Del 3: Aristoteles, Alexander, resten av världen och Arkimedes

Det här inlägget är det tredje och sista i en serie inlägg om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Under loppet av den grekiska antiken blev det alfabetiska talsystemet alltmer dominant, och omkring tiden för romarrikets erövring av Grekland decennierna före Kristi födelse övergav till slut även atenarna sitt eget, attiska talsystem, efter att i offentliga sammanhang ha hållit fast vid det långt efter att det fallit ur vardagligt bruk. Under tiden atenarna hållit emot, hade systemet även vunnit stor spridning utanför Grekland. Med Alexander den store blev det alfabetiska talsystemet på samma sätt som det grekiska språket standard i hela det hellenistiska riket. Det var inget som romarna lyckades ändra.

Från sin lärare Aristoteles fick Alexander den store säkert med sig kunskap om det grekiska talsystemet, som sedan följde med hela vägen till Indien. Denna gravyr av Charles Laplante från 1866 visar dem inbegripna i en diskussion.

Under den hellenistiska eran genomgick det alfabetiska talsystemet en rad förändringar, som gick hand i hand med matematikens utvidgade användningsområde. När systemet inte bara skulle passa handel utan även den framväxande astronomins behov, när matematikerna gick från geometri till aritmetik, kom de riktigt stora talen i ett annat sken. Kort sagt dög det helt enkelt inte längre att skriva alla tal över 999 som ord.

Först och främst utvidgades tecknen till en serie av tusental, genom att skriva ental ovanför sampi (trots att sampi på egen hand inte alls betydde 1000, utan 900). På så sätt betydde  (lilla alfa över sampi) 1000, och så hela vägen till theta över sampi, , som betydde 9000. Detta tusentals-sampi kom senare att förenklas till en nedsänkt apostrof före entalstecknen, så att 1000 istället skrevs ͵Α och 2000 skrevs ͵Β och så vidare.

För att komma ännu högre användes myriader, som kan kännas igen från det akrofoniska talsystemet, på liknande sätt som vi idag använder miljoner och miljarder. Förkortningen för myriad (gr. myrioi) började som M och blev sedermera endast en punkt. Sålunda beskrev astronomen Aristarchos från Samos talet "71 miljoner 755 tusen 875" som "7175 myriader 5875", och skrev det som ͵ZPOE M ͵EΩOE. (En tabell över bokstävernas värden finns i det föregående inlägget i serien.)

Aristarchos från Samos använde på tvåhundratalet f.Kr. det alfabetiska talsystemet för att beräkna storleken på solen, jorden och månen. Denna medeltida avskrift visar hans beräkningar, där man bland annat kan notera streck ovanför de bokstäver som utgör del av ett tal. Han kom även fram till att solen istället för Jorden låg i universums centrum, men fick bortsett från Arkimedes aldrig något gehör för den idén.

Centrum för astronomi och matematik i det hellenistiska riket låg i Alexandria, och staden var hem åt de allra flesta av tidens berömda matematiker. Genom den grekiska kulturens territoriella expansion kom dessa matematiker i kontakt med helt nya koncept, samtidigt som talens geometriska betydelse tappade i vikt allteftersom aritmetiken mer och mer blev matematikernas hemmaplan. Till skillnad från sina grekiska föregångare hade de hellenistiska matematikerna alltså både kontakt med och sinnelag för att ta emot en revolutionerande idé: siffran noll.

Mottagandet av noll hängde nära samman med en annan förändring i den grekiska matematiken. Den främst i Alexandria framväxande astronomin hämtade mycket av sitt arv från de babyloniska astronomin, som bland annat kännetecknades av dess 60-bassystem. Liksom sina babyloniska föregångare, började de hellenistiska matematikerna dela upp vinklar i grader, minuter och sekunder i ett slags positionssystem, och ett sådant kräver som bekant en platshållare. Annorlunda uttryckt: Ifall de hellenistiska matematikerna ville ha 60-bassystemet, fick de nollan på köpet. Inom bland annat navigation och tidmätning har systemet förblivit så gott som intakt fram till våra dagar.

Det är en sak att konstatera att de hellenistiska matematikerna använde sig av ett positionssystem, och att de därför även använde sig av en platshållande nolla, för att markera en tom position. Även om tecknet i fråga har varierat, är den vanan belagd i manuskript som bevarats från redan tidigt i den hellenistiska matematikens utveckling, senast i generationerna efter Alexander den store.

En helt annan annan sak är dock att uttala sig om hur de hellenistiska matematikerna faktiskt tänkte kring noll; sådana spekulationer är ofrånkomligen mycket vanskliga. Ämnet har ändå lockat många forskare, som i vissa fall kommit till rakt motsatta slutsatser. Så konstaterar t.ex. Otto Neugebauer, som var en amerikansk expert på egyptisk och babylonisk matematik, i sin bok The Exakt Sciences in Antiquity att det närmast är ställt utom tvivel att de hellenistiska matematikerna tänkte på noll som ett eget tal, d.v.s. som ett sätt att representera "ingenting", medan Ron Larham hör till dem som med lika stor kraft hävdar motsatsen. Debatten har inte blivit mindre infekterad av att det i så fall skulle innebära att den grekiska upptäckten av noll föregick den indiska med mer än ett halvt millennium. Beläggen för den indiska nollan är dock väsentligt starkare (som du kan läsa mer om i det här inlägget).

Biblioteket i Alexandria, här i O. von Corvens tolkning från 1800-talet, utgjorde den hellenistiska vetenskapens epicentrum. Alla böcker som fördes in eller ut ur Alexandria beslagtogs och kopierades för att kunna läggas till bibliotekets samlingar.

Men trots det faktum att tallinjen utvidgats med noll och att astronomerna fått ett helt nytt system att lägga till ett redan förvirrande komplicerat, var det högsta talet som gick att skriva fortfarande "9999 myriader 9999", d.v.s. hundra miljoner minus ett.

På det ändrade Arkimedes när han gjorde den i särklass mest berömda utvidgningen av det alfabetiska talsystemet. I sin bok Sandräknaren - som i modern sättning knappast skulle vara kortare än åtta sidor och på så vis snarare är att betrakta som matematikens första forskningsartikeln - ville Arkimedes motbevisa den vid tiden rådande uppfattningen, att det högsta talet som gick att skriva med det alfabetiska talsystemet var det antal sandkorn som finns på en strand. Boken slutar istället med att Arkimedes bestämmer hur många sandkorn det skulle få plats i hela det kända universum.

Det finns de, kung Gelon, som tror att antalet sandkorn är oändligt; och då menar jag med sand inte bara den som finns runt Syrakusa och resten av Sicilien, utan även den som finns i alla såväl bebodda som obebodda länder. Återigen finns de, som utan att betrakta det som oändligt ändå tror att inget tal, större än antalet sandkorn, kan finnas. Och det är uppenbart, att, ifall de som är av denna åsikt skulle föreställa sig ett klot av sand, stort som Jorden [...] fylld till de högsta bergens höjd med sand, skulle de vara ännu längre ifrån att erkänna att ett sådant tal skulle kunna uttryckas, som skulle överstiga antalet på detta sätt samlade sandkorn. Men med hjälp av geometriska bevis, som du skall få följa, skall jag visa att bland de tal, som jag har benämnt och beskrivit i det verk jag skickat till Zeuxippos, finns vissa som överstiger inte bara antalet sandkorn som behövs för att fylla Jorden på detta sätt, utan även antalet som krävs för att fylla hela universum.”

- Arkimedes (början på Sandräknaren, fri översättning)

När sanden till och med täcker huvudgatan i den antika staden Selinus kan den som trodde att antalet sandkorn på Sicilien var oändligt åtminstone nästan förlåtas. Sicilien var ett vanligt mål för emigrerande greker under 700- och 600-talen f.Kr. och ön blev liksom Alexandria med tiden en välintegrerad del av den grekiska kultursfären. Foto: Dennis Jarvis, CC-BY-SA 2.0

För att kunna påbörja sina beräkningar, var Arkimedes tvungen att uppfinna ett sätt att skriva siffror större än en myriad, Μ, 10 000. Hans lösning var relativt logisk.

