Del 3: Matematiken, Indien och världen

Detta inlägg är den tredje delen i en serie om tre avsnitt. Här hittar du den första respektive andra delen.

Det Indien som Brahmagupta kände var ett rike i politiskt kaos. Under loppet av 500-talet föll Guptariket samman under trycket av hunniska invasioner från Centralasien och vid slutet av århundradet återstod det endast som en stadsstat kring det Kusumapura som Aryabhata en gång var verksam i. Den politiska splittring som följde kom att känneteckna medeltidens Indien, som ett splittrat landskap med med många lokala härskare och hov. Trots att tiden för den vetenskapliga vurm som odlats vid Guptarikets hov var till ända fortsatte verksamheten i lärocentren Kusumapura och Ujjain, och det var under den här perioden som den kanske mest omvälvande förändringen i det matematiska tankesättet ägde rum.

Det var också under medeltiden som det abstrakta sätt att se på talen som vuxit fram under guptaperioden började bära frukt. När tal inte längre nödvändigtvis var antal, areor eller något annat, utan kunde frikopplas och bli de abstrakta tal vi idag menar när vi använder oss av matematik, infann sig också ett nytt sätt att tänka. De indiska matematikerna var inte sena att ta vara på de nya möjligheter som följde, och medeltiden blev en blomstringstid i den indiska matematiken. Främst bland de medeltida matematikerna var en man vid namn Bashkara (men som i vissa sammanhang brukar kallas för Bashkara II för att särskilja honom från en äldre namne). Han lär ha fötts år 1114, levt till 1185 och i likhet med Brahmagupta ha varit ledare för lärocentrumet i Ujjain.

De politiska förhållandena i medeltidens Indien var kaotiska, och vad som förmodas vara Bashkaras hemstad verkar vid tiden för hans födelse ha tillhört det västra Chalukyariket. Denna anspråkslösa bildsten, som är daterad till året efter Bashkaras födelseår, är en av få existerande avbildningar av den då regerande kungen Vikarmaditya VI.

Sitt berömda verk, som snarast kan kallas den indiska matematikens universalverk, Siddhanta Shiromani, författade han endast 36 år gammal. Matematiken han tar upp är av varierande ålder och ursprung, och verket rymmer alltifrån förbättringar av matematik som varit känd sedan Aryabhatas tid till helt nyvunnen kunskap. Siddhanta Shiromani följer den indiska traditionen i det att den är skriven på vers - och har en omfattning på nära ett och ett halvt tusen sådana - men har ändå en särprägel jämfört med sina föregångare: Den nya inställning till matematik som utvecklades under början av medeltiden ger Bashkaras matematik en följsamhet bortom sina föregångare. Talet noll, negativa och positiva tal öppnade för ett helt nytt sätt att tänka, och gjorde Siddhanta Shiromani världsunikt. Framförallt är Siddhanta Shiromani skådeplats för ett monumentalt framsteg: differentialkalkylen - konsten att kunna räkna på förändringen i sig.

Att säga att Bashkara är differentialkalkylens uppfinnare vore dock enligt de flesta aningen förhastat. För det första har vi som vanligt inga bevis på att Bashkara själv var upptäckare av allt han nedtecknade, utan snarare antydningar att han sammanfattade och nedtecknade vad som lärdes ut av de lärare och visa män som var aktiva vid Ujjain. På så sätt framstår han mer en läroboksförfattare än en spetsforskare. För det andra formulerade de indiska matematikerna ingen generell metod för derivering eller integrering, och särskilde inte några tydliga koncept, utan vad de kan sägas ha vunnit är en grundläggande insikt om den sortens matematiks möjligheter, och därmed på ett rejält sätt satt igång en process som fyra hundra år senare skulle leda fram till Newton och Leibniz samtidiga upptäckt. Bashkaras verk, Siddhanta Shiromani, tjänade som den grundläggande läroboken i indisk matematisk utbildning ända fram tills den brittiska kolonialmakten övertog utbildningsväsendet drygt 700 år senare.

Sina observationer gjorde han vid observatoriet i Ujjain, på bilden, vid floden Shipra, som är Indiens ohotade astronomiska centrum. Det observatorium som idag finns i staden är visserligen inte äldre än 1700-talet, men är å andra sidan det enda av 1700-talsobservatorierna som fortfarande är i drift. Idag används det för att uppställa väderprognoser. Foto: Bernard Gagnon

Astronomin var drivkraften som fick Bashkara att utveckla de första stegen mot differentialkalkylen - i likhet med nästan alla indiska matematiker var Bashkara inte främst matematiker utan astronom. Drivkraften bakom hans intresse för matematik var astronomin och hans verksamhet förefaller ha utgått från observatoriet i Ujjain - i denna aspekt skiljde sig inte differentialkalkylen från de andra matematiska grenar som Bashkara berörde. I sitt arbete använde Bashkara troligtvis ett instrument som idag går under namnet jakobsstav, som inte nådde västerlandet förrän ett antal sekler senare och som bland annat användes för att mäta himlakroppars höjd över horisontlinjen. På ett matematiskt plan liknar tekniken triangulering och förutsätter därmed användning av de trigonometriska funktionerna. Eftersom himlakroppar som bekant rör sig, förändras vinklarna och de trigonometriska funktionerna behöver plötsligt deriveras.

Arvet efter Bashkara var en bok av närmast episk omfattning, som blev blev ett tungt arv och en hög ribba för de kommande indiska matematikerna; från århundradena efter Bashkara känner vi till knappt någon matematisk utveckling. Inga böcker eller artefakter som antyder någon utveckling har i vart fall ännu inte upphittats, men att utvecklingen helt skulle ha avstannat är ändå troligt. Liknande påståenden, om att utvecklingen plötsligt skulle ha avstannat, har tidigare gjorts om andra epoker i den indiska matematiska historian, för att senare överbevisas av nya fynd. Så nya rön om senmedeltidens matematik är att vänta, men än har inga gjorts.

Den indiska matematiken hade en sista blomstringstid i Kerala på Indiens sydligaste västkust. Dess läge på den indiska oceanens handelsrutter gav matematiken god spridning, men ironiskt nog var landskapet, som varierar mellan den låglänta kuststräckan och skogklädda bergsområden, bland de första till vilka de europeiska kolonisatörerna kom.

Istället dyker spåret av matematikens vidare utveckling inte upp förrän två sekler senare, och då i staten Kerala längsmed den indiska halvöns sydligaste västkust. Matematikerna som verkade här särskiljer sig på så sätt från såväl guldålderns som medeltidens matematiker genom att de varken verkade som enskilda matematiker-astronomer vid något av de många kungliga hoven eller som läromästare vid något av de två stora lärocentren, det i Kusumapura i norr och det i Ujjain i söder. Istället samlades kring en man vid namn Madhava en grupp matematiker och bildade därmed vad som av eftervärlden har kommit att benämnas Keralaskolan.

Vad Keralaskolans medlemmar åvägabringade närmar sig i sin omfattning en matematisk revolution - den matematik de utvecklade skulle inte komma att överträffas förrän två sekler senare. Madhavas arbete - eller i vart fall det som vunnit honom berömmelse - centrerades kring oändliga serieutvecklingar, av π och av de trigonometriska funktionerna. Exempelvis fann han att sin x - en för såväl navigation som astronomi ytterligt viktig funktion, men samtidigt en notorisk felkälla i en värld med endast oexakta tabeller och en minst sagt skriande brist på miniräknare - kunde uttryckas som

Med den kunskapen kunde man åstadkomma bättre tabeller och dessutom göra bra approximationer alltefter behov (vilket ju för övrigt är samma princip som våra dagars miniräknare bygger på.) Därför bär många av de serier han formulerade, som länge benämnts efter sina europeiska upptäckare, numera även Madhavas namn.

Madhava fick många efterföljare inom Keralaskolan, vars arbete ofta cirklade kring oändliga serieutvecklingar, och på så sätt kan sägas med de trigonometriska funktionernas hjälp ha förenat den jainistiska matematikens fascination med det oändliga (som Zenon som bekant inte till fullo delade) med geometrin, aritmetiken och astronomin i den matematik som såg dagens ljus vid lärocentret i Ujjain.

Den stad som idag bär namnet Irinjalakuda lär under medeltiden ha hetat Sangamagrama och varit Madhavas födelseort. Idag är den hem till drygt 50 000 invånare. Foto: Wikipediaanvändare Challiyan.

Kerala, en av Indiens av turister mest bevistade delstater, ligger utsträckt längsmed den indiska oceanen och var därför hem för en av det medeltida Indiens viktigaste handelsknutpunkter: hamnstaden Muziris. Staden är något av ett mysterium: ingen vet var den låg (även om lovande arkeologiska utgrävningar pågår i Pattanam), ingen vet exakt vem som besökte den (även om den omnämndes av flera romerska skribenter) och ingen vet hur länge staten fortsatte att vara aktiv (även om det sägs att europeiska jesuiter var verksamma där under 1600-talet).

Hamnstaden Muziris besöktes av såväl europeiska jesuiter som arabiska handelsmän. Utbyte skedde inte bara av varor, ädelmetaller och mynt, utan Keralas hamnstäder blev hem åt en mångkulturell smältdegel. Astronomi gick ihop med navigationskunskap, navigationskunskap med matematik, och den kunskap som grundlagts vid Indusflodens stränder, emanerat ur generationer av hinduiska, jainistiska och buddhistiska matematikers arbete och vuxit till i lärocentren i Kusumapura och i Ujjain tog därigenom klivet ombord på en seglats till främmande länder, till Mellanöstern och kanske ända till Europa.

Vasco da Gamas landstigning i Kerala 1498 markerade början på direktkontakterna mellan Kerala och Europa, som tillät indisk matematik att spridas direkt till Europa. Utbytets omfattning är dock en kontroversiell fråga. Akvarellmålningen ovan är däremot inte äldre än 1880-talet, då den förfärdigades av en man vid namn Ernesto Casanova.

Även om det självklart är omöjligt att sammanfatta en hel kulturs matematiska utveckling, så återkommer vad som snart i sig blivit ett mantra: att Indien är kontrasternas land. För den indiska matematiken har ju sett allt från tegelstenars geometri till astronomisk trigonometri, och indiska matematiker har utvidgat tallinjen med allt från de negativa talen via noll till oändligheten. De har arbetat enskilt, i höga torn och djupa bibliotek, men också tillsammans, samlade i skolor och lärocentra. I kolonisationen mötte den indiska matematiken en ny rad utmaningar - Indien uppgick i det brittiska imperiet, och så även dess matematik. I många fall hyste kolonisatörerna ingen eller liten förståelse för de matematiska framsteg de indiska matematiker man mötte var arvtagare till, och vilken matematisk tradition som levde i deras kultur. Inhemsk indisk matematik avfärdades nog i de flesta fall som mysticism, och de indier som ville utöva matematik fick möta den endast i dess brittiska version. Men Indien fortsatte naturligtvis att producera begåvade matematiker. En bland dem var Srinavasa Ramanujan, Indiens kanske mest framstående matematikergeni under 1900-talet, som i en mening - måhända oavsiktligt - träffande lyckades sammanfatta den indiska matematikens utveckling hand i hand med den religiösa astrologin, när han en gång lär ha sagt:

Sir, an equation has no meaning for me unless it expresses a thought of God.” - Srinavasa Ramanujan

Därmed är den här serien om antik indisk matematik till ända. Här finner du det första och det andra avsnittet.

Del 2: En guldålder i indisk matematik

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget,och här finner du den tredje och avslutande delen.

Den indiska guldåldern, som den har kallats, inleddes med den politiska stabilitet som uppstod inom guptariket på 300-talet e.Kr, som förenade stora delar av de norra och östra delarna av dagens Indien. Bilden visar ett sällsynt exempel på måleri i guptastil från de buddhistiska grottorna i Ajanta.

Vad som har kommit att benämnas den klassiska eran eller guldåldern inom antik indisk matematik inleddes med den första indiske matematiker vi känner till namnet, Aryabhata. Av en slump känner vi även till hans födelseår: Från de astrologiska referenser han lämnat, vet vi nämligen att han redan tjugotre år gammal författade sitt livs storverk, Aryabhatiya, som utkom år 499 e.Kr, varför han torde ha fötts omkring år 476 e.Kr. Var någonstans vet vi dock inte, men han lär ha levt och verkat i en stad kallad Kusumapura, som kanske (men inte helt säkert) skulle kunna vara dagens Patna.

Aryabhatiya var en bok som fanns i varje indiskt bibliotek under många århundraden efter att den utgivits. Den blev ett standardverk, en grundbult för hela guldåldern och tiden därefter. En stor del av Aryabhatiya, som lär betyda just Aryabhatas verk, ägnas åt astrologin, som han presenterar både ur ett mytologiskt perspektiv, vilket ger verket dess religiösa anknytning, och ett matematiskt, där bland annat sinusfunktionen presenteras. Boken innehåller även kapitel om geometri och aritmetik.

Att beskriva ett solurs skugga är ett av de centrala problemen i Aryabhatiya, antagligen då det förenar astrologin med geometrin. Det gigantiska soluret vid det astrologiska observatoriet Jantar Mantar i Jaipur, byggdes inte förrän i början av 1700-talet, men kan mycket väl ha inspirerats av Aryabhatiya. Soluret är så stort, att skuggan rör sig med upp till en millimeter per sekund. 

Ända sedan Aryabhatiya kom till västerlandet har den där förbryllat sina läsare, eftersom den lyckas förena mystik och poesi med matematisk klarsynthet. Verket består av 121 verser, där var och en framlägger en sats. Stilen är ibland närmast anekdotisk och boken förefaller snarast skriven för att vara ett minneshjälpmedel än en lärobok på egna ben - en antik formelsamling, kan man säga. Texter, som ju alltid var handskrivna vid den här tiden, var något mycket sällsynt, och att underlätta för läsaren att memorera innehållet var därför en klar kvalité - samtidigt följer det i fotspåren av den indiska matematikens långa muntliga tradition. Även om det genom åren skrivits kommentarer och förklaringar till verket, och kommentarer och förklaringar till dem, lämpar sig verket med andra ord inte för självstudier. (Här finns det för övrigt tillgängligt i en välkommenterad engelsk översättning.)

Vissa forskare har spekulerat i ifall Aryabhatiya främst avsågs som en sammanställning av en lång matematisk tradition, och ingenstans skriver Aryabhata uttryckligen att matematiken han presenterar var hans egen upptäckt. Satserna som presenteras varken förklaras, härleds eller exemplifieras. Men med tanke på eftermälet förefaller det trots det otroligt att han inte skulle ha bidragit med åtminstone en del av innehållet själv.

Vers 10: "100 plus 4, gånger 8 och adderat till 62 000; det är den nästan approximativa omkretsen hos en cirkel vars radie är 20 000." Därmed har Aryabhata givit sin tids kanske bästa approximation till π, som 3,1416. Det omständliga sättet att skriva är ett kännetecken för Aryabhatiya, men versmåttet gjorde texten lätt att lära sig utantill - såtillvida man kan sanskrit, vill säga.

Det Kusumapura som Aryabhata verkade i var en lärdomsstad i snabb tillväxt. Ett liknande lärocentrum grundades vid samma tid i Ujjain, och tillsammans kom de att utgöra epicentra för guldålderns vetenskapliga utveckling, som överlevde guptariket. Kanske på grund av de ökade kommunikationsmöjligheterna vetenskapsmännen och matematikerna emellan, eller tack vare att de få handskrivna böcker som kunde produceras fick en vidare läsekrets utvecklades den indiska matematiken snabbare än någonsin. Även översättningar av grekiska verk tillfördes biblioteken. Inte minst trigonometrin gjorde stora framsteg, men den kanske viktigaste följden blev en revolution inom siffersystemet. Även om de brahminska siffrorna redan hade gamla anor, var de bara ett system ibland många - dessutom fanns de i en uppsjö av varianter.

I Aryabhatiya använde sig Aryabhata inte av brahminska siffror, men hade likväl ett positionssystem och ett sådant fungerar inte utan en nolla. Som platshållare i större tal hade nollan länge använts - enligt vissa redan från århundradena innan Kristi födelse, men den som först iakttog konceptet noll, d.v.s. nollan som en egen siffra, inte bara ett avstånd mellan, låt säga, ental och hundratal, var en matematiker vid namn Brahmagupta.

Till skillnad från Kusumapura har matematikern Brahmaguptas hemstad, Ujjain, behållit sitt namn till våra dagar. Staden, som ligger vid floden Shipra, är fortfarande känd för sina universitet. Foto: Bernard Gagnon

Brahmagupta, som lär ha fötts år 598 e.Kr., utmärker sig i den indiska matematiken på många sätt. Han tillhörde inte det brahminska kastet, men erkändes ändå och var under ett långt tag ledare för lärocentrumet i Ujjain. Han är troligen också den enda antika indiska matematiker vars namn än idag utmärker både en sats och en matematisk identitet, vilka han lade fram i sitt verk Brahmasphutasiddharta. Till stilen påminner verket mycket om Aryabhatiya, och är helt författat på vers.

Brahmagupta har blivit berömd för sin sats som säger att sträckan AF är lika med FD ifall fyrkantens diagonaler skär varandra i en rät vinkel.

Till innehåller visar däremot Brahmaguptas matematik en tydlig hellenistisk influens. Efter Alexander den stores härnadståg uppstod en livskraftig grekisk kultur i den indiska halvöns nordvästra hörn, det antikens folk kände som Baktrien eller ungefär dagens Afghanistan och Pakistan. Med tiden integrerades den grekiska kulturen i den indiska, och under loppet av guptaperioden den grekiska matematikens skrifter de indiska biblioteken. Även om Brahmaguptas stil och matematik är tydligt tillhörig den indiska matematiska traditionen, har många av Brahmaguptas metoder sin grund i den grekiska matematiken, och många av hans satser är vidareutvecklingar av grekiska förlagor.

Kanske mest kännetecknande för den grekiska influensen på Brahmagupta är hans intresse för pytagoreiska tripletter, d.v.s. tre heltalslängder som tillsammans bildar en rätvinklig triangel, som exempelvis 3, 4 och 5. Efter att skrifter innehållande Pythagoras matematik förts med Alexander den store till Indien översattes de till sanskrit. Med utgångspunkt i dem generaliserade Brahmagupta teorierna och utvecklade en metod för att bestämma alla pytagoreiska tripletter. Den kunskapen kunde han använda, och skapade med hjälp av Euklides algoritm (som i den här tidens Indien talande nog betecknades kuttak, vilket ungefär betyder kvarnen eller pulverisatorn, eftersom den bryter sönder talen till deras beståndsdelar) en generell sorts lösning till en viss typ av diofantisk ekvation, d.v.s. en ekvation där man endast söker heltalslösningar. Nog var Brahmagupta en man med ett levande arv från antikens Grekland och såg långt för att han, i likhet med de greker vars verk han läste och i likhet med alla andra vetenskapsmän och matematiker, stod på giganters axlar.

Men den viktigaste av Brahmaguptas framsteg var något som grekerna motsatte sig och som inte skulle vinna spridning i västerlandet förrän renässansen. Talet noll, att inte bara använda symbolen noll som platshållare i tal skrivna med positionssystem, utan själva uppfattningen om ett tecken för att beteckna intigheten, tomheten, är en mycket unik tanke i den matematiska historien. Vissa hävdar till och med att den bara uppstod en enda gång - i Indien.

Sunya, som betyder inget eller tomhet på sanskrit, är ett buddhistiskt koncept, som i 600-talets Indien omvandlades till sant banbrytande matematik. Foto: Sukanto Debnath

Att utnämna Brahmagupta till talet nolls uppfinnare vore kanske en smula förhastat, men han är den som slutligen kom att sätta upptäckten på pränt. I Brahmasphutasiddharta ger han följande arton regler hur man skall räkna de fyra talesätten med noll och positiva och negativa tal:

1. Summan av två positiva tal är positiv.
2. Summan av två negativa tal är negativ.
3. Summan av noll och ett negativt tal är negativ.
4. Summan av noll och ett positivt tal är positiv.
5. Summan av noll och noll är noll.
6. Summan av ett positivt och ett negativt tal är skillnaden mellan dem; eller, ifall de är lika, noll.
7. Vid subtraktion dras det mindre från det större, positivt tal från positivt tal.
8. Vid subtraktion dras det mindre från det större, negativt tal från negativt tal.
9. Men när det större skall dras från det mindre är skillnaden omvänd.
10. När positivt skall dras från negativt, och negativt från positivt, skall de adderas ihop.
11. Produkten av en negativ kvantitet och en positiv kvantitet är negativ.
12. Produkten av två negativa kvantiteter är positiv.
13. Produkten av två positiva kvantiteter är positiv.
14. Positivt tal delat på positivt tal eller negativt delat på negativt är positivt.
15. Positivt delat på negativt är negativt. Negativt delat på positivt är negativt.
16. Ett positivt eller negativt tal delat på noll är ett bråktal med noll som nämnare.
17. Noll delat på ett negativt eller positivt tal är antingen noll eller uttryckt som ett bråk med noll som täljare och det ändliga talet som nämnare.
18. Noll delat på noll är noll.

Långlivade har Brahmaguptas 18 regler varit, det är det minsta man kan säga. Med undantag för den sista är de idag precis lika giltiga som den dag för snart ett och ett halvt årtusende sedan då de för första gången sattes i skrift. Att den sista inte visat sig lika hållbar som de andra är kanske ett mindre problem i det perspektivet.

Brahmaguptas sätt att ansträngningslöst gå från att generalisera kring de positiva talen till de negativa antyder ett abstrakt sätt att se talen. De är inte längre antal eller areor, utan siffror med en abstrakt innebörd. På så sätt kan man säga att de indiska matematikerna inte bara utvecklade siffrornas form, utan uppfann själva konceptet siffra. Detta minst sagt gigantiska språng framåt blir otvetydigt när Brahmagupta blandar in noll, och vad noll delat på noll är. Utan ett sådant abstrakt synsätt vore den frågan fullkomligt meningslös. Sedd på det viset blir den artonde regeln inte längre den felaktiga västgötaklimaxen utan den viktigaste regeln som får avsluta ett matematikens banbrytande manifest; att vår tid råkar ha en avvikande åsikt i själva sakfrågan är ju en mindre sak.

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget, och här finner du den tredje och avslutande delen.

Del 1: Matematikens födelse i kontrasternas land

Rick Stein, som gjort flera mat- och kulturprogram om Indien för engelska BBC, konstaterar att hur mycket man än vill undvika att säga vad alla andra redan har sagt, finns inget sätt att undvika att Indien faktiskt är kontrasternas land. Det gäller den indiska matematiken också, där konkret geometri samsas med abstrakta oändligheter och matematikerna varierar mellan anrika ätter och asketer. På bilden syns Haji Ali Dargah-moskén, en legendomsusad grav och moské på en ö strax utanför Bombay. Foto: Humayunn Peerzaada, CC-BY-SA 3.0

Det är alltid svårt att veta vad de tidigaste civilisationerna tänkte kring matematik. Sällan har några skrifter bevarats, och ännu mer sällan på ett språk som (oftast västerländska) historiker kunnat tyda. På grund av bristen på skriftliga källor är dagens kunskap om dåtidens matematik ofta mycket rudimentär - vad vi känner till är bara det som går att mäta eller ana i landskapet och artefakterna - och oftast vet vi därför mest om deras kunskaper i geometri.

De äldsta fynden av matematisk verksamhet på den indiska halvön stammar från Induscivilisationen, som fram till 1700 f.Kr. blomstrade längsmed floden Indus stränder i dagens Pakistan. Mätningar gjorda på tegelstenar från den antika fyndplatsen Mohenjo-daro, en gång en av Induscivilisationens största städer, visar att invånarna där måste ha använt sig av en sorts linjal: Alla stenarnas längd är jämna multipler av en enhet på ca 3,4 cm - kanske en forntida kunglig tumme? Eftersom Mohenjo-daro var en av de största centralorterna, i en av dåtidens mest framgångsrika civilisationer, torde de tekniker som användes där utgöra spetsen i den tidens teknikutveckling, med de mest påkostade byggena, den högsta kvalitén, och den trendsättande motorn i spridningen av kulturell och teknologisk utveckling.

Mohenjo-daro kännetecknas av ett rätlinjigt gatunät, där såväl strukturer som tegelstenar följer jämna längdenheter - ett tidigt exempel på hur matematiken användes. Staden var en gång en av de viktigaste i området, och av vissa ses den idag som en av Sydasiens viktigaste fornlämningar. Nu möter dock en ny uppsättning hot: Den framstående pakistanska arkeologen Dr Asma Ibrahim menar att grundvattnets ökade salthalt och ovarsamt konserveringsarbete, tillsammans med svag ekonomi och omfattande säkerhetsproblem, kan komma att ha omintetgjort ruinerna inom tjugo år.

Våra viktigaste matematiska arv från Induscivilisationen, och det arv som fortfarande lever närmast oss, är tiobassystemet. Basen tio var det vanliga i Mohenjo-daro: Om man multiplicerar tummen med tio, får man ett mått på ca 34 cm - kanske en förhistorisk fot - och också ett mått som användes flitigt i byggen. Med andra ord föredrog de som byggde att använda jämna tiomultipler; tio tum blev en fot. Vid utgrävningar i Harappa, en annan stor förhistorisk stad i Indusdalen, upptäckte arkeologerna till och med bevarade linjaler och därtill viktmått, skapade enligt samma tiobassystem och som säkerligen använts i byggen i staden. I Harappa hittade man även en bronsstav, med ett mått på drygt nio millimeter. Hundra sådana blir nämligen ett steg, som också var ett vanligt mått ibland ruinerna.

Men Harappa- och Mohenjo-daro-bornas matematik gick säkerligen långt utöver den relativt rudimentära geometri som har gjort dem berömda, men deras muntliga tradition har inte motstått tidens tand. Först efter den litterära traditionens utbredning i samband med den indo-ariska invasionen började de matematiska tankegångarna att nedtecknas. Förändringarna i det indiska samhället var långtgående. Den vediska perioden, som tiden mellan 1700 och 500 f.Kr. brukar kallas, såg uppkomsten av stabilare kungadömen, med kulturella intressen, följt av sanskrits spridning och skrivkonstens utbredning. Som en del av samhällsförändringarna uppträdde även kastsystemet. Förvaltandet och kodifieringen av religionen samlades inom det brahminska kastet, som nedtecknade de vediska skrifterna, som utgör grunden inom hinduismen, men också innehåller poetiska antydningar om att intresset för geometri levde kvar. Eftersom matematiken räknades som ett av religionens uttryck, var även denna en brahminsk angelägenhet, och det var de som utvecklade den första generationen av vad vi idag kallar våra siffror.

Står här något om matematik? Det vet vi inte, för trots att det snart har gått hundra år sedan Harappa och Mohenjo-daro upptäcktes, förblir deras skrift ett mysterium. Tecknen verkar nästintill uteslutande ha använts på stämplar, och vissa forskare tvivlar på om de verkligen motsvarar ett språk. Istället skulle de kunna representera familjer, klaner, platser eller tillverkare. Oavsett gör texternas korthet det otroligt att de skulle beröra abstrakta ämnen som matematik, och även om Induscivilisationen hade ett skriftspråk, kan man knappast tala om en litterär tradition.

Den bild som framträder av den tidiga indiska matematik är starkt religiöst präglad, och bevarade inte minst arvet från den förskriftliga tidens recitationstekniker i de karaktäristiska mantrana. I synnerhet talteorin förknippades med det gudomliga, och denna den vediska matematiken har blivit berömd för sina utförliga namn på ohemult höga tal. Men även det geometriska arvet från Induscivilisationens dagar kom till utlopp i de vediska skrifterna. I en rad tillägg till de religiösa Rigveda-texterna, beskriver dåtidens matematiska auktoriteter hur matematiken skulle tillämpas vid religiösa byggen. Dessa tillägg går under namnet Sulba Sutras, och kan sägas karaktärisera den vediska matematiken som inriktad på och underordnad religionen. Därmed inte sagt att den vediska matematiken inte såg flera kunniga matematiker och banbrytande upptäckter - även under denna period fanns många verksamma och framgångsrika matematiker i det vediska Indien.

Till skillnad från senare matematiker under den indiska matematikens guldålder, som samlades i skolor kring framstående centralgestalter, fördes den vediska matematiken vidare inom ätter, från far till son. Dessa ätter sysslade med både astrologi och matematik, eftersom dessa under den vediska tiden hängde tätt samman. Men eftersom astrologin var en viktig del av religionen, var det mot slutet av den vediska perioden inte lätt att framföra nya tolkningar, eftersom dessa oundvikligen skulle strida mot något inom religionen. Istället fick matematiken större utrymme, eftersom det där var lättare att vara nyskapande: En ny matematisk teori kunde alltid accepteras, så länge den inte direkt motsade något inom astrologin.

De brahminska siffrorna stammar från den vediska perioden och är den första kända versionen av de indo-arabiska siffror vi använder idag. Huruvida de ursprungligen härstammar från Indusfolken eller från någon annan kultur och ifall de redan från början var siffertecken eller utvecklades ur förkortningar är höljt i historiens dimma.

[T]here can be no doubt that our decimal place-value system was born in India and was the product of Indian civilization alone."

- Georges Ifrah

Mot slutet av den vediska perioden började två andra religioner att växa: jainismen och buddhismen. Båda var väsentligt mer abstrakta, vilket erbjöd matematikerna både större frihet och nya områden. Medan buddhismen grundades vid denna tid, hade jainismen redan då gamla anor och en välutvecklad matematisk tradition. I likhet med hinduismen fanns inom jainismen ett intresse för höga tal, exempelvis delades tiden upp i perioder om 2⁵⁸⁸ år. Man drog dock en skiljelinje mellan det stora och det oändliga: Universum, exempelvis, saknade både början och slut. Men att räkna på oändligheter är både svårt och abstrakt, och i våra ögon förefaller den jainistiska indelningen i "oändligt i en riktning, oändligt i två riktningar, oändligt i area, allestädes oändligt och evigt oändligt" något ovetenskaplig. Intresset för det ändlösa gjorde ändå att de teorier de jainistiska matematikerna utvecklade inte skulle komma att överträffas förrän med den tyske matematikern Georg Cantor kring det förra sekelskiftet.

Jainismen är en av Indiens allra äldsta religioner och finns idag spridd över hela Sydostasien. I slutet av den vediska perioden, ca 500 f.Kr., började den ortodoxa hinduismen att ifrågasättas och religioner som jainismen och buddhismen blomstrade. Följde gjorde bland annat en stark matematisk utveckling. Här ses ett jainistiskt konstverk från 1900-talets Rajastan, som illustrerar en av religionens centrala principer: Att det inte finns någon fullständig sanning, utan att allting kan ses på olika sätt.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om matematikens historia på den indiska halvön. Här hittar du den andra delen.

Stomachion - Arkimedes lilla ruta

Det krävdes ett underbarn för att leva kvar till vår tid: Ett av få romerska barn vi känner till namnet är Quintus Sulpicius Maximus, vars gravsten kan beskådas ovan.

Historikern Mary Beard berättar historien om Quintus Sulpicius Maximus, ett romerskt underbarn och ett bland de många romerska barn som dog långt före sin tid. Vid endast elva års ålder deltog pojken i en poesitävling där han mötte vuxna medtävlare. Trots vitt spritt erkännande vann han inte tävlingen. Kanske blev besvikelsen honom allt för stor eller så drabbades han av en helt vanlig åkomma, för sådana var inte ovanliga i Rom. Oavsett vilket var han snart därefter död och hans gravsten, eller en replika av den numera, som fortfarande står att se vid Porta Salina i Rom, ger uttryck både för pojkens stora begåvning och föräldrarnas stora sorg. (Hela artikeln finns att läsa här.)

Men det krävdes kanske ett dött underbarn, ett poet död innan han han skriva något verk berömt nog att vinna ryktbarhet ända till vår tid, för att tränga igenom det faktum att antikens historia är de vuxnas historia. Sällan erbjuds vi en glimt av vad barnen hade för sig - livet som romerskt barn var ofta hårt och dessutom fört i skymundan. Uppskattningar säger att runt hälften av alla romerska barn dog innan sin femte födelsedag.

Även om det i den unge Quintus korta liv kanske inte fanns så mycket tid att avvara studierna för att leka, fanns säkerligen ljuspunkter även i en romersk barndom, men skildring av hur de antika barnen kunde leka kommer från en oväntad källa. 1998 köpte en anonym miljardär ett ovärderligt dokument från en fransk familj. Det mögelskadade dokumentet lånades därefter ut för undersökning på ett amerikanskt museum och visade sig vara en palimpsest, ett gammalt pergament som under medeltiden skrapats rent och återanvänts som bönebok. I sig var det inget udda, utan vad som gjorde dokumentet speciellt var vad som fanns under: Där fanns nämligen spåren kvar av en av Arkimedes böcker, som världen tidigare känt endast i fragment, Stomachion. (Prisa medeltida pappersåtervinning!)

En sida av palimpesten, med den medeltida skriften i horisontella rader medan Arkimedes text, redan avskriven i cirka fem led från sitt antika original, går att ana som vertikala skuggor i bakgrunden.

Att det fanns eller, rättare sagt, en gång hade funnits en sådan bok, det visste man om sedan tidigare, men experterna hade avfärdat den som ointressant eller till och med förfalskad. Stomachion var ett enkelt spel, en lek som antikens barn roade sig med, och gick ut på att från fjorton olika geometriska former bygga figurer - stomachion var, skulle man kunna säga, ett slags antikens svar på våra dagars lego, och den skicklige kunde skapa "en monstruös elefant, ett brutalt vildsvin, en flygande gås, en beväpnad gladiator, en hukande jägare eller en skällande hund". Därför misstrodde man verket, och frågade sig varför en stor man som Arkimedes skulle skriva en bok, låt vara en kort sådan, om en barnleksak. Boken passade helt enkelt inte in i hur man ville att Arkimedes skulle ha varit, vilket antagligen var anledningen till att man hade så svårt att erkänna dess existens.

Den italienska 1800-talsmålaren Niccoló Barabino föreställde sig Arkimedes döende i hans minst sagt storslagna arbetsrum, även om legenden, som bekant, meddelar att han föll offer för en förhastad romersk soldat. En så seriös och genialisk man borde ju rimligtvis inte ägnat sig åt en simpel barnlek, tyckte nog de experter som avfärdade bokens äkthet.

Spelet omnämns av flera senromerska skribenter, som bland andra den senromerske poeten Marcus Ausonius. Förutom det citatet ovan om spelets möjligheter, beskrev han spelet med orden "quod Graeci ostomachion vocavere", vilket på latin betyder "vilket grekerna kallar ostomachion". Om ordets etymologiska ursprung råder dock delade meningar: medan vissa hävdar att det kommer från det grekiska ordet "stomachos", som liksom engelskans "stomach" betyder mage, pekar andra på att trianglarna oftast tillverkades av ben, vilket på grekiska heter "osto", medan "machion" betyder militär kamp eller tävling (som grekerna verkar ha fört med minst lika stor seriositet).

Själva kallade romarna - och troligtvis även deras barn - spelet för "Loculus Archimedius", vilket ungefär betyder "Arkimedes lilla ruta". Det berodde på att spelet för den något äldre publiken hade andra regler: där gällde det istället att pussla ihop de fjorton bitarna till en kvadrat. Det var den här varianten, som antingen uppfanns av Arkimedes eller bara gjordes känd av honom, som kom att uppkallas efter honom, och den som hans bok utgick ifrån.

En mönstrad illustration av ett sätt att placera de fjorton bitarna så att de skapar en kvadrat.

I sin bok frågade sig Arkimedes hur många sätt man kunde lösa gåtan på, det vill säga på hur många vis de fjorton bitarna kan arrangeras, så att de bildar en perfekt kvadrat. Därmed föregick han ett helt område inom matematiken, nämligen kombinatoriken.

Mycket gjorde han, den gode Arkimedes - men frågan han hade ställt sig, lyckades han såvitt vi vet aldrig besvara, och de antika barnens lek förblev ett mysterium att förbrylla de lärda. Där kunde hela historien slutat, om det inte vore för att det finns exakt 536 lösningar. Men innan skulle dröja till vår - och datorernas - tid innan frågan fick sitt svar.

Bill Cutlers 536 lösningar till Arkimedes fråga. Klicka på bilden för att den skall bli stor nog att du kan se något. 

Med ren beräkningskraft (och lite flink programmering) kunde man helt enkelt pröva alla möjliga och omöjliga lösningar och komma fram till att de förstnämnda var exakt 536 till antalet (om man inte räknar alla vändningar och vridningar av lösningarna, för då blir de hela 17 152 stycken istället). Men kanske visste Arkimedes det, kanske räknade han på något finurligt sätt faktiskt ut hur många sätt pusslet kunde läggas på (för varför skulle han annars skriva en bok om det?) - kanske föll bara de sidorna offer för en ovanligt nitisk pergamentskrapande munk. Det lär vi aldrig få veta.

Här kan du för övrigt prova att lösa den gåta som förbryllade antikens människor och stuva in bitarna på något av de sjutton tusen sätten - eller varför inte hitta ett helt eget?

Den sjätte rumsdimensionen: En resa dit och tillbaks igen

En kvasikristallin struktur i en zink-mangan-holmium-kristall med tiofaldig rotationssymmetri.

År 2011 belönades Dan Shechtman med Nobelpriset i kemi för upptäckten av kvasikristaller, som paradoxalt nog kombinerar egenskapen att kunna fylla vilket område som helst med att aldrig upprepa sig. Motståndet mot Shechtmans upptäckt var därför länge mycket starkt, och upptäckten ansågs omöjligtvis kunna vara sann. Intuitivt måste en kristall vara regelbunden och se likadan ut överallt – vilket kvasikristaller inte gör. Enligt all föregående vetenskap kunde kristaller ha två-, tre-, fyra- och sexfaldig rotationssymmetri, eftersom det tillåter mönstret att upprepas i det oändliga. Shechtmans kristaller hade istället fem- och tiofaldiga rotationssymmetrier.

Forskarvärldens lösning på problemet blev istället att kristallerna utgjorde projektioner av flerdimensionella strukturer – att kvasikristallerna var regelbundna i fyra, fem eller sex dimensioner, men att de förlorade den egenskapen om man ritade av eller beskådade dem i två eller tre dimensioner. Enligt en sådan tolkning pekar därför kvasikristallerna mot existensen hos fler dimensioner än vad vi kan förnimma.

Om flerdimensionella, regelbundna former avbildas i två dimensioner, kan ett oregelbundet mönster uppstå. Bilden visar en sexdimensionell kub (vad skulle vi göra utan datorer?) projicerad i två dimensioner, och mönstret har stora likheter med  kvasikristallfotografiet ovan. (Se t. ex. den här filmen för fler flerdimensionella kuber.)

Den kittlande tanken, att det kanske finns fler dimensioner än vi kan se, har inte bara inspirerat forskare - för var någonstans drar sig häxorna, tomtarna och trollen tillbaka, just som man en gång för alla skall upptäcka dem? Även mer seriösa personer, än de om övernaturliga dimensioner fabulerande berättarna, har funnit inspiration i detta oanade sätt att höja sina uttryck över vår alldaglighet. Det svårgripbara, imaginära och extraordinära har blivit ett kännemärke för den samtida matematiken såväl som konsten och arkitekturen.

En parisisk arkitekttävling vanns år 1982 av två danskar. Deras förslag var en fyrdimensionell kub i kolossalformat, avsedd som förlängning på den historiska axeln från Louvren via Tuilerierna till triumfbågen ut till La Défense. De många dimensionerna skulle symbolisera mänskligheten, för att uppväga den traditionella triumfbågens militarism.

En fyrdimensionell kub, i tre dimensioner på en tvådimensionell datorskärm, stoltiserar med av säkerhetsskäl stängda hissar i La Défense i Paris.

Men hur är det möjligt att i det hopplöst tredimensionella Paris bygga en fyrdimensionell byggnad, magi och revolutionerande dansk teknik till trots? Svar: Kuben är naturligtvis en projektion. Liksom en tredimensionell kub kan avbildas på ett tvådimensionellt papper, går en fyrdimensionell kub att avbilda i tre dimensioner.

Vad kuben, om man nu får kalla den för det, visar, bortsett från konstnärlig-filosofiska tolkningar om mänsklighet och humanitet, är att en fyrdimensionell kub har tredimensionella väggar, precis som en tredimensionell kub har tvådimensionella sidor. Från varje hörn utgår fyra kanter - precis som det utgår tre från varje hörn i en tredimensionell kub och två i en tvådimensionell kub, som av någon anledning brukar benämnas kvadrat. Vad den parisiska 4D-kuben är mindre bra på att visa, är att varje kant skiljs åt av räta vinklar mot alla andra kanter som utgår från samma hörn - och den bristen är väl förlåtlig, för hur skulle man i tre rumsdimensioner kunna visa något sådant?

En häftig, animerad och huvudbrysorsakande tesserakt, som en fyrdimensionell kub egentligen heter, rykande het direkt från Harvard.

Arkimedes - en badare till matematiker

 Trots hårt motstånd, i vilket Arkimedes spelade en avgörande roll, blev Sicilien till slut en självklar och välintegrerad del av det romerska riket. Här ses ruinerna efter den romerska amfiteatern.

Den sicilianske författaren di Lampedusa skrev en gång, att Sicilien var Antikens Amerika, för så många emigranter lockades dit från Grekland av de bördiga flodslätterna, av handeln och av naturresurserna. Många flydde undan politiska förluster, för Greklands politiska system, om än hem åt många tidiga demokratier, var inte barmhärtigt mot sina förlorare; andra flydde undan svält och armod, och ytterligare många flydde undan det persiska rikets expansion in i Jonien, på dagens Turkiets västkust. Många namnkunniga greker följde dessa strömmar västerut, paradoxernas Zenon flyttade till Elea och Pytagoras till Kroton, men Sicilien födde också egna genier, varibland den kanske allra mest berömde var Arkimedes.

Den tankfulle Arkimedes, målad år 1620 av Dominico Fetti, visar antikens stormästare i ingenjörskonst, tillika mästare i matematik och logik, djupt försjunken i tankar.

Vi får föreställa oss Arkimedes värld som den antika grekiska världen stadd i obönhörlig förändring, där de grekiska statsstaterna steg för steg tappade sitt självstyre, krigen gjorde livet hårt för alla, men i synnerhet de små städer, som fick se sin självständighet och sina medborgares liv gjorda till brickor i ett spel mellan större stater och förbund, medan senhellenismens kultur gradvis avlägsnat sig från den klassiska kultur vi vanligen förknippar med det antika Grekland. Sicilien var delvis förskonat det egentliga Greklands öde, men var närmast i konstant krig, antingen inbördes eller placerat, som det var, strategiskt, lukrativt och åtråvärt mitt emellan den gamla sjöstormakten Karthago och det snabbt växande Rom.

Många av Arkimedes texter känner vi från en bönbok från 1200-talet, upptäckt år 1904 av en dansk i Konstantinopel, där man skrapat bort gammalt bläck för att återanvända pergamentet, som på medeltiden var mycket dyrt. Med hjälp av modern teknik har man lyckats läsa vad som stått skrivet i boken innan den barskrapades, så att säga, och flera till av Arkimedes texter fick då se dagens ljus. Texten på palimpesten, som den kallas, förtäljer, bland mycket annat, om en matematisk upptäckt som torde kastat nytt ljus på Zenons paradox, den om Akilles som inte kunde springa ifatt sköldpaddan, liksom kan ses som en tidig viskning om de integraler som inte komma skulle förrän på 1600-talet, ganska så exakt tvåtusen år efter Arkimedes tid.

Arkimedes föreställde sig en parabel, som skurits av av en rät linje, kordan. I den form som bildades, ritade han in en triangel på det sätt som visas i figuren - där triangelns topp befann sig rakt ovanför kordans mitt. Triangelns båda kortsidor, de som inte är den ursprungliga kordan, bildar nya kordor, på vilka satsen kan appliceras på nytt. Om man gör om denna operation oändligt många gånger, torde dessa oändligt många trianglar till slut täcka hela arean, och det går att bestämma förhållandet mellan den första triangelns och hela formens areor.

Om man ansätter att den första triangeln har arean 1, så kommer de två mindre att ha en åttondel av den första areans, eller tillsammans en fjärdedel. Om man bara mäter i horisontalled, det vill säga, längsmed projektionen på x-axeln, så är basen hälften av samma sorts bas hos den första triangeln, eftersom vi konstruerade den så. Genom att använda parabolens egenskaper kunde Arkimedes bestämma att höjden i de små trianglarna är en fjärdedel av den första triangelns höjd, något som blir väsentligt enklare om man använder moderna metoder och sätter in parabeln (som definieras av att de har ekvationer på formen y=ax²+bx+c) i ett koordinatsystem. (Arkimedes egen uträkning, i engelsk översättning, finns på den här sidan. För en härledning på svenska och med moderna matematiska metoder, klicka på bilden längst ned i inlägget.)

Dessa mindre trianglar, som därför har höjden ¼ av grundtriangln och halva bredden, får en åttondel av grundtriangelns area. Eftersom de är två stycken, får andra "generationens" trianglar den sammanlagda arean av ¼ av den förra "generationens" area, eller, med andra ord, om man summerar alla dessa trianglar, börjar man med 1, för den första triangeln, och sedan ¼ för de två i den andra "generationen", och sedan en sextondel för de fyra trianglarna i tredje "generationen", som vardera har arean en sextiofjärdedel. Om man fortsätter i oändlighet får man en serie med oändligt många tal, vardera en fjärdedel av det föregående, och hela parabelns area är täckt.

Detta är vad vi moderna människor skulle kalla en geometrisk summa, och med moderna metoder är det enkelt att använda den geometriska summaformeln, och få reda på att svaret är ¾, d.v.s. att parabolbitens area är fyra tredjedelar så stor som grundtriangelns area, eller vice versa, att grundtriangeln täcker tre fjärdedelar av parabolbiten. Arkimedes, å andra sidan, stred i motvind; dels hade han inte summaformeln att tillgå, och dels trodde många, liksom Zenon, att en oändlig talserie inte kunde ha en ändlig summa.

För att ändå visa, att så var fallet, uppfann Arkimedes en snillrik geometrisk konstruktion, en kvadrat, som han delade i fyra delar. En del av dessa fylldes i för att representera den första fjärdedelen i serien, två lämnade han tomma, och den sista delade han på nytt i fyra delar, där en fylldes i för att representera den andra fjärdedelen i serien, två var tomma, och den sista ytterligare en gång delades, och så fortsatte han. På varje ifylld fjärdedel gick tre tomma, och alltså måste serien en fjärdedel + en sextondel + en sextiofjärdedel och så vidare vara lika med en tredjedel. Eftersom serien började med en etta, för den ursprungliga triangeln, måste svaret vara fyra tredjedelar, och en oändlig serie hade en ändlig summa.

Men det kanske mest användbara av Arkimedes bidrag till matematiken, är hans arbete på att förfina värdet på pi, och att finna en av dess allra bästa användningsområden: formeln för en cirkels area, π r². Arkimedes insåg nämligen, att man kunde skära upp en cirkel på så sätt, att den blev till en rätvinklig triangel, med radien som sin höjd och omkretsen som bas. Genom sina tidigare arbeten, där han bland annat inskrivit cirklar i 96-hörningar och 96-hörningar i cirklar, kände han till formeln för omkretsen,
2π r, och kunde lätt bestämma att arean måste vara (2π r∙r)/2 vilket är lika med just π r².

Den kanske allra mest berömda anekdoten, berättar om hur kung Hieron - som beställt en guldkrona av en juvelerare, men misstänkte att han blivit bedragen - gav Arkimedes i uppgift, att bestämma ifall guldkronan verkligen bestod av solitt guld. Historien förtäljer, såsom som den romerske arkitekten Vitruvius återger den, att Arkimedes låg i badet när han plötsligt fick en snilleblixt, som lärde honom, att ett föremål nedsänkt i vatten tränger undan vatten i förhållande till sin volym, och därefter var det en enkel sak att bara väga kronan och undersöka, om densiteten var den rätta. Simpelt, måhända, men ack så effektivt. Och det lär vara efter den upptäckten han utropade "Heureka!", "Jag har funnit det!", och sprang naken genom Syrakusas gator - för som varje sann antik människa, var det nog på det publika badhuset han badade, och då var det ju klart att han fick bråttom hem för att fortsätta sina experiment.

Arkimedes i badet har blivit en omtyckt symbol för uppfinningsrikedomen, här på ett träsnitt från femtonhundratalet - då publika badhus avskaffats och folk börjat bada i trätunnor istället!

Efter den gamle kung Hierons död, blev Syrakusas politiska lojaliteter mycket mer oklara, och staden verkade byta fot från att stödja romarna, till att ställa sig på Karthagos sida. Rom bestämde sig för att förhindra att staden anslöt sig till ärkefienden, och belägrade år 214 f.Kr. staden under generalen Marcus Claudius Marcellus.

Arkimedes byggde en mängd finurliga konstruktioner, för att jaga iväg romarna, däribland apparater som sköt skurar av småsten genom skottgluggar, en klo som kunde lyfta anfallande skepp och sedan släppa ner dem i havet igen så att de sjönk och en rad brännspeglar för att tända eld på skepp ute till havs, de sistnämnda anses tyvärr mer legendariska än sanna. Det sägs till och med, att de romerska soldaterna blev så rädda, att de flydde var gång de såg en bjälke eller ett rep sticka över stadsmuren, medan Marcellus insåg hur värdefull Arkimedes skulle kunna vara i det krig mot Karthago, som alla visste skulle komma, och gav order om att Arkimedes skulle fångas levande.

En renässanskonstnär vid namn Giulio Parigi tog beskrivningen av skeppsklon som en järnhand högst bokstavligt. Genom åren har många spekulerat i hur Arkimedes gick till väga för att sänka skeppen och kommit fram till flera förslag, både vettiga och fantasifulla, några av vilka finns på denna länk.

Till slut blev dock romarnas belägring för mycket för syrakusanerna, för trots Arkimedes alla sinnrika maskiner kunde inte staden hålla stånd mot det växande romarrikets makt - Siciliens strategiska placering mitt i Medelhavet var alltför åtråvärd. Legenden bjuder, att när romarna bröt in i staden och blodbad utbröt, satt Arkimedes och ritade i sanden, kanske på en ny försvarsmaskin som åter skulle vända krigslyckan, eller på ett nytt banbrytande matematiskt bevis. När han hörde en romersk soldat komma, utropade han "Rubba inte mina cirklar!" Soldaten greps av vredesmod och stack ned den trotsige gamle mannen, utan att först fråga efter hans namn.


Och så, förresten, var det ju den där höjden i den andra triangeln som var en fjärdedel av den första triangelns. Min uträkning till varför det blir så finner du om du klickar på bilden här bredvid.

Legenden om Pythagoras i smedjan

Fjodor Bronnikovs målning av pytagoréernas solkult är visserligen mer samtida med oss än med motivet, men fångar ändå den mysticism som gjorde Pythagoras populär.

Enligt en antik legend gick matematikens fader tillika mystikens mästare, Pythagoras från Samos, en dag förbi en smedja, där fyra smeder stod och arbetade. Med sina hammare slog bearbetade de metallen, genom att gång på gång slå på den.

Pythagoras lärde som bekant att "allt är tal", eller att tal finns i allt. Att de finns i vanlig materia, som kan mätas, vägas och delas, passade in; vad som fattades var akustiken. Det fanns ljusa och mörka toner, dissonans och assonans, men passade ändå inte in i matematiken. I dessa tankar var Pythagoras tvungen att stanna och lyssna. Var och en av smederna arbetade i sin egen takt, och deras åhörare fick sålunda höra många olika kombinationer av dessa fyra hammares toner. Dessa var inga vanliga smeder; inte nog med att de var antika grekiska smeder, hade de fyra speciella hammare. Den första hammaren var tung, medan den andra var exakt tre fjärdedelar så tung som den första. Den tredje var två tredjedelar och den sista var bara hälften så tung. I tolftedelar förhöll de sig till varandra med tolv till nio till åtta till sex; Pythagoras snilleblixt var att tonhöjden på klangen som slaget gav upphov till varken berodde av vart på metallen smeden slog eller hur hårt slaget var, utan på hammarens tyngd. Pythagoras, som vid det här laget antagligen redan betraktades som lite udda, hade nämligen mätt alla de fyra smedernas hammares tyngd.

Ett träsnitt från Theorica musicae av Franchino Gaffurio, 1492, visar Pythagoras experiment fast med två snören mer än vad legenden har berättat oss; här jämför han tonen från tolvvikten med den från åttavikten.

Pythagoras gjorde vad alla antika genier verkar ha gjort; han sprang överlycklig genom stadens gator tills han kom hem och kunde fortsätta sina experiment. Han förberedde ett bord över vilket han spände fyra trådar, där vikterna motsvarade hamrarnas vikter. Han kunde därvid bara bekräfta vad han upplevt när han lyssnat på smederna: Bara en kombination lät falsk, den mellan åtta och nio. Varför?

När Pythagoras slog på den mest och den minst spända strängen samtidigt, var förhållandet mellan dem sex till tolv, eller jämt ett till två, frekvensen på ljudet från den mest spända strängen var dubbelt så hög som det från den minst spända; idag vet vi vad Pythagoras inte visste: ljudvågorna går i takt. Skillnaden mellan den översta och den nedersta tonen var alltså en oktav; 2:1.

Mellan den mest spända och den näst minst spända var förhållandet tolv till åtta, eller tre till två. Återigen gick ljudvågorna i takt med varandra och återigen blev tonen jämn, klar och harmonisk. Mellan den mest spända och den näst mest spända blev förhållandet tolv till nio, eller fyra till tre, och mellan den minst spända och den näst mest spända blev det sex till nio, återigen tre till två. Alla dessa var fina, jämna bråktal, och alla hade de primtal som både nämnare och täljare. Inte undra på att Pythagoras ansåg sig ha funnit bevis på att matematisk skönhet och harmoni låg bakom musikens, och i synnerhet att de rationella, geometriska talen var världens sanna gudomligheter, även musiken passade in i den pythagoreiska världens harmoni.

Jokern i leken var den sista kvarvarande kombinationen, den mellan åtta och nio. Inte längre var det ett lika fint, jämnt bråk, om än fortfarande inte ett irrationellt tal, som pytagoréerna senare skulle få drabbas av (läs mer i detta inlägg). Men pytagoréerna var ett hemligt sällskap, som inte gärna spred sin kunskap till gemene man. De viktigaste texterna höll man i minnet, och det som skrevs ned hölls strängt oåtkomligt för oinvigda. Allteftersom dog dock de pythagoreiska mästarna, och Corpus pythagoricum, som deras samlade texter kommit att benämnas, kunde sammanställas. Kanske är det just att de var ett hemligt sällskap vad som har gjort eftervärlden så intresserad, och deras många upptäckter och egenartade legender som har övertygat de flesta om att historien är värd att bevara.

Legenden om dagen då Pythagoras råkade passera förbi smedjan nedtecknades först mer än ett halvt millennium efter mästarens död, av Nikomachus av Gerasa. Torget i hans hemstad, den romerska staden Gerasas, står fortfarande att se – strax invid ligger den moderna staden Jerash, i dagens Jordanien.

Under Jörg Syril den äldres trästaty av Pythagoras där han fortfarande sitter i Ulmkatedralens kor, som han gjort sedan 1400-talets slut kallas matematikens fader istället för Inventor Musicae, eller musikens uppfinnare. Och hans fyra toner lever än; den pythagoreiska skalan skrivs idag som tonerna c, e, f och a, som fortfarande ljuder med sfärernas harmoni.

Insekter med matematiska insikter

På sin resa till Nordamerika, blev Carl von Linnés apostel Pehr Kalm, född och uppvuxen i Ångermanland och med ett vetenskapsintresse från universitetet i Åbo, vittne till ett märkvärdigt, och matematiskt naturfenomen. År 1747 hade han lämnat Göteborgs hamn på väg mot "Norra America" via England, för att kartlägga vilka arter som stod att finna i den nya världen. Bland alla de träd och växter som Kalm tog med sig hem, fanns troligtvis en beskrivning av en märklig sorts cikada. Visserligen var Kalm inte först med att observera arten, i synnerhet inte om man räknar med alla de indianer som genom åren levat sida vid sida med den, men det var tack vare honom som Linné kunde ge den dess namn, Cicada septendeci, eller, i fri översättning, sjuttoncikadan. Även om den har fått ett extra Magi pålagt på sitt förnamn, och följaktligen numera heter Magicicada septendeci, kvarstår både det särskiljande efternamnet, och det särskiljande beteendet.

Magicicada septendeci fick sitt efternamn, som på latin betyder just sjutton, av Linné, efter att hans apostel Pehr Kalm hade observerat artens märkvärdiga beteende.

I sin bok "En Resa til Norra America" gav Kalm dock aldrig någon beskrivning av den märkliga cikadan, även om han hade många andra märkvärdiga historier att berätta; som om den svensk, vilket Kalm är noga med att poängtera, som kommit på ett effektivt sätt att rensa sin flodstrand från bisamråttor. Med brinnande svavel och täppta ingångar var det bara att gräva upp de döda bisamråttorna som låg där inne. Inte nog med att personen i fråga slapp problemet med djuren, han fick även inkomsten från skinnen. Som tur är, skulle nog de flesta säga idag, kom den effektiva metoden inte på modet, och bisamråttan är fortfarande utbredd över större delen av jordklotet; dock inte i Sverige - kanske var vi lite väl uppfinningsrika.

Men det beteende som gör det faktum att Kalm inte nämnde cikadorna i sin bok förvånande, är deras cyklicitet - tillsammans med sex andra Magicicada-arter dyker sjuttoncikadan upp med jämna intervall - fyra arter på sjutton år, tre på tretton.

Året innan utbrottet sker, kan man se att vegetationens tillväxt minskar: det är larverna som äter på rötterna. När dessa larver sedan kläcks, översvämmas området med cikador. Cikadorna äter på löven, parar sig och lägger ägg innan de dör; nästa generation dyker upp tretton eller sjutton år senare. De döda cikadorna ligger kvar på marken, där de återför den näring till jorden som de tog som larver.

Den här cikadan kommer från norra Illinois, där cikadorna dyker upp vart sjuttonde år - nästa gång år 2024.

Men det är ändå aningen märkvärdigt, att både 13 och 17 är primtal; och om nu cikadorna är beroende av primtal, så varför duger inte fem, sju eller elva, eller nitton, tjugotre, tjugonio eller trettioett?

Forskarnas teori är att cikadornas primtalscyklicitet är ett sätt att undvika andra djur - de allra flesta djurpopulationer är nämligen cykliska, satta i självsvängning av tillgång till mat och mängden rovdjur. När mattillgången blir mindre sjunker antalet individer, som minskar påfrestningarna på matkällan, som då ökar, för att återigen tillåta expansion i de konsumerande arternas populationer, och följaktligen kommer en primtalscyklisk cikadafalmilj att sammanfalla med rovdjuren minst antal gånger, eftersom endast rovdjursarter med cyklicitet på en multipel av 13 eller 17 kan utgöra något långvarigt hot mot cikadabeståndet. Ingen vanlig fågelart kan, hur mycket de än skulle vilja, äta alla cikadorna under ett cikadaår, och varje fågelart som försöker anpassa sitt bestånd efter cikadorna kommer säkert att vara död och begraven innan nästa cikadageneration kläcks; därför måste också tiden mellan generationerna vara lång nog - så att rovdjuren hinner anpassa sitt antal till ett liv utan cikador, men också kort nog, att tillräckligt många ägg överlever i marken, varför primtalen 13 och 17 verkar vara de optimala. Ehuru grym för det mesta, och ibland på samma gång, så är naturen visst ganska finurlig ibland?

Cikadorna kan minst sagt bli många, här tycks de ha tagit en hel rad buskar i besittning. Foto: Arthur D. Guilani.
För en närbild av en sjuttonårscikada, se den här bilden, som jag av, hm, estetiska skäl valt bort att ta med.

Tio siffror i nästan två tusen år

Ett träsnitt från 1508 visar konkurrensen mellan det nya och det gamla sättet att räkna. De praktiskt placerade namnskyltarna anger karaktärerna som Boethius till vänster och Pythagoras till höger; trots att Boethius som dog på femhundratalet e.Kr. troligtvis aldrig ens hörde talas om indiernas nydanande symboler.

Medeltidens européer kände bara till ett talsystem, det romerska. Problemet var att det begränsades av att ha utformats efter vad som en gång hade varit romarnas matematiska behov och saