Pythagoras och hans pythagoréer

De flesta antika grekiska städer hade sina monumentala gudatempel, med stadens beskyddare eller beskyddarinna på hedersplatsen. Det här fotografiet visar ruinerna efter det Hera-tempel som en gång tronade över den grekiska kolonin Kroton i dagens Kalabrien, Italien, pytagoréernas hemstad.

Pythagoras är kanske mest känd för sin bekanta sats som säger att kvadraten av hypotenusan är lika med kvadraten på kateterna - men i antikens värld hade mästarna inte för vana att begränsa sig till endast sina ämnen. Enligt legenden, återberättad av Alf Henriksson, reste den unge Pythagoras, född i början av 500-talet f.Kr. på Samos, till Egypten, där han fick se bygget av pyramider. (Redan här kan man börja dra öronen åt sig, eftersom höjdpunkten på pyramidbyggartraditionen inföll redan på nittonhundratalet f.Kr., d.v.s. gott ett och ett halvt årtusende före Pythagoras födelse. Men, som visa människor sagt förut: Varför fördärva en god historia?)

Hur som helst, av egyptierna fick han lära sig ett genialt sätt att skapa rätvinkliga trianglar. Egyptierna tog ett rep, knöt tolv knutar med jämna avstånd från varandra och vek sedan ihop allt till en triangel med tre, fyra respektive fem knutar på var sida - triangeln var garanterat rätvinklig! Pythagoras, som varit elev hos en annan stor grekisk matematiker, Thales, måste ha vetat att detta var sant, eftersom Thales bevisat att alla trianglar som kan ritas i en halvcirkel måste ha en rät vinkel:

Thales var Pythagoras lärare och troligtvis den som gjorde Pythagoras så intresserad av trianglar att han reste hela vägen till Egypten. Den här animationen illustrerar Thales teorem, som säger att vinkeln B i bilden alltid är 90 grader.

I glädje över upptäckten av sitt teorem lär Thales ha offrat en oxe för att tacka gudarna, och när Pythagoras upptäckt sin sats, ville han så klart inte vara sämre. Därför offrade Pythagoras hundra oxar till gudarna, möjligtvis i templet på bilden längst upp. Och i efterhand kan vi väl ge Pythagoras åtminstone lite rätt - är inte hans sats minst hundra gånger mer berömd än Thales sats?

Den enkla anledningen till att Pythagoras offrade de hundra oxarna just på Kroton, en liten grekisk koloni i dagens Kalabrien, Italien, var att det var dit han hade flyttat efter att ha gjort sig till ovän med tyrannen hemma på Samos. Antagligen fanns det också ett annat skäl - Pythagoras planerade att grunda en sekt, och för sådana är kanske inte miljön direkt hälsosam mitt emellan tre av dåtidens imperiers maktsfärer, Aten, Egypten och Persien. 

Detta samfund, som eftervärlden i ett infall av fantasilöshet benämnt pythagoréerna, hade sitt säte i just staden Kroton under 500-talet f.Kr. Samfundet utgjordes av grekiska aristokrater och många har tvistat ifall de tillät kvinnliga medlemmar. Sekten var mysticistisk till sin natur, och centralt låg tron på talens magi, något som syns inte minst på deras talesätt, allt är tal. Mottot betydde för pythagoréerna att allting kunde mätas och skapas genom att dela och att lägga ihop tal - eller med andra ord, alla tal kunde skapas ur alla andra tal genom att enbart använda de fyra räknesätten.

Pytagoréernas udda leverne hade från första början gjort dem ringaktade, och därför de var tvungna att fly Grekland för ett liv på Sicilien i dåtidens världs utkant; troligtvis utsattes de för förtal från andra städer, där man ville hindra att ungdomarna anslöt sig till hans sekt, som syns på den här målningen av Fyodor Bronnikov. Säkerligen ligger detta förtal, traderat över generationer av skribenter, bakom många av alla de goda historier som Pythagoras har fått vara föremål för. Men ännu viktigare är att vi kommer ihåg honom och hans sekt som de matematiska pionjärer de var, med ett otal banbrytande matematiska upptäckter och kanske även som vishetslärare. Kända borde de åtminstone vara för Pythagoras devis állon heautón, varmed han menade att man skall behandla sin vän som sitt andra jag. Uttalandet är kanske mest känt i sin aningen missvisande latinska översättning, alter ego.

