.

När bokföringen utvecklades började lertecknen samlas ihop i små behållare som sedan förslöts. Innan leran stelnat pressades de lertecken som skulle förvaras inuti behållaren mot utsidan. Behållarens värde motsvarade det antal tecken som pressats mot utsida. Också det här föremålet kommer från 3000-talets Susa och finns idag på Louvren.

Fortfarande fanns dock ett ett-till-ett-förhållande mellan antalet tecken och det antal varor de symboliserade: En trekant betydde en enhet korn, två trekanter betydde två enheter korn, och så vidare. Detta förhållande mellan antal och vara bröts först i slutet av 3000-talet f.Kr. i och med övergången till så kallade piktografiska tecken – något som med visshet kan sägas vara ett av de allra största genombrotten i matematikens historia. Den ovala formen förlorade sin betydelse som "ett krus med olja" och blev enbart "krus med olja". Framför tecknet sattes istället världens äldsta siffertecken – en liten trekant för 1, en cirkel för 10 och en stor trekant för 60. När kvantiteterna växte i takt med att jordbruket blev effektivare, människorna fler och statsbildningarna större innebar siffertecknen en väsentlig platsbesparing. Istället för att behöva 33 tecken för att skriva 33 krus med olja, något som dessutom lätt kan bli oöverskådligt, behövdes bara sju – tre cirklar, tre små trekanter och ett tecken för krus med olja. (På den här sidan finns mer om de mesopotamiska lerfigurerna och deras utveckling till kilskriften samt bild på de tidiga piktografiska tecknen [figur 4 och 5].)

I talens och varornas uppdelning kan vi också se de första riktiga siffrornas födelse. Med deras hjälp skulle den sumeriska matematiken komma att blomstra – separerade från tingen kunde de abstrakta siffrorna få eget liv och användas för att göra beräkningar om helt andra saker än byråkrati. Samtidigt ärvde de nya, abstrakta siffrorna något från lertecknen som föregick dem, förmågan att adderas och subtraheras, divideras och multipliceras. De lertecken som för mer än femtusen år sedan användes av Mesopotamiens människor var på så sätt den första formen av själva konceptet tal. Men, det är ju klart, tydligheten i att två lertecken plus tre lertecken blir fem lertecken kan aldrig ersättas av abstrakta siffertecken på en lertavla – och kanske var det därför de två systemet samexisterade, sida vid sida, i omkring tusen år.

Del 1: Talsystem och matematik i bronsålderns Grekland

Trots att det grekiska talsystemet användes av de flesta av antikens mest namnkunniga matematiker - Thales, Pytagoras, Euklides, Eratosthenes, Aristoteles och Arkimedes - kommer det ofta i skymundan av sin romerska motsvarighet. För den praktiskt lagde må de två talsystemen kanske vara sak samma, för även om de är olika varandra är de lika hopplöst trassliga i jämförelse med det indo-arabiska. Men, å andra sidan, varför låta något sådant fördärva en god historia?

Sir Arthur Evans upptäckte och namngav den minoiska kulturen, som blomstrade på Kreta under den grekiska bronsåldern och skapade ett av Greklands äldsta kända skrift- och talsystem. Ännu fri från den moderna arkeologins skrupler, satte Sir Arthur Evans efter att ha upptäckt palatset på Knossos - en gång den minoiska kulturens epicentrum - igång med att återuppbygga det. Hur nära sanningen han egentligen kom lär vi aldrig få veta, men det är förstås inget som bekommer vare sig turistnäring eller fantasi. Foto: Aviad Bublil, CC-BY-SA 3.0

Det äldsta skriftspråk som utvecklades i den egeiska övärlden kommer från det minoiska folket, som en gång bebodde Kreta, och som under numer berömda former upptäcktes av den engelske arkeologen Sir Arthur Evans. I egentlig mening var Evans inte Knossos upptäckare, men blev år 1900 den förste att genomföra utgrävningar på den plats som kom att göra honom berömd.

Innan hustrun Margarets död hade Evans kommit över en inskription på ett okänt språk. Redan när han landsteg på Kreta 1894, hittade han tydliga spår av samma språk och kunde konstatera att han hittat inskriptionens ursprung. Men att låta upptäckten leda till utgrävningar var dessvärre inte möjligt, eftersom Kreta vid tiden tillhörde det ottomanska riket, som med avsikt att hindra utgrävningar krävde att arkeologerna först köpte hela området för ett mycket högt satt pris. Konstruktionen, känd som firman efter det dekret som krävdes för att få tillstånd för utgrävningar, hade flera gånger tvingat arkeologer att tomhänta återvända hem, bland dem Trojas och Mykenes upptäckare Heinrich Schliemann.

