Del 3: Aristoteles, Alexander, resten av världen och Arkimedes

Det här inlägget är det tredje och sista i en serie inlägg om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Under loppet av den grekiska antiken blev det alfabetiska talsystemet alltmer dominant, och omkring tiden för romarrikets erövring av Grekland decennierna före Kristi födelse övergav till slut även atenarna sitt eget, attiska talsystem, efter att i offentliga sammanhang ha hållit fast vid det långt efter att det fallit ur vardagligt bruk. Under tiden atenarna hållit emot, hade systemet även vunnit stor spridning utanför Grekland. Med Alexander den store blev det alfabetiska talsystemet på samma sätt som det grekiska språket standard i hela det hellenistiska riket. Det var inget som romarna lyckades ändra.

Från sin lärare Aristoteles fick Alexander den store säkert med sig kunskap om det grekiska talsystemet, som sedan följde med hela vägen till Indien. Denna gravyr av Charles Laplante från 1866 visar dem inbegripna i en diskussion.

Under den hellenistiska eran genomgick det alfabetiska talsystemet en rad förändringar, som gick hand i hand med matematikens utvidgade användningsområde. När systemet inte bara skulle passa handel utan även den framväxande astronomins behov, när matematikerna gick från geometri till aritmetik, kom de riktigt stora talen i ett annat sken. Kort sagt dög det helt enkelt inte längre att skriva alla tal över 999 som ord.

Först och främst utvidgades tecknen till en serie av tusental, genom att skriva ental ovanför sampi (trots att sampi på egen hand inte alls betydde 1000, utan 900). På så sätt betydde  (lilla alfa över sampi) 1000, och så hela vägen till theta över sampi, , som betydde 9000. Detta tusentals-sampi kom senare att förenklas till en nedsänkt apostrof före entalstecknen, så att 1000 istället skrevs ͵Α och 2000 skrevs ͵Β och så vidare.

För att komma ännu högre användes myriader, som kan kännas igen från det akrofoniska talsystemet, på liknande sätt som vi idag använder miljoner och miljarder. Förkortningen för myriad (gr. myrioi) började som M och blev sedermera endast en punkt. Sålunda beskrev astronomen Aristarchos från Samos talet "71 miljoner 755 tusen 875" som "7175 myriader 5875", och skrev det som ͵ZPOE M ͵EΩOE. (En tabell över bokstävernas värden finns i det föregående inlägget i serien.)

Aristarchos från Samos använde på tvåhundratalet f.Kr. det alfabetiska talsystemet för att beräkna storleken på solen, jorden och månen. Denna medeltida avskrift visar hans beräkningar, där man bland annat kan notera streck ovanför de bokstäver som utgör del av ett tal. Han kom även fram till att solen istället för Jorden låg i universums centrum, men fick bortsett från Arkimedes aldrig något gehör för den idén.

Centrum för astronomi och matematik i det hellenistiska riket låg i Alexandria, och staden var hem åt de allra flesta av tidens berömda matematiker. Genom den grekiska kulturens territoriella expansion kom dessa matematiker i kontakt med helt nya koncept, samtidigt som talens geometriska betydelse tappade i vikt allteftersom aritmetiken mer och mer blev matematikernas hemmaplan. Till skillnad från sina grekiska föregångare hade de hellenistiska matematikerna alltså både kontakt med och sinnelag för att ta emot en revolutionerande idé: siffran noll.

Mottagandet av noll hängde nära samman med en annan förändring i den grekiska matematiken. Den främst i Alexandria framväxande astronomin hämtade mycket av sitt arv från de babyloniska astronomin, som bland annat kännetecknades av dess 60-bassystem. Liksom sina babyloniska föregångare, började de hellenistiska matematikerna dela upp vinklar i grader, minuter och sekunder i ett slags positionssystem, och ett sådant kräver som bekant en platshållare. Annorlunda uttryckt: Ifall de hellenistiska matematikerna ville ha 60-bassystemet, fick de nollan på köpet. Inom bland annat navigation och tidmätning har systemet förblivit så gott som intakt fram till våra dagar.

Det är en sak att konstatera att de hellenistiska matematikerna använde sig av ett positionssystem, och att de därför även använde sig av en platshållande nolla, för att markera en tom position. Även om tecknet i fråga har varierat, är den vanan belagd i manuskript som bevarats från redan tidigt i den hellenistiska matematikens utveckling, senast i generationerna efter Alexander den store.

En helt annan annan sak är dock att uttala sig om hur de hellenistiska matematikerna faktiskt tänkte kring noll; sådana spekulationer är ofrånkomligen mycket vanskliga. Ämnet har ändå lockat många forskare, som i vissa fall kommit till rakt motsatta slutsatser. Så konstaterar t.ex. Otto Neugebauer, som var en amerikansk expert på egyptisk och babylonisk matematik, i sin bok The Exakt Sciences in Antiquity att det närmast är ställt utom tvivel att de hellenistiska matematikerna tänkte på noll som ett eget tal, d.v.s. som ett sätt att representera "ingenting", medan Ron Larham hör till dem som med lika stor kraft hävdar motsatsen. Debatten har inte blivit mindre infekterad av att det i så fall skulle innebära att den grekiska upptäckten av noll föregick den indiska med mer än ett halvt millennium. Beläggen för den indiska nollan är dock väsentligt starkare (som du kan läsa mer om i det här inlägget).

Biblioteket i Alexandria, här i O. von Corvens tolkning från 1800-talet, utgjorde den hellenistiska vetenskapens epicentrum. Alla böcker som fördes in eller ut ur Alexandria beslagtogs och kopierades för att kunna läggas till bibliotekets samlingar.

Men trots det faktum att tallinjen utvidgats med noll och att astronomerna fått ett helt nytt system att lägga till ett redan förvirrande komplicerat, var det högsta talet som gick att skriva fortfarande "9999 myriader 9999", d.v.s. hundra miljoner minus ett.

På det ändrade Arkimedes när han gjorde den i särklass mest berömda utvidgningen av det alfabetiska talsystemet. I sin bok Sandräknaren - som i modern sättning knappast skulle vara kortare än åtta sidor och på så vis snarare är att betrakta som matematikens första forskningsartikeln - ville Arkimedes motbevisa den vid tiden rådande uppfattningen, att det högsta talet som gick att skriva med det alfabetiska talsystemet var det antal sandkorn som finns på en strand. Boken slutar istället med att Arkimedes bestämmer hur många sandkorn det skulle få plats i hela det kända universum.

Det finns de, kung Gelon, som tror att antalet sandkorn är oändligt; och då menar jag med sand inte bara den som finns runt Syrakusa och resten av Sicilien, utan även den som finns i alla såväl bebodda som obebodda länder. Återigen finns de, som utan att betrakta det som oändligt ändå tror att inget tal, större än antalet sandkorn, kan finnas. Och det är uppenbart, att, ifall de som är av denna åsikt skulle föreställa sig ett klot av sand, stort som Jorden [...] fylld till de högsta bergens höjd med sand, skulle de vara ännu längre ifrån att erkänna att ett sådant tal skulle kunna uttryckas, som skulle överstiga antalet på detta sätt samlade sandkorn. Men med hjälp av geometriska bevis, som du skall få följa, skall jag visa att bland de tal, som jag har benämnt och beskrivit i det verk jag skickat till Zeuxippos, finns vissa som överstiger inte bara antalet sandkorn som behövs för att fylla Jorden på detta sätt, utan även antalet som krävs för att fylla hela universum.”

- Arkimedes (början på Sandräknaren, fri översättning)

När sanden till och med täcker huvudgatan i den antika staden Selinus kan den som trodde att antalet sandkorn på Sicilien var oändligt åtminstone nästan förlåtas. Sicilien var ett vanligt mål för emigrerande greker under 700- och 600-talen f.Kr. och ön blev liksom Alexandria med tiden en välintegrerad del av den grekiska kultursfären. Foto: Dennis Jarvis, CC-BY-SA 2.0

För att kunna påbörja sina beräkningar, var Arkimedes tvungen att uppfinna ett sätt att skriva siffror större än en myriad, Μ, 10 000. Hans lösning var relativt logisk.

