Arkimedes - en badare till matematiker

 Trots hårt motstånd, i vilket Arkimedes spelade en avgörande roll, blev Sicilien till slut en självklar och välintegrerad del av det romerska riket. Här ses ruinerna efter den romerska amfiteatern.

Den sicilianske författaren di Lampedusa skrev en gång, att Sicilien var Antikens Amerika, för så många emigranter lockades dit från Grekland av de bördiga flodslätterna, av handeln och av naturresurserna. Många flydde undan politiska förluster, för Greklands politiska system, om än hem åt många tidiga demokratier, var inte barmhärtigt mot sina förlorare; andra flydde undan svält och armod, och ytterligare många flydde undan det persiska rikets expansion in i Jonien, på dagens Turkiets västkust. Många namnkunniga greker följde dessa strömmar västerut, paradoxernas Zenon flyttade till Elea och Pytagoras till Kroton, men Sicilien födde också egna genier, varibland den kanske allra mest berömde var Arkimedes.

Den tankfulle Arkimedes, målad år 1620 av Dominico Fetti, visar antikens stormästare i ingenjörskonst, tillika mästare i matematik och logik, djupt försjunken i tankar.

Vi får föreställa oss Arkimedes värld som den antika grekiska världen stadd i obönhörlig förändring, där de grekiska statsstaterna steg för steg tappade sitt självstyre, krigen gjorde livet hårt för alla, men i synnerhet de små städer, som fick se sin självständighet och sina medborgares liv gjorda till brickor i ett spel mellan större stater och förbund, medan senhellenismens kultur gradvis avlägsnat sig från den klassiska kultur vi vanligen förknippar med det antika Grekland. Sicilien var delvis förskonat det egentliga Greklands öde, men var närmast i konstant krig, antingen inbördes eller placerat, som det var, strategiskt, lukrativt och åtråvärt mitt emellan den gamla sjöstormakten Karthago och det snabbt växande Rom.

Många av Arkimedes texter känner vi från en bönbok från 1200-talet, upptäckt år 1904 av en dansk i Konstantinopel, där man skrapat bort gammalt bläck för att återanvända pergamentet, som på medeltiden var mycket dyrt. Med hjälp av modern teknik har man lyckats läsa vad som stått skrivet i boken innan den barskrapades, så att säga, och flera till av Arkimedes texter fick då se dagens ljus. Texten på palimpesten, som den kallas, förtäljer, bland mycket annat, om en matematisk upptäckt som torde kastat nytt ljus på Zenons paradox, den om Akilles som inte kunde springa ifatt sköldpaddan, liksom kan ses som en tidig viskning om de integraler som inte komma skulle förrän på 1600-talet, ganska så exakt tvåtusen år efter Arkimedes tid.

Arkimedes föreställde sig en parabel, som skurits av av en rät linje, kordan. I den form som bildades, ritade han in en triangel på det sätt som visas i figuren - där triangelns topp befann sig rakt ovanför kordans mitt. Triangelns båda kortsidor, de som inte är den ursprungliga kordan, bildar nya kordor, på vilka satsen kan appliceras på nytt. Om man gör om denna operation oändligt många gånger, torde dessa oändligt många trianglar till slut täcka hela arean, och det går att bestämma förhållandet mellan den första triangelns och hela formens areor.

Om man ansätter att den första triangeln har arean 1, så kommer de två mindre att ha en åttondel av den första areans, eller tillsammans en fjärdedel. Om man bara mäter i horisontalled, det vill säga, längsmed projektionen på x-axeln, så är basen hälften av samma sorts bas hos den första triangeln, eftersom vi konstruerade den så. Genom att använda parabolens egenskaper kunde Arkimedes bestämma att höjden i de små trianglarna är en fjärdedel av den första triangelns höjd, något som blir väsentligt enklare om man använder moderna metoder och sätter in parabeln (som definieras av att de har ekvationer på formen y=ax²+bx+c) i ett koordinatsystem. (Arkimedes egen uträkning, i engelsk översättning, finns på den här sidan. För en härledning på svenska och med moderna matematiska metoder, klicka på bilden längst ned i inlägget.)

Dessa mindre trianglar, som därför har höjden ¼ av grundtriangln och halva bredden, får en åttondel av grundtriangelns area. Eftersom de är två stycken, får andra "generationens" trianglar den sammanlagda arean av ¼ av den förra "generationens" area, eller, med andra ord, om man summerar alla dessa trianglar, börjar man med 1, för den första triangeln, och sedan ¼ för de två i den andra "generationen", och sedan en sextondel för de fyra trianglarna i tredje "generationen", som vardera har arean en sextiofjärdedel. Om man fortsätter i oändlighet får man en serie med oändligt många tal, vardera en fjärdedel av det föregående, och hela parabelns area är täckt.

Detta är vad vi moderna människor skulle kalla en geometrisk summa, och med moderna metoder är det enkelt att använda den geometriska summaformeln, och få reda på att svaret är ¾, d.v.s. att parabolbitens area är fyra tredjedelar så stor som grundtriangelns area, eller vice versa, att grundtriangeln täcker tre fjärdedelar av parabolbiten. Arkimedes, å andra sidan, stred i motvind; dels hade han inte summaformeln att tillgå, och dels trodde många, liksom Zenon, att en oändlig talserie inte kunde ha en ändlig summa.

För att ändå visa, att så var fallet, uppfann Arkimedes en snillrik geometrisk konstruktion, en kvadrat, som han delade i fyra delar. En del av dessa fylldes i för att representera den första fjärdedelen i serien, två lämnade han tomma, och den sista delade han på nytt i fyra delar, där en fylldes i för att representera den andra fjärdedelen i serien, två var tomma, och den sista ytterligare en gång delades, och så fortsatte han. På varje ifylld fjärdedel gick tre tomma, och alltså måste serien en fjärdedel + en sextondel + en sextiofjärdedel och så vidare vara lika med en tredjedel. Eftersom serien började med en etta, för den ursprungliga triangeln, måste svaret vara fyra tredjedelar, och en oändlig serie hade en ändlig summa.