Bara genom att använda ordet myriad i sig kunde Arkimedes på ett enkelt sätt utvidga tallinjen till hundra miljoner, d.v.s. en myriad myriader, 10⁸. Alla tal mindre än det kallade han för den första ordningens tal, medan 10⁸ i sig blev den andra ordningens enhet (den första ordningens enhet var alltså 1). Multipler av denna den andra ordningens enhet utgjorde sedan den andra ordningens tal, som sträckte sig upp till 10⁸·10⁸=10¹⁶. I farten hade Arkimedes alltså härlett det vi idag kallar för potenslagarna.

10¹⁶ blev på så sätt den tredje ordningens enhet, som multiplicerades med upp till en myriad för att bli den tredje ordningens tal, som alltså nådde ända till 10⁸·10⁸·10⁸=10²⁴. På detta vis fortsatte Arkimedes tills han nådde den myriad-myriad-ska ordningens högsta tal, 10⁸·10⁸·10⁸·...·10⁸, d.v.s. 10⁸ multiplicerat med sig själv en myriad myriad gånger, eller i modern terminologi (10⁸)¹⁰⁸. Det grekiska talsystemet ger faktiskt en bättre uppfattning om hur ogreppbart stora de här talen egentligen är.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första ordningen	1	108
Andra ordningen	108	1016
Tredje ordningen	1016	1024
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) ordningen	(108)108-1	(108)108

Men den gode Arkimedes var inte färdig där. Han definierade alla tal upp till det sista talet i den myriad-myriadska ordningen som den första periodens tal; kommande perioder utgjordes sedan av 10⁸-multiplar därav. På så sätt löpte den andra periodens tal från (10⁸)¹⁰⁸, d.v.s. den första periodens sista tal, till ((10⁸)¹⁰⁸)², på samma sätt som ordningarna tidigare skapats.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första perioden	1	(108)108
Andra perioden	(108)108	((108)108)2
Tredje perioden	((108)108)2	((108)108)3
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) perioden	((108)108)108-1	((108)108)108

Det var först här som Arkimedes nöjde sig, på ett tal så stort att inte heller vi har något ord att uttrycka det med. Det största talet Arkimedes konstruerade var det sista talet i den myriad-myriadska perioden; utskrivet i ett tal vore det en etta med 8·10⁶³ nollor efteråt, långt större än vad hans astronomiska beräkningar skulle komma att behöva. Sina astronomiska beräkningar gjorde han sedan utgående från tre antaganden:

1. "Jordens omkrets är runt 300 myriader stadia och inte större."
En stadion var 185 meter, vilket ger en omkrets på drygt en halv miljon kilometer, eller tio gånger dagens uppfattning.

2. "Jordens diameter är större än månens, och solens diameter är större än Jordens.
På den här punkten följde Arkimedes de flesta tidigare naturfilosofers uppfattning, och, ja, proportionerna har hållit i sig.
3. "Solens diameter är ungefär 30 gånger så stor som månens och inte större."
   Ingen kommentar.
4. "Solens vinkeldiameter är större än sidan på en tusenhörning inskriven i universum."
   Med detta något kryptiska påstående avsåg Arkimedes att vinkeln mellan solskivans översta och nedersta punkt inte var större än vinkeln mellan två hörn i en tusenhörning, d.v.s. mindre än 0,45 grader. Även om han hänvisar till Aristarchos, säger sig Arkimedes experimentellt ha testat påståendet, och värdet är inte alltför långt från dagens 0,54 grader.

Därifrån drog Arkimedes slutsatsen att universum var ungefär två ljusår från sida till sida, och inte skulle kräva mer än  Redan i den sjunde ordningen, vid 10⁶³, hittade Arkimedes talet han sökte. Det säger något om hur otroligt stora talen Arkimedes skapade egentligen var.

Kuriöst nog innehåller den mängden sandkorn ungefär lika många protoner som Arthur Eddington 1938 räknade ut att det fanns i hela det synliga universum, något som Arkimedes förstås inte kunde känna till. Men för att vara drygt två millennier i förväg, var han ändå inte helt fel ute - även om sandkornen i fråga var mycket mer glest utspridda än Arkimedes någonsin kunde tänka sig. Hela Sandräknaren i engelsk översättning står att finna här

Jag antar att dessa saker, kung Gelon, kommer att förefalla otroliga för de flesta människor som inte har studerat matematiken, men för dem som är bekväma med den, och har ägnat tillräcklig tanke åt frågor om Jordens, solens och månens och hela universums avstånd och storlek, kommer beviset att vara övertygande. Det var av denna anledning, som jag tänkte, att ämnet inte vore opassande för er.”

- Arkimedes (slutet på Sandräknaren, fri översättning)

Även om det antika universum inte var så stort, rymde det uppenbart väldigt många sandkorn. I sina beräkningar lät sig Arkimedes visserligen inspireras av astronomen Aristarchos från Samos i det att han använde den heliocentriska världsbilden med solen i mitten, men han hörde till undantagen. Den dominerande teorin var redan då den geocentriska världsbilden, som gjordes berömd för eftervärlden av den hellenistiske astronomen Ptolmaios från Alexandria; här i tolkning av Andreas Cellarius kring år 1660.

Arkimedes utvidgning under 200-talet f.Kr. var den sista stora förändringen av ett talsystem som från sina rötter i Miletos i Jonien kom att bli mycket långlivat - i två årtusenden upprätthöll det en i princip fullkomlig dominans. Efter att det hellenistiska riket införlivats i romarriket förblev grekiskan det dominerande språket, och den vetenskapliga traditionen levde främst i romarrikets östra halva, på grekiska, med grekiska siffertecken. När sedan romarriket delades i en östlig och en västlig halva blev grekiskan i den östra delen återigen ett statsbärande språk. Så förblev det även genom medeltidens bysantinska rike.

Det alfabetiska talsystemet fortsatte att vara det dominerande viset att skriva tal på i den östra halvan av romarriket, något som romarna helt enkelt fick anpassa sig till. På inskriptionens andra rad kan man läsa ΤΟ ΙΒ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙ ΤΟ ΚΕ ΥΠΑΤΩΙ ΤΟ ΙΕ ΤΕΙΜΗΤΙ. Det betyder ungefär "den 12:te kejsaren, den 25:te konsuln och den 15:de skatteindrivaren" (siffertecken är i fetstilt, eftersom man på inskriptioner sällan markerade vilka bokstäver som var del av tal; ΤΟ betyder ungefär "den __:de"). Inskriptionen återfinns i Efesos på ett monument dedicerat till kejsar Domitianus. Grekiskan döljer det faktum att texten handlar om en man som föddes i Rom, växte upp i Rom, härskade i Rom och år 96 e.Kr. även mördades i Rom.

Trots de indo-arabiska siffrornas intåg är det alfabetiska talsystemet i fortsatt bruk i dagens Grekland, på ungefär samma sätt som vi i Västeuropa använder romerska siffror. Fast sedan bokstaven stigma avskaffades i mitten av 1900-talet skrivs siffran 6 istället på isärplockat vis, στ.

Även om de tidigare epokernas talsystem inte längre har något praktiskt värde - om än rika i historiskt dito - så kan vi lära något av det faktum, att under alla de tusentals år som det grekiska talsystemet levde, inkorporerades det aldrig positionssystemet, även om det i alla fall från århundradena före Kristi födelse faktiskt fanns till hands. Det är något att begrunda, både för dem, som i barndomen skall lära sig att greppa det system som Arkimedes valde bort, och för att vi inte vet, vad framtidens talsystem har att erbjuda.

Därmed är den här serien om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid till ända. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Del 2: Grekiska talsystem från järn till Jonien

Det här inlägget är det andra i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den första delen.

William Bouguereaus målning av den blinde Homeros stämmer väl överens med bilden av det idylliska arkaiska Grekland. I verkligheten präglades tidsepoken av dramatiska maktkamper mellan traditionella makthavare som aristokrati och kungaätter och nyrika handelsmän, snabb ekonomisk tillväxt, befolkningsexplosion och gryende demokratiska tankeströmningar.

Det arkaiska Grekland, som de drygt tre århundradena mellan 800 och 480 f.Kr. brukar kallas, var tiden då den kultur som vi förknippar med det antika Grekland föddes. Det var Thales och Pythagoras tid, det var tiden för de första grekiska stadsstaterna och de första olympiska spelen och det var en tid präglad av livlig handel mellan greker och fenicier.

Framförallt var det jakten på metallråvaror som förde grekerna i kontakt med deras grannfolk. Medan den minoiska och den mykenska kulturen båda varit bronsålderskulturer, steg det akaiska Grekland in i järnåldern. Det skapade en ny efterfrågan efter järn att smida bättre redskap och inte minst vapen med. Från och med 700-talet f.Kr. sökte sig grekiska kolonister ut för att grunda grekiska städer i metallrika länder, varifrån den värdefulla råvaran sedan kunde skickas hem.

Inte ens under antiken var floden Orontes stor nog för en handelsflotta, men dalgångens riktning har i alla tider gjort den viktig för landtransport. Under antiken grundades den grekiska kolonin Posideon vid flodens mynning, som handelsstation vid ändpunkten på handelsvägen mot det järnrika anatoliska och iranska inlanden. Det var troligen här som grekerna inte bara kom i kontakt med det feniciska alfabetet,  utan även anpassade det till sitt eget språk. Foto: Bernard Gagnon

På så sätt kom de grekiska handelsmännen i kontakt med fenicierna, ett möte som skulle komma att förändra den grekiska kulturen i grunden. Inte minst anammade man ett nytt alfabet, som med små förändringar blivit det alfabet som används i Grekland idag - och med lite större förändringar lever kvar i det alfabet som du läser just nu.

Nära nog samtidigt som det romerska talsystemet utvecklades i det tidiga Rom, utvecklades i Aten också ett talsystem, inspirerat av det nya, feniciska alfabetet. Detta det attiska talsystemet, efter regionen kring Aten, är också känt som det akrofoniska talsystemet, eftersom talen symboliserades av sin förstabokstav (akrofoniskt efter grekiskans ἄκρος, akros, första, inledande, högsta och φωνή, phone, ljud eller röst), och kom i användning under 500-talet f.Kr.

Liksom sina föregångare var det attiska talsystemets huvudsakliga användningsområde handeln - man räknade vikt, volym och, sist men inte minst, pengar. Handeln som utgick från Aten gav dess talsystem spridning över hela det egeiska havet, och gjorde det attiska talsystemet till det dominerande i det klassiska Grekland. Denna silverdrachme från 460-talet f.Kr. myntades i Aten, något som visas av Pallas Athenas huvud på ena sidan, och stadens symbol, ugglan, samt bokstäverna Α, Θ och Ε på den andra.

Kanske på grund av sin samtida utveckling, har det attiska och det romerska talsystemet mycket gemensamt; exempelvis har man tecken för samma tal: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 och så vidare, som sattes samman genom addition. Mycket tyder på att kontakterna mellan Aten och Rom redan vid den här tiden var omfattande, exempelvis utropades både den romerska republiken och den atenska demokratin år 508 f.Kr. Men till skillnad från det romerska talsystemet, där ordningsföljden på talen avgjorde om de skulle adderas eller subtraheras, adderades alltid sammanskrivna attiska tal. Ordningsföljden är istället oftast från den högsta valören till den minsta, även om vissa skrivare tycks ha föredragit lite mer oordning.

På en annan punkt skiljde sig det attiska talsystemet från det romerska, och från i stort sett alla andra talsystem för den delen, inklusive det feniciska, som man annars skulle kunna misstänkt som inspirationskälla: Man använde talens förstabokstäver som symboler. Det gjorde det säkert enklare att minnas talens betydelse för de människor, som sällan använde sig av matematik. Ett skrevs fortfarande med ett streck, men sedan skrevs 5 med pi, Π, för pente och 10 med delta, Δ, för deka. Hundra skrevs med Η (eta) för hekaton, tusen med X (chi) för chilioi och tio tusen med M, för myrioi. För den som är van vid de romerska siffrornas valörer, verkar systemet som upplagt för missförstånd.

Men det attiska talsystemet hade ännu en finess: En ytterligare serie med tal kunde framställas genom att skrivas inuti Π. Eftersom Π stod för 5, multiplicerades det tal som skrevs inuti det med fem. Vid den här tiden skrevs Π med ett kort högerben, och således betydde

(d.v.s. delta i pi) femtio. Likaledes kunde konstrueras tal för 500, 5000, och 50 000.

Akropolis i Aten, som uppfördes med de pengar som Aten vunnit genom sitt handelsnätverk i egeiska havet, det s.k. deliska förbundet, har kommit att bli en symbol för Atens stormakt. Men det antika Grekland var aldrig homogent och i andra delar av Grekland såg talsystemet helt annorlunda ut. Foto: A. Savin Copyleft/Free Art License

Till skillnad från Rom var Grekland splittrat i många små stater, med olika måttenheter, valutor och till och med varianter på talsystemet, oftast i fråga om tecknens form. Vissa stadsstater hade till och med en egen version av alfabetet - för att inte nämna Sparta, som länge inte ansåg sig behöva något överhuvudtaget.

Den mest kända varianten av både tal- och skrivsätten är den som användes i Aten och det inte bara för att Aten skulle komma att bli hem för några av antikens mest berömda personligheter, eller för att det skulle bli framtidens grekiska huvudstad. Aten under den grekiska guldåldern utvecklades till en regional handelsstormakt, och dess sjöflotta och funktion som handelsknutpunkt gav inflytande över hela den östra Medelhavsregionen. I handelsmännens fotspår följde tal- och skrivsystemen tätt, som på så sätt vann spridning även bortom sitt ursprung i Attika.

Bakom Miletos amfiteater reser sig bergen. Staden ligger i en dalgång på det egeiska havets östra strand och var en av de största och rikaste städerna i det antika Jonien. Landskapet utgjorde ett slags multikulturell handels- och mötesplats mellan Grekland och kulturerna i Mellanöstern och kom att bli känt för visdom, filosofi och matematik. Foto: I. Panteleon.

Det andra antika grekiska talsystemet som kommit att bli känt uppstod troligen knappt hundra år efter att det attiska talsystemet i Jonien, på det som idag är Turkiets västkust. Att ge ett exakt datum för dess uppkomst är svårt, eftersom dess framväxt i likhet med de flesta sådana utvecklingar var långsam och gradvis, olika varianter följde varandra, och systemen såg olika ut på olika platser. De äldsta spåren av detta det joniska talsystemet kommer från Miletos, och har daterats till så tidigt som 700-talet f.Kr., medan den äldsta användningen av talsystemet i den form det senare kom att bli berömt låter vänta på sig ända till 500-talet f.Kr., då det användes för avståndsmarkörer i Eupalinos tunnel på Samos.

Systemet i fråga, som även brukar kallas det alfabetiska, gick ut på att de grekiska bokstäverna försågs med siffervärden, så att exempelvis Α (alfa) betydde 1, B (beta) 2 och Γ (gamma) 3. Θ (theta) betydde 9 och sedan kom Ι (iota) som betydde 10. Därefter växte talen med tio, så att Κ (kappa) betydde 20 och Λ (lambda) 30 och på så sätt fick man tal som räckte till att skriva 999, genom att kombinera ett tecken för ental, ett tecken för tiotal och ett tecken för hundratal. Precis som i det akrofoniska systemet skrevs talen ihop genom addition, så att tal som t.ex. 33, skrev som ΛΓ (d.v.s. 30 + 3). Siffror särskiljdes från vanliga bokstäver med ett streck ovanför, som senare kommit att bli en egen sorts accent, ʹ, efter talet istället.