Efter att ha besegrat en Venedig och Nederländerna 1649 förblev Kreta en del av det ottomanska riket i nära 250 år. Först när ottomanerna drog sig tillbaka släpptes de regler, som i princip innebar ett förbud mot arkeologiska utgrävningar. Upptäckten av den minoiska kulturen, dess konst, dess byggnader men kanske främst dess språk och sedermera även dess talsystem, följde kort därefter. Denna tavla målades sju år efter slaget av den vid tillfället trettonårige Abraham Beerstraten.

Efter att de sista ottomanska trupperna fyra år senare lämnat ön, stod det Evans slutligen fritt att påbörja sina utgrävningar. Det visade sig snart att det mystiska språket hörde hemma i en tidigare okänd civilisation, som Evans namngav den minoiska kulturen, som genom sitt uttrycksfulla formspråk, mystiska ursprung och plötsliga undergång alltsedan dess har fascinerat såväl forskare som allmänhet. Det minoiska språket, som nedtecknades med Linear A-alfabetet, saknar levande släktingar och har förblivit odechiffrerat, något som minst sagt bidragit till det minoiska mysteriet.

Med siffrorna är det turligt nog något bättre ställt. Eftersom den huvudsakliga uppgiften för skriftspråket vid den här tiden var affärsöverenskommelser, innehåller de flesta kända fragment på ett eller annat sätt siffror. Från fragmenten framträder en bild av ett talsystem, som inte så överraskande har stora likheter med det egyptiska, som minoerna redan på tidigt stadium förde handel och hade kulturutbyte med. Liksom det egyptiska talsystemet hade det minoiska siffertecken för 1 (ett vertikalt streck), 10 (en prick), 100 (en ring) och 1000 (en ring med streck).

Linear A-inskriften från Hagia Triada verkar vara en bokföringslista från vinhandeln. På raden längst ned, från vänster till höger, finns först två tecken, som enligt nuvarande teori skall utläsas ku-ro, som ofta användes i räkenskaper och troligtvis betydde summa. Därefter kommer en ring, tre prickar och ett L-liknande vinkeltecken. Dessa är själva siffertecknen - ringen betyder hundra, prickarna betyder vardera tio och vinkeln en halv. Summan i fråga är alltså 130,50. Om det sedan är volym, pris eller något helt annat, får antas underförstått om man bara hade förstått resten av texten.

De minoiska enheterna baserade sig på storleken på förvaringskärlen, de så kallade pithoi. Ett sådant kärl rymde ungefär 30 liter, så de minoiska enheterna var följaktligen ganska stora. Därför var det nog inte så sällan som man ville ha en halv, en åttondels, eller kanske just hundratrettio och en halv amfora vin och för det krävdes ett ganska märkvärdigt matematiskt grepp: bråkräkning.

Återigen är det likheten med det egyptiska talsystemet som är mest slående, de som bland annat använde bråkal för att lösa några av världens äldsta andragradsekvationer. I likhet med sina sydliga handelspartners använde sig minoerna nämligen endast av bråk med 1 som täljare. Genom att addera dem med varandra och med heltal kunde man konstruera alla rationella tal, vilket var allt den tidens människor kände till.

Från vinkeln, tecknet för en halv som i exemplet om vinhandeln, gick minoerna vidare och skapade fler tecken för bråktal - endast några få av dessa är kända för oss. Bland annat kunde man konstruera tecknet för en fjärdedel genom att vända på vinkeln, och drog man sedan ett streck rakt över, så att tecknet för en fjärdedel delades i två, betydde det logiskt nog en åttondel. Ett kors betydde en femtedel och två kors betydde då föga överraskande två femtedelar.