Men det kanske mest användbara av Arkimedes bidrag till matematiken, är hans arbete på att förfina värdet på pi, och att finna en av dess allra bästa användningsområden: formeln för en cirkels area, π r². Arkimedes insåg nämligen, att man kunde skära upp en cirkel på så sätt, att den blev till en rätvinklig triangel, med radien som sin höjd och omkretsen som bas. Genom sina tidigare arbeten, där han bland annat inskrivit cirklar i 96-hörningar och 96-hörningar i cirklar, kände han till formeln för omkretsen,
2π r, och kunde lätt bestämma att arean måste vara (2π r∙r)/2 vilket är lika med just π r².

Den kanske allra mest berömda anekdoten, berättar om hur kung Hieron - som beställt en guldkrona av en juvelerare, men misstänkte att han blivit bedragen - gav Arkimedes i uppgift, att bestämma ifall guldkronan verkligen bestod av solitt guld. Historien förtäljer, såsom som den romerske arkitekten Vitruvius återger den, att Arkimedes låg i badet när han plötsligt fick en snilleblixt, som lärde honom, att ett föremål nedsänkt i vatten tränger undan vatten i förhållande till sin volym, och därefter var det en enkel sak att bara väga kronan och undersöka, om densiteten var den rätta. Simpelt, måhända, men ack så effektivt. Och det lär vara efter den upptäckten han utropade "Heureka!", "Jag har funnit det!", och sprang naken genom Syrakusas gator - för som varje sann antik människa, var det nog på det publika badhuset han badade, och då var det ju klart att han fick bråttom hem för att fortsätta sina experiment.

Arkimedes i badet har blivit en omtyckt symbol för uppfinningsrikedomen, här på ett träsnitt från femtonhundratalet - då publika badhus avskaffats och folk börjat bada i trätunnor istället!

Efter den gamle kung Hierons död, blev Syrakusas politiska lojaliteter mycket mer oklara, och staden verkade byta fot från att stödja romarna, till att ställa sig på Karthagos sida. Rom bestämde sig för att förhindra att staden anslöt sig till ärkefienden, och belägrade år 214 f.Kr. staden under generalen Marcus Claudius Marcellus.

Arkimedes byggde en mängd finurliga konstruktioner, för att jaga iväg romarna, däribland apparater som sköt skurar av småsten genom skottgluggar, en klo som kunde lyfta anfallande skepp och sedan släppa ner dem i havet igen så att de sjönk och en rad brännspeglar för att tända eld på skepp ute till havs, de sistnämnda anses tyvärr mer legendariska än sanna. Det sägs till och med, att de romerska soldaterna blev så rädda, att de flydde var gång de såg en bjälke eller ett rep sticka över stadsmuren, medan Marcellus insåg hur värdefull Arkimedes skulle kunna vara i det krig mot Karthago, som alla visste skulle komma, och gav order om att Arkimedes skulle fångas levande.

En renässanskonstnär vid namn Giulio Parigi tog beskrivningen av skeppsklon som en järnhand högst bokstavligt. Genom åren har många spekulerat i hur Arkimedes gick till väga för att sänka skeppen och kommit fram till flera förslag, både vettiga och fantasifulla, några av vilka finns på denna länk.

Till slut blev dock romarnas belägring för mycket för syrakusanerna, för trots Arkimedes alla sinnrika maskiner kunde inte staden hålla stånd mot det växande romarrikets makt - Siciliens strategiska placering mitt i Medelhavet var alltför åtråvärd. Legenden bjuder, att när romarna bröt in i staden och blodbad utbröt, satt Arkimedes och ritade i sanden, kanske på en ny försvarsmaskin som åter skulle vända krigslyckan, eller på ett nytt banbrytande matematiskt bevis. När han hörde en romersk soldat komma, utropade han "Rubba inte mina cirklar!" Soldaten greps av vredesmod och stack ned den trotsige gamle mannen, utan att först fråga efter hans namn.


Och så, förresten, var det ju den där höjden i den andra triangeln som var en fjärdedel av den första triangelns. Min uträkning till varför det blir så finner du om du klickar på bilden här bredvid.

Legenden om Pythagoras i smedjan

Fjodor Bronnikovs målning av pytagoréernas solkult är visserligen mer samtida med oss än med motivet, men fångar ändå den mysticism som gjorde Pythagoras populär.

Enligt en antik legend gick matematikens fader tillika mystikens mästare, Pythagoras från Samos, en dag förbi en smedja, där fyra smeder stod och arbetade. Med sina hammare slog bearbetade de metallen, genom att gång på gång slå på den.

Pythagoras lärde som bekant att "allt är tal", eller att tal finns i allt. Att de finns i vanlig materia, som kan mätas, vägas och delas, passade in; vad som fattades var akustiken. Det fanns ljusa och mörka toner, dissonans och assonans, men passade ändå inte in i matematiken. I dessa tankar var Pythagoras tvungen att stanna och lyssna. Var och en av smederna arbetade i sin egen takt, och deras åhörare fick sålunda höra många olika kombinationer av dessa fyra hammares toner. Dessa var inga vanliga smeder; inte nog med att de var antika grekiska smeder, hade de fyra speciella hammare. Den första hammaren var tung, medan den andra var exakt tre fjärdedelar så tung som den första. Den tredje var två tredjedelar och den sista var bara hälften så tung. I tolftedelar förhöll de sig till varandra med tolv till nio till åtta till sex; Pythagoras snilleblixt var att tonhöjden på klangen som slaget gav upphov till varken berodde av vart på metallen smeden slog eller hur hårt slaget var, utan på hammarens tyngd. Pythagoras, som vid det här laget antagligen redan betraktades som lite udda, hade nämligen mätt alla de fyra smedernas hammares tyngd.

Ett träsnitt från Theorica musicae av Franchino Gaffurio, 1492, visar Pythagoras experiment fast med två snören mer än vad legenden har berättat oss; här jämför han tonen från tolvvikten med den från åttavikten.