Ental		Tiotal		Hundratal
Α	1	Ι	10	Ρ	100
Β	2	Κ	20	Σ	200
Γ	3	Λ	30	Τ	300
Δ	4	Μ	40	Υ	400
Ε	5	Ν	50	Φ	500
ϛ/Ϝ	6	Ξ	60	Χ	600
Ζ	7	Ο	70	Ψ	700
Η	8	Π	80	Ω	800
Θ	9	ϟ	90	ϡ	900

Problemet med att använda de grekiska bokstäverna som tal är att de endast är 24 till antalet, medan nio bokstäver till entalen (Α till Θ), nio till tiotalen och nio till hundratalen kräver allt som allt 27 tecken. Till de tre kvarvarande talen användes tre andra bokstäver: stigma, ϛ, som betydde 6, koppa, ϟ, som betydde 90, och sampi, ϡ, som stod för 900. Var och en har en spännande historia att berätta, och alla säger de något om det talsystem de kom att ingå i.

Eupalinos tunnel på Samos byggdes på 500-talet f.Kr. för att förse den dåvarande huvudstaden, som idag heter Pytagoreion, med färskvatten även under torka och belägring. Den över en kilometer långa tunneln utmärktes med avståndsmarkörer, som tros vara den äldsta bevarade användningen av det joniska alfabetiska talsystemet. För att färdigställa arbetet så snabbt som möjligt, grävdes tunneln från båda håll samtidigt. Tack vare snillrik ingenjörskonst och en hel del matematiska beräkningar, möttes man precis i mitten. Här finns en spännande beskrivning av tunneln och äventyret med att utforska den.

Stigma, som ockuperar den sjätte platsen i det alfabetiska talsystemet, är egentligen en ligatur mellan sigma och tao. Den hör inte alls hemma där, eftersom den utvecklades först under medeltiden. Under antiken skrev man istället talet sex med bokstaven digamma, Ϝ, en fenicisk bokstav som följt med när alfabetet lånades in. I det feniciska språket betecknade digamma ett wau-ljud (liknande engelskans w), som fortfarande finns i de semitiska språken, till vilka feniciskan hörde, men saknades i grekiskan. Bokstaven föll därför ganska snart ur bruk; kvarstod gjorde det endast som siffra. (Processen tog olika lång tid i olika landskap, så bokstaven hann spridas vidare till etruskiskan, där den senare kom att återuppstå bland annat i våra dagars F).

Frikopplad från sin bokstavsbetydelse, steg digamma in i medeltiden. Den bytte namn till episemon och tappade sin nedre skänkel. Den C-liknande formen gjorde därefter att den blandades ihop med en annan medeltida uppfinning, stigma, ς, en ligatur eller sammansättning av sigma och tau. Som stigma fortsatte den senare att utvecklas, så att det idag är svårt att se hur sigma och tau tillsammans skulle få detta något osannolika utseende.

Historien om koppa, ϟ, liknar i många stycken den om stigma. Eftersom feniciskan har två k-ljud följde två separata bokstäver, kappa, Κ, och koppa, ϟ, med. Kappa blev det vanliga sättet att skriva ljudet, medan koppa används ifall bokstaven efter K var O, som i staden Korint. Korint, vars namn följaktligen började på koppa, gjorde bokstaven till sin symbol och präglade den på sina mynt, som detta från slutet av 500-talet f.Kr. I den versionen blev bokstaven ursprunget till det latinska alfabetets Q, medan den i grekiskan föll ur bruk drygt hundra år senare. Som siffra förändrades dess form successivt till dagens ϟ. Foto: Marie-Lan Nguyen

Det här inlägget är det andra i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den första delen.

Del 1: Talsystem och matematik i bronsålderns Grekland

Trots att det grekiska talsystemet användes av de flesta av antikens mest namnkunniga matematiker - Thales, Pytagoras, Euklides, Eratosthenes, Aristoteles och Arkimedes - kommer det ofta i skymundan av sin romerska motsvarighet. För den praktiskt lagde må de två talsystemen kanske vara sak samma, för även om de är olika varandra är de lika hopplöst trassliga i jämförelse med det indo-arabiska. Men, å andra sidan, varför låta något sådant fördärva en god historia?

Sir Arthur Evans upptäckte och namngav den minoiska kulturen, som blomstrade på Kreta under den grekiska bronsåldern och skapade ett av Greklands äldsta kända skrift- och talsystem. Ännu fri från den moderna arkeologins skrupler, satte Sir Arthur Evans efter att ha upptäckt palatset på Knossos - en gång den minoiska kulturens epicentrum - igång med att återuppbygga det. Hur nära sanningen han egentligen kom lär vi aldrig få veta, men det är förstås inget som bekommer vare sig turistnäring eller fantasi. Foto: Aviad Bublil, CC-BY-SA 3.0

Det äldsta skriftspråk som utvecklades i den egeiska övärlden kommer från det minoiska folket, som en gång bebodde Kreta, och som under numer berömda former upptäcktes av den engelske arkeologen Sir Arthur Evans. I egentlig mening var Evans inte Knossos upptäckare, men blev år 1900 den förste att genomföra utgrävningar på den plats som kom att göra honom berömd.

Innan hustrun Margarets död hade Evans kommit över en inskription på ett okänt språk. Redan när han landsteg på Kreta 1894, hittade han tydliga spår av samma språk och kunde konstatera att han hittat inskriptionens ursprung. Men att låta upptäckten leda till utgrävningar var dessvärre inte möjligt, eftersom Kreta vid tiden tillhörde det ottomanska riket, som med avsikt att hindra utgrävningar krävde att arkeologerna först köpte hela området för ett mycket högt satt pris. Konstruktionen, känd som firman efter det dekret som krävdes för att få tillstånd för utgrävningar, hade flera gånger tvingat arkeologer att tomhänta återvända hem, bland dem Trojas och Mykenes upptäckare Heinrich Schliemann.

Efter att ha besegrat en Venedig och Nederländerna 1649 förblev Kreta en del av det ottomanska riket i nära 250 år. Först när ottomanerna drog sig tillbaka släpptes de regler, som i princip innebar ett förbud mot arkeologiska utgrävningar. Upptäckten av den minoiska kulturen, dess konst, dess byggnader men kanske främst dess språk och sedermera även dess talsystem, följde kort därefter. Denna tavla målades sju år efter slaget av den vid tillfället trettonårige Abraham Beerstraten.

Efter att de sista ottomanska trupperna fyra år senare lämnat ön, stod det Evans slutligen fritt att påbörja sina utgrävningar. Det visade sig snart att det mystiska språket hörde hemma i en tidigare okänd civilisation, som Evans namngav den minoiska kulturen, som genom sitt uttrycksfulla formspråk, mystiska ursprung och plötsliga undergång alltsedan dess har fascinerat såväl forskare som allmänhet. Det minoiska språket, som nedtecknades med Linear A-alfabetet, saknar levande släktingar och har förblivit odechiffrerat, något som minst sagt bidragit till det minoiska mysteriet.

Med siffrorna är det turligt nog något bättre ställt. Eftersom den huvudsakliga uppgiften för skriftspråket vid den här tiden var affärsöverenskommelser, innehåller de flesta kända fragment på ett eller annat sätt siffror. Från fragmenten framträder en bild av ett talsystem, som inte så överraskande har stora likheter med det egyptiska, som minoerna redan på tidigt stadium förde handel och hade kulturutbyte med. Liksom det egyptiska talsystemet hade det minoiska siffertecken för 1 (ett vertikalt streck), 10 (en prick), 100 (en ring) och 1000 (en ring med streck).