Bara genom att använda ordet myriad i sig kunde Arkimedes på ett enkelt sätt utvidga tallinjen till hundra miljoner, d.v.s. en myriad myriader, 10⁸. Alla tal mindre än det kallade han för den första ordningens tal, medan 10⁸ i sig blev den andra ordningens enhet (den första ordningens enhet var alltså 1). Multipler av denna den andra ordningens enhet utgjorde sedan den andra ordningens tal, som sträckte sig upp till 10⁸·10⁸=10¹⁶. I farten hade Arkimedes alltså härlett det vi idag kallar för potenslagarna.

10¹⁶ blev på så sätt den tredje ordningens enhet, som multiplicerades med upp till en myriad för att bli den tredje ordningens tal, som alltså nådde ända till 10⁸·10⁸·10⁸=10²⁴. På detta vis fortsatte Arkimedes tills han nådde den myriad-myriad-ska ordningens högsta tal, 10⁸·10⁸·10⁸·...·10⁸, d.v.s. 10⁸ multiplicerat med sig själv en myriad myriad gånger, eller i modern terminologi (10⁸)¹⁰⁸. Det grekiska talsystemet ger faktiskt en bättre uppfattning om hur ogreppbart stora de här talen egentligen är.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första ordningen	1	108
Andra ordningen	108	1016
Tredje ordningen	1016	1024
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) ordningen	(108)108-1	(108)108

Men den gode Arkimedes var inte färdig där. Han definierade alla tal upp till det sista talet i den myriad-myriadska ordningen som den första periodens tal; kommande perioder utgjordes sedan av 10⁸-multiplar därav. På så sätt löpte den andra periodens tal från (10⁸)¹⁰⁸, d.v.s. den första periodens sista tal, till ((10⁸)¹⁰⁸)², på samma sätt som ordningarna tidigare skapats.

Arkimedes beteckning	Första tal	Sista tal
Första perioden	1	(108)108
Andra perioden	(108)108	((108)108)2
Tredje perioden	((108)108)2	((108)108)3
· · ·	· · ·	· · ·
Myriad-myriadska (108:nde) perioden	((108)108)108-1	((108)108)108

Det var först här som Arkimedes nöjde sig, på ett tal så stort att inte heller vi har något ord att uttrycka det med. Det största talet Arkimedes konstruerade var det sista talet i den myriad-myriadska perioden; utskrivet i ett tal vore det en etta med 8·10⁶³ nollor efteråt, långt större än vad hans astronomiska beräkningar skulle komma att behöva. Sina astronomiska beräkningar gjorde han sedan utgående från tre antaganden:

1. "Jordens omkrets är runt 300 myriader stadia och inte större."
En stadion var 185 meter, vilket ger en omkrets på drygt en halv miljon kilometer, eller tio gånger dagens uppfattning.

2. "Jordens diameter är större än månens, och solens diameter är större än Jordens.
På den här punkten följde Arkimedes de flesta tidigare naturfilosofers uppfattning, och, ja, proportionerna har hållit i sig.
3. "Solens diameter är ungefär 30 gånger så stor som månens och inte större."
   Ingen kommentar.
4. "Solens vinkeldiameter är större än sidan på en tusenhörning inskriven i universum."
   Med detta något kryptiska påstående avsåg Arkimedes att vinkeln mellan solskivans översta och nedersta punkt inte var större än vinkeln mellan två hörn i en tusenhörning, d.v.s. mindre än 0,45 grader. Även om han hänvisar till Aristarchos, säger sig Arkimedes experimentellt ha testat påståendet, och värdet är inte alltför långt från dagens 0,54 grader.

Därifrån drog Arkimedes slutsatsen att universum var ungefär två ljusår från sida till sida, och inte skulle kräva mer än  Redan i den sjunde ordningen, vid 10⁶³, hittade Arkimedes talet han sökte. Det säger något om hur otroligt stora talen Arkimedes skapade egentligen var.