Pythagoras gjorde vad alla antika genier verkar ha gjort; han sprang överlycklig genom stadens gator tills han kom hem och kunde fortsätta sina experiment. Han förberedde ett bord över vilket han spände fyra trådar, där vikterna motsvarade hamrarnas vikter. Han kunde därvid bara bekräfta vad han upplevt när han lyssnat på smederna: Bara en kombination lät falsk, den mellan åtta och nio. Varför?

När Pythagoras slog på den mest och den minst spända strängen samtidigt, var förhållandet mellan dem sex till tolv, eller jämt ett till två, frekvensen på ljudet från den mest spända strängen var dubbelt så hög som det från den minst spända; idag vet vi vad Pythagoras inte visste: ljudvågorna går i takt. Skillnaden mellan den översta och den nedersta tonen var alltså en oktav; 2:1.

Mellan den mest spända och den näst minst spända var förhållandet tolv till åtta, eller tre till två. Återigen gick ljudvågorna i takt med varandra och återigen blev tonen jämn, klar och harmonisk. Mellan den mest spända och den näst mest spända blev förhållandet tolv till nio, eller fyra till tre, och mellan den minst spända och den näst mest spända blev det sex till nio, återigen tre till två. Alla dessa var fina, jämna bråktal, och alla hade de primtal som både nämnare och täljare. Inte undra på att Pythagoras ansåg sig ha funnit bevis på att matematisk skönhet och harmoni låg bakom musikens, och i synnerhet att de rationella, geometriska talen var världens sanna gudomligheter, även musiken passade in i den pythagoreiska världens harmoni.

Jokern i leken var den sista kvarvarande kombinationen, den mellan åtta och nio. Inte längre var det ett lika fint, jämnt bråk, om än fortfarande inte ett irrationellt tal, som pytagoréerna senare skulle få drabbas av (läs mer i detta inlägg). Men pytagoréerna var ett hemligt sällskap, som inte gärna spred sin kunskap till gemene man. De viktigaste texterna höll man i minnet, och det som skrevs ned hölls strängt oåtkomligt för oinvigda. Allteftersom dog dock de pythagoreiska mästarna, och Corpus pythagoricum, som deras samlade texter kommit att benämnas, kunde sammanställas. Kanske är det just att de var ett hemligt sällskap vad som har gjort eftervärlden så intresserad, och deras många upptäckter och egenartade legender som har övertygat de flesta om att historien är värd att bevara.

Legenden om dagen då Pythagoras råkade passera förbi smedjan nedtecknades först mer än ett halvt millennium efter mästarens död, av Nikomachus av Gerasa. Torget i hans hemstad, den romerska staden Gerasas, står fortfarande att se – strax invid ligger den moderna staden Jerash, i dagens Jordanien.

Under Jörg Syril den äldres trästaty av Pythagoras där han fortfarande sitter i Ulmkatedralens kor, som han gjort sedan 1400-talets slut kallas matematikens fader istället för Inventor Musicae, eller musikens uppfinnare. Och hans fyra toner lever än; den pythagoreiska skalan skrivs idag som tonerna c, e, f och a, som fortfarande ljuder med sfärernas harmoni.

Tre geometriska problem

Personligen tycker jag att matematik är som bäst när enkla, okomplicerade frågor leder till avancerade resonemang som till slut blir till lika enkla, eleganta svar. Sådana problem var exempelvis de antika grekerna mästare på att formulera – utan avancerade beräkningsmodeller, numeriska metoder med oändligt många steg eller axiom som strider mot all mänsklig intuition. Tre sådana problem, typiska för den grekiska matematiken, har blivit berömda på grund av sin skenbara enkelhet. Alla skulle lösas med endast passare och onumrerad linjal.

De tre geometriska problemen är alla känneteckna de för den grekiska matematiken, men i många fall är deras exakta uppkomst höljd i historiens dimma. Hippokrates, känd för sina insatser på medicinens område men även som författare till matematiska verk, står bakom en berömd sammanställning av problemen. Här ses ruinerna efter läkekonstens tempel, Asklepieion, på hans hemö Kos. Foto: Wikimediaanvändare Cup of coffee, CC-BY-SA 3.0

1. Vinkelns tredelning eller att dela en vinkel i tre lika delar
Att dela en vinkel i två lika stora vinklar är relativt enkelt, till och med med de sparsmakade verktyg grekerna ställde till vårt förfogande - man kan rent av bevisa att alla vinklar går att dela på mitten med de förutsättningarna. Att dela samma vinkel i tre lika stora delar är desto mer utmanande. Bortsett från ett antal speciella vinklar (3π/2, 9π/4, ja, alla som är en jämn tre-multipel av en konstruerbar vinkel) så krävs för tredelning av en vinkel ett speciellt villkor, som grekerna hade lika svårt för som de hade för siffran noll: Oändligheten.

Vem som först formulerade problemet med vinkelns tredelning är inte känt. Hippokrates, som intresserade sig för de tre problemen, visade däremot att det är möjligt att dela vilken vinkel som helst i tre delar om man har tillgång till en linjal med avståndsmarkeringar. En vinkel CAB kan då med tre steg delas i tre delar:

1. Dra ett streck rakt ned från C, så att det skär linjen AB i punkten D.
2. Fortsätt så att en rektangel bildas, genom att rita till linjerna CF och AF.
3. Rita ett streck AE, så att CHG och CGE blir likbenta trianglar, och HG, GC och GE lika långa som AC. Vinkeln BAG är nu en tredjedel av CAB.

En utförlig beskrivning av Hippokrates lösning på problemet, tillsammans med andra berömda matematikers lösningar, som Arkimedes, Nicomedes och Apollonius, står att finna på den här sidan.

Antagligen var det just eftersom problemet var så lätt att lösa med en numrerad linjal, som det ursprungliga problemet att dela vinkeln med endast en omarkerad linjal sällan fick någon uppmärksamhet. 1837 publicerade fransmannen Pierre Wantzel ett bevis för att det är omöjligt. Även om vissa vinklar går att dela i tre, finns ingen metod som kan dela alla vinklar, så till vida att man inte kan tänka sig att hålla på i all oändlig framtid. Vi som inte vill det får helt enkelt nöja oss med att tredelning är en redigt svår nöt att knäcka.