Linear A-inskriften från Hagia Triada verkar vara en bokföringslista från vinhandeln. På raden längst ned, från vänster till höger, finns först två tecken, som enligt nuvarande teori skall utläsas ku-ro, som ofta användes i räkenskaper och troligtvis betydde summa. Därefter kommer en ring, tre prickar och ett L-liknande vinkeltecken. Dessa är själva siffertecknen - ringen betyder hundra, prickarna betyder vardera tio och vinkeln en halv. Summan i fråga är alltså 130,50. Om det sedan är volym, pris eller något helt annat, får antas underförstått om man bara hade förstått resten av texten.

De minoiska enheterna baserade sig på storleken på förvaringskärlen, de så kallade pithoi. Ett sådant kärl rymde ungefär 30 liter, så de minoiska enheterna var följaktligen ganska stora. Därför var det nog inte så sällan som man ville ha en halv, en åttondels, eller kanske just hundratrettio och en halv amfora vin och för det krävdes ett ganska märkvärdigt matematiskt grepp: bråkräkning.

Återigen är det likheten med det egyptiska talsystemet som är mest slående, de som bland annat använde bråkal för att lösa några av världens äldsta andragradsekvationer. I likhet med sina sydliga handelspartners använde sig minoerna nämligen endast av bråk med 1 som täljare. Genom att addera dem med varandra och med heltal kunde man konstruera alla rationella tal, vilket var allt den tidens människor kände till.

Från vinkeln, tecknet för en halv som i exemplet om vinhandeln, gick minoerna vidare och skapade fler tecken för bråktal - endast några få av dessa är kända för oss. Bland annat kunde man konstruera tecknet för en fjärdedel genom att vända på vinkeln, och drog man sedan ett streck rakt över, så att tecknet för en fjärdedel delades i två, betydde det logiskt nog en åttondel. Ett kors betydde en femtedel och två kors betydde då föga överraskande två femtedelar.

Någon påhittig person har räknat ut att de fragment av minoiska texter och inskrifter som finns bevarade tillsammans inte utgör mer än en dryg A4, och då är det ju inte så märkligt att man någonstans kommer till en gräns där vår kunskap inte sträcker sig mycket längre, för det behövs till slut en viss tur, för att någon skall ha plitat ned just det tecknet på ett fragment som kom att överleva i nästan fyra tusen år. Det finns även hypoteser om tecken för tolftedelar, sextondelar och mycket annat, men de flesta bråktal fortfarande lite utav en gissningslek, om än en ganska intressant sådan, som du kan läsa mer om exempelvis på den här sidan. Och på den här sidan finns mer om Linear A och det minoiska språket.

Dessa rikt dekorerade pithoi, förvaringskärl, hittades på Knossos (bortsett från den bortersta, som hittades i Tylissos) och finns idag på det närbelägna arkeologiska museet i Heraklion. De användes för vinförvaring och ser passande nog ut att rymma ungefär 30 liter. Foto: J. Ollé, CC-BY-SA 3.0

Kreta, så heter ett land mitt ute på blånande djupet

vågomsvallat och bördigt och skönt; där finnes det mänskor

tusendetals, en oräknelig mängd, och nittio städer.

Språken där ljuda i kapp om varann, ty där finnas achaier,

finnas behjärtade kreter i mängd och stolta kydoner,

finnas ock dorer av stammarna tre och bålde pelasger.

Men bland städerna Knossos är störst, där Minos var konung,

vilken vart nionde år med den mäktige Zeus fick ett samtal

Homeros Odysséen, i översättning av Erland Lagerlöf.

Orsakerna till den minoiska kulturens plötsliga nedgång under mitten av 1400-talet f.Kr. har blivit ett kontroversiellt ämne, där såväl vulkanutbrott som skogsavverkning och ekosystemkollaps har föreslagits. Kort därefter erövrades ön av mykenska makthavare, som tog till sig det minoiska skrift- och talsystemet.

Vanligtvis avbildade de mykenska freskerna krigiska motiv, som t.ex. denna stridsvagn från 1200-talet f.Kr. Även om stilen och färgvalet påminner mycket om de minoiska konstverken är skillnaden i motiv slående, något som kanske speglar den mykenska kulturens mer utsatta läge på fastlandet.

Även om det mykenska maktövertagandet kanske var olyckligt för de erövrade minoerna, är det en av nyckelhändelserna i det minoiska tal- och skriftsystemets utveckling och för våra förutsättningar att förstå det. Till skillnad från minoiskan, som till synes är helt obesläktat med alla kända språk (vissa släktingar har föreslagits, men de är utan undantag minst lika mystiska själva), var mykenskan ett indo-europeiskt språk och troligtvis den äldsta kända varianten av det som skulle bli dagens grekiska.

Det mykenska skrivtecknen var således mycket lika de minoiska - man har kommit fram till att språken delade runt 80 procent av teckenuppsättningen. Den mykenska varianten av alfabetet har fått namnet Linear B, att jämföra med minoiskans Linear A. Detsamma gäller för talsystemen, som var uppbyggda på mycket liknande sätt. De skillnader som fanns motsvarar de man naturligen skulle kunna förvänta sig av språkens föränderlighet, under loppet av de århundraden som språket var i bruk förändrades naturligtvis formen på de handskrivna tecknen gradvis. På så sätt omvandlades exempelvis tecknet för 10, som i minoiskan varit en punkt, till att i mykenskan bli ett horisontellt streck.

Mykensk bokföring nedtecknades på lagom stora, cigarrformade lerbitar som kavlades ut till avlånga tavlor, som förstördes när räkenskapsåret var slut. En eldsvåda räddade däremot de här lertavlorna genom att bränna dess gods, så att de numera kan beskådas i rum 12 på British Museum i London.  På den minsta tavlans översta rad kan man läsa

 

där det första tecknet betyder bagge, följt av siffran två. Därefter kommer tecknet för tacka, följt av siffran 72. På raden under står

där den första delen betyder pa-i-to, det mykenska namnet på staden Phaistos, och återigen tecknet för bagge, den här gången följt av siffran 8.

I allra högsta grad formades det mykenska talsystemet av de omständigheter som det användes under. Behovet av ett talsystem uppkom först när storgårdar och statsbildningar nådde en storlek som krävde skriftlig administration. Den bokföring som fördes begränsade sig därför också till de varor och kvantiteter som var relevanta för storgården eller rent av för ett mindre kungarike - en halv eller en femtedels amfora av något var i det perspektivet inte längre särdeles relevant.

Kanske var det av denna anledning, som bråktalen föll bort under överföringen av det minoiska talsystemet till dess nya mykenska brukare. En annan anledning är också att man på det mykenska fastlandet använde sig av mindre enheter, istället för minoernas otympligt stora 30-litersurnor. De mykenska enheterna förefaller mycket mer praktiskt lagda, och verkar ha överensstämt med vad en person kan bära. Därför fanns också olika enheter för olika sorters varor - tio liter säd väger bara drygt hälften av vad tio liter vin.

Men eftersom vår kännedom om det mykenska talsystemet så gott som uteslutande baserar sig på arkeologiska fynd, kan man inte utesluta att beräkningar gjordes även i andra sammanhang, men att de gjordes på billigare och mindre långlivade material, som trä eller rent av på fuktad sand. Dessa beräkningar kanske rörde mindre kvantiteter, men vi kan bara spekulera i vilka tecken som användes för att beskriva dem. Exempelvis har nästan inga måttkärl bevarat, troligtvis eftersom sådana karvades ur trä - att uppnå sådan noggrannhet med mer tåligt lergods, som förändrar form under bränningen, är i princip omöjligt.