Någon påhittig person har räknat ut att de fragment av minoiska texter och inskrifter som finns bevarade tillsammans inte utgör mer än en dryg A4, och då är det ju inte så märkligt att man någonstans kommer till en gräns där vår kunskap inte sträcker sig mycket längre, för det behövs till slut en viss tur, för att någon skall ha plitat ned just det tecknet på ett fragment som kom att överleva i nästan fyra tusen år. Det finns även hypoteser om tecken för tolftedelar, sextondelar och mycket annat, men de flesta bråktal fortfarande lite utav en gissningslek, om än en ganska intressant sådan, som du kan läsa mer om exempelvis på den här sidan. Och på den här sidan finns mer om Linear A och det minoiska språket.

Dessa rikt dekorerade pithoi, förvaringskärl, hittades på Knossos (bortsett från den bortersta, som hittades i Tylissos) och finns idag på det närbelägna arkeologiska museet i Heraklion. De användes för vinförvaring och ser passande nog ut att rymma ungefär 30 liter. Foto: J. Ollé, CC-BY-SA 3.0

Kreta, så heter ett land mitt ute på blånande djupet

vågomsvallat och bördigt och skönt; där finnes det mänskor

tusendetals, en oräknelig mängd, och nittio städer.

Språken där ljuda i kapp om varann, ty där finnas achaier,

finnas behjärtade kreter i mängd och stolta kydoner,

finnas ock dorer av stammarna tre och bålde pelasger.

Men bland städerna Knossos är störst, där Minos var konung,

vilken vart nionde år med den mäktige Zeus fick ett samtal

Homeros Odysséen, i översättning av Erland Lagerlöf.

Orsakerna till den minoiska kulturens plötsliga nedgång under mitten av 1400-talet f.Kr. har blivit ett kontroversiellt ämne, där såväl vulkanutbrott som skogsavverkning och ekosystemkollaps har föreslagits. Kort därefter erövrades ön av mykenska makthavare, som tog till sig det minoiska skrift- och talsystemet.

Vanligtvis avbildade de mykenska freskerna krigiska motiv, som t.ex. denna stridsvagn från 1200-talet f.Kr. Även om stilen och färgvalet påminner mycket om de minoiska konstverken är skillnaden i motiv slående, något som kanske speglar den mykenska kulturens mer utsatta läge på fastlandet.

Även om det mykenska maktövertagandet kanske var olyckligt för de erövrade minoerna, är det en av nyckelhändelserna i det minoiska tal- och skriftsystemets utveckling och för våra förutsättningar att förstå det. Till skillnad från minoiskan, som till synes är helt obesläktat med alla kända språk (vissa släktingar har föreslagits, men de är utan undantag minst lika mystiska själva), var mykenskan ett indo-europeiskt språk och troligtvis den äldsta kända varianten av det som skulle bli dagens grekiska.

Det mykenska skrivtecknen var således mycket lika de minoiska - man har kommit fram till att språken delade runt 80 procent av teckenuppsättningen. Den mykenska varianten av alfabetet har fått namnet Linear B, att jämföra med minoiskans Linear A. Detsamma gäller för talsystemen, som var uppbyggda på mycket liknande sätt. De skillnader som fanns motsvarar de man naturligen skulle kunna förvänta sig av språkens föränderlighet, under loppet av de århundraden som språket var i bruk förändrades naturligtvis formen på de handskrivna tecknen gradvis. På så sätt omvandlades exempelvis tecknet för 10, som i minoiskan varit en punkt, till att i mykenskan bli ett horisontellt streck.

Mykensk bokföring nedtecknades på lagom stora, cigarrformade lerbitar som kavlades ut till avlånga tavlor, som förstördes när räkenskapsåret var slut. En eldsvåda räddade däremot de här lertavlorna genom att bränna dess gods, så att de numera kan beskådas i rum 12 på British Museum i London.  På den minsta tavlans översta rad kan man läsa

 

där det första tecknet betyder bagge, följt av siffran två. Därefter kommer tecknet för tacka, följt av siffran 72. På raden under står

där den första delen betyder pa-i-to, det mykenska namnet på staden Phaistos, och återigen tecknet för bagge, den här gången följt av siffran 8.

I allra högsta grad formades det mykenska talsystemet av de omständigheter som det användes under. Behovet av ett talsystem uppkom först när storgårdar och statsbildningar nådde en storlek som krävde skriftlig administration. Den bokföring som fördes begränsade sig därför också till de varor och kvantiteter som var relevanta för storgården eller rent av för ett mindre kungarike - en halv eller en femtedels amfora av något var i det perspektivet inte längre särdeles relevant.