Problemet med tredjedelar återfinns redan i den mesopotamiska historien om Gilgamesh, som sades vara två tredjedelar gud och en tredjedel människa. Tror man att babylonierna visste om att det krävs oändligt många generationer för att åstadkomma det kan man tolka det som en subtil symbol för, exempelvis, att gudaätten skulle vara oändlig. Tror man inte på den tolkningen, så framstår det som att även de bästa kan göra matematiska felsteg, och att vissa felsteg verkar kunna leva kvar i tusentals år.

2. Cirkelns kvadratur eller att skapa en cirkel med samma area som en kvadrat
Det andra problemet är utan tvivel det äldsta av de tre - intresset för cirkelns area är lika gammalt som civilisationen själv. Svårigheten att från en cirkel skapa en kvadrat med lika stor area är ju ett problem som möter varje person som vill beräkna en cirkels area, eftersom alla areor jämförs i termer av kvadrater (vilket ju är varför vi överhuvudtaget talar om kvadratmetrar).

Den egyptiske skrivaren Ahmes, som står som författare till den berömda Rhindpapyrusen, lär ha givit anvisningen att ta bort en niondel från cirkelns radie och därefter konstruera en kvadrat med den sidan, men den förste som gav sig på att lösa problemet mer exakt var greken Anaxagoras, som enligt den alltid så välinformerade Plutarchos lär ha sysselsatt sig med problemet under tiden han satt i fängelse. Problemet var tydligen populärt bland de antika grekerna, såväl bland matematiker som icke-matematiker - faktum är att det omnämns i den samtida teaterpjäsen Fåglarna av Aristofanes.

Ifall Anaxagoras kom till någon slutsats är inte längre känt. Problemet blev under tiden mycket omtyckt i Grekland, men likväl upptäcktes ingen elegant och enkel lösning på problemet, som bara använde en omärkt linjal och passare. Faktum är att det gick så långt att grekerna började använda beteckningen cirkelkvadrerare för alla dem som utan framgång försöker göra det omöjliga.

Det intressanta med den här tidens lösningar på problemet är att de gick ut på att fylla cirkeln med trianglar eller rektanglar av allt mindre storlek - till slut, tänkte man sig, skulle månghörningen helt fylla cirkeln. Därefter var det lätt att sätta samman dem till en kvadrat och därmed ha löst problemet. Även om metoden fick kritik inte minst från Aristoteles, kan vi i efterhand konstatera att den egentligen var långt före sin tid. Tanken att en area kan beräknas genom att fylla den med oändligt många regelbundna rektanglar och trianglar av allt mindre storlek är inte många steg från 1600-talets integralkalkyl.

En av dem som konstruerade en sådan lösning var filosofen och retorikern Antifon från Aten. Han började med att placera en så stor kvadrat som möjligt i mitten av cirkeln, och fyllde därefter på med allt mindre rätvinkliga trianglar. Metoden återanvändes långt senare av Arkimedes för att ge ett närmevärde till π.

Antifon trodde att [cirkelns] area på detta sätt skulle fyllas, varför vi vid något tillfälle skulle ha en månghörning inskriven i cirkeln, med så små sidor att de skulle sammanfalla med cirkelns omkrets. Och, eftersom vi redan till varje månghörning kan skapa en lika stor kvadrat ... kan vi då också skapa en kvadrat lika stor som en cirkel.” - Simplikios från Kilikien

Staden Elis ligger i en dalgång på Peloponnesos västkust och var hemstaden för Hippias, vars bidrag till matematiken bland annat inkluderade den geniala quadratrix-kurvan med vars hjälp problemet med cirkelns kvadratur nästan kunde lösas. Till staden hörde även antikens Olympia, platsen för de antika olympiska spelen. Här ses den valvförsedda ingången till den antika arenan. Foto: Troy McKaskle, CC-BY-SA 2.0

Det stora genombrottet i lösningen av cirkelns kvadratur kom med matematikern och filosofen Hippias från Elis. Kring år 420 f.Kr. konstruerade han en kurva, som senare har kommit att bli känd som Hippias quadratrix, med vars hjälp han kunde härleda en lösning till problemet med vinkelns tredelning. Någon generation senare visade Deinostratos, en av Platons lärjungar, att den gick att använda även till att lösa problemet med cirkelns kvadratur. Haken med den här metoden var att quadratrixen i sig inte kunde konstrueras med enbart en passare och en omärkt linjal.

För att konstruera Hippias quadratrix behövdes ett särskilt instrument, som bestod av två stavar och en kvadrat. Den ena staven satt fast i kvadratens sidor, på så sätt att den kunde skjutas uppåt och nedåt, medan den andra var fäst i ett av hörnen och med en glidande infästning i den andra staven. Skärningspunkten mellan dem skapade quadratrixen. Bild: Wikimediaanvändar Kmhkmh, CC-BY-SA 3.0

Kan vi med dagens matematik till hjälp lösa problemet med cirkelns kvadratur? För att göra det, behöver vi först betrakta proportionen mellan en kvadrats sida och en cirkels radie. En kvadrat med sidan s har arean s², medan en cirkel med radien r har arean πr². Om vi vill skapa en cirkel med samma area som en kvadrat, får vi först sätta areorna lika, d.v.s.

För att få fram cirkelns radie måste alltså sträckan delas med kvadratroten ur π. Problemet är att roten ur π, liksom π självt, är tal går inte att skapa med de verktyg som grekerna ställde till vårt förfogande. På ett sätt var det just det problemet var det som Arkimedes mötte på, och anledning till att han använde Antifons metod för att skapa en approximation till π. Ytterst beror det på att π är ett s.k. transcendent tal, något som bevisades av matematikern Ferdinand von Lindemann år 1882, vilket i korta ordalag betyder att det inte är en lösning till någon algebraisk ekvation - fast det är en annan historia.