Kuriöst nog innehåller den mängden sandkorn ungefär lika många protoner som Arthur Eddington 1938 räknade ut att det fanns i hela det synliga universum, något som Arkimedes förstås inte kunde känna till. Men för att vara drygt två millennier i förväg, var han ändå inte helt fel ute - även om sandkornen i fråga var mycket mer glest utspridda än Arkimedes någonsin kunde tänka sig. Hela Sandräknaren i engelsk översättning står att finna här

Jag antar att dessa saker, kung Gelon, kommer att förefalla otroliga för de flesta människor som inte har studerat matematiken, men för dem som är bekväma med den, och har ägnat tillräcklig tanke åt frågor om Jordens, solens och månens och hela universums avstånd och storlek, kommer beviset att vara övertygande. Det var av denna anledning, som jag tänkte, att ämnet inte vore opassande för er.”

- Arkimedes (slutet på Sandräknaren, fri översättning)

Även om det antika universum inte var så stort, rymde det uppenbart väldigt många sandkorn. I sina beräkningar lät sig Arkimedes visserligen inspireras av astronomen Aristarchos från Samos i det att han använde den heliocentriska världsbilden med solen i mitten, men han hörde till undantagen. Den dominerande teorin var redan då den geocentriska världsbilden, som gjordes berömd för eftervärlden av den hellenistiske astronomen Ptolmaios från Alexandria; här i tolkning av Andreas Cellarius kring år 1660.

Arkimedes utvidgning under 200-talet f.Kr. var den sista stora förändringen av ett talsystem som från sina rötter i Miletos i Jonien kom att bli mycket långlivat - i två årtusenden upprätthöll det en i princip fullkomlig dominans. Efter att det hellenistiska riket införlivats i romarriket förblev grekiskan det dominerande språket, och den vetenskapliga traditionen levde främst i romarrikets östra halva, på grekiska, med grekiska siffertecken. När sedan romarriket delades i en östlig och en västlig halva blev grekiskan i den östra delen återigen ett statsbärande språk. Så förblev det även genom medeltidens bysantinska rike.

Det alfabetiska talsystemet fortsatte att vara det dominerande viset att skriva tal på i den östra halvan av romarriket, något som romarna helt enkelt fick anpassa sig till. På inskriptionens andra rad kan man läsa ΤΟ ΙΒ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙ ΤΟ ΚΕ ΥΠΑΤΩΙ ΤΟ ΙΕ ΤΕΙΜΗΤΙ. Det betyder ungefär "den 12:te kejsaren, den 25:te konsuln och den 15:de skatteindrivaren" (siffertecken är i fetstilt, eftersom man på inskriptioner sällan markerade vilka bokstäver som var del av tal; ΤΟ betyder ungefär "den __:de"). Inskriptionen återfinns i Efesos på ett monument dedicerat till kejsar Domitianus. Grekiskan döljer det faktum att texten handlar om en man som föddes i Rom, växte upp i Rom, härskade i Rom och år 96 e.Kr. även mördades i Rom.

Trots de indo-arabiska siffrornas intåg är det alfabetiska talsystemet i fortsatt bruk i dagens Grekland, på ungefär samma sätt som vi i Västeuropa använder romerska siffror. Fast sedan bokstaven stigma avskaffades i mitten av 1900-talet skrivs siffran 6 istället på isärplockat vis, στ.

Även om de tidigare epokernas talsystem inte längre har något praktiskt värde - om än rika i historiskt dito - så kan vi lära något av det faktum, att under alla de tusentals år som det grekiska talsystemet levde, inkorporerades det aldrig positionssystemet, även om det i alla fall från århundradena före Kristi födelse faktiskt fanns till hands. Det är något att begrunda, både för dem, som i barndomen skall lära sig att greppa det system som Arkimedes valde bort, och för att vi inte vet, vad framtidens talsystem har att erbjuda.

Därmed är den här serien om det grekiska talsystemets utveckling från stenålder till nutid till ända. Här hittar du det första respektive andra inlägget.

Stomachion - Arkimedes lilla ruta

Det krävdes ett underbarn för att leva kvar till vår tid: Ett av få romerska barn vi känner till namnet är Quintus Sulpicius Maximus, vars gravsten kan beskådas ovan.