Kanske var det av denna anledning, som bråktalen föll bort under överföringen av det minoiska talsystemet till dess nya mykenska brukare. En annan anledning är också att man på det mykenska fastlandet använde sig av mindre enheter, istället för minoernas otympligt stora 30-litersurnor. De mykenska enheterna förefaller mycket mer praktiskt lagda, och verkar ha överensstämt med vad en person kan bära. Därför fanns också olika enheter för olika sorters varor - tio liter säd väger bara drygt hälften av vad tio liter vin.

Men eftersom vår kännedom om det mykenska talsystemet så gott som uteslutande baserar sig på arkeologiska fynd, kan man inte utesluta att beräkningar gjordes även i andra sammanhang, men att de gjordes på billigare och mindre långlivade material, som trä eller rent av på fuktad sand. Dessa beräkningar kanske rörde mindre kvantiteter, men vi kan bara spekulera i vilka tecken som användes för att beskriva dem. Exempelvis har nästan inga måttkärl bevarat, troligtvis eftersom sådana karvades ur trä - att uppnå sådan noggrannhet med mer tåligt lergods, som förändrar form under bränningen, är i princip omöjligt.

Den forntida stad som givit civilisationen dess namn, Mykene, ligger på en höjd, med utsikt över den omgivande, bördiga jordbruksmarken. Redan under bronsåldern odlades här fikon, oliver, vin och spannmål. För de kvantiteter av jordbruksprodukter som odlades här, behövdes säkerligen den största av de mykenska viktenheterna, talanton, som delades upp i trettio mindre enheter, som kallades dimnaion, som fortsatte att användas på Cypern långt in i antiken. Mer att läsa om jordbruk och mykenska enheter finns i John Chadwicks The Mycenaean World. Foto: Hansueli Krapf, CC-BY-SA 3.0

Genom att analysera handstilen från de tusentals mykenska inskriptioner som har hittats, har man också kunnat konstatera att alla författats av en begränsad grupp skriftlärda, främst samlade kring de olika kungliga hoven. Det var även här som alla beräkningar och all bokföring gjordes, vilka tillsammans utgjorde det mykenska talsystemets hela användningsområde. Denna ensidighet som de arkeologiska fynden indikerar utgjorde också ett hot mot tal- och skriftsystemets överlevnad, för när statsbildningarna och därmed bokföringen kollapsade, följde både alfabetet och taltecknen snabbt efter.

Både den minoiska och den mykenska kulturen hörde hemma i den grekiska bronsåldern, en period som fick ett dramatiskt slut kring år 1100 f.Kr. Liksom med den minoiska kulturens fall är de exakta orsakerna till den mykenska civilisationens kollaps höljda i historiens dimma. Flera teorier har presenterats om att klimatförändringar, kanske orsakade av utsläpp av sot och växthusgaser från ett vulkanutbrott, skulle ha orsakat missväxt, desperation och politisk instabilitet, eller att ett vulkanutbrott i sig skulle har orsakat förödelse och katastrof. Vissa har till och med djärvts föreslå, att det inte alls rörde sig om någon bronsålderskollaps, utan att arkeologerna bara har letat på fel ställen. Hur det ligger till med den saken, lär framtiden få utvisa.

Efter att ha gjort stora vinster i indigohandeln begav sig Heinrich Schliemann till Grekland och fann inför en misstroende världs ögon sagornas Troja. Därefter, i Alf Henrikssons välfunna ord, "begav han sig efter Iliadens anvisningar till de trakter varifrån stadens förstörare skulle ha kommit och grävde där med sömngångaraktig säkerhet fram även det guldrika Mykene, Agamemnons stad." På bilden syns lejonporten, stadens mest berömda kännemärke.

I det kaos som rådde de följande två århundradena dog de sista spillrorna av det mykensk-minoiska skrift- och talsystemet ut. Ur askan växte istället ett nytt Grekland fram - ett Grekland som inte minst blivit känt genom Homeros två mäktiga epos, Iliaden och Odysséen, Thales upptäckter och Pythagoras uppseendeväckande leverne.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den andra delen i serien.