3. Kubens fördubbling eller att bestämma sidan på en kub som är dubbelt så stor som en annan kub
Det tredje problemet är troligtvis det yngsta av de tre problemen. Uppgiften är att att till en kub med känd sida och volym skapa en kub med dubbla volymen. Ganska snart började dock problemet cirkulera i en mer generell form: Att till en given kub konstruera en ny kub, vars volym förhåller sig till den gamla kubens volym med samma proportion som två givna linjers längder förhåller sig till varandra.

Av de tre geometriska problemen var detta det under antiken mest berömda, fast var med anledning av en anekdot om när Aten drabbades av pesten känt som det deliska problemet. Den mest underhållande, men knappast sanningsenliga, versionen av anekdoten ger den hellenistiske matematikern Theon från Smyrna, som återberättar en historia från Eratosthenes numer förlorade verk Platonikos. Han berättar, att när Atens invånarna frågade oraklet på Delos hur de skulle bli av med pesten fick de svaret att de i Apollons, tillfrisknandets gud, tempel skulle konstruera ett nytt altare, som var dubbelt så stort som det gamla. Byggmästarna, vars uppgift ombyggnationen blev, hade ingen aning om hur de skulle gå till väga för att uppfylla gudens önskningar, och rådfrågade därför i sin förvirring Platon. Denne vise herre svarade att guden i själva verket inte alls var intresserad av ett dubbelt så stort altare. Istället ville guden göra grekerna skamsna för deras ointresse för matematiken och motvilja mot geometrin.

Oraklet på Delos meddelade atenarna att de skulle bli av med pesten om de konstruerade ett nytt altare, som var dubbelt så stort som det gamla. Anekdoten fick sedan ge namn åt problemet med kubens fördubbling. Pesten som drabbade Aten år 430 f.Kr. hade dock ingen likhet med medeltidens böldpest. Vissa forskare menar istället att atenarna drabbades av tyfus, medan andra hävdar att sjukdomen under de millennier som gått antingen dött ut eller förändrats så mycket att vi inte längre kan känna igen den. Rykande färsk forskning föreslår att det egentligen rörde sig om ett tidigt utbrott av ebola. Notera dock att Platon, som ju är del av anekdoten, år 430 f.Kr. ännu inte var född. Tavlan ovan har målats av den flamländske konstnären Michiel Sweerts.

Det första genombrottet i lösningen av det deliska problemet stod Hippokrates för. Genom en genial upptäckt kunde han reducera problemet till att från två givna linjer, a och b, finna två linjer x och y, sådana att proportionen mellan a och x är densamma som den mellan x och y respektive y och b, eller med modern matematisk notation:

Hur kom då Hippokrates fram till att de två problemen egentligen var ett och samma - att man genom att lösa det ena, också hade löst det andra? Med modern matematik går det relativt enkelt att uttrycka:

Det säger oss att en kub med sidan a, som har volymen a³, förhåller sig till en kub med sidan x, som har volymen x³, på samma sätt som a förhåller sig till b. På så sätt kommer volymen av kuben med sidan a att förhålla sig till kuben med sidan x på samma sätt som linjen a förhåller till linjen b. Uppgiften kan därför förenklas till att från två givna linjer a och x skapa linjerna y och b. Vårt resonemang bygger dock på modern matematik - hur Hippokrates kom fram till samma slutsats får förbli ett mysterium att förbrylla de lärda.

En gång trodde man att man hittat matematikern Archytas skulptur i Villa dei Papyri i Herculeanum nära Pompeji. Senare visade sig statyn istället avbilda Pytagoras. Till villan hörde en gång ett stort bibliotek, som begravdes under askan från vulkanen och på så sätt blivit det enda bevarade antika biblioteket. Mycket av vår kunskap om antiken kommer från de dokument som hittats under utgrävningarna. I romersk tid var villan en samlingsplats för människor som följde den grekiske filosofen Epikuros läror, där filosofiska diskussioner och gott sällskap alltid stod högt i kurs. Foto: Dave Hill och Margie Kleerup, CC-BY-SA 2.0

Det allra största genombrottet vad gäller det deliska problemet kommer dock från en annan antik matematiker, Archytas. Hans upptäckt förbättrades sedan av en annan matematiker, Menaichmos, också han en vän till Platon och dessutom bror till Deinostratos, som löste problemet med cirkelns kvadratur. Archytas lösning är anmärkningsvärd, som Thomas Heath skriver i boken A history of Greek mathematics, "especially when his date is considered (first half of fourth century B.C.), because it is not a construction in a plane, but a bold construction in three dimensions".

Genidraget i Archytas lösning är hans insikt, att skärningspunkten mellan en parabel och en hyperbel skapar en kurva, som vrider sig i tre dimensioner. Med andra ord går den inte att rita ut på ett papper. I Gauss ord är kurvan negativ, men till den tiden skulle det dröja mer än två millennier. En fullständig beskrivning av Archytas lösning kan läsas i Thomas Heaths bok (sid. 246-249), eller i sammandrag på den här hemsidan.

Att den är slående, det är nog det minsta man kan säga om Archytas lösning - det är en komplicerad konstruktion i tre dimensioner, där halvcylindrar och koner trängs med ellipser och cirklar; allt för att konstruera de linjer x och y som Hippokrates anbefallt. Till och med i ett modernt 3D-program är Archytas konstruktion svår att genomskåda - frågan är hur han själv inte bara lyckades föreställa sig en sådan figur, utan även kunde dra slutsatsen att han därigenom hade konstruerat rätt längder.

Hur magnifikt genial Archytas lösning än må vara, kan den inte kringgå den grundläggande svårigheten som gör alla de tre problemen olösliga. Det gäller för π, som i problemet med vinkelns tredelning, och för roten ur π, som i problemet med cirkelns kvadratur, som Pierre Wantzel visade på 1830-talet, men även för kubikroten ur två, som i det deliska problemet. Som den siste store företrädaren för pytagoréernas matematik, måste Archytas ha känt den starkaste frustrationen inför dessa irrationella tal. Problemet är dock inte i sig att talen är irrationella - pentagrammet går trots sina irrationella sidor mycket bra att konstruera geometriskt, något som Euklides visade i sin Elementa. För att konstruera kubikroten ur två krävs däremot en figur i tre dimensioner, vilket var precis vad Archytas levererade. I ett plan, d.v.s. begränsat till två dimensioner, är det - per definition, eftersom kubikroten har just med volym att göra - omöjligt.