Den forntida stad som givit civilisationen dess namn, Mykene, ligger på en höjd, med utsikt över den omgivande, bördiga jordbruksmarken. Redan under bronsåldern odlades här fikon, oliver, vin och spannmål. För de kvantiteter av jordbruksprodukter som odlades här, behövdes säkerligen den största av de mykenska viktenheterna, talanton, som delades upp i trettio mindre enheter, som kallades dimnaion, som fortsatte att användas på Cypern långt in i antiken. Mer att läsa om jordbruk och mykenska enheter finns i John Chadwicks The Mycenaean World. Foto: Hansueli Krapf, CC-BY-SA 3.0

Genom att analysera handstilen från de tusentals mykenska inskriptioner som har hittats, har man också kunnat konstatera att alla författats av en begränsad grupp skriftlärda, främst samlade kring de olika kungliga hoven. Det var även här som alla beräkningar och all bokföring gjordes, vilka tillsammans utgjorde det mykenska talsystemets hela användningsområde. Denna ensidighet som de arkeologiska fynden indikerar utgjorde också ett hot mot tal- och skriftsystemets överlevnad, för när statsbildningarna och därmed bokföringen kollapsade, följde både alfabetet och taltecknen snabbt efter.

Både den minoiska och den mykenska kulturen hörde hemma i den grekiska bronsåldern, en period som fick ett dramatiskt slut kring år 1100 f.Kr. Liksom med den minoiska kulturens fall är de exakta orsakerna till den mykenska civilisationens kollaps höljda i historiens dimma. Flera teorier har presenterats om att klimatförändringar, kanske orsakade av utsläpp av sot och växthusgaser från ett vulkanutbrott, skulle ha orsakat missväxt, desperation och politisk instabilitet, eller att ett vulkanutbrott i sig skulle har orsakat förödelse och katastrof. Vissa har till och med djärvts föreslå, att det inte alls rörde sig om någon bronsålderskollaps, utan att arkeologerna bara har letat på fel ställen. Hur det ligger till med den saken, lär framtiden få utvisa.

Efter att ha gjort stora vinster i indigohandeln begav sig Heinrich Schliemann till Grekland och fann inför en misstroende världs ögon sagornas Troja. Därefter, i Alf Henrikssons välfunna ord, "begav han sig efter Iliadens anvisningar till de trakter varifrån stadens förstörare skulle ha kommit och grävde där med sömngångaraktig säkerhet fram även det guldrika Mykene, Agamemnons stad." På bilden syns lejonporten, stadens mest berömda kännemärke.

I det kaos som rådde de följande två århundradena dog de sista spillrorna av det mykensk-minoiska skrift- och talsystemet ut. Ur askan växte istället ett nytt Grekland fram - ett Grekland som inte minst blivit känt genom Homeros två mäktiga epos, Iliaden och Odysséen, Thales upptäckter och Pythagoras uppseendeväckande leverne.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den andra delen i serien.

Arkimedes - en badare till matematiker

 Trots hårt motstånd, i vilket Arkimedes spelade en avgörande roll, blev Sicilien till slut en självklar och välintegrerad del av det romerska riket. Här ses ruinerna efter den romerska amfiteatern.

Den sicilianske författaren di Lampedusa skrev en gång, att Sicilien var Antikens Amerika, för så många emigranter lockades dit från Grekland av de bördiga flodslätterna, av handeln och av naturresurserna. Många flydde undan politiska förluster, för Greklands politiska system, om än hem åt många tidiga demokratier, var inte barmhärtigt mot sina förlorare; andra flydde undan svält och armod, och ytterligare många flydde undan det persiska rikets expansion in i Jonien, på dagens Turkiets västkust. Många namnkunniga greker följde dessa strömmar västerut, paradoxernas Zenon flyttade till Elea och Pytagoras till Kroton, men Sicilien födde också egna genier, varibland den kanske allra mest berömde var Arkimedes.

Den tankfulle Arkimedes, målad år 1620 av Dominico Fetti, visar antikens stormästare i ingenjörskonst, tillika mästare i matematik och logik, djupt försjunken i tankar.

Vi får föreställa oss Arkimedes värld som den antika grekiska världen stadd i obönhörlig förändring, där de grekiska statsstaterna steg för steg tappade sitt självstyre, krigen gjorde livet hårt för alla, men i synnerhet de små städer, som fick se sin självständighet och sina medborgares liv gjorda till brickor i ett spel mellan större stater och förbund, medan senhellenismens kultur gradvis avlägsnat sig från den klassiska kultur vi vanligen förknippar med det antika Grekland. Sicilien var delvis förskonat det egentliga Greklands öde, men var närmast i konstant krig, antingen inbördes eller placerat, som det var, strategiskt, lukrativt och åtråvärt mitt emellan den gamla sjöstormakten Karthago och det snabbt växande Rom.

Många av Arkimedes texter känner vi från en bönbok från 1200-talet, upptäckt år 1904 av en dansk i Konstantinopel, där man skrapat bort gammalt bläck för att återanvända pergamentet, som på medeltiden var mycket dyrt. Med hjälp av modern teknik har man lyckats läsa vad som stått skrivet i boken innan den barskrapades, så att säga, och flera till av Arkimedes texter fick då se dagens ljus. Texten på palimpesten, som den kallas, förtäljer, bland mycket annat, om en matematisk upptäckt som torde kastat nytt ljus på Zenons paradox, den om Akilles som inte kunde springa ifatt sköldpaddan, liksom kan ses som en tidig viskning om de integraler som inte komma skulle förrän på 1600-talet, ganska så exakt tvåtusen år efter Arkimedes tid.

Arkimedes föreställde sig en parabel, som skurits av av en rät linje, kordan. I den form som bildades, ritade han in en triangel på det sätt som visas i figuren - där triangelns topp befann sig rakt ovanför kordans mitt. Triangelns båda kortsidor, de som inte är den ursprungliga kordan, bildar nya kordor, på vilka satsen kan appliceras på nytt. Om man gör om denna operation oändligt många gånger, torde dessa oändligt många trianglar till slut täcka hela arean, och det går att bestämma förhållandet mellan den första triangelns och hela formens areor.

Om man ansätter att den första triangeln har arean 1, så kommer de två mindre att ha en åttondel av den första areans, eller tillsammans en fjärdedel. Om man bara mäter i horisontalled, det vill säga, längsmed projektionen på x-axeln, så är basen hälften av samma sorts bas hos den första triangeln, eftersom vi konstruerade den så. Genom att använda parabolens egenskaper kunde Arkimedes bestämma att höjden i de små trianglarna är en fjärdedel av den första triangelns höjd, något som blir väsentligt enklare om man använder moderna metoder och sätter in parabeln (som definieras av att de har ekvationer på formen y=ax²+bx+c) i ett koordinatsystem. (Arkimedes egen uträkning, i engelsk översättning, finns på den här sidan. För en härledning på svenska och med moderna matematiska metoder, klicka på bilden längst ned i inlägget.)

Dessa mindre trianglar, som därför har höjden ¼ av grundtriangln och halva bredden, får en åttondel av grundtriangelns area. Eftersom de är två stycken, får andra "generationens" trianglar den sammanlagda arean av ¼ av den förra "generationens" area, eller, med andra ord, om man summerar alla dessa trianglar, börjar man med 1, för den första triangeln, och sedan ¼ för de två i den andra "generationen", och sedan en sextondel för de fyra trianglarna i tredje "generationen", som vardera har arean en sextiofjärdedel. Om man fortsätter i oändlighet får man en serie med oändligt många tal, vardera en fjärdedel av det föregående, och hela parabelns area är täckt.

Detta är vad vi moderna människor skulle kalla en geometrisk summa, och med moderna metoder är det enkelt att använda den geometriska summaformeln, och få reda på att svaret är ¾, d.v.s. att parabolbitens area är fyra tredjedelar så stor som grundtriangelns area, eller vice versa, att grundtriangeln täcker tre fjärdedelar av parabolbiten. Arkimedes, å andra sidan, stred i motvind; dels hade han inte summaformeln att tillgå, och dels trodde många, liksom Zenon, att en oändlig talserie inte kunde ha en ändlig summa.