Historikern Mary Beard berättar historien om Quintus Sulpicius Maximus, ett romerskt underbarn och ett bland de många romerska barn som dog långt före sin tid. Vid endast elva års ålder deltog pojken i en poesitävling där han mötte vuxna medtävlare. Trots vitt spritt erkännande vann han inte tävlingen. Kanske blev besvikelsen honom allt för stor eller så drabbades han av en helt vanlig åkomma, för sådana var inte ovanliga i Rom. Oavsett vilket var han snart därefter död och hans gravsten, eller en replika av den numera, som fortfarande står att se vid Porta Salina i Rom, ger uttryck både för pojkens stora begåvning och föräldrarnas stora sorg. (Hela artikeln finns att läsa här.)

Men det krävdes kanske ett dött underbarn, ett poet död innan han han skriva något verk berömt nog att vinna ryktbarhet ända till vår tid, för att tränga igenom det faktum att antikens historia är de vuxnas historia. Sällan erbjuds vi en glimt av vad barnen hade för sig - livet som romerskt barn var ofta hårt och dessutom fört i skymundan. Uppskattningar säger att runt hälften av alla romerska barn dog innan sin femte födelsedag.

Även om det i den unge Quintus korta liv kanske inte fanns så mycket tid att avvara studierna för att leka, fanns säkerligen ljuspunkter även i en romersk barndom, men skildring av hur de antika barnen kunde leka kommer från en oväntad källa. 1998 köpte en anonym miljardär ett ovärderligt dokument från en fransk familj. Det mögelskadade dokumentet lånades därefter ut för undersökning på ett amerikanskt museum och visade sig vara en palimpsest, ett gammalt pergament som under medeltiden skrapats rent och återanvänts som bönebok. I sig var det inget udda, utan vad som gjorde dokumentet speciellt var vad som fanns under: Där fanns nämligen spåren kvar av en av Arkimedes böcker, som världen tidigare känt endast i fragment, Stomachion. (Prisa medeltida pappersåtervinning!)

En sida av palimpesten, med den medeltida skriften i horisontella rader medan Arkimedes text, redan avskriven i cirka fem led från sitt antika original, går att ana som vertikala skuggor i bakgrunden.

Att det fanns eller, rättare sagt, en gång hade funnits en sådan bok, det visste man om sedan tidigare, men experterna hade avfärdat den som ointressant eller till och med förfalskad. Stomachion var ett enkelt spel, en lek som antikens barn roade sig med, och gick ut på att från fjorton olika geometriska former bygga figurer - stomachion var, skulle man kunna säga, ett slags antikens svar på våra dagars lego, och den skicklige kunde skapa "en monstruös elefant, ett brutalt vildsvin, en flygande gås, en beväpnad gladiator, en hukande jägare eller en skällande hund". Därför misstrodde man verket, och frågade sig varför en stor man som Arkimedes skulle skriva en bok, låt vara en kort sådan, om en barnleksak. Boken passade helt enkelt inte in i hur man ville att Arkimedes skulle ha varit, vilket antagligen var anledningen till att man hade så svårt att erkänna dess existens.

Den italienska 1800-talsmålaren Niccoló Barabino föreställde sig Arkimedes döende i hans minst sagt storslagna arbetsrum, även om legenden, som bekant, meddelar att han föll offer för en förhastad romersk soldat. En så seriös och genialisk man borde ju rimligtvis inte ägnat sig åt en simpel barnlek, tyckte nog de experter som avfärdade bokens äkthet.

Spelet omnämns av flera senromerska skribenter, som bland andra den senromerske poeten Marcus Ausonius. Förutom det citatet ovan om spelets möjligheter, beskrev han spelet med orden "quod Graeci ostomachion vocavere", vilket på latin betyder "vilket grekerna kallar ostomachion". Om ordets etymologiska ursprung råder dock delade meningar: medan vissa hävdar att det kommer från det grekiska ordet "stomachos", som liksom engelskans "stomach" betyder mage, pekar andra på att trianglarna oftast tillverkades av ben, vilket på grekiska heter "osto", medan "machion" betyder militär kamp eller tävling (som grekerna verkar ha fört med minst lika stor seriositet).