Trots det fick alla de tre problemen till slut sin lösning av geniala matematiker och filosofer i Platons generation. Att de fortfarande betraktades som olösliga, beror på att grekerna hade rangordnat de olika lösningsmetodernas elegans. Bäst var de så kallade platonska lösningarna, som skulle genomföras i ett plan med bara passare och omärkt linjal. Därefter kom lösningar med kägelsnitt, som ellipser och parabler. Minst eleganta ansågs de lösningar, där det behövdes ett speciellt verktyg, som Hippias quadratrix-instrument.

Med en vidare definition kan, som grekerna själva visade, alla de tre problemen lösas. Origami är ett annat, kraftfullt alternativ. På sätt och vis var det alltså inte problemen i sig som var omöjliga, utan grekerna själva. Genom Platons idealism, vars popularitet bara skulle stiga, uteslöt de alla möjliga lösningar, och låste sig vid att finna de omöjliga. Samtidigt som de formulerade enkla och eleganta problem, kan man säga, att de i sin jakt på elegans satte på sig sin egen ögonbindel.

Det gyllene snittet under fem tusen år

Hunden, människans bäste vän? Inte då, det gyllene snittet låter sig inte besegras så lätt! "De lyckliga hundarna" av Richard Ansdell.

Alltsedan de kambriska havens värld har det funnits snäckor, anfäderna till dagens snäckor, de snäckor vars skal urmänniskorna plockade och beundrade längs stenålderns havsstränder, och de besitter en matematisk hemlighet. Fast deras koppling till det gyllene snittet är nog inte så vidare hemlig längre. Fortfarande, efter att ha levt i en värld där vi ser det gyllene snittet varthän vi än vänder våra ögon, verkar det aldrig upphöra att fascinera oss. Kanske är det just därför vi dras till det, kanske är det vår världs emblem. Och mer exakt är talet ett plus kvadratroten ur fem genom två, eller det gyllene snittet.

Att både snäckor och kottar, lika väl som solrosor och myriader av andra ting i naturens värld går att hänföra till det gyllene snittet var kanske just den inspirationskälla som ligger till grund för den konst och matematik som följt i dess spår. Både som proportion, det gyllene snittet, och som sidorna på en rektangel, den gyllene rektangeln, har talet följt med oss sedan urminnes tider. Rektangeln lär vara den skönaste möjliga, utvald av människor i alla kulturer. Och då måste den vara ett framgångsrecept för den som vill skapa slående konst.
Somliga tror att redan de gamla egyptierna kom underfund med detta i sitt sökande efter en byggnad som kunde överskrida barriären till livet efter detta - den som ställer sig mitt på en av pyramidernas sidor, förväntas komma fram till att avståndet till toppen, längs med ytan, förhåller sig med det gyllene snittet till tre decimalers noggrannhet till avståndet till pyramidens centrum. För den äldsta befästa användningen av det gyllene snittet får vi dock vänta ytterligare ett och ett halvt millennium, till det antika Grekland.

Gyllene snittet eller inte, ligger pyramidernas skönhet i deras matematik?

Man kan säga, att den grekiska matematiska traditionen sträcker sig från Thales från Miletos, via hans lärjunge Pythagoras och Pythagoras lärjungar tills Sokrates, Platon och Aristoteles. Däremellan finner vi Euklides, och, runt den tid då Parthenon på Akropolis i Aten uppfördes, skulptören Fidias. Fidias betraktades redan av romarna som en av Greklands mest briljanta konstnärer, med både ett av den antika världens sju underverk bland sina skapelser och de två statyerna av Athena, staden Atens skyddsgudinna, som då prydde templet, och deltog i att göra det världsberömt. Hans verk lever idag endast genom kopior, varav de flesta gjordes under romersk tid, men minnet av honom har idag fått en återfödelse genom att man under 1900-talet lät den första bokstaven i hans namn, den grekiska bokstaven φ, fi, beteckna den proportion som var pionjär med att använda. Det gyllene snittet skrivs därför ofta

Pythagoréerna höll det gyllene snittet som en gudomlighet i sin av talmystik uppbyggda världsbild, liksom π, men blev av båda djupt besvikna, när det upptäcktes att de var irrationella, och således gick på kors med en annan av pythagoréernas grundprinciper, att alla tal kan skapas genom att dela två heltal med varandra. Den uppfattningen fanns för övrigt i stort i hela det antika grekiska samhället, och det var därför inte så märkligt att grekerna vände sig till bråken när de försökte uttrycka tal som pi eller det gyllene snittet i siffror. Idag brukar vi ju benämna dem approximationer, men jag skulle kunna tänka mig att de antika grekerna i alla fall för en stund trodde sig ha funnit det exakta uttrycket. Likaväl kan man ju föreställa sig den antike grekiske matematiker som med ljus och lykta söker längsmed tallinjen av idel rationella tal; "Men det måste ju finnas någonstans här!". Men lika besvikna över det gyllene snittet som över pi behövde pythagoréerna inte bli; ett vanligt sätt att definiera det gyllene snittet på är faktiskt med hjälp av ett bråk:

där förhållandet a till b motsvarar det gyllene snittet, vilket man ser om man sätter in b=1, eftersom man då får a=φ; sätter man in b=2 får man a=2φ. Om man då just sätter in b=1 så får man istället en andragradsekvation, vars lösning är just det gyllene snittet:

Den visar på en av det gyllene snittets kännetecknande egenskaper, nämligen att φ i kvadrat är detsamma som φ+1. (Något man får fram om man adderar x+1 till vardera sidan.)

Ett fragment från en avskrift av Euklides Elementa från omkring 100 e.Kr., det matematiska grundverk som också innehåller den första matematiska beskrivningen av det gyllene snittet.