För att ändå visa, att så var fallet, uppfann Arkimedes en snillrik geometrisk konstruktion, en kvadrat, som han delade i fyra delar. En del av dessa fylldes i för att representera den första fjärdedelen i serien, två lämnade han tomma, och den sista delade han på nytt i fyra delar, där en fylldes i för att representera den andra fjärdedelen i serien, två var tomma, och den sista ytterligare en gång delades, och så fortsatte han. På varje ifylld fjärdedel gick tre tomma, och alltså måste serien en fjärdedel + en sextondel + en sextiofjärdedel och så vidare vara lika med en tredjedel. Eftersom serien började med en etta, för den ursprungliga triangeln, måste svaret vara fyra tredjedelar, och en oändlig serie hade en ändlig summa.

Men det kanske mest användbara av Arkimedes bidrag till matematiken, är hans arbete på att förfina värdet på pi, och att finna en av dess allra bästa användningsområden: formeln för en cirkels area, π r². Arkimedes insåg nämligen, att man kunde skära upp en cirkel på så sätt, att den blev till en rätvinklig triangel, med radien som sin höjd och omkretsen som bas. Genom sina tidigare arbeten, där han bland annat inskrivit cirklar i 96-hörningar och 96-hörningar i cirklar, kände han till formeln för omkretsen,
2π r, och kunde lätt bestämma att arean måste vara (2π r∙r)/2 vilket är lika med just π r².

Den kanske allra mest berömda anekdoten, berättar om hur kung Hieron - som beställt en guldkrona av en juvelerare, men misstänkte att han blivit bedragen - gav Arkimedes i uppgift, att bestämma ifall guldkronan verkligen bestod av solitt guld. Historien förtäljer, såsom som den romerske arkitekten Vitruvius återger den, att Arkimedes låg i badet när han plötsligt fick en snilleblixt, som lärde honom, att ett föremål nedsänkt i vatten tränger undan vatten i förhållande till sin volym, och därefter var det en enkel sak att bara väga kronan och undersöka, om densiteten var den rätta. Simpelt, måhända, men ack så effektivt. Och det lär vara efter den upptäckten han utropade "Heureka!", "Jag har funnit det!", och sprang naken genom Syrakusas gator - för som varje sann antik människa, var det nog på det publika badhuset han badade, och då var det ju klart att han fick bråttom hem för att fortsätta sina experiment.

Arkimedes i badet har blivit en omtyckt symbol för uppfinningsrikedomen, här på ett träsnitt från femtonhundratalet - då publika badhus avskaffats och folk börjat bada i trätunnor istället!

Efter den gamle kung Hierons död, blev Syrakusas politiska lojaliteter mycket mer oklara, och staden verkade byta fot från att stödja romarna, till att ställa sig på Karthagos sida. Rom bestämde sig för att förhindra att staden anslöt sig till ärkefienden, och belägrade år 214 f.Kr. staden under generalen Marcus Claudius Marcellus.

Arkimedes byggde en mängd finurliga konstruktioner, för att jaga iväg romarna, däribland apparater som sköt skurar av småsten genom skottgluggar, en klo som kunde lyfta anfallande skepp och sedan släppa ner dem i havet igen så att de sjönk och en rad brännspeglar för att tända eld på skepp ute till havs, de sistnämnda anses tyvärr mer legendariska än sanna. Det sägs till och med, att de romerska soldaterna blev så rädda, att de flydde var gång de såg en bjälke eller ett rep sticka över stadsmuren, medan Marcellus insåg hur värdefull Arkimedes skulle kunna vara i det krig mot Karthago, som alla visste skulle komma, och gav order om att Arkimedes skulle fångas levande.

En renässanskonstnär vid namn Giulio Parigi tog beskrivningen av skeppsklon som en järnhand högst bokstavligt. Genom åren har många spekulerat i hur Arkimedes gick till väga för att sänka skeppen och kommit fram till flera förslag, både vettiga och fantasifulla, några av vilka finns på denna länk.

Till slut blev dock romarnas belägring för mycket för syrakusanerna, för trots Arkimedes alla sinnrika maskiner kunde inte staden hålla stånd mot det växande romarrikets makt - Siciliens strategiska placering mitt i Medelhavet var alltför åtråvärd. Legenden bjuder, att när romarna bröt in i staden och blodbad utbröt, satt Arkimedes och ritade i sanden, kanske på en ny försvarsmaskin som åter skulle vända krigslyckan, eller på ett nytt banbrytande matematiskt bevis. När han hörde en romersk soldat komma, utropade han "Rubba inte mina cirklar!" Soldaten greps av vredesmod och stack ned den trotsige gamle mannen, utan att först fråga efter hans namn.


Och så, förresten, var det ju den där höjden i den andra triangeln som var en fjärdedel av den första triangelns. Min uträkning till varför det blir så finner du om du klickar på bilden här bredvid.

Legenden om Pythagoras i smedjan

Fjodor Bronnikovs målning av pytagoréernas solkult är visserligen mer samtida med oss än med motivet, men fångar ändå den mysticism som gjorde Pythagoras populär.

Enligt en antik legend gick matematikens fader tillika mystikens mästare, Pythagoras från Samos, en dag förbi en smedja, där fyra smeder stod och arbetade. Med sina hammare slog bearbetade de metallen, genom att gång på gång slå på den.

Pythagoras lärde som bekant att "allt är tal", eller att tal finns i allt. Att de finns i vanlig materia, som kan mätas, vägas och delas, passade in; vad som fattades var akustiken. Det fanns ljusa och mörka toner, dissonans och assonans, men passade ändå inte in i matematiken. I dessa tankar var Pythagoras tvungen att stanna och lyssna. Var och en av smederna arbetade i sin egen takt, och deras åhörare fick sålunda höra många olika kombinationer av dessa fyra hammares toner. Dessa var inga vanliga smeder; inte nog med att de var antika grekiska smeder, hade de fyra speciella hammare. Den första hammaren var tung, medan den andra var exakt tre fjärdedelar så tung som den första. Den tredje var två tredjedelar och den sista var bara hälften så tung. I tolftedelar förhöll de sig till varandra med tolv till nio till åtta till sex; Pythagoras snilleblixt var att tonhöjden på klangen som slaget gav upphov till varken berodde av vart på metallen smeden slog eller hur hårt slaget var, utan på hammarens tyngd. Pythagoras, som vid det här laget antagligen redan betraktades som lite udda, hade nämligen mätt alla de fyra smedernas hammares tyngd.

Ett träsnitt från Theorica musicae av Franchino Gaffurio, 1492, visar Pythagoras experiment fast med två snören mer än vad legenden har berättat oss; här jämför han tonen från tolvvikten med den från åttavikten.

Pythagoras gjorde vad alla antika genier verkar ha gjort; han sprang överlycklig genom stadens gator tills han kom hem och kunde fortsätta sina experiment. Han förberedde ett bord över vilket han spände fyra trådar, där vikterna motsvarade hamrarnas vikter. Han kunde därvid bara bekräfta vad han upplevt när han lyssnat på smederna: Bara en kombination lät falsk, den mellan åtta och nio. Varför?

När Pythagoras slog på den mest och den minst spända strängen samtidigt, var förhållandet mellan dem sex till tolv, eller jämt ett till två, frekvensen på ljudet från den mest spända strängen var dubbelt så hög som det från den minst spända; idag vet vi vad Pythagoras inte visste: ljudvågorna går i takt. Skillnaden mellan den översta och den nedersta tonen var alltså en oktav; 2:1.

Mellan den mest spända och den näst minst spända var förhållandet tolv till åtta, eller tre till två. Återigen gick ljudvågorna i takt med varandra och återigen blev tonen jämn, klar och harmonisk. Mellan den mest spända och den näst mest spända blev förhållandet tolv till nio, eller fyra till tre, och mellan den minst spända och den näst mest spända blev det sex till nio, återigen tre till två. Alla dessa var fina, jämna bråktal, och alla hade de primtal som både nämnare och täljare. Inte undra på att Pythagoras ansåg sig ha funnit bevis på att matematisk skönhet och harmoni låg bakom musikens, och i synnerhet att de rationella, geometriska talen var världens sanna gudomligheter, även musiken passade in i den pythagoreiska världens harmoni.

