Del 2: Grekiska talsystem från järn till Jonien

Det här inlägget är det andra i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den första delen.

William Bouguereaus målning av den blinde Homeros stämmer väl överens med bilden av det idylliska arkaiska Grekland. I verkligheten präglades tidsepoken av dramatiska maktkamper mellan traditionella makthavare som aristokrati och kungaätter och nyrika handelsmän, snabb ekonomisk tillväxt, befolkningsexplosion och gryende demokratiska tankeströmningar.

Det arkaiska Grekland, som de drygt tre århundradena mellan 800 och 480 f.Kr. brukar kallas, var tiden då den kultur som vi förknippar med det antika Grekland föddes. Det var Thales och Pythagoras tid, det var tiden för de första grekiska stadsstaterna och de första olympiska spelen och det var en tid präglad av livlig handel mellan greker och fenicier.

Framförallt var det jakten på metallråvaror som förde grekerna i kontakt med deras grannfolk. Medan den minoiska och den mykenska kulturen båda varit bronsålderskulturer, steg det akaiska Grekland in i järnåldern. Det skapade en ny efterfrågan efter järn att smida bättre redskap och inte minst vapen med. Från och med 700-talet f.Kr. sökte sig grekiska kolonister ut för att grunda grekiska städer i metallrika länder, varifrån den värdefulla råvaran sedan kunde skickas hem.

Inte ens under antiken var floden Orontes stor nog för en handelsflotta, men dalgångens riktning har i alla tider gjort den viktig för landtransport. Under antiken grundades den grekiska kolonin Posideon vid flodens mynning, som handelsstation vid ändpunkten på handelsvägen mot det järnrika anatoliska och iranska inlanden. Det var troligen här som grekerna inte bara kom i kontakt med det feniciska alfabetet,  utan även anpassade det till sitt eget språk. Foto: Bernard Gagnon

På så sätt kom de grekiska handelsmännen i kontakt med fenicierna, ett möte som skulle komma att förändra den grekiska kulturen i grunden. Inte minst anammade man ett nytt alfabet, som med små förändringar blivit det alfabet som används i Grekland idag - och med lite större förändringar lever kvar i det alfabet som du läser just nu.

Nära nog samtidigt som det romerska talsystemet utvecklades i det tidiga Rom, utvecklades i Aten också ett talsystem, inspirerat av det nya, feniciska alfabetet. Detta det attiska talsystemet, efter regionen kring Aten, är också känt som det akrofoniska talsystemet, eftersom talen symboliserades av sin förstabokstav (akrofoniskt efter grekiskans ἄκρος, akros, första, inledande, högsta och φωνή, phone, ljud eller röst), och kom i användning under 500-talet f.Kr.

Liksom sina föregångare var det attiska talsystemets huvudsakliga användningsområde handeln - man räknade vikt, volym och, sist men inte minst, pengar. Handeln som utgick från Aten gav dess talsystem spridning över hela det egeiska havet, och gjorde det attiska talsystemet till det dominerande i det klassiska Grekland. Denna silverdrachme från 460-talet f.Kr. myntades i Aten, något som visas av Pallas Athenas huvud på ena sidan, och stadens symbol, ugglan, samt bokstäverna Α, Θ och Ε på den andra.

Kanske på grund av sin samtida utveckling, har det attiska och det romerska talsystemet mycket gemensamt; exempelvis har man tecken för samma tal: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 och så vidare, som sattes samman genom addition. Mycket tyder på att kontakterna mellan Aten och Rom redan vid den här tiden var omfattande, exempelvis utropades både den romerska republiken och den atenska demokratin år 508 f.Kr. Men till skillnad från det romerska talsystemet, där ordningsföljden på talen avgjorde om de skulle adderas eller subtraheras, adderades alltid sammanskrivna attiska tal. Ordningsföljden är istället oftast från den högsta valören till den minsta, även om vissa skrivare tycks ha föredragit lite mer oordning.

På en annan punkt skiljde sig det attiska talsystemet från det romerska, och från i stort sett alla andra talsystem för den delen, inklusive det feniciska, som man annars skulle kunna misstänkt som inspirationskälla: Man använde talens förstabokstäver som symboler. Det gjorde det säkert enklare att minnas talens betydelse för de människor, som sällan använde sig av matematik. Ett skrevs fortfarande med ett streck, men sedan skrevs 5 med pi, Π, för pente och 10 med delta, Δ, för deka. Hundra skrevs med Η (eta) för hekaton, tusen med X (chi) för chilioi och tio tusen med M, för myrioi. För den som är van vid de romerska siffrornas valörer, verkar systemet som upplagt för missförstånd.

Men det attiska talsystemet hade ännu en finess: En ytterligare serie med tal kunde framställas genom att skrivas inuti Π. Eftersom Π stod för 5, multiplicerades det tal som skrevs inuti det med fem. Vid den här tiden skrevs Π med ett kort högerben, och således betydde

(d.v.s. delta i pi) femtio. Likaledes kunde konstrueras tal för 500, 5000, och 50 000.

Akropolis i Aten, som uppfördes med de pengar som Aten vunnit genom sitt handelsnätverk i egeiska havet, det s.k. deliska förbundet, har kommit att bli en symbol för Atens stormakt. Men det antika Grekland var aldrig homogent och i andra delar av Grekland såg talsystemet helt annorlunda ut. Foto: A. Savin Copyleft/Free Art License

Till skillnad från Rom var Grekland splittrat i många små stater, med olika måttenheter, valutor och till och med varianter på talsystemet, oftast i fråga om tecknens form. Vissa stadsstater hade till och med en egen version av alfabetet - för att inte nämna Sparta, som länge inte ansåg sig behöva något överhuvudtaget.

Den mest kända varianten av både tal- och skrivsätten är den som användes i Aten och det inte bara för att Aten skulle komma att bli hem för några av antikens mest berömda personligheter, eller för att det skulle bli framtidens grekiska huvudstad. Aten under den grekiska guldåldern utvecklades till en regional handelsstormakt, och dess sjöflotta och funktion som handelsknutpunkt gav inflytande över hela den östra Medelhavsregionen. I handelsmännens fotspår följde tal- och skrivsystemen tätt, som på så sätt vann spridning även bortom sitt ursprung i Attika.

Bakom Miletos amfiteater reser sig bergen. Staden ligger i en dalgång på det egeiska havets östra strand och var en av de största och rikaste städerna i det antika Jonien. Landskapet utgjorde ett slags multikulturell handels- och mötesplats mellan Grekland och kulturerna i Mellanöstern och kom att bli känt för visdom, filosofi och matematik. Foto: I. Panteleon.

Det andra antika grekiska talsystemet som kommit att bli känt uppstod troligen knappt hundra år efter att det attiska talsystemet i Jonien, på det som idag är Turkiets västkust. Att ge ett exakt datum för dess uppkomst är svårt, eftersom dess framväxt i likhet med de flesta sådana utvecklingar var långsam och gradvis, olika varianter följde varandra, och systemen såg olika ut på olika platser. De äldsta spåren av detta det joniska talsystemet kommer från Miletos, och har daterats till så tidigt som 700-talet f.Kr., medan den äldsta användningen av talsystemet i den form det senare kom att bli berömt låter vänta på sig ända till 500-talet f.Kr., då det användes för avståndsmarkörer i Eupalinos tunnel på Samos.

Systemet i fråga, som även brukar kallas det alfabetiska, gick ut på att de grekiska bokstäverna försågs med siffervärden, så att exempelvis Α (alfa) betydde 1, B (beta) 2 och Γ (gamma) 3. Θ (theta) betydde 9 och sedan kom Ι (iota) som betydde 10. Därefter växte talen med tio, så att Κ (kappa) betydde 20 och Λ (lambda) 30 och på så sätt fick man tal som räckte till att skriva 999, genom att kombinera ett tecken för ental, ett tecken för tiotal och ett tecken för hundratal. Precis som i det akrofoniska systemet skrevs talen ihop genom addition, så att tal som t.ex. 33, skrev som ΛΓ (d.v.s. 30 + 3). Siffror särskiljdes från vanliga bokstäver med ett streck ovanför, som senare kommit att bli en egen sorts accent, ʹ, efter talet istället.

Ental		Tiotal		Hundratal
Α	1	Ι	10	Ρ	100
Β	2	Κ	20	Σ	200
Γ	3	Λ	30	Τ	300
Δ	4	Μ	40	Υ	400
Ε	5	Ν	50	Φ	500
ϛ/Ϝ	6	Ξ	60	Χ	600
Ζ	7	Ο	70	Ψ	700
Η	8	Π	80	Ω	800
Θ	9	ϟ	90	ϡ	900

Problemet med att använda de grekiska bokstäverna som tal är att de endast är 24 till antalet, medan nio bokstäver till entalen (Α till Θ), nio till tiotalen och nio till hundratalen kräver allt som allt 27 tecken. Till de tre kvarvarande talen användes tre andra bokstäver: stigma, ϛ, som betydde 6, koppa, ϟ, som betydde 90, och sampi, ϡ, som stod för 900. Var och en har en spännande historia att berätta, och alla säger de något om det talsystem de kom att ingå i.

Eupalinos tunnel på Samos byggdes på 500-talet f.Kr. för att förse den dåvarande huvudstaden, som idag heter Pytagoreion, med färskvatten även under torka och belägring. Den över en kilometer långa tunneln utmärktes med avståndsmarkörer, som tros vara den äldsta bevarade användningen av det joniska alfabetiska talsystemet. För att färdigställa arbetet så snabbt som möjligt, grävdes tunneln från båda håll samtidigt. Tack vare snillrik ingenjörskonst och en hel del matematiska beräkningar, möttes man precis i mitten. Här finns en spännande beskrivning av tunneln och äventyret med att utforska den.

Stigma, som ockuperar den sjätte platsen i det alfabetiska talsystemet, är egentligen en ligatur mellan sigma och tao. Den hör inte alls hemma där, eftersom den utvecklades först under medeltiden. Under antiken skrev man istället talet sex med bokstaven digamma, Ϝ, en fenicisk bokstav som följt med när alfabetet lånades in. I det feniciska språket betecknade digamma ett wau-ljud (liknande engelskans w), som fortfarande finns i de semitiska språken, till vilka feniciskan hörde, men saknades i grekiskan. Bokstaven föll därför ganska snart ur bruk; kvarstod gjorde det endast som siffra. (Processen tog olika lång tid i olika landskap, så bokstaven hann spridas vidare till etruskiskan, där den senare kom att återuppstå bland annat i våra dagars F).

Frikopplad från sin bokstavsbetydelse, steg digamma in i medeltiden. Den bytte namn till episemon och tappade sin nedre skänkel. Den C-liknande formen gjorde därefter att den blandades ihop med en annan medeltida uppfinning, stigma, ς, en ligatur eller sammansättning av sigma och tau. Som stigma fortsatte den senare att utvecklas, så att det idag är svårt att se hur sigma och tau tillsammans skulle få detta något osannolika utseende.

Historien om koppa, ϟ, liknar i många stycken den om stigma. Eftersom feniciskan har två k-ljud följde två separata bokstäver, kappa, Κ, och koppa, ϟ, med. Kappa blev det vanliga sättet att skriva ljudet, medan koppa används ifall bokstaven efter K var O, som i staden Korint. Korint, vars namn följaktligen började på koppa, gjorde bokstaven till sin symbol och präglade den på sina mynt, som detta från slutet av 500-talet f.Kr. I den versionen blev bokstaven ursprunget till det latinska alfabetets Q, medan den i grekiskan föll ur bruk drygt hundra år senare. Som siffra förändrades dess form successivt till dagens ϟ. Foto: Marie-Lan Nguyen

Det här inlägget är det andra i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den första delen.

Del 1: Talsystem och matematik i bronsålderns Grekland

Trots att det grekiska talsystemet användes av de flesta av antikens mest namnkunniga matematiker - Thales, Pytagoras, Euklides, Eratosthenes, Aristoteles och Arkimedes - kommer det ofta i skymundan av sin romerska motsvarighet. För den praktiskt lagde må de två talsystemen kanske vara sak samma, för även om de är olika varandra är de lika hopplöst trassliga i jämförelse med det indo-arabiska. Men, å andra sidan, varför låta något sådant fördärva en god historia?

Sir Arthur Evans upptäckte och namngav den minoiska kulturen, som blomstrade på Kreta under den grekiska bronsåldern och skapade ett av Greklands äldsta kända skrift- och talsystem. Ännu fri från den moderna arkeologins skrupler, satte Sir Arthur Evans efter att ha upptäckt palatset på Knossos - en gång den minoiska kulturens epicentrum - igång med att återuppbygga det. Hur nära sanningen han egentligen kom lär vi aldrig få veta, men det är förstås inget som bekommer vare sig turistnäring eller fantasi. Foto: Aviad Bublil, CC-BY-SA 3.0

Det äldsta skriftspråk som utvecklades i den egeiska övärlden kommer från det minoiska folket, som en gång bebodde Kreta, och som under numer berömda former upptäcktes av den engelske arkeologen Sir Arthur Evans. I egentlig mening var Evans inte Knossos upptäckare, men blev år 1900 den förste att genomföra utgrävningar på den plats som kom att göra honom berömd.

Innan hustrun Margarets död hade Evans kommit över en inskription på ett okänt språk. Redan när han landsteg på Kreta 1894, hittade han tydliga spår av samma språk och kunde konstatera att han hittat inskriptionens ursprung. Men att låta upptäckten leda till utgrävningar var dessvärre inte möjligt, eftersom Kreta vid tiden tillhörde det ottomanska riket, som med avsikt att hindra utgrävningar krävde att arkeologerna först köpte hela området för ett mycket högt satt pris. Konstruktionen, känd som firman efter det dekret som krävdes för att få tillstånd för utgrävningar, hade flera gånger tvingat arkeologer att tomhänta återvända hem, bland dem Trojas och Mykenes upptäckare Heinrich Schliemann.

Efter att ha besegrat en Venedig och Nederländerna 1649 förblev Kreta en del av det ottomanska riket i nära 250 år. Först när ottomanerna drog sig tillbaka släpptes de regler, som i princip innebar ett förbud mot arkeologiska utgrävningar. Upptäckten av den minoiska kulturen, dess konst, dess byggnader men kanske främst dess språk och sedermera även dess talsystem, följde kort därefter. Denna tavla målades sju år efter slaget av den vid tillfället trettonårige Abraham Beerstraten.

Efter att de sista ottomanska trupperna fyra år senare lämnat ön, stod det Evans slutligen fritt att påbörja sina utgrävningar. Det visade sig snart att det mystiska språket hörde hemma i en tidigare okänd civilisation, som Evans namngav den minoiska kulturen, som genom sitt uttrycksfulla formspråk, mystiska ursprung och plötsliga undergång alltsedan dess har fascinerat såväl forskare som allmänhet. Det minoiska språket, som nedtecknades med Linear A-alfabetet, saknar levande släktingar och har förblivit odechiffrerat, något som minst sagt bidragit till det minoiska mysteriet.

Med siffrorna är det turligt nog något bättre ställt. Eftersom den huvudsakliga uppgiften för skriftspråket vid den här tiden var affärsöverenskommelser, innehåller de flesta kända fragment på ett eller annat sätt siffror. Från fragmenten framträder en bild av ett talsystem, som inte så överraskande har stora likheter med det egyptiska, som minoerna redan på tidigt stadium förde handel och hade kulturutbyte med. Liksom det egyptiska talsystemet hade det minoiska siffertecken för 1 (ett vertikalt streck), 10 (en prick), 100 (en ring) och 1000 (en ring med streck).

Linear A-inskriften från Hagia Triada verkar vara en bokföringslista från vinhandeln. På raden längst ned, från vänster till höger, finns först två tecken, som enligt nuvarande teori skall utläsas ku-ro, som ofta användes i räkenskaper och troligtvis betydde summa. Därefter kommer en ring, tre prickar och ett L-liknande vinkeltecken. Dessa är själva siffertecknen - ringen betyder hundra, prickarna betyder vardera tio och vinkeln en halv. Summan i fråga är alltså 130,50. Om det sedan är volym, pris eller något helt annat, får antas underförstått om man bara hade förstått resten av texten.

De minoiska enheterna baserade sig på storleken på förvaringskärlen, de så kallade pithoi. Ett sådant kärl rymde ungefär 30 liter, så de minoiska enheterna var följaktligen ganska stora. Därför var det nog inte så sällan som man ville ha en halv, en åttondels, eller kanske just hundratrettio och en halv amfora vin och för det krävdes ett ganska märkvärdigt matematiskt grepp: bråkräkning.

Återigen är det likheten med det egyptiska talsystemet som är mest slående, de som bland annat använde bråkal för att lösa några av världens äldsta andragradsekvationer. I likhet med sina sydliga handelspartners använde sig minoerna nämligen endast av bråk med 1 som täljare. Genom att addera dem med varandra och med heltal kunde man konstruera alla rationella tal, vilket var allt den tidens människor kände till.

Från vinkeln, tecknet för en halv som i exemplet om vinhandeln, gick minoerna vidare och skapade fler tecken för bråktal - endast några få av dessa är kända för oss. Bland annat kunde man konstruera tecknet för en fjärdedel genom att vända på vinkeln, och drog man sedan ett streck rakt över, så att tecknet för en fjärdedel delades i två, betydde det logiskt nog en åttondel. Ett kors betydde en femtedel och två kors betydde då föga överraskande två femtedelar.

Någon påhittig person har räknat ut att de fragment av minoiska texter och inskrifter som finns bevarade tillsammans inte utgör mer än en dryg A4, och då är det ju inte så märkligt att man någonstans kommer till en gräns där vår kunskap inte sträcker sig mycket längre, för det behövs till slut en viss tur, för att någon skall ha plitat ned just det tecknet på ett fragment som kom att överleva i nästan fyra tusen år. Det finns även hypoteser om tecken för tolftedelar, sextondelar och mycket annat, men de flesta bråktal fortfarande lite utav en gissningslek, om än en ganska intressant sådan, som du kan läsa mer om exempelvis på den här sidan. Och på den här sidan finns mer om Linear A och det minoiska språket.

Dessa rikt dekorerade pithoi, förvaringskärl, hittades på Knossos (bortsett från den bortersta, som hittades i Tylissos) och finns idag på det närbelägna arkeologiska museet i Heraklion. De användes för vinförvaring och ser passande nog ut att rymma ungefär 30 liter. Foto: J. Ollé, CC-BY-SA 3.0

Kreta, så heter ett land mitt ute på blånande djupet

vågomsvallat och bördigt och skönt; där finnes det mänskor

tusendetals, en oräknelig mängd, och nittio städer.

Språken där ljuda i kapp om varann, ty där finnas achaier,

finnas behjärtade kreter i mängd och stolta kydoner,

finnas ock dorer av stammarna tre och bålde pelasger.

Men bland städerna Knossos är störst, där Minos var konung,

vilken vart nionde år med den mäktige Zeus fick ett samtal

Homeros Odysséen, i översättning av Erland Lagerlöf.

Orsakerna till den minoiska kulturens plötsliga nedgång under mitten av 1400-talet f.Kr. har blivit ett kontroversiellt ämne, där såväl vulkanutbrott som skogsavverkning och ekosystemkollaps har föreslagits. Kort därefter erövrades ön av mykenska makthavare, som tog till sig det minoiska skrift- och talsystemet.

Vanligtvis avbildade de mykenska freskerna krigiska motiv, som t.ex. denna stridsvagn från 1200-talet f.Kr. Även om stilen och färgvalet påminner mycket om de minoiska konstverken är skillnaden i motiv slående, något som kanske speglar den mykenska kulturens mer utsatta läge på fastlandet.

Även om det mykenska maktövertagandet kanske var olyckligt för de erövrade minoerna, är det en av nyckelhändelserna i det minoiska tal- och skriftsystemets utveckling och för våra förutsättningar att förstå det. Till skillnad från minoiskan, som till synes är helt obesläktat med alla kända språk (vissa släktingar har föreslagits, men de är utan undantag minst lika mystiska själva), var mykenskan ett indo-europeiskt språk och troligtvis den äldsta kända varianten av det som skulle bli dagens grekiska.

Det mykenska skrivtecknen var således mycket lika de minoiska - man har kommit fram till att språken delade runt 80 procent av teckenuppsättningen. Den mykenska varianten av alfabetet har fått namnet Linear B, att jämföra med minoiskans Linear A. Detsamma gäller för talsystemen, som var uppbyggda på mycket liknande sätt. De skillnader som fanns motsvarar de man naturligen skulle kunna förvänta sig av språkens föränderlighet, under loppet av de århundraden som språket var i bruk förändrades naturligtvis formen på de handskrivna tecknen gradvis. På så sätt omvandlades exempelvis tecknet för 10, som i minoiskan varit en punkt, till att i mykenskan bli ett horisontellt streck.

Mykensk bokföring nedtecknades på lagom stora, cigarrformade lerbitar som kavlades ut till avlånga tavlor, som förstördes när räkenskapsåret var slut. En eldsvåda räddade däremot de här lertavlorna genom att bränna dess gods, så att de numera kan beskådas i rum 12 på British Museum i London.  På den minsta tavlans översta rad kan man läsa

 

där det första tecknet betyder bagge, följt av siffran två. Därefter kommer tecknet för tacka, följt av siffran 72. På raden under står

där den första delen betyder pa-i-to, det mykenska namnet på staden Phaistos, och återigen tecknet för bagge, den här gången följt av siffran 8.

I allra högsta grad formades det mykenska talsystemet av de omständigheter som det användes under. Behovet av ett talsystem uppkom först när storgårdar och statsbildningar nådde en storlek som krävde skriftlig administration. Den bokföring som fördes begränsade sig därför också till de varor och kvantiteter som var relevanta för storgården eller rent av för ett mindre kungarike - en halv eller en femtedels amfora av något var i det perspektivet inte längre särdeles relevant.

Kanske var det av denna anledning, som bråktalen föll bort under överföringen av det minoiska talsystemet till dess nya mykenska brukare. En annan anledning är också att man på det mykenska fastlandet använde sig av mindre enheter, istället för minoernas otympligt stora 30-litersurnor. De mykenska enheterna förefaller mycket mer praktiskt lagda, och verkar ha överensstämt med vad en person kan bära. Därför fanns också olika enheter för olika sorters varor - tio liter säd väger bara drygt hälften av vad tio liter vin.

Men eftersom vår kännedom om det mykenska talsystemet så gott som uteslutande baserar sig på arkeologiska fynd, kan man inte utesluta att beräkningar gjordes även i andra sammanhang, men att de gjordes på billigare och mindre långlivade material, som trä eller rent av på fuktad sand. Dessa beräkningar kanske rörde mindre kvantiteter, men vi kan bara spekulera i vilka tecken som användes för att beskriva dem. Exempelvis har nästan inga måttkärl bevarat, troligtvis eftersom sådana karvades ur trä - att uppnå sådan noggrannhet med mer tåligt lergods, som förändrar form under bränningen, är i princip omöjligt.

Den forntida stad som givit civilisationen dess namn, Mykene, ligger på en höjd, med utsikt över den omgivande, bördiga jordbruksmarken. Redan under bronsåldern odlades här fikon, oliver, vin och spannmål. För de kvantiteter av jordbruksprodukter som odlades här, behövdes säkerligen den största av de mykenska viktenheterna, talanton, som delades upp i trettio mindre enheter, som kallades dimnaion, som fortsatte att användas på Cypern långt in i antiken. Mer att läsa om jordbruk och mykenska enheter finns i John Chadwicks The Mycenaean World. Foto: Hansueli Krapf, CC-BY-SA 3.0

Genom att analysera handstilen från de tusentals mykenska inskriptioner som har hittats, har man också kunnat konstatera att alla författats av en begränsad grupp skriftlärda, främst samlade kring de olika kungliga hoven. Det var även här som alla beräkningar och all bokföring gjordes, vilka tillsammans utgjorde det mykenska talsystemets hela användningsområde. Denna ensidighet som de arkeologiska fynden indikerar utgjorde också ett hot mot tal- och skriftsystemets överlevnad, för när statsbildningarna och därmed bokföringen kollapsade, följde både alfabetet och taltecknen snabbt efter.

Både den minoiska och den mykenska kulturen hörde hemma i den grekiska bronsåldern, en period som fick ett dramatiskt slut kring år 1100 f.Kr. Liksom med den minoiska kulturens fall är de exakta orsakerna till den mykenska civilisationens kollaps höljda i historiens dimma. Flera teorier har presenterats om att klimatförändringar, kanske orsakade av utsläpp av sot och växthusgaser från ett vulkanutbrott, skulle ha orsakat missväxt, desperation och politisk instabilitet, eller att ett vulkanutbrott i sig skulle har orsakat förödelse och katastrof. Vissa har till och med djärvts föreslå, att det inte alls rörde sig om någon bronsålderskollaps, utan att arkeologerna bara har letat på fel ställen. Hur det ligger till med den saken, lär framtiden få utvisa.

Efter att ha gjort stora vinster i indigohandeln begav sig Heinrich Schliemann till Grekland och fann inför en misstroende världs ögon sagornas Troja. Därefter, i Alf Henrikssons välfunna ord, "begav han sig efter Iliadens anvisningar till de trakter varifrån stadens förstörare skulle ha kommit och grävde där med sömngångaraktig säkerhet fram även det guldrika Mykene, Agamemnons stad." På bilden syns lejonporten, stadens mest berömda kännemärke.

I det kaos som rådde de följande två århundradena dog de sista spillrorna av det mykensk-minoiska skrift- och talsystemet ut. Ur askan växte istället ett nytt Grekland fram - ett Grekland som inte minst blivit känt genom Homeros två mäktiga epos, Iliaden och Odysséen, Thales upptäckter och Pythagoras uppseendeväckande leverne.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den andra delen i serien.

Del 1: Matematikens födelse i kontrasternas land

Rick Stein, som gjort flera mat- och kulturprogram om Indien för engelska BBC, konstaterar att hur mycket man än vill undvika att säga vad alla andra redan har sagt, finns inget sätt att undvika att Indien faktiskt är kontrasternas land. Det gäller den indiska matematiken också, där konkret geometri samsas med abstrakta oändligheter och matematikerna varierar mellan anrika ätter och asketer. På bilden syns Haji Ali Dargah-moskén, en legendomsusad grav och moské på en ö strax utanför Bombay. Foto: Humayunn Peerzaada, CC-BY-SA 3.0

Det är alltid svårt att veta vad de tidigaste civilisationerna tänkte kring matematik. Sällan har några skrifter bevarats, och ännu mer sällan på ett språk som (oftast västerländska) historiker kunnat tyda. På grund av bristen på skriftliga källor är dagens kunskap om dåtidens matematik ofta mycket rudimentär - vad vi känner till är bara det som går att mäta eller ana i landskapet och artefakterna - och oftast vet vi därför mest om deras kunskaper i geometri.

De äldsta fynden av matematisk verksamhet på den indiska halvön stammar från Induscivilisationen, som fram till 1700 f.Kr. blomstrade längsmed floden Indus stränder i dagens Pakistan. Mätningar gjorda på tegelstenar från den antika fyndplatsen Mohenjo-daro, en gång en av Induscivilisationens största städer, visar att invånarna där måste ha använt sig av en sorts linjal: Alla stenarnas längd är jämna multipler av en enhet på ca 3,4 cm - kanske en forntida kunglig tumme? Eftersom Mohenjo-daro var en av de största centralorterna, i en av dåtidens mest framgångsrika civilisationer, torde de tekniker som användes där utgöra spetsen i den tidens teknikutveckling, med de mest påkostade byggena, den högsta kvalitén, och den trendsättande motorn i spridningen av kulturell och teknologisk utveckling.

Mohenjo-daro kännetecknas av ett rätlinjigt gatunät, där såväl strukturer som tegelstenar följer jämna längdenheter - ett tidigt exempel på hur matematiken användes. Staden var en gång en av de viktigaste i området, och av vissa ses den idag som en av Sydasiens viktigaste fornlämningar. Nu möter dock en ny uppsättning hot: Den framstående pakistanska arkeologen Dr Asma Ibrahim menar att grundvattnets ökade salthalt och ovarsamt konserveringsarbete, tillsammans med svag ekonomi och omfattande säkerhetsproblem, kan komma att ha omintetgjort ruinerna inom tjugo år.

Våra viktigaste matematiska arv från Induscivilisationen, och det arv som fortfarande lever närmast oss, är tiobassystemet. Basen tio var det vanliga i Mohenjo-daro: Om man multiplicerar tummen med tio, får man ett mått på ca 34 cm - kanske en förhistorisk fot - och också ett mått som användes flitigt i byggen. Med andra ord föredrog de som byggde att använda jämna tiomultipler; tio tum blev en fot. Vid utgrävningar i Harappa, en annan stor förhistorisk stad i Indusdalen, upptäckte arkeologerna till och med bevarade linjaler och därtill viktmått, skapade enligt samma tiobassystem och som säkerligen använts i byggen i staden. I Harappa hittade man även en bronsstav, med ett mått på drygt nio millimeter. Hundra sådana blir nämligen ett steg, som också var ett vanligt mått ibland ruinerna.

Men Harappa- och Mohenjo-daro-bornas matematik gick säkerligen långt utöver den relativt rudimentära geometri som har gjort dem berömda, men deras muntliga tradition har inte motstått tidens tand. Först efter den litterära traditionens utbredning i samband med den indo-ariska invasionen började de matematiska tankegångarna att nedtecknas. Förändringarna i det indiska samhället var långtgående. Den vediska perioden, som tiden mellan 1700 och 500 f.Kr. brukar kallas, såg uppkomsten av stabilare kungadömen, med kulturella intressen, följt av sanskrits spridning och skrivkonstens utbredning. Som en del av samhällsförändringarna uppträdde även kastsystemet. Förvaltandet och kodifieringen av religionen samlades inom det brahminska kastet, som nedtecknade de vediska skrifterna, som utgör grunden inom hinduismen, men också innehåller poetiska antydningar om att intresset för geometri levde kvar. Eftersom matematiken räknades som ett av religionens uttryck, var även denna en brahminsk angelägenhet, och det var de som utvecklade den första generationen av vad vi idag kallar våra siffror.

Står här något om matematik? Det vet vi inte, för trots att det snart har gått hundra år sedan Harappa och Mohenjo-daro upptäcktes, förblir deras skrift ett mysterium. Tecknen verkar nästintill uteslutande ha använts på stämplar, och vissa forskare tvivlar på om de verkligen motsvarar ett språk. Istället skulle de kunna representera familjer, klaner, platser eller tillverkare. Oavsett gör texternas korthet det otroligt att de skulle beröra abstrakta ämnen som matematik, och även om Induscivilisationen hade ett skriftspråk, kan man knappast tala om en litterär tradition.

Den bild som framträder av den tidiga indiska matematik är starkt religiöst präglad, och bevarade inte minst arvet från den förskriftliga tidens recitationstekniker i de karaktäristiska mantrana. I synnerhet talteorin förknippades med det gudomliga, och denna den vediska matematiken har blivit berömd för sina utförliga namn på ohemult höga tal. Men även det geometriska arvet från Induscivilisationens dagar kom till utlopp i de vediska skrifterna. I en rad tillägg till de religiösa Rigveda-texterna, beskriver dåtidens matematiska auktoriteter hur matematiken skulle tillämpas vid religiösa byggen. Dessa tillägg går under namnet Sulba Sutras, och kan sägas karaktärisera den vediska matematiken som inriktad på och underordnad religionen. Därmed inte sagt att den vediska matematiken inte såg flera kunniga matematiker och banbrytande upptäckter - även under denna period fanns många verksamma och framgångsrika matematiker i det vediska Indien.

Till skillnad från senare matematiker under den indiska matematikens guldålder, som samlades i skolor kring framstående centralgestalter, fördes den vediska matematiken vidare inom ätter, från far till son. Dessa ätter sysslade med både astrologi och matematik, eftersom dessa under den vediska tiden hängde tätt samman. Men eftersom astrologin var en viktig del av religionen, var det mot slutet av den vediska perioden inte lätt att framföra nya tolkningar, eftersom dessa oundvikligen skulle strida mot något inom religionen. Istället fick matematiken större utrymme, eftersom det där var lättare att vara nyskapande: En ny matematisk teori kunde alltid accepteras, så länge den inte direkt motsade något inom astrologin.

De brahminska siffrorna stammar från den vediska perioden och är den första kända versionen av de indo-arabiska siffror vi använder idag. Huruvida de ursprungligen härstammar från Indusfolken eller från någon annan kultur och ifall de redan från början var siffertecken eller utvecklades ur förkortningar är höljt i historiens dimma.

[T]here can be no doubt that our decimal place-value system was born in India and was the product of Indian civilization alone."

- Georges Ifrah

Mot slutet av den vediska perioden började två andra religioner att växa: jainismen och buddhismen. Båda var väsentligt mer abstrakta, vilket erbjöd matematikerna både större frihet och nya områden. Medan buddhismen grundades vid denna tid, hade jainismen redan då gamla anor och en välutvecklad matematisk tradition. I likhet med hinduismen fanns inom jainismen ett intresse för höga tal, exempelvis delades tiden upp i perioder om 2⁵⁸⁸ år. Man drog dock en skiljelinje mellan det stora och det oändliga: Universum, exempelvis, saknade både början och slut. Men att räkna på oändligheter är både svårt och abstrakt, och i våra ögon förefaller den jainistiska indelningen i "oändligt i en riktning, oändligt i två riktningar, oändligt i area, allestädes oändligt och evigt oändligt" något ovetenskaplig. Intresset för det ändlösa gjorde ändå att de teorier de jainistiska matematikerna utvecklade inte skulle komma att överträffas förrän med den tyske matematikern Georg Cantor kring det förra sekelskiftet.

Jainismen är en av Indiens allra äldsta religioner och finns idag spridd över hela Sydostasien. I slutet av den vediska perioden, ca 500 f.Kr., började den ortodoxa hinduismen att ifrågasättas och religioner som jainismen och buddhismen blomstrade. Följde gjorde bland annat en stark matematisk utveckling. Här ses ett jainistiskt konstverk från 1900-talets Rajastan, som illustrerar en av religionens centrala principer: Att det inte finns någon fullständig sanning, utan att allting kan ses på olika sätt.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om matematikens historia på den indiska halvön. Här hittar du den andra delen.

Tio siffror i nästan två tusen år

Ett träsnitt från 1508 visar konkurrensen mellan det nya och det gamla sättet att räkna. De praktiskt placerade namnskyltarna anger karaktärerna som Boethius till vänster och Pythagoras till höger; trots att Boethius som dog på femhundratalet e.Kr. troligtvis aldrig ens hörde talas om indiernas nydanande symboler.

Medeltidens européer kände bara till ett talsystem, det romerska. Problemet var att det begränsades av att ha utformats efter vad som en gång hade varit romarnas matematiska behov och saknade enkla sätt att skriva noll, negativa tecken och bråktal. Potenser och exponenter, liksom plus- och minustecken fick skrivas med bokstäver, och matematiska beräkningar och bevis såg följaktligen mer ut som romaner än som vetenskap.

Medeltidens lärde hade förgäves försökt åtgärda det problemet, men resultatet blev en översvämning av tecken och förkortningar med vilka det romerska talsystemet skulle utvidgas och snart förstod ingen någonting alls. Inte nog med att de var många, utan förkortningarna var ofta långt ifrån entydiga: A kunde likaväl betyda fem som femhundra, K etthundrafemtioett likaväl som tvåhundrafemtio. Vissa matematiker hade försökt sig på att räkna med noll – och därför stod N för nulla, men N användes redan för nittio, från latinets nonaginta. Inte undra på att bankirerna fortfarande räknade på abakus – enkelt och otvetydigt, kan tänkas, men dessvärre även långsamt och allt mer omständligt. Ekonomin växte, handelskonstruktionerna blev mer komplexa och fler finansiella instrument tillkom under renässansen. Bara i sig innebar den ökade handeln inom ett Europa med lika många mynt- och måttsystem som städer och landsdelar stora mängder komplicerade beräkningar med många decimaler och restposter.

Svaret på Europas problem låg i Orienten. Med bättre kommunikationer och ökad efterfrågan efter österns lyxvaror bland Europas rika, kom de europeiska köpmännen i kontakt med de arabiska, och även med deras sätt att föra räkenskaper.

Renässansens Italien hade täta kontakter med Orienten - handeln över Medelhavet var en av de viktiga motorerna i Europas ekonomi, och kulturutbytet stod inte långt efter. Tillsammans med guld och siden kom från Orienten även ny matematik, vetenskap och kunskap. Även kyrkan ville gärna vara med, den här målningen av Gentile Bellini visar den antike evangelisten Markus predikande för en samling handelsmän från både öst och väst, glatt konverserande.

Bakom revolutionen låg sonen till en italiensk tulltjänsteman i Bugia, eller Béijaïa i nuvarande Algeriet. Hans namn var Leonardo Pisano Bigollo, men mer känd har han blivit under namnet Fibonacci. Från de arabiska köpmän som hans far arbetade med fick den unge Fibonacci lära känna en helt ny värld av matematik – matematik som var mycket bättre lämpad för att räkna på vinster, förluster, kostnader och räntor. Men det här var matematik som baserade sig på ett helt annat talsystem, ett där man använde tio helt nya siffror, 0 till 9, och där siffrorna dessutom fick helt olika betydelser beroende på hur de stod i relation till varandra.

Foulkaporten i Béjaïas stadsmur, staden där Fibonacci växte upp och lärde känna de arabiska handelsmännens matematik.

Medan Europa fortfarande räknade med I, V, X, L, C, D och M, och hela den djungel av ytterligare bokstäver som medeltidens matematiker lagt därtill, utvecklade Fibonacci ett helt nytt sätt att räkna. Han blev stormförtjust och skrev i sin bok Liber Abaci att till och med den store Pythagoras matematik framstod som ett misstag i jämförelse med indiernas sätt att räkna. I sin bok använde han därför det nya systemet och med en rad exempel, kanske mest intressant vikt- och måttomräkning, ränteberäkningar och valutaväxling, visade han hur lätthanterligt och smidigt det var.

Fibonaccis bok togs väl emot av Europas vetenskapsmän och bankirer, men det fanns en grupp som inte riktigt delade de andras fascination. Det nya talsystemet hade nämligen ett stort fel:
När bankirerna gjorde alla sina beräkningar på abakus kunde man som kund se på och till och med förstå vad bankirerna gjorde. Den kund som såg att bankiren fuskade, kunde se till att få banken i bankrutt – rent bokstavligt, för en ohederlig bankir kunde få sitt bord sönderslaget, på latin banca rupta. Nu, med de nya siffrorna, satt bankirerna och ritade rader av små krumelurer på ett papper, figurer som ingen tidigare ens hade sett, och än mindre kunde förstå. Återigen visar språket historiens spår – det är inte någon slump att orden siffra och chiffer är så lika, för de kommer nämligen från samma ord, arabiskans al-sifr, från samma tid, senmedeltiden, och från samma strid, de som var för och de som var emot det nya systemet.

Både de som tvivlade och de som entusiastiskt omfamnade det nya systemets möjligheter hade helt rätt. Medan det nya systemet öppnade för mer handel, snabbare transaktioner och slutligen även bättre levnadsstandard, innebar det också mer pengar åt bankirerna, som inte var sena att omvandla dem till makt. En hel rad av Europas namnkunniga adels- och kungaätter gjorde sin entré under den här tiden: Mest berömd av dem alla kanske just Medicifamiljen, men även familjen Grimaldi, som idag fortfarande regerar i Monaco, och många fler hade senmedeltidens och renässansens samhällsomvälvande matematik att tacka för sin makt.

Huset Medici blev rikt och mäktigt genom den ökade handeln i Italien under medeltidens slut som också slutligen gjorde det romerska talsystemet för kraftlöst för den nya tidens ekonomiska och vetenskapliga beräkningar. Här är portalen som en gång satt på en av Medicifamiljens banker, numera på muséet för antik konst i Milano. Foto: Stefano Stabile.

Men redan på tolvhundratalet hade de indisk-arabiska siffrorna en lång historia, och varken Fibonacci eller de arabiska handelsmännen visste troligtvis varifrån de kom. Idag tror vi oss faktiskt veta, för svaret ligger gömt i en text skriven på björknäver med anor från trehundratalets Indien. Idag kallas den texten för Bakhshalimanuskriptet, och den återupptäcktes först under sommaren 1881 i närheten av en by med samma namn i dagens Pakistan. Manuskriptet är en kopia från någonstans omkring 800- eller 900-talet av ett ännu äldre manuskript – kanske så gammalt som från etthundratalet före Kristi födelse, men de flesta forskare brukar datera det till omkring just 300-talet e.Kr.

Vad man upptäckte när man började läsa texten var i huvudsak en handbok i algebra och aritmetik. Utöver att manuskriptets stil är förvånansvärt rättfram och ordnad, med vissa delar skrivna i prosa och med tydliga teser och exempel till skillnad från senare antik indisk matematik, så anses Bakhshalimanuskriptet ofta vara det första exemplet på användning av siffran 0 i den form den senare skulle komma till vår sida av världen. (Siffran noll i sig hade dock funnits i andra versioner långt tidigare, inte minst berömt är att den orsakade pytagoréerna mycket huvudbry.)

De indoarabiska siffrorna i vardande, på det sätt de skrevs i det mellan ett och två tusen år gamla Bakhshalimanuskriptet. Redan kan en europé känna igen några av tecknen.

De indiska matematikerna använde siffran noll och ansamlade med dess och de övriga nio siffrornas hjälp en ansenlig kunskap på astronomins område. Troligtvis var det de indiska matematikernas skicklighet inom astronomin som inspirerade den nestorianske biskopen Severus Sebokht – som år 662 omnämnde de indiska siffrorna – till hans jakt på ett effektivt sätt att beräkna påskens datum.

Vi vet egentligen inget om hur spridda de indiska siffrorna var vid det här laget, men enligt en historia som medeltidskrönikören Ibn al-Qifti har att berätta, så kom det år 776 en indisk matematiker till den abbasidiske kalifen al-Mansurs hov i Bagdad. Den indiske matematikern visade kalifen hur lätt man kunde beräkna halvkordan (en variant av sinusfunktionen) med hjälp av de nya siffror, som han fört med sig från Indien. Kalifen blev så förtjust att han beställde en översättning av den indiska boken till arabiska, så att hans undersåtar kunde lära sig det kraftfulla verktyg han själv just hade fått ta del av. Under elvahundratalet kom den arabiska översättningen i händerna på en ung och nyfiken italienare – just det, Fibonacci – och genom honom spred sig siffrorna vidare till resten av Europa. Resten är, så att säga, historia.

Den här framsidan på en bok i aritmetik från 1549, angivet med romerska siffror, visar det första bevarade exemplet på de nya siffrorna i den form och ordning som de kom att få i Europa; och med européerna följde de till resten av världen.

Mätning, meter och mäteri – meterns historia

Även om vår måttskala för temperatur – den som är 0 grader vid vattnets fryspunkt och 100 vid dess kokpunkt och uppkallats efter sin uppfinnare, Anders Celsius – är en svensk uppfinning rimmar den mycket likt de nya måttskalor som skapades under den franska revolutionen. Ett sätt att se revolutionen 1789 är som ett uttryck för en vilja att ändra, att effektivisera och att modernisera, där jämlikhet och modernisering skulle gå hand i hand med förenkling och standardisering, inte minst av måttsystemen. De nya måttenheterna skulle vara frikopplade från historiska orsaker, religion och rivaliteter.

Reformivern under sjuttonhundratalets slut tog sitt uttryck inte bara inom politiken, utan även inom naturvetenskaperna. Med samma dramatik som Robespierre lät halshugga den gamla regimens företrädare, som på den här anonyma 1800-talstavlan avbildats strax före gripandet, for de revolutionära matematikerna, fysikerna och kemisterna ut mot de gamla och förlegade måttenheterna.

Det nya systemets förlänades tack vare sin överskådlighet och sammanhållning för det mesta framgång, även om de radikala förändringarna mötte på visst motstånd, inte minst från dem som hellre ville se en omarbetning av det gamla systemet. Revolutionärernas reformiver stammade visserligen ur ett starkt behov, men grundade sig inte enbart på en vilja att effektivisera, utan även hade även en ideologisk dimension. Den religiöst betingade sjudagarsveckan skulle exempelvis ersättas med en tiodagarsvecka, där varje dag skulle bestå av tio timmar, varje timma av hundra minuter, och så vidare. Det behöver knappast sägas att just den delen av reformerna inte blev särdeles långlivad.

Behovet av ett nytt och sammanhållet måttsystem för vetenskapligt bruk var vida erkänt och på de flesta andra områden rönte revolutionärerna väsentligt större framgång, inte minst på längden och på vikten. De gamla foten och alnarna och alla andra längdmått av varierande omfång ersattes av metern och från den avleddes en rik uppsättning av helt nya, decimala enheter med logiska benämningar: kilometern, centimetern, litern (en kub med sidan en tiondels meter), grammet (vikten av en tusendels liter vatten) och kilogrammet, bara för att nämna några.

Jean-Charles Borda var vid den här tiden en av Frankrikes mest framträdande matematiker och vetenskapsmän, som sedermera fick i uppdrag att leda arbetet med att definiera meter. Känd är han även för sitt arbete med logaritmer, och på den här bilden syns han i färd med att utföra mätningar på Teneriffa.

Inte bara vetenskapen, utan hela den europeiska världsbilden var under snabb förändring. Fenomen som tidigare varit mystiska fick naturvetenskapliga förklaringar, samtidigt som handeln utvecklades och gjorde att lokala måttsystem blev alltmer opraktiska. Nydefinitionen och standardiseringen av Europas måttsystem hänger således tätt samman med upplysningens vetenskapliga framsteg såväl som med ekonomins förändring, i en process som började redan under sextonhundratalet och löpte genom hela sjuttonhundratalet.

Införandet av de nya måttenheterna gick på många sätt hand i hand med en stark vetenskaplig utveckling. Uppfinnandet av nya, precisare instrument gjorde exakta måttenheter nödvändiga, måttenheter som tidigare hade varit stort sett meningslösa utan de exakta instrumenten att mäta upp dem med. På samma sätt gjorde de nya instrumenten klart att världen verkligen var mätbar, att den kunde sammanfattas med siffror och mått och att matematiken med måttenheternas hjälp kunde användas för att undersöka och utforska den.

De vetenskapliga framstegen tydliggjorde att matematiken var ett användbart verktyg för att avbilda världen, men visade också på behovet av måttenheter. Ett ensamt tal säger inget om verkligheten, för det krävs en måttenhet. Måttenheten är själva bandet mellan matematiken och dess omvärld, som gör det möjligt att med matematikens hjälp beskriva verkligheten. För att uppfylla sitt syfte måste måttenheten därför vara exakt och universell, och helst stämma med överens med den europeiska matematikens sedan länge inarbetade tiobas.

En fransk lieue motsvarade exempelvis ca 3,3 kilometer i Beauce och 5,8 i Provence, och en Ruthe i Bern motsvarade 2,9 moderna metrar, medan den i Basel motsvarade 4,9. Det finns än mer hårresande exempel – en timmas resa, på tyska Wegstunde, betydde 3,71 kilometer i Tyskland medan schweizarna trots alla sina berg kom nästan en kilometer längre, nämligen 4,8 kilometer. Om resan tillgick på det sätt som David Cox har avbildat den, blir man plötsligt varse svårigheterna i att mäta avstånd.

De måttenheter som tidigare funnits i Europa var inte exakta, i synnerhet inte enhetliga och hade för det mesta en kombination av tolv- och tjugobas – på samma sätt som det engelska pundet fram till 1971 bestod av 20 shilling som vardera motsvarade 12 pence. Systemets icke-decimala natur var i mångt och mycket ett arv från det romerska måttsystemet, där en libra, en viktenhet som i moderna mått motsvarade ett tredjedels kilo, delades upp i tolv unciae, en uppbyggnad som passade bra för att göra det lätt att skapa många olika bråkdelar och kombinationer. (I det här inlägget kan du läsa mer om Europas gamla måttenheter.)

Redan tidigt hade röster för ett enhetligt, vetenskapligt och helst decimalt måttsystem höjts, bland annat i en skrift från 1668 av den engelske prästen och naturfilosofen John Wilkins. Wilkins föreslog att man skulle definiera en längdenhet, eller universellt mått som han själv benämnde det, som sträckan mellan ändpunkterna hos en sekundpendel, d.v.s. en pendel som går från ena sidan till den andra på exakt en sekund. Sju år senare gav det italienske universalgeniet Tito Livio Burattini mer eller mindre ovetandes metern dess namn, när han översatte Wilkins beteckning till italienska.

John Wilkins ville skapa en universell enhet, definierad som längden. Sedan början av 1600-talet var det känt att pendelns periodtid, d.v.s. tiden det tog för den att svänga fram och tillbaka en gång, endast berodde av pendelns längd. En pendel med en definierad periodtid, i det här fallet två sekunder, kunde därför användas för att definiera ett avstånd. Närmare bestämt gav den meterns längd som 99,4 cm.

Den franske astronomen Jean Richer, som på uppdrag av den franska vetenskapsakademin befann sig i Cayenne, i Franska Guyana på Sydamerikas nordkust, blev den som upptäckte problemet med Wilkins definition. Han upptäckte, utöver sina astronomiska observationer, att pendelavståndet hos en sådan sekundpendel var en tredjedels centimeter kortare i Cayenne än i Frankrike, och inte alls så universellt som Wilkins hade föreställt sig. Ironiskt nog föll Wilkins universella mått på att det inte var universellt nog, och arbetet med ett universellt, naturligt måttsystem rann ut i sanden.

Först i och med franska revolutionen – med dess ideal om frihet, jämlikhet och broderskap, om ett samhället byggt på upplysningens idéer, där vetenskapen och förnuftet hade ersatt religionen – väcktes åter tanken om ett nytt måttsystem. Diplomaten Talleyrand blev den som 1790 återuppväckte Wilkins idé om en universellt meter, definierad med en sekundpendel. Metern skulle definieras som pendelns utslag i Bourdeux, men därmed hade den mist lite av sin universalitet. Förslaget röstades också ned av den franska nationalförsamlingen.

Den franska folkförsamlingen, här samlad i en tennislokal och avbildad av Jacques-Louis David, bildades för att styra Frankrike efter revolutionen. Året efter revolutionen framlade den berömde diplomaten Talleyrand för folkförsamlingen sitt förslag om att införa pendelmetern, nu definierad som längden av en pendling uppmätt i Bordeaux. Trots internationellt bifall, inte minst från Storbritannien och de nygrundade förenta staterna dog förslaget snabbt ut.

Året efter, 1791, tillsattes därför en kommitté, som under ledning av matematikern Jean-Charles Borda skulle utarbeta en universellt giltig definition av den nya metern. Borda avfärdade alla definitioner som tog hjälp av pendlar, eftersom sekundpendeln utgick från den gamla sekunden, inte den nya som revolutionärerna definierat (där det skulle gå 100 000 nya sekunder på ett dygn). Istället bestämde man sig för att hela Jorden skulle få utgöra grunden för revolutionärernas nya mått. Den nya metern, beslöt man, skulle motsvara en tiomiljontedel av avståndet mellan nordpolen och ekvatorn. Problemet den här gången var att det var på tok både för dyrt och för farligt att resa till ekvatorn, och nordpolen hade ännu ingen besökt.

En approximation räddade det nya förslaget. Det är nämligen så, att fortet på berget Montjuïc i Barcelona ligger så gott som rakt söder om Paris, liksom klocktornet i Dunkerque ligger rakt norr om huvudstaden. Avståndet som skiljde dem var dessutom nära nog exakt en tiondel av hela sträckan från ekvatorn till nordpolen, det vill säga i moderna mått omkring tusen kilometer.

Uppdraget att mäta avståndet mellan Montjuïc och Dunkerque gavs åt två astronomer, Pierre Méchain och Jean-Baptiste Delambre. Méchain och Delambre skulle därefter tillbringa sex år, fram till 1798, med att resa genom ett Frankrike i storm för att mäta upp Jordens storlek. Till sin hjälp hade de ett instrument som uppfunnits av Jean-Charles Bordas assistent, Etienne Lenoir, redan flera år innan revolutionen.