Den första matematiska beskrivningen av det gyllene snittet står dock att finna i Euklides Elementa, ett av matematikens absoluta grundverk. Euklides, utöver att han bland annat visade att det gyllene snittet är irrationellt, gav den kanske enklast möjliga geometriska definitionen av det gyllene snittet, den som inspirerade det matematiska uttryck som vi använde som startpunkt precis här ovanför. Euklides, som kallar proportionen för den ytterlighetens och medelvärdets förhållande, i fri översättning från engelskan, eftersom min antika grekiska tyvärr är i behov av allvarligt förbättringsarbete, definierar den genom att dra en rät linje och dela den i två, så att en kort och en lång del skapas. Han säger då att den korta förhåller sig till den långa biten med det gyllene snittet, ifall det råder samma proportion mellan dem, som det gör mellan den långa biten och hela sträckan. Rent och elegant, men i behov av en illustration:

Euklides definition av det gyllene snittet; där proportionen mellan a och b är densamma som proportionen mellan a och hela sträckan, a+b. Definitionen är fortfarande, med över två millennier på nacken, en av de mest använda.

Det skulle dock dröja mer än tolv hundra år innan en man upptäckte vidden av det gyllene snittets nära koppling till talens självaste natur; hans namn var Fibonacci. Boken han lät publicera år 1202 var banbrytande på många sätt (se detta inlägg), inte minst för den studie på kaniner han beskrev. Varje kanin, enligt Fibonacci, föder en ny kaninunge per månad, som tar en månad att växa upp innan den skaffar egna kaninungar. Onödiga komplikationer som att det måste vara två kaniner för att det överhuvudtaget skall bli kaniner skalade Fibonacci bort. En kaninunge kommer därför inte att skaffa någon kanin månad ett. Månad två gör den dock så, och då finns det två kaniner. Men den nyfödda kaninen är för ung, och nästa månad föds det fortfarande bara en kanin, och det finns tre kaniner. Men då finns det med en gång två kaniner som skaffar kaninungar, och nästa månad finns det fem kaniner, tre vuxna och två ungar. Följaktligen finns det månaden därpå fem kaniner, sedan åtta, tretton, tjugoett och trettiofyra. Fibonaccis talserie är skapad.

Men det förbluffande är fortfarande kvar; om man delar ett fibonaccital, som vi kallar F(n), med fibonaccitalet innan, F(n-1), får man, ju större fibonaccital man väljer, en kvot allt närmare phi, det gyllene snittet. Vi kan se att 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3=1,66...; 8/5=1,6; 13/8=1,625; 1,61538...; och så vidare; 39088169/24157817=1,618033989... om x är kvoten mellan ett fibonaccital och det förra, så får vi

Beviset var dock inte Fibonaccis förtjänst, utan utformades av Johannes Kepler, ett århundrade senare. Ungefär samtidigt publicerades den första decimalapproximationen av det gyllene snittet, av Michael Maestlin, år 1597, istället för de bråk som grekerna försökte fånga det gyllene snittet i, och som Euklides visade var omöjligt, ändock är det lika omöjligt att skriva talet som ett decimaltal.

Under upplysningen fann man många exempel på det gyllene snittet i naturen, som gick väl i linje med tidens melodi: att världen är matematisk som ett klockverk. 1835 benämndes proportionen för första gången det gyllene snittet, istället för Euklides ytterlighetens och medelvärdets förhållande, och på nittonhundratalet fick Fidias ge namn åt förhållandet. Men det gyllene snittet ligger alltför nära vår värld för att försvinna med den deterministiska, förutsägbara och urverkslika världsbilden, och dyker upp till och med i Roger Penrose mönster och Dan Shechtmans Nobelprisbelönade kvasikristaller. Men det är en annan historia.

Är det gyllene snittet med och leder oss in i en fjärde rumsdimension? En legering av zink, mangan och holmium uppvisar ett oregelbundet mönster med det gyllene snittets proportioner. Bild: Wikimedia Commons-användare Materialscientist, CC BY-SA 3.0

För exempel på det gyllene snittets förekomst i geometrin, se den här externa sidan.

Pythagoras och hans pythagoréer

De flesta antika grekiska städer hade sina monumentala gudatempel, med stadens beskyddare eller beskyddarinna på hedersplatsen. Det här fotografiet visar ruinerna efter det Hera-tempel som en gång tronade över den grekiska kolonin Kroton i dagens Kalabrien, Italien, pytagoréernas hemstad.

Pythagoras är kanske mest känd för sin bekanta sats som säger att kvadraten av hypotenusan är lika med kvadraten på kateterna - men i antikens värld hade mästarna inte för vana att begränsa sig till endast sina ämnen. Enligt legenden, återberättad av Alf Henriksson, reste den unge Pythagoras, född i början av 500-talet f.Kr. på Samos, till Egypten, där han fick se bygget av pyramider. (Redan här kan man börja dra öronen åt sig, eftersom höjdpunkten på pyramidbyggartraditionen inföll redan på nittonhundratalet f.Kr., d.v.s. gott ett och ett halvt årtusende före Pythagoras födelse. Men, som visa människor sagt förut: Varför fördärva en god historia?)

Hur som helst, av egyptierna fick han lära sig ett genialt sätt att skapa rätvinkliga trianglar. Egyptierna tog ett rep, knöt tolv knutar med jämna avstånd från varandra och vek sedan ihop allt till en triangel med tre, fyra respektive fem knutar på var sida - triangeln var garanterat rätvinklig! Pythagoras, som varit elev hos en annan stor grekisk matematiker, Thales, måste ha vetat att detta var sant, eftersom Thales bevisat att alla trianglar som kan ritas i en halvcirkel måste ha en rät vinkel:

Thales var Pythagoras lärare och troligtvis den som gjorde Pythagoras så intresserad av trianglar att han reste hela vägen till Egypten. Den här animationen illustrerar Thales teorem, som säger att vinkeln B i bilden alltid är 90 grader.