Att de samtidigt trodde på den magiska kraften i speciella tal, som pi och det gyllene snittet (liksom pentagonens gudomlighet), åsamkade dessvärre problem. Nyheten skulle nämligen komma att nå dem, att varken pi eller det gyllene snittet kunde uttryckas med de fyra räknesätten, eller, med andra ord, att just de tal som pytagoréerna höll för gudomliga var irrationella. Pytagoréerna benämnde dem aloga, vilket bokstavligen betyder ologiska, eftersom de bröt mot den talmagiska logik som pytagoréerna ansåg förhärskande. Ordet översattes till sedan till latin, där det blir irrationella. Pytagoréerna tillhörde således den sista generationen som levde i den antika grekiska föreställningen att alla tal kunde uttryckas geometriskt, mätas och läggas i trianglar, ett synsätt som inte minst Pytagoras sats vittnar om. Denna sats, som var en av pytagoréernas stoltheter och till synes talens gudomlighet bevisad, tycktes nog vända sig mot dem när de upptäckte att hypotenusan till en rätvinklig triangel med sidorna ett är roten ur två, ett ofrånkomligen irrationellt, omätbart och ologiskt tal. Det kunde visserligen approximeras, men approximationer, ungefärligheter och närmevärden göre sig icke besvär i den gudomligt exakta, mätbara och geometriska, pythagoreiska matematiken.

Exakthetens försvinnande blev som en dödsstöt för pythagoréerna, men det slutade ändå inte där. Ytterligare ett tal som inte riktigt passade in dök snart upp: noll - ett envist tal, med vilket man kan multiplicera vilket annat tal som helst, och ändå alltid kommat tillbaka till noll. Om man dividerar noll med vilket som helst annat tal får man också bara noll och, ännu värre, alla tal delade på noll är outtydbara. Noll är sannerligen matematikens svarta hål.

Elegant animation av ett lika elegant (med dock ett bland många) bevis av Pythagoras sats. Tyvärr vet vi dock inte ifall det verkligen var Pythagoras som stod bakom den sats som fått bära hans namn. Här ses en animation av ett geometriskt bevis av satsen, av John Blackburne, CC-BY-SA 3.0.

När Pythagoras slutligen dog, antagligen bitter och desperat av alla motgångar hans tid hade sköljt över hans matematik. Hans sekt inbegreps i tumultartade stridigheter, där de som ville förskjuta de nya upptäckterna motsattes av dem som ville omfamna nyheterna och revidera Pythagoras läror efter den nya tidens matematik. Av naturliga skäl slutade Greklands aristokrater att flockas till hans krets. Pythagoras lär ändock har ha gått en heroisk död till mötes.

Länge hade pytagoréernas hemstad Kroton, där man ansåg att det var oetiskt att döda ormar men likväl både offrade oxar och gick i krig mot grannstäderna, stridit mot grannstaden Sybaris, en stad vida känd för sina utsvävningar. Som straff för vad pytagoréerna ansåg vara invånarnas omoraliska leverne hade man förstört staden i grunden. Om det verkligen var sybariterna eller några andra fiender som hämnades vet vi inte, men Kroton erövrades och Pythagoras, som av naturliga skäl stod högt på fiendens lista, hanns ikapp. Slutligen kom den store matematikern till en situation, där han för sin överlevnad var tvungen att fly rakt in i ett bönfält. Mästaren lär heroiskt ha valt att gå i döden, istället för att trampa ned bönorna, som han ansåg vara människans nära släktingar. På så sätt dog antikens mest egendomlige matematiker, även om spillror av hans sekt levde kvar. Pytagoréernas storhetstid var dock för evigt förvisad till historieböckerna.

Den gyllene rektangeln

Heras eller Poseidons tempel, därom tvista de lärde, i den etruskiska staden Paestum, Italien. Byggdes gjorde det under den tid då Paestum, staden som en gång i världen var känd för sina rosor, var en grekiskt koloni. Med sina 2000 års historia är det ett gott exempel på hur de antika grekerna använde det gyllene snittets proportioner - i tempelfasaden kan man se många gyllene rektanglar.

Den grekiska antikens guldålders mest namnkunniga författare, dramatiker, konstnärer och skulptörer: Fidias, Theukydides, Myron, Polykleitos, Euripides, Sofokles, Aristofanes, Sokrates, Anaxagoras upplevde alla Atens blomstrande, Parthenons uppförande, och den grekiska kulturens spridning över medelhavsområdet. Med sig från Grekland tog dessa kolonisatörer arkitektoniska och konstnärliga ideal, uppfattningar om de perfekta proportionerna, och om den gyllene rektangeln.

Det sägs att fortfarande efter snart två och ett halvt millennium, väljer en människa mellan ett antal olika rektangulära former den som mest liknar den gyllene rektangeln. Fortfarande används den i arkitektur och konst, och det mest kända exemplet är säkerligen Mona Lisas matematiska anletsdrag. Enkelt definierat, är en gyllene rektangel en rektangel där långsidans relation med kortsidan är det gyllene snittet, det vill säga 1 till φ ≈ 1,618..., eller mer exakt,  φ = x, där

(Mer om matematiken bakom det gyllene snittet står att finna i det här inlägget.)

Vi omges bokstavligen av gyllene rektanglar, från de antika templen, som Parthenon på Akropolis eller templet i Paestum, via Leonardo da Vincis Mona Lisa, vars berömda skönhet förstärks av berömdheten hos hennes matematiska proportioner, till Le Corbusiers arkitektur. Gyllene rektanglar och det gyllene snittet, proportionerna mellan kort- och långsidan i rektangeln, är minst sagt flitigt använda i konsten, och har varit så sedan mycket länge. Efter att se den i så mycket, och så ofta, är det kanske inte så märkvärdigt, om man får tro att vi upplever rektangeln som den mest fulländade formen.

Många av da Vincis verk visar på den nära kopplingen mellan konst och vetenskap, men få så som Mona Lisa och den gyllene rektangeln. Ytterst är en gyllene rektangel, som precis passar runt ansiktet, om den delas i en kvadrat bildas ytterligare en gyllene rektangel, och i sin tur kan delas; kvadraterna kan sedan placeras på olika sätt i den stora, nedre kvadraten, och passar alla till ansiktets olika former. Grafik: Juan ángel Paniagua Sánchez, CC BY 2.5.

Vissa hävdar att detta förhållande har sina rötter i evolutionen; under vår historia på savannen har de gynnats som snabbt kan blicka ut över den mest relevanta delen av vårt synfält för att se byten eller rovdjur. En av dem som förespråkar denna förklaring är Adrian Bejan, som menar att vår uppskattning av formen beror på tiden det tar att spana av synfältet i horisontell och vertikal riktning. Relationen mellan dessa två hastigheter, hastigheten som vi undersöker vår omvärld i vertikal respektive horisontell riktning, anser han stämmer med det gyllene snittet. Därför blir den rektangel som vi snabbast ser, och i dess mest primitiva kontext kan söka av efter potentiella faror eller möjligheter - eller på den paleolitiska savannen, rovdjur eller byten - just det, en gyllene rektangel.

Därutöver har många djur proportioner som påminner om det gyllene snittet; hur solrosfrön är arrangerade är ett berömt exempel; proportionen mellan avståndet från golvet till naveln respektive golvet till hjässan likaså. Därför finns det de som menar att det gyllene snittet är speciellt platseffektivt, energisparande eller till och med inbyggt i materians innersta.

Solrosen har inte ensamrätt på sina gyllene proportioner; här en skivtaklök från Göteborgs botaniska trädgård som gör den högresta sommarblomman äran stridig. Foto: Max Ronnersjö.

Sedan finns det naturligtvis de som tvivlar också - så många sätt att mäta, och så många sätt att mixtra med proportionerna, menar man, vore det snarast märkligt, om inte de flesta ting på ett eller annat sätt uppvisar ett eller annat gyllene snitt - men varför fördärva en god historia? Obestridligt är ju ändå, att talet uppkommer många gånger om i vår värld, och inte minst inom matematiken.

Tvivel åsido, har ändå få teman i matematiken genom historiens lopp visat sig så värda talesättet "kärt barn har många namn". Förutom just gyllene, har snittet kallats såväl gudomligt som extremt och genomsnittligt. Under 1900-talet har talet förlänats en symbol, φ, den grekiska bokstaven fi, efter den antike grekiske skulptören Fidias inital. Fidias är en av de tidigaste och kanske mest flitiga av proportionens användare, berömd för att ha skulpterat bland annat Zeusstatyn i Olympia, ett av antikens sju underverk. Tyvärr har dock alla skulptörens många mästerverk blivit förstörd långt innan vår tid, så spekulationer om vilka decimaler proportionerna har, är och förblir vanskliga, alla romerska och sentida kopior till trots.

Till Pythagoras och hans anhängares enorma förtret, är det gyllene snittet ett irrationellt tal. Antikens människors misstro mot denna sorts tal visas redan i dess namn, som direktöversatt betyder ett ologiskt tal. Pythagoréerna trodde, i likhet med de flesta greker vid denna tid, att alla tal gick att skriva som bråktal; man skulle helt enkelt kunna mäta upp talet som ett exakt avstånd endast genom att lägga enheter av samma storlek på rad - det går ju bra med nästan allt mellan himmel och jord, en sten kan mätas upp genom att lägga fem fem gånger mindre stenar på rad bredvid och ett tolv millimeter brett sandkorn kan mätas med tolv enmillimeters eller sex tvåmillimeters sandkorn. Men med pythagoréernas två mest heliga tal, pi och fi, var detta av någon anledning omöjligt - likaså med roten ur två, resultatet av den enklaste och mest rena triangeln, med båda kateterna lika med ett, om man använder mästaren Pythagoras egen sats. För en from pythagoré verkade nog undergången hotande nära, när själva talen som de dyrkade tycktes vända sig emot dem.