Själva kallade romarna - och troligtvis även deras barn - spelet för "Loculus Archimedius", vilket ungefär betyder "Arkimedes lilla ruta". Det berodde på att spelet för den något äldre publiken hade andra regler: där gällde det istället att pussla ihop de fjorton bitarna till en kvadrat. Det var den här varianten, som antingen uppfanns av Arkimedes eller bara gjordes känd av honom, som kom att uppkallas efter honom, och den som hans bok utgick ifrån.

En mönstrad illustration av ett sätt att placera de fjorton bitarna så att de skapar en kvadrat.

I sin bok frågade sig Arkimedes hur många sätt man kunde lösa gåtan på, det vill säga på hur många vis de fjorton bitarna kan arrangeras, så att de bildar en perfekt kvadrat. Därmed föregick han ett helt område inom matematiken, nämligen kombinatoriken.

Mycket gjorde han, den gode Arkimedes - men frågan han hade ställt sig, lyckades han såvitt vi vet aldrig besvara, och de antika barnens lek förblev ett mysterium att förbrylla de lärda. Där kunde hela historien slutat, om det inte vore för att det finns exakt 536 lösningar. Men innan skulle dröja till vår - och datorernas - tid innan frågan fick sitt svar.

Bill Cutlers 536 lösningar till Arkimedes fråga. Klicka på bilden för att den skall bli stor nog att du kan se något. 

Med ren beräkningskraft (och lite flink programmering) kunde man helt enkelt pröva alla möjliga och omöjliga lösningar och komma fram till att de förstnämnda var exakt 536 till antalet (om man inte räknar alla vändningar och vridningar av lösningarna, för då blir de hela 17 152 stycken istället). Men kanske visste Arkimedes det, kanske räknade han på något finurligt sätt faktiskt ut hur många sätt pusslet kunde läggas på (för varför skulle han annars skriva en bok om det?) - kanske föll bara de sidorna offer för en ovanligt nitisk pergamentskrapande munk. Det lär vi aldrig få veta.

Här kan du för övrigt prova att lösa den gåta som förbryllade antikens människor och stuva in bitarna på något av de sjutton tusen sätten - eller varför inte hitta ett helt eget?

Arkimedes - en badare till matematiker

 Trots hårt motstånd, i vilket Arkimedes spelade en avgörande roll, blev Sicilien till slut en självklar och välintegrerad del av det romerska riket. Här ses ruinerna efter den romerska amfiteatern.

Den sicilianske författaren di Lampedusa skrev en gång, att Sicilien var Antikens Amerika, för så många emigranter lockades dit från Grekland av de bördiga flodslätterna, av handeln och av naturresurserna. Många flydde undan politiska förluster, för Greklands politiska system, om än hem åt många tidiga demokratier, var inte barmhärtigt mot sina förlorare; andra flydde undan svält och armod, och ytterligare många flydde undan det persiska rikets expansion in i Jonien, på dagens Turkiets västkust. Många namnkunniga greker följde dessa strömmar västerut, paradoxernas Zenon flyttade till Elea och Pytagoras till Kroton, men Sicilien födde också egna genier, varibland den kanske allra mest berömde var Arkimedes.

Den tankfulle Arkimedes, målad år 1620 av Dominico Fetti, visar antikens stormästare i ingenjörskonst, tillika mästare i matematik och logik, djupt försjunken i tankar.

Vi får föreställa oss Arkimedes värld som den antika grekiska världen stadd i obönhörlig förändring, där de grekiska statsstaterna steg för steg tappade sitt självstyre, krigen gjorde livet hårt för alla, men i synnerhet de små städer, som fick se sin självständighet och sina medborgares liv gjorda till brickor i ett spel mellan större stater och förbund, medan senhellenismens kultur gradvis avlägsnat sig från den klassiska kultur vi vanligen förknippar med det antika Grekland. Sicilien var delvis förskonat det egentliga Greklands öde, men var närmast i konstant krig, antingen inbördes eller placerat, som det var, strategiskt, lukrativt och åtråvärt mitt emellan den gamla sjöstormakten Karthago och det snabbt växande Rom.

Många av Arkimedes texter känner vi från en bönbok från 1200-talet, upptäckt år 1904 av en dansk i Konstantinopel, där man skrapat bort gammalt bläck för att återanvända pergamentet, som på medeltiden var mycket dyrt. Med hjälp av modern teknik har man lyckats läsa vad som stått skrivet i boken innan den barskrapades, så att säga, och flera till av Arkimedes texter fick då se dagens ljus. Texten på palimpesten, som den kallas, förtäljer, bland mycket annat, om en matematisk upptäckt som torde kastat nytt ljus på Zenons paradox, den om Akilles som inte kunde springa ifatt sköldpaddan, liksom kan ses som en tidig viskning om de integraler som inte komma skulle förrän på 1600-talet, ganska så exakt tvåtusen år efter Arkimedes tid.

Arkimedes föreställde sig en parabel, som skurits av av en rät linje, kordan. I den form som bildades, ritade han in en triangel på det sätt som visas i figuren - där triangelns topp befann sig rakt ovanför kordans mitt. Triangelns båda kortsidor, de som inte är den ursprungliga kordan, bildar nya kordor, på vilka satsen kan appliceras på nytt. Om man gör om denna operation oändligt många gånger, torde dessa oändligt många trianglar till slut täcka hela arean, och det går att bestämma förhållandet mellan den första triangelns och hela formens areor.

Om man ansätter att den första triangeln har arean 1, så kommer de två mindre att ha en åttondel av den första areans, eller tillsammans en fjärdedel. Om man bara mäter i horisontalled, det vill säga, längsmed projektionen på x-axeln, så är basen hälften av samma sorts bas hos den första triangeln, eftersom vi konstruerade den så. Genom att använda parabolens egenskaper kunde Arkimedes bestämma att höjden i de små trianglarna är en fjärdedel av den första triangelns höjd, något som blir väsentligt enklare om man använder moderna metoder och sätter in parabeln (som definieras av att de har ekvationer på formen y=ax²+bx+c) i ett koordinatsystem. (Arkimedes egen uträkning, i engelsk översättning, finns på den här sidan. För en härledning på svenska och med moderna matematiska metoder, klicka på bilden längst ned i inlägget.)

Dessa mindre trianglar, som därför har höjden ¼ av grundtriangln och halva bredden, får en åttondel av grundtriangelns area. Eftersom de är två stycken, får andra "generationens" trianglar den sammanlagda arean av ¼ av den förra "generationens" area, eller, med andra ord, om man summerar alla dessa trianglar, börjar man med 1, för den första triangeln, och sedan ¼ för de två i den andra "generationen", och sedan en sextondel för de fyra trianglarna i tredje "generationen", som vardera har arean en sextiofjärdedel. Om man fortsätter i oändlighet får man en serie med oändligt många tal, vardera en fjärdedel av det föregående, och hela parabelns area är täckt.

Detta är vad vi moderna människor skulle kalla en geometrisk summa, och med moderna metoder är det enkelt att använda den geometriska summaformeln, och få reda på att svaret är ¾, d.v.s. att parabolbitens area är fyra tredjedelar så stor som grundtriangelns area, eller vice versa, att grundtriangeln täcker tre fjärdedelar av parabolbiten. Arkimedes, å andra sidan, stred i motvind; dels hade han inte summaformeln att tillgå, och dels trodde många, liksom Zenon, att en oändlig talserie inte kunde ha en ändlig summa.

För att ändå visa, att så var fallet, uppfann Arkimedes en snillrik geometrisk konstruktion, en kvadrat, som han delade i fyra delar. En del av dessa fylldes i för att representera den första fjärdedelen i serien, två lämnade han tomma, och den sista delade han på nytt i fyra delar, där en fylldes i för att representera den andra fjärdedelen i serien, två var tomma, och den sista ytterligare en gång delades, och så fortsatte han. På varje ifylld fjärdedel gick tre tomma, och alltså måste serien en fjärdedel + en sextondel + en sextiofjärdedel och så vidare vara lika med en tredjedel. Eftersom serien började med en etta, för den ursprungliga triangeln, måste svaret vara fyra tredjedelar, och en oändlig serie hade en ändlig summa.