Mätning, meter och mäteri – meterns historia

Även om vår måttskala för temperatur – den som är 0 grader vid vattnets fryspunkt och 100 vid dess kokpunkt och uppkallats efter sin uppfinnare, Anders Celsius – är en svensk uppfinning rimmar den mycket likt de nya måttskalor som skapades under den franska revolutionen. Ett sätt att se revolutionen 1789 är som ett uttryck för en vilja att ändra, att effektivisera och att modernisera, där jämlikhet och modernisering skulle gå hand i hand med förenkling och standardisering, inte minst av måttsystemen. De nya måttenheterna skulle vara frikopplade från historiska orsaker, religion och rivaliteter.

Reformivern under sjuttonhundratalets slut tog sitt uttryck inte bara inom politiken, utan även inom naturvetenskaperna. Med samma dramatik som Robespierre lät halshugga den gamla regimens företrädare, som på den här anonyma 1800-talstavlan avbildats strax före gripandet, for de revolutionära matematikerna, fysikerna och kemisterna ut mot de gamla och förlegade måttenheterna.

Det nya systemets förlänades tack vare sin överskådlighet och sammanhållning för det mesta framgång, även om de radikala förändringarna mötte på visst motstånd, inte minst från dem som hellre ville se en omarbetning av det gamla systemet. Revolutionärernas reformiver stammade visserligen ur ett starkt behov, men grundade sig inte enbart på en vilja att effektivisera, utan även hade även en ideologisk dimension. Den religiöst betingade sjudagarsveckan skulle exempelvis ersättas med en tiodagarsvecka, där varje dag skulle bestå av tio timmar, varje timma av hundra minuter, och så vidare. Det behöver knappast sägas att just den delen av reformerna inte blev särdeles långlivad.

Behovet av ett nytt och sammanhållet måttsystem för vetenskapligt bruk var vida erkänt och på de flesta andra områden rönte revolutionärerna väsentligt större framgång, inte minst på längden och på vikten. De gamla foten och alnarna och alla andra längdmått av varierande omfång ersattes av metern och från den avleddes en rik uppsättning av helt nya, decimala enheter med logiska benämningar: kilometern, centimetern, litern (en kub med sidan en tiondels meter), grammet (vikten av en tusendels liter vatten) och kilogrammet, bara för att nämna några.

Jean-Charles Borda var vid den här tiden en av Frankrikes mest framträdande matematiker och vetenskapsmän, som sedermera fick i uppdrag att leda arbetet med att definiera meter. Känd är han även för sitt arbete med logaritmer, och på den här bilden syns han i färd med att utföra mätningar på Teneriffa.

Inte bara vetenskapen, utan hela den europeiska världsbilden var under snabb förändring. Fenomen som tidigare varit mystiska fick naturvetenskapliga förklaringar, samtidigt som handeln utvecklades och gjorde att lokala måttsystem blev alltmer opraktiska. Nydefinitionen och standardiseringen av Europas måttsystem hänger således tätt samman med upplysningens vetenskapliga framsteg såväl som med ekonomins förändring, i en process som började redan under sextonhundratalet och löpte genom hela sjuttonhundratalet.

Införandet av de nya måttenheterna gick på många sätt hand i hand med en stark vetenskaplig utveckling. Uppfinnandet av nya, precisare instrument gjorde exakta måttenheter nödvändiga, måttenheter som tidigare hade varit stort sett meningslösa utan de exakta instrumenten att mäta upp dem med. På samma sätt gjorde de nya instrumenten klart att världen verkligen var mätbar, att den kunde sammanfattas med siffror och mått och att matematiken med måttenheternas hjälp kunde användas för att undersöka och utforska den.

De vetenskapliga framstegen tydliggjorde att matematiken var ett användbart verktyg för att avbilda världen, men visade också på behovet av måttenheter. Ett ensamt tal säger inget om verkligheten, för det krävs en måttenhet. Måttenheten är själva bandet mellan matematiken och dess omvärld, som gör det möjligt att med matematikens hjälp beskriva verkligheten. För att uppfylla sitt syfte måste måttenheten därför vara exakt och universell, och helst stämma med överens med den europeiska matematikens sedan länge inarbetade tiobas.

En fransk lieue motsvarade exempelvis ca 3,3 kilometer i Beauce och 5,8 i Provence, och en Ruthe i Bern motsvarade 2,9 moderna metrar, medan den i Basel motsvarade 4,9. Det finns än mer hårresande exempel – en timmas resa, på tyska Wegstunde, betydde 3,71 kilometer i Tyskland medan schweizarna trots alla sina berg kom nästan en kilometer längre, nämligen 4,8 kilometer. Om resan tillgick på det sätt som David Cox har avbildat den, blir man plötsligt varse svårigheterna i att mäta avstånd.

De måttenheter som tidigare funnits i Europa var inte exakta, i synnerhet inte enhetliga och hade för det mesta en kombination av tolv- och tjugobas – på samma sätt som det engelska pundet fram till 1971 bestod av 20 shilling som vardera motsvarade 12 pence. Systemets icke-decimala natur var i mångt och mycket ett arv från det romerska måttsystemet, där en libra, en viktenhet som i moderna mått motsvarade ett tredjedels kilo, delades upp i tolv unciae, en uppbyggnad som passade bra för att göra det lätt att skapa många olika bråkdelar och kombinationer. (I det här inlägget kan du läsa mer om Europas gamla måttenheter.)

Redan tidigt hade röster för ett enhetligt, vetenskapligt och helst decimalt måttsystem höjts, bland annat i en skrift från 1668 av den engelske prästen och naturfilosofen John Wilkins. Wilkins föreslog att man skulle definiera en längdenhet, eller universellt mått som han själv benämnde det, som sträckan mellan ändpunkterna hos en sekundpendel, d.v.s. en pendel som går från ena sidan till den andra på exakt en sekund. Sju år senare gav det italienske universalgeniet Tito Livio Burattini mer eller mindre ovetandes metern dess namn, när han översatte Wilkins beteckning till italienska.

John Wilkins ville skapa en universell enhet, definierad som längden. Sedan början av 1600-talet var det känt att pendelns periodtid, d.v.s. tiden det tog för den att svänga fram och tillbaka en gång, endast berodde av pendelns längd. En pendel med en definierad periodtid, i det här fallet två sekunder, kunde därför användas för att definiera ett avstånd. Närmare bestämt gav den meterns längd som 99,4 cm.

Den franske astronomen Jean Richer, som på uppdrag av den franska vetenskapsakademin befann sig i Cayenne, i Franska Guyana på Sydamerikas nordkust, blev den som upptäckte problemet med Wilkins definition. Han upptäckte, utöver sina astronomiska observationer, att pendelavståndet hos en sådan sekundpendel var en tredjedels centimeter kortare i Cayenne än i Frankrike, och inte alls så universellt som Wilkins hade föreställt sig. Ironiskt nog föll Wilkins universella mått på att det inte var universellt nog, och arbetet med ett universellt, naturligt måttsystem rann ut i sanden.

Först i och med franska revolutionen – med dess ideal om frihet, jämlikhet och broderskap, om ett samhället byggt på upplysningens idéer, där vetenskapen och förnuftet hade ersatt religionen – väcktes åter tanken om ett nytt måttsystem. Diplomaten Talleyrand blev den som 1790 återuppväckte Wilkins idé om en universellt meter, definierad med en sekundpendel. Metern skulle definieras som pendelns utslag i Bourdeux, men därmed hade den mist lite av sin universalitet. Förslaget röstades också ned av den franska nationalförsamlingen.

Den franska folkförsamlingen, här samlad i en tennislokal och avbildad av Jacques-Louis David, bildades för att styra Frankrike efter revolutionen. Året efter revolutionen framlade den berömde diplomaten Talleyrand för folkförsamlingen sitt förslag om att införa pendelmetern, nu definierad som längden av en pendling uppmätt i Bordeaux. Trots internationellt bifall, inte minst från Storbritannien och de nygrundade förenta staterna dog förslaget snabbt ut.

Året efter, 1791, tillsattes därför en kommitté, som under ledning av matematikern Jean-Charles Borda skulle utarbeta en universellt giltig definition av den nya metern. Borda avfärdade alla definitioner som tog hjälp av pendlar, eftersom sekundpendeln utgick från den gamla sekunden, inte den nya som revolutionärerna definierat (där det skulle gå 100 000 nya sekunder på ett dygn). Istället bestämde man sig för att hela Jorden skulle få utgöra grunden för revolutionärernas nya mått. Den nya metern, beslöt man, skulle motsvara en tiomiljontedel av avståndet mellan nordpolen och ekvatorn. Problemet den här gången var att det var på tok både för dyrt och för farligt att resa till ekvatorn, och nordpolen hade ännu ingen besökt.

En approximation räddade det nya förslaget. Det är nämligen så, att fortet på berget Montjuïc i Barcelona ligger så gott som rakt söder om Paris, liksom klocktornet i Dunkerque ligger rakt norr om huvudstaden. Avståndet som skiljde dem var dessutom nära nog exakt en tiondel av hela sträckan från ekvatorn till nordpolen, det vill säga i moderna mått omkring tusen kilometer.

Uppdraget att mäta avståndet mellan Montjuïc och Dunkerque gavs åt två astronomer, Pierre Méchain och Jean-Baptiste Delambre. Méchain och Delambre skulle därefter tillbringa sex år, fram till 1798, med att resa genom ett Frankrike i storm för att mäta upp Jordens storlek. Till sin hjälp hade de ett instrument som uppfunnits av Jean-Charles Bordas assistent, Etienne Lenoir, redan flera år innan revolutionen.

Kyrktornet i Rodez dominerar fortfarande stadens horisontlinje. Efter att ha delat upp sträckan mellan sig var det här, på halva vägen, som Méchain och Delambre till slut möttes. Foto: Alain Pauziès, CC-BY-SA 3.0

De båda astronomerna delade upp arbetet emellan sig; Delambre skulle mäta sträckan från Dunkerque till Rodez och Méchain skulle mäta sträckan mellan Rodez och Barcelona. Med hjälp av två nyuppfunna instrument bestämde de avståndet från kyrktorn till kyrktorn genom hela Frankrike. Metoden de använde, triangulering, som du kan läsa mer om i det här inlägget. När mätningarna efter många äventyr, om vilka det står att läsa i Ken Alders bok Världens mått, var klara, adderades de bådas resultat och en meterstav av platina tillverkades. Nyheten om det nya måttet spreds därefter ut över Frankrike.

Trots alla Delambres och Méchains noggranna beräkningar hade dock ett fel smugit sig in. Efter Méchains för tidiga död kunde Delambre konstatera att kollegan uppe på Montjuïc gjort en felaktig mätning. Orsakerna gick aldrig att klarlägga, för den noggranne Méchain verkade ha gjort allting rätt. I desperata försök att rädda meterprojektet sitt misstag försökte han rätta till resultaten och därefter, när det misslyckades honom, att dölja felen. Fransmännen skulle fortfarande få veta att metern var en tiomiljontedel av Jordens omkrets – revolutionens löfte om ett samhälle byggt på en ofelbar vetenskap fick inte urholkas.

Delambre lade sig vinn om att inte framställa kollegans misstag som någon skandal. Därefter gick han vidare till att bli en av 1800-talets mest framstående franska matematiker och författare till flera böcker. Men, som Ken Alder skriver, "enligt Gauss var dessa senare verk livlösa och hantverksmässiga, matematiskt förenklade och i avsaknad av begreppslig elegans. De var med andra ord läroböcker."

Efter ett antal tumultartade revolutionsår besteg Napoleon år 1804 Frankrikes tron. Både som kejsare och som sekulär katolik ville han återupprätta relationen mellan Frankrike och den katolska kyrkan, som av förståeliga skäl tagit sig en rejäl törn under revolutionen. Ett av de mer underhållande problemen man mötte på var att revolutionärerna helt sonika avskaffat söndagarna – sedan revolutionen bestod ju veckorna av 10 dagar och ingen av dem hade reserverats åt kyrkan. Följaktligen återinfördes den gamla kalendern. Näst i tur stod de nya måttenheterna, som visserligen hade enat Frankrike, men också bidragit till att det isolerades från övriga Europa. Med en kejsares makt avskaffade Napoleon även metersystemet – året var då 1811. En nation av lättade fransmän kunde därefter återgå till de gamla enheterna.

Många var det nog som trodde att man med metersystemets avskaffande hade sett slutet på en parentes i mänsklighetens historia. Allt hade varit en utopisk dröm om ett revolutionärt måttsystem, framkastad av revolutionärer i revolutionärernas tidsålder. Tjugo år senare var så revolutionen förbi, dess slagord och galenskap glömd och måttsystemet dött och slutligen även på väg att begravas.