Jokern i leken var den sista kvarvarande kombinationen, den mellan åtta och nio. Inte längre var det ett lika fint, jämnt bråk, om än fortfarande inte ett irrationellt tal, som pytagoréerna senare skulle få drabbas av (läs mer i detta inlägg). Men pytagoréerna var ett hemligt sällskap, som inte gärna spred sin kunskap till gemene man. De viktigaste texterna höll man i minnet, och det som skrevs ned hölls strängt oåtkomligt för oinvigda. Allteftersom dog dock de pythagoreiska mästarna, och Corpus pythagoricum, som deras samlade texter kommit att benämnas, kunde sammanställas. Kanske är det just att de var ett hemligt sällskap vad som har gjort eftervärlden så intresserad, och deras många upptäckter och egenartade legender som har övertygat de flesta om att historien är värd att bevara.

Legenden om dagen då Pythagoras råkade passera förbi smedjan nedtecknades först mer än ett halvt millennium efter mästarens död, av Nikomachus av Gerasa. Torget i hans hemstad, den romerska staden Gerasas, står fortfarande att se – strax invid ligger den moderna staden Jerash, i dagens Jordanien.

Under Jörg Syril den äldres trästaty av Pythagoras där han fortfarande sitter i Ulmkatedralens kor, som han gjort sedan 1400-talets slut kallas matematikens fader istället för Inventor Musicae, eller musikens uppfinnare. Och hans fyra toner lever än; den pythagoreiska skalan skrivs idag som tonerna c, e, f och a, som fortfarande ljuder med sfärernas harmoni.

Ett litet cirkelresonemang

Det är lätt att förledas tro att städer är organiska. Det räcker att se hur stor del som består av trä – och inte att glömma, människor; de är ju själva kärnan i varje stad. Även om man skulle kunna resonera att trähusstäder likaväl som stenhusstäder (i viktprocent) huvudsakligen består av sten och grus, så var det inte det jag menade.

Det är även lätt att förledas tro att städer växer enligt organiska mönster – eller, det vill säga, i organisk avsaknad av mönster –  att de breder ut sig av sig själva, sväljer böljande kullar, dämmer ut marskland och leder om floder, och att de gör så organiskt, utan planering.

Den världsberömda toskanska staden San Gimignano, skiss av Joseph Pennel, 1883

Den känsla (det är inte för inte människor nästintill vallfärdar till San Gimignano) som finns i en sådan, organisk, stad är något som många stadsplanerare försökt återskapa. Det är någonting i de vindlande gatorna som fångar och som trollbinder; inte bara det att de skyddar mycket bättre mot vind och kyla än de långa, breda avenyer som sedermera har blivit – och fortfarande är – moderna. Själv skulle jag förmoda, att ett mer detaljrikt arkitektoniskt formspråk är mindre känsligt mot att någon detalj försvinner eller förfars – om mönstret inte är uppenbart, blir det inte märkbart mindre uppenbart om en del av det uteblir – medan om man istället har en minimalistisk stadsplanering ser allting fantastiskt ut i datormodellen där det är helt och rent, men så blir det tyvärr aldrig i vår allestädes närvarande verklighet.

Men allt det där var ett stickspår, och ett alldeles för långt sådant också om man sätter den sidan till, för huvudnyheten är en nyhet som mer sanningsenligt skulle benämnas gammelhet numera, presenterad i denna artikel i SvD. Där presenteras nämligen teorin om att alla dessa fina, charmiga organiska städer inte överhuvudtaget var organiska, utan snarare frukten av mästerlig och rationell stadsplanering.

Medeltidens stadsplanerare var inte ensamma om att uppskatta cirkelformade gator, Royal Crescent i Bath, är ett exempel på det georgianska Englands arkitektur, även om just den här gatan nog inte får lä av sin cirkelform. En bit bort syns ytterligare en cirkelformad gata, The Circus.

Snarare, menar man, att vår uppfattning om den "organiska", medeltida staden är en nostalgisk missuppfattning, född ur jämförelsen av industrialismens rektangulära Manhattan och de raka gatorna i de romerska garnisonsstäderna med mysiga, ofta kulturminnesmärkta städer från 1000-talets våg av stadsgrundanden. Istället menar Klaus Humpert och Martin Schenk som skrivit den bok artikeln refererar, Entdeckung der mittelalterlichen Stadtplanung, eller ungefär "Upptäckten av medeltidens stadsplanering", att städerna ritades upp efter detaljerade stadsplaner bestående av regelbundna geometriska former: rektanglar, cirklar, trianglar, kvadrater och oktagoner.

Definitionen av en cirkel (var vänlig och plocka fram den högdragna rösten) är att alla punkter längsmed dess omkrets har samma avstånd till en och samma fixerade punkt i planet. Och det ger den en rad spännande egenskaper. För det första har den oändligt många hörn, vilket innebär att den ger mesta möjliga area med minsta möjliga omkrets. För det andra ger den ett behov, och en möjlighet, att bestämma π. Man skulle visserligen kunna finna rader av spännande egenskaper, men just denna leder oss in på något annat spännande – nämligen ytterligare en antik grekisk hatkärlek: Cirkeln och Sfären.

I den grekiska världsbilden, kom dessas perfektion näst efter det gyllene snittet (länk till tidigare inlägg); Aristoteles ansåg att hela universum var uppbyggt av en rad överlagrade sfärer med jorden i mitten, en vy senare övertagen av kyrkan; de antika grekerna var långt ifrån främmande från idén att jorden i sig skulle vara en sfär och Ptolemaios (och i synnerhet det efterföljande millenniets astronomer) gick långt i sina försök att bevisa att alla planeterna rörde sig i cirklar och cirklar på andra cirklar, cykler och epicykler, runt jorden. Den åsikten, bortsett från solens och epicyklernas plats respektive varande i det hela, hade för övrigt även Kopernikus. Pythagoréerna (länk till tidigare inlägg) lär dessutom har sett cirkeln som en symbol för själen.

Även om det ptolemeiska systemet fortsätter att ge nästan lika noggranna förutsägelser om planeternas plats på himlen, är dess komplexitet hisnande. Den spanske kungen Alfonso X, som försökte reda ut problemet, lär i desperation när planeterna fick över 40 epicykler var ha utropat att han om ha varit med vid skapelsen, så hade han kunnat ge några goda råd.

Men, liksom alltid och liksom med det gyllene snittet, fanns det en lite hake. De antika grekerna var nämligen av den åsikten, att alla tal skulle gå att uttrycka i bråkform, vilket, förargligt nog, inte är möjligt med varken φ, det gyllene snittet, eller π – även om många genom årens lopp har försökt; vissa har faktiskt kommit mycket nära. Till råga på allt är π transcendentalt, det vill säga är inte roten till någon algebraisk ekvation.

Cirkeln som konstnärlig form har uppskattats i många kulturer, kanske för att den, till skillnad från vår egen värld, har ett så klart centrum. Detta silkesföremål i mongolisk stil stammar från det medeltida Mesopotamien och är 79 cm i diameter.

Cirkeln återkommer genom vår kulturhistoria. Leonardo da Vincis vitruvianske man är ett exempel, andra är alla de cykliska förlopp som ständigt omger oss, liksom det berömda ekorrhjulet. Faktum är att de är så vanliga att det är lätt att förledas tro att allt är cykliska förlopp, för att, så att säga, sluta cirkeln.

Och slutligen vid närmare eftertanke: Om något inlägg, så kan detta omöjligtvis ha varit ett stickspår. Anledningen är enkel: jag har aldrig sett ett cirkelformigt sådant. För vändplatser räknas väl inte?