Kyrktornet i Rodez dominerar fortfarande stadens horisontlinje. Efter att ha delat upp sträckan mellan sig var det här, på halva vägen, som Méchain och Delambre till slut möttes. Foto: Alain Pauziès, CC-BY-SA 3.0

De båda astronomerna delade upp arbetet emellan sig; Delambre skulle mäta sträckan från Dunkerque till Rodez och Méchain skulle mäta sträckan mellan Rodez och Barcelona. Med hjälp av två nyuppfunna instrument bestämde de avståndet från kyrktorn till kyrktorn genom hela Frankrike. Metoden de använde, triangulering, som du kan läsa mer om i det här inlägget. När mätningarna efter många äventyr, om vilka det står att läsa i Ken Alders bok Världens mått, var klara, adderades de bådas resultat och en meterstav av platina tillverkades. Nyheten om det nya måttet spreds därefter ut över Frankrike.

Trots alla Delambres och Méchains noggranna beräkningar hade dock ett fel smugit sig in. Efter Méchains för tidiga död kunde Delambre konstatera att kollegan uppe på Montjuïc gjort en felaktig mätning. Orsakerna gick aldrig att klarlägga, för den noggranne Méchain verkade ha gjort allting rätt. I desperata försök att rädda meterprojektet sitt misstag försökte han rätta till resultaten och därefter, när det misslyckades honom, att dölja felen. Fransmännen skulle fortfarande få veta att metern var en tiomiljontedel av Jordens omkrets – revolutionens löfte om ett samhälle byggt på en ofelbar vetenskap fick inte urholkas.

Delambre lade sig vinn om att inte framställa kollegans misstag som någon skandal. Därefter gick han vidare till att bli en av 1800-talets mest framstående franska matematiker och författare till flera böcker. Men, som Ken Alder skriver, "enligt Gauss var dessa senare verk livlösa och hantverksmässiga, matematiskt förenklade och i avsaknad av begreppslig elegans. De var med andra ord läroböcker."

Efter ett antal tumultartade revolutionsår besteg Napoleon år 1804 Frankrikes tron. Både som kejsare och som sekulär katolik ville han återupprätta relationen mellan Frankrike och den katolska kyrkan, som av förståeliga skäl tagit sig en rejäl törn under revolutionen. Ett av de mer underhållande problemen man mötte på var att revolutionärerna helt sonika avskaffat söndagarna – sedan revolutionen bestod ju veckorna av 10 dagar och ingen av dem hade reserverats åt kyrkan. Följaktligen återinfördes den gamla kalendern. Näst i tur stod de nya måttenheterna, som visserligen hade enat Frankrike, men också bidragit till att det isolerades från övriga Europa. Med en kejsares makt avskaffade Napoleon även metersystemet – året var då 1811. En nation av lättade fransmän kunde därefter återgå till de gamla enheterna.

Många var det nog som trodde att man med metersystemets avskaffande hade sett slutet på en parentes i mänsklighetens historia. Allt hade varit en utopisk dröm om ett revolutionärt måttsystem, framkastad av revolutionärer i revolutionärernas tidsålder. Tjugo år senare var så revolutionen förbi, dess slagord och galenskap glömd och måttsystemet dött och slutligen även på väg att begravas.

Även inom Frankrikes gränser tog befolkningen ibland god tid på sig att vänja sig vid metersystemet. Vid sekelskiftet mellan 18- och 1900-talen klagade en präst på att invånarna  i Corrèze, där bland annat vyn på bilden kan ses, fortfarande inte kände till metersystemet och ännu använde invånarna i Delambres hemstad Amiens de gamla enheterna för att mäta upp tyg. Foto: Wikimediaanvändare Mossot, CC-BY-SA 3.0

Men under loppet av 1800-talet skulle mycket komma att förändras. Industrialiseringen och järnvägen gjorde avstånden kortare och behovet av enhetliga mått långt mycket tydligare. Dessutom var uppfattningen om den enade nationalstaten på uppgång – perioden skulle se både Tysklands och Italiens enande – och ett enat land behövde ett enat måttsystem. Plötsligt började flera europeiska länder snegla på den franska revolutionens måttenheter i sin jakt på ett neutralt, vetenskapligt och modernt måttsystem. Först ut var Belgien, vars kung Vilhelm I av Oranien redan 1820 gjorde användningen av metersystemet tvingande; strax därefter följde Frankrike själv. I de nya, självständiga länderna i Sydamerika infördes också metersystemet, efter att den före detta kolonialmakten Spanien 1849 beslutat om dess införande.

I övriga Europa gick det desto mer trögt. I vägen stod för det mesta nationella intressen – där vissa menade att metern var baserad på Jordens omkrets och därmed fullständigt neutral, menade andra att allt den egentligen stod för var en fransk platinastav i ett franskt valv, dessutom felaktigt uppmätt av en fransk vetenskapsman. Samtidigt innebar fler nationer också fler åsikter. Krav började ställas från andra länder att metern skulle uppdateras. Metern hade nämligen avlägsnat sig mer och mer från den tiomiljontedel av Jordens omkrets den ursprungligen hade definierats som, allteftersom vetenskapen fortskridit med noggrannare mätningar. Förslaget ratades visserligen och den föreslagna förlängningen av metern uteblev, men till fransmännens kluvna förfäran blev den franska metern allt mindre fransk.

Vid världsutställningen i London 1851 hade domarna klagat på att mängden av olika måttsystem gjorde deras arbete omöjligt. Vid världsutställningen i Paris 1867 tog fransmännen därför tillfället i akt och visade upp metersystemets alla fördelar. Här ses Napoleon III dela ut pris till utställningens bästa bidrag.

Man kan se metersystemets popularitet i Frankrike som tvådelad. Å ena sidan fanns en önskan om att metersystemet skulle breda ut sig och att fler länder skulle ansluta sig till en franskledd måttunion, hellre än att de gick med i den konkurrerande brittiska; å andra sidan levde en rädsla om att andra länder, i synnerhet Preussen, skulle försöka ta metern i egna händer och i värsta fall försöka omdefiniera den – i praktiken skulle det ju innebära att Frankrike blev tvunget att erkänna att den franska metern från första början hade varit helt felaktig. Med anledning av denna rädsla motsatte sig Frankrike också alla försök att gjuta om meterstaven – risken var alltför stor att någon skulle försöka rätta till den.

Först efter kriget mellan Tyskland och Frankrike som avslutades 1871 gick Frankrike med på att gjuta upp nya meterstavar. Den franske kejsaren tvingades abdikera efter en preussisk totalseger, men de tyska sändebuden försäkrade att ingen avsåg förlänga den franska metern. En ny gjutning av meterstaven kunde slutligen påbörjas, där varje land skulle få sin egen. Därefter valdes en av dem ut för att bli den sanna, mest definitiva metern, och franka staten donerade en byggnad att förvara den i. Byggnaden hade totalförstörts under kriget, och nu fick meterländerna, däribland det nyligen enade Tyskland, betala för dess återuppbyggnad.

1889 skickades de nya meterstavarna ut i världen – metersystemet hade redan vunnit stor spridning. Många europeiska nationer hade adopterat metern och många nyligen självständiga kolonier hade sökt överbrygga traditionella hinder med ett gemensamt måttsystem. Redan 1866 hade USA infört metern som föredraget men inte tvingande måttsystem. Till Indien kom metern strax efter självständigheten 1947. Längst dröjde Storbritannien själv, där metersystemet gradvis infördes under loppet av 1970-talet. Det oundvikliga hade dock påpekats tidigt, när den skotske geologen John Playfair 1807 med ett citat från Ovidius uppmanat sina landsmän att gå över till metersystemet: Fas est et ab hoste doceri – "Man skall lära även av en fiende".

(o)Logiska Symboler

Först och främst: Det här är inte ett seriöst inlägg.

Matematiken tycks genom åren ha fått fler och fler symboler. Operationer och relationer som förr skrevs med bokstäver har successivt fått egna krumelurer. Om än kanske inte riktigt symbolisk, har matten blivit ett symbolspråk. Medan de medeltida matematikerna exempelvis skrev x² med bokstäver har det blivit allt svårare efterhand som vi tvingats hantera vem vet längre hur många dimensioner. Detsamma gäller rottecken, deltan, kongruenser, pilar åt olika håll och kanter, matriser, mängdlära och, inte minst, logiska tecken. För så många som säger att matte är ett eget språk (kallat exempelvis matematiska), så vore det väl synd om den saknade så grundläggande ordförråd som "och","eller" och "inte"?

Men redan där stöter vi på problemen, för vad menas egentligen med ”och”, vad menas med ”eller” eller till och med vad menas med ”inte”? Om jag nu inte tar tre äpplen, betyder det att jag tar fler, färre eller inga? Kan jag ta fyra och säga att jag inte tar tre?

Skulle man ta fyra äpplen härifrån skulle nog Paul Gauguin bli besviken.

Skriftspråkets rikedom på tvetydigheter är både dess förtrollning och dess förbannelse. För vad vore livet om man inte kunde säga något och mena något annat? Oklarheterna gör att skrift- och i synnerhet talspråket blir så svårt att säga något exakt på, men samtidigt så lämpade att vara kreativ med.

Det uppkommer ett annat problem med ”eller”. Om någon frågar ”Skall du gå in eller ut?” så förväntas du troligen inte svara ”Javisst, både och!” vilket du enligt all matematisk logik mycket väl borde kunna – men ingen kommer att förstå dig. Kanske borde vi alla börja tänka logiskt?

Ytterligare problem (det är tydligen bara det logik består av) uppkommer när man skall definiera ”men”. Utsagan ”A men B” (t.ex. det är soligt men det regnar) betyder ju bokstavligen att båda gäller (solen skiner och regnet faller) men ändå innehåller den mer information – de är på något sätt motsatta, man skulle helt enkelt inte förvänta sig att båda gällde samtidigt, det kommer att regna i morgon med.

Detsamma gäller naturligtvis även för alla andra begrepp som skall översättas från vårt vanliga språk till matematiska. Därför har matematiken egna tecken och betydelser för dessa tre ord:

∧	och
∨	eller
¬	inte

Notera att vi nu kan skriva ett känt citat på (engelsk) matematiska:

2b∨¬2b

om man för en stund bortser från det faktum att detta rent stringent faktiskt betyder att man samtidigt kan både vara och inte vara. Var det förresten Schrödingers katt som gick förbi där borta?

De här tre tecknen, de booleska begreppen, har blivit väldigt användbara inom programmering även om de då av naturliga skäl skrivs med vanliga bokstäver. De ingår i en uppsättning tecken som klassificeras som satslogik. Tre prominenta namn i sammanhang med satslogiken är George Boole (som givit begreppen deras namn), Gottlob Friege och Bertrand Russel. Även andra delar av matematiken och logiken håller sig med egna tecken, och vissa, däribland kanske mest prominent är mängdläran, har inte ens brytt sig om att snåla på dem.

George Boole föddes 1815 i ett rött tegelhus Lincolnshire i England och dog 1908 på Irland. Liknar han inte Abraham Lincoln?

Det romerska talsystemet

Det romerska talsystemet har kommit att bli ett långlivat system. Med sina rötter i den norditalienska förhistorien, har det levat kvar och utvecklats genom antiken, medeltiden och renässansen, för att fram till vår tid leva sida vid sida med det indo-arabiska talsystemet. På vägen har mycket skett, som påverkat hur det använts och fungerat. Här syns talet 52 på en antik inskription på Kolloseum i Rom. Foto: Ben Mitchell, CC-BY-SA 3.0.

Det romerska talsystemet, som tvärtemot vad namnet antyder egentligen är mycket äldre än den romerska civilisation själv, är ett av vår världs äldsta ännu levande arv från det förgångna. Fortfarande, efter mer än tretusen år, är det i daglig användning i stort sett alla av samhällets områden, för att numrera alltifrån kungligheter till klockslag och närhelst annars de indo-arabiska siffrorna inte riktigt skulle passa. På sätt och vis är det därför märkligt att kalla de romerska siffrorna för romerska, dels för att de är äldre än romarna, och dels för de lika mycket är våra, som de inte egentligen är romarnas.

Principen bakom det romerska talsystemet är mycket enkel och har ett omfång på sju bokstäver, som vardera tilldelats ett siffervärde:

I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

På så sätt är det romerska talsystemet mycket platseffektivt när det kommer till att skriva höga, jämna tal, som t.ex. hundra eller tusen, medan mer ovanliga tal blir desto mer komplicerade. Om bokstäverna placeras i sjunkande följd skall de adderas, så att VI = 6, medan de skall subtraheras om de placeras i stigande följd, alltså IV = 4. Därför skrivs 558 som DLVIII, men 559 som DLIX. År 2000 är lätt att skriva, MM, till och med kortare än med indo-arabiska siffror, men 1492 blir desto längre, MCDXCII.

Det romerska talsystemets position var ohotad i vart fall fram till början av tolvhundratalet, då Leonardo från Pisa, mer känd under tillnamnet Fibonacci, publicerade sin bok Liber Abaci, där han – utöver att han uppfann världens säkerligen mest berömda talserie – för första gången introducerade den europeiska befolkningen till de indo-arabiska siffrornas krafter. (Fibonacci, hans siffror och deras väg från Indien till Europa kan du läsa mer om i detta inlägg.)

Tävlingar som denna från 1527, där en deltagare använde en abakus och romerska siffror (i det här fallet mannen längst till höger) och den andra papper och penna och indo-arabiska siffror (här mannen längst till vänster), var vanliga i den tid då de indo-arabiska siffrorna var nya. Man ville ta reda på vilket räknesätt som gav snabbast resultat, men framförallt säkerställa att båda svarade likadant. Misstron mot de nya siffrorna var utbredd – det var inte för inte som en förvirrad publik omvandlade arabiskans sifr, som betyder noll, det nya tal som följde med det indo-arabiska talsystemet, inte bara till siffra, utan också det mer nedvärderande chiffer.

Den grundläggande skillnaden mellan det indo-arabiska och det romerska talsystemet kan ses i ljuset av deras användningsområden. De romerska talen användes för att skriva ned saker, för att överföra eller bevara information, medan själva beräkningarna alltid gjordes på en abacus eller kulram. Användningen av kulramar var vitt spridd redan under romersk tid, då bläck och papper dessutom var något dyrt som inte användes i onödan.

Kraften i de indo-arabiska talen visar sig först när man börjar göra beräkningar med dem, när själva matematiken utförs i siffror på papper och inte med kulram. Introduktionen av indo-arabiska siffror är därför tätt kopplad till kulramens tillbakagång.

De nya talen, som när de kom till Europa redan under lång tid använts av indiska och sedan även arabiska astronomer, var inte bara ett talsystem för den tidiga medeltidens relativt enkla ekonomiska beräkningar, utan för matematisk akrobatik med trigonometriska funktioner och för de invecklade ekonomiska konstruktioner som började att uppkomma mot medeltidens slut. Plötsligt gällde handeln inte mynt eller får utan summor som skulle överföras från en valuta till en annan, procent av belopp, räntor och mycket annat. Som de medeltida matematikerna snart fick erfara var sådana övningar stort sett omöjliga att genomföra med de gamla, romerska talen.

Motståndet mot de nya siffrorna var dock stort även bland de som själva utförde sina beräkningar. För att möta de allt mer komplexa matematiska behov som började uppkomma utan att fördenskull släppa de gamla beprövade talen, började det tidigt att uppkomma olika slags anpassningar och tillägg, i många fall århundraden innan de indo-arabiska siffrorna blev kända. Inte minst krävdes redan på tidigt stadium avancerade astronomiska beräkningar för att bestämma påskens datum, något som under lång tid utgjorde en grundläggande matematisk stridsfråga (som du kan läsa mer om i det här inlägget). När beräkningarna började innehålla högre tal och fler tal, behövdes smidigare sätt att skriva dem på. Därför uppfann de medeltida matematikerna nya bokstäver, som O för 11 från franskans onze, N för 90, från latinet nonaginta, eller F för 40, från engelskans forty.

S, härlett från latinets septem, kunde stå för 7, men kunde från latinets septaginta lika väl betyda 70. Från det grekiska talsystemet lånade man stigma, Ϛ, med betydelsen 6. Den vördnadsvärde Beda, som levde och verkade i 700-talets England, förkortade latinets nulla, noll, till N, trots att bokstaven redan användes för att beteckna 90. Här ses han på en tavla av James Doyle Penrose från 1902 i färd med att översätta Johannesevangeliet.

Men Europa är stort och medeltidens människor talade än fler språk än vad vi gör idag, och eftersom många tal till råga på allt börjar på samma bokstav kom nog de nya tilläggen till det romerska talsystemet i längden att kosta mer än de smakade. För det romerska talsystemet kvarstod ändå en rad grundläggande problem:

1. Bråkräkningen var mycket mindre välutvecklad och i allt väsentligt härledd från romerska myntenheter.
2. Negativa tal, i den mån de ens gick att skriva, var klumpiga och lätta att missförstå.
3. Trots trevande försök saknades ett gemensamt sätt att skriva talet noll.

Kort sagt saknade det romerska talsystemet standardisering, utan varierade istället vilt från författare till författare och mellan olika platser. När handeln blev internationell och vetenskapen fortskred räckte det helt enkelt inte längre till. Numera finns det vissa regler även för det romerska talsystemet, men om man tittar noga på de antika siffrorna ser man att de reglerna inte alltid stämmer. Romarna skrev nämligen på känsla, och först i modern tid har man försökt att standardisera det romerska talsystemet.