Även inom Frankrikes gränser tog befolkningen ibland god tid på sig att vänja sig vid metersystemet. Vid sekelskiftet mellan 18- och 1900-talen klagade en präst på att invånarna  i Corrèze, där bland annat vyn på bilden kan ses, fortfarande inte kände till metersystemet och ännu använde invånarna i Delambres hemstad Amiens de gamla enheterna för att mäta upp tyg. Foto: Wikimediaanvändare Mossot, CC-BY-SA 3.0

Men under loppet av 1800-talet skulle mycket komma att förändras. Industrialiseringen och järnvägen gjorde avstånden kortare och behovet av enhetliga mått långt mycket tydligare. Dessutom var uppfattningen om den enade nationalstaten på uppgång – perioden skulle se både Tysklands och Italiens enande – och ett enat land behövde ett enat måttsystem. Plötsligt började flera europeiska länder snegla på den franska revolutionens måttenheter i sin jakt på ett neutralt, vetenskapligt och modernt måttsystem. Först ut var Belgien, vars kung Vilhelm I av Oranien redan 1820 gjorde användningen av metersystemet tvingande; strax därefter följde Frankrike själv. I de nya, självständiga länderna i Sydamerika infördes också metersystemet, efter att den före detta kolonialmakten Spanien 1849 beslutat om dess införande.

I övriga Europa gick det desto mer trögt. I vägen stod för det mesta nationella intressen – där vissa menade att metern var baserad på Jordens omkrets och därmed fullständigt neutral, menade andra att allt den egentligen stod för var en fransk platinastav i ett franskt valv, dessutom felaktigt uppmätt av en fransk vetenskapsman. Samtidigt innebar fler nationer också fler åsikter. Krav började ställas från andra länder att metern skulle uppdateras. Metern hade nämligen avlägsnat sig mer och mer från den tiomiljontedel av Jordens omkrets den ursprungligen hade definierats som, allteftersom vetenskapen fortskridit med noggrannare mätningar. Förslaget ratades visserligen och den föreslagna förlängningen av metern uteblev, men till fransmännens kluvna förfäran blev den franska metern allt mindre fransk.

Vid världsutställningen i London 1851 hade domarna klagat på att mängden av olika måttsystem gjorde deras arbete omöjligt. Vid världsutställningen i Paris 1867 tog fransmännen därför tillfället i akt och visade upp metersystemets alla fördelar. Här ses Napoleon III dela ut pris till utställningens bästa bidrag.

Man kan se metersystemets popularitet i Frankrike som tvådelad. Å ena sidan fanns en önskan om att metersystemet skulle breda ut sig och att fler länder skulle ansluta sig till en franskledd måttunion, hellre än att de gick med i den konkurrerande brittiska; å andra sidan levde en rädsla om att andra länder, i synnerhet Preussen, skulle försöka ta metern i egna händer och i värsta fall försöka omdefiniera den – i praktiken skulle det ju innebära att Frankrike blev tvunget att erkänna att den franska metern från första början hade varit helt felaktig. Med anledning av denna rädsla motsatte sig Frankrike också alla försök att gjuta om meterstaven – risken var alltför stor att någon skulle försöka rätta till den.

Först efter kriget mellan Tyskland och Frankrike som avslutades 1871 gick Frankrike med på att gjuta upp nya meterstavar. Den franske kejsaren tvingades abdikera efter en preussisk totalseger, men de tyska sändebuden försäkrade att ingen avsåg förlänga den franska metern. En ny gjutning av meterstaven kunde slutligen påbörjas, där varje land skulle få sin egen. Därefter valdes en av dem ut för att bli den sanna, mest definitiva metern, och franka staten donerade en byggnad att förvara den i. Byggnaden hade totalförstörts under kriget, och nu fick meterländerna, däribland det nyligen enade Tyskland, betala för dess återuppbyggnad.

1889 skickades de nya meterstavarna ut i världen – metersystemet hade redan vunnit stor spridning. Många europeiska nationer hade adopterat metern och många nyligen självständiga kolonier hade sökt överbrygga traditionella hinder med ett gemensamt måttsystem. Redan 1866 hade USA infört metern som föredraget men inte tvingande måttsystem. Till Indien kom metern strax efter självständigheten 1947. Längst dröjde Storbritannien själv, där metersystemet gradvis infördes under loppet av 1970-talet. Det oundvikliga hade dock påpekats tidigt, när den skotske geologen John Playfair 1807 med ett citat från Ovidius uppmanat sina landsmän att gå över till metersystemet: Fas est et ab hoste doceri – "Man skall lära även av en fiende".