I glädje över upptäckten av sitt teorem lär Thales ha offrat en oxe för att tacka gudarna, och när Pythagoras upptäckt sin sats, ville han så klart inte vara sämre. Därför offrade Pythagoras hundra oxar till gudarna, möjligtvis i templet på bilden längst upp. Och i efterhand kan vi väl ge Pythagoras åtminstone lite rätt - är inte hans sats minst hundra gånger mer berömd än Thales sats?

Den enkla anledningen till att Pythagoras offrade de hundra oxarna just på Kroton, en liten grekisk koloni i dagens Kalabrien, Italien, var att det var dit han hade flyttat efter att ha gjort sig till ovän med tyrannen hemma på Samos. Antagligen fanns det också ett annat skäl - Pythagoras planerade att grunda en sekt, och för sådana är kanske inte miljön direkt hälsosam mitt emellan tre av dåtidens imperiers maktsfärer, Aten, Egypten och Persien. 

Detta samfund, som eftervärlden i ett infall av fantasilöshet benämnt pythagoréerna, hade sitt säte i just staden Kroton under 500-talet f.Kr. Samfundet utgjordes av grekiska aristokrater och många har tvistat ifall de tillät kvinnliga medlemmar. Sekten var mysticistisk till sin natur, och centralt låg tron på talens magi, något som syns inte minst på deras talesätt, allt är tal. Mottot betydde för pythagoréerna att allting kunde mätas och skapas genom att dela och att lägga ihop tal - eller med andra ord, alla tal kunde skapas ur alla andra tal genom att enbart använda de fyra räknesätten.

Pytagoréernas udda leverne hade från första början gjort dem ringaktade, och därför de var tvungna att fly Grekland för ett liv på Sicilien i dåtidens världs utkant; troligtvis utsattes de för förtal från andra städer, där man ville hindra att ungdomarna anslöt sig till hans sekt, som syns på den här målningen av Fyodor Bronnikov. Säkerligen ligger detta förtal, traderat över generationer av skribenter, bakom många av alla de goda historier som Pythagoras har fått vara föremål för. Men ännu viktigare är att vi kommer ihåg honom och hans sekt som de matematiska pionjärer de var, med ett otal banbrytande matematiska upptäckter och kanske även som vishetslärare. Kända borde de åtminstone vara för Pythagoras devis állon heautón, varmed han menade att man skall behandla sin vän som sitt andra jag. Uttalandet är kanske mest känt i sin aningen missvisande latinska översättning, alter ego.

Att de samtidigt trodde på den magiska kraften i speciella tal, som pi och det gyllene snittet (liksom pentagonens gudomlighet), åsamkade dessvärre problem. Nyheten skulle nämligen komma att nå dem, att varken pi eller det gyllene snittet kunde uttryckas med de fyra räknesätten, eller, med andra ord, att just de tal som pytagoréerna höll för gudomliga var irrationella. Pytagoréerna benämnde dem aloga, vilket bokstavligen betyder ologiska, eftersom de bröt mot den talmagiska logik som pytagoréerna ansåg förhärskande. Ordet översattes till sedan till latin, där det blir irrationella. Pytagoréerna tillhörde således den sista generationen som levde i den antika grekiska föreställningen att alla tal kunde uttryckas geometriskt, mätas och läggas i trianglar, ett synsätt som inte minst Pytagoras sats vittnar om. Denna sats, som var en av pytagoréernas stoltheter och till synes talens gudomlighet bevisad, tycktes nog vända sig mot dem när de upptäckte att hypotenusan till en rätvinklig triangel med sidorna ett är roten ur två, ett ofrånkomligen irrationellt, omätbart och ologiskt tal. Det kunde visserligen approximeras, men approximationer, ungefärligheter och närmevärden göre sig icke besvär i den gudomligt exakta, mätbara och geometriska, pythagoreiska matematiken.

Exakthetens försvinnande blev som en dödsstöt för pythagoréerna, men det slutade ändå inte där. Ytterligare ett tal som inte riktigt passade in dök snart upp: noll - ett envist tal, med vilket man kan multiplicera vilket annat tal som helst, och ändå alltid kommat tillbaka till noll. Om man dividerar noll med vilket som helst annat tal får man också bara noll och, ännu värre, alla tal delade på noll är outtydbara. Noll är sannerligen matematikens svarta hål.

Elegant animation av ett lika elegant (med dock ett bland många) bevis av Pythagoras sats. Tyvärr vet vi dock inte ifall det verkligen var Pythagoras som stod bakom den sats som fått bära hans namn. Här ses en animation av ett geometriskt bevis av satsen, av John Blackburne, CC-BY-SA 3.0.

När Pythagoras slutligen dog, antagligen bitter och desperat av alla motgångar hans tid hade sköljt över hans matematik. Hans sekt inbegreps i tumultartade stridigheter, där de som ville förskjuta de nya upptäckterna motsattes av dem som ville omfamna nyheterna och revidera Pythagoras läror efter den nya tidens matematik. Av naturliga skäl slutade Greklands aristokrater att flockas till hans krets. Pythagoras lär ändock har ha gått en heroisk död till mötes.

Länge hade pytagoréernas hemstad Kroton, där man ansåg att det var oetiskt att döda ormar men likväl både offrade oxar och gick i krig mot grannstäderna, stridit mot grannstaden Sybaris, en stad vida känd för sina utsvävningar. Som straff för vad pytagoréerna ansåg vara invånarnas omoraliska leverne hade man förstört staden i grunden. Om det verkligen var sybariterna eller några andra fiender som hämnades vet vi inte, men Kroton erövrades och Pythagoras, som av naturliga skäl stod högt på fiendens lista, hanns ikapp. Slutligen kom den store matematikern till en situation, där han för sin överlevnad var tvungen att fly rakt in i ett bönfält. Mästaren lär heroiskt ha valt att gå i döden, istället för att trampa ned bönorna, som han ansåg vara människans nära släktingar. På så sätt dog antikens mest egendomlige matematiker, även om spillror av hans sekt levde kvar. Pytagoréernas storhetstid var dock för evigt förvisad till historieböckerna.