Men det kanske mest användbara av Arkimedes bidrag till matematiken, är hans arbete på att förfina värdet på pi, och att finna en av dess allra bästa användningsområden: formeln för en cirkels area, π r². Arkimedes insåg nämligen, att man kunde skära upp en cirkel på så sätt, att den blev till en rätvinklig triangel, med radien som sin höjd och omkretsen som bas. Genom sina tidigare arbeten, där han bland annat inskrivit cirklar i 96-hörningar och 96-hörningar i cirklar, kände han till formeln för omkretsen,
2π r, och kunde lätt bestämma att arean måste vara (2π r∙r)/2 vilket är lika med just π r².

Den kanske allra mest berömda anekdoten, berättar om hur kung Hieron - som beställt en guldkrona av en juvelerare, men misstänkte att han blivit bedragen - gav Arkimedes i uppgift, att bestämma ifall guldkronan verkligen bestod av solitt guld. Historien förtäljer, såsom som den romerske arkitekten Vitruvius återger den, att Arkimedes låg i badet när han plötsligt fick en snilleblixt, som lärde honom, att ett föremål nedsänkt i vatten tränger undan vatten i förhållande till sin volym, och därefter var det en enkel sak att bara väga kronan och undersöka, om densiteten var den rätta. Simpelt, måhända, men ack så effektivt. Och det lär vara efter den upptäckten han utropade "Heureka!", "Jag har funnit det!", och sprang naken genom Syrakusas gator - för som varje sann antik människa, var det nog på det publika badhuset han badade, och då var det ju klart att han fick bråttom hem för att fortsätta sina experiment.

Arkimedes i badet har blivit en omtyckt symbol för uppfinningsrikedomen, här på ett träsnitt från femtonhundratalet - då publika badhus avskaffats och folk börjat bada i trätunnor istället!

Efter den gamle kung Hierons död, blev Syrakusas politiska lojaliteter mycket mer oklara, och staden verkade byta fot från att stödja romarna, till att ställa sig på Karthagos sida. Rom bestämde sig för att förhindra att staden anslöt sig till ärkefienden, och belägrade år 214 f.Kr. staden under generalen Marcus Claudius Marcellus.

Arkimedes byggde en mängd finurliga konstruktioner, för att jaga iväg romarna, däribland apparater som sköt skurar av småsten genom skottgluggar, en klo som kunde lyfta anfallande skepp och sedan släppa ner dem i havet igen så att de sjönk och en rad brännspeglar för att tända eld på skepp ute till havs, de sistnämnda anses tyvärr mer legendariska än sanna. Det sägs till och med, att de romerska soldaterna blev så rädda, att de flydde var gång de såg en bjälke eller ett rep sticka över stadsmuren, medan Marcellus insåg hur värdefull Arkimedes skulle kunna vara i det krig mot Karthago, som alla visste skulle komma, och gav order om att Arkimedes skulle fångas levande.

En renässanskonstnär vid namn Giulio Parigi tog beskrivningen av skeppsklon som en järnhand högst bokstavligt. Genom åren har många spekulerat i hur Arkimedes gick till väga för att sänka skeppen och kommit fram till flera förslag, både vettiga och fantasifulla, några av vilka finns på denna länk.

Till slut blev dock romarnas belägring för mycket för syrakusanerna, för trots Arkimedes alla sinnrika maskiner kunde inte staden hålla stånd mot det växande romarrikets makt - Siciliens strategiska placering mitt i Medelhavet var alltför åtråvärd. Legenden bjuder, att när romarna bröt in i staden och blodbad utbröt, satt Arkimedes och ritade i sanden, kanske på en ny försvarsmaskin som åter skulle vända krigslyckan, eller på ett nytt banbrytande matematiskt bevis. När han hörde en romersk soldat komma, utropade han "Rubba inte mina cirklar!" Soldaten greps av vredesmod och stack ned den trotsige gamle mannen, utan att först fråga efter hans namn.


Och så, förresten, var det ju den där höjden i den andra triangeln som var en fjärdedel av den första triangelns. Min uträkning till varför det blir så finner du om du klickar på bilden här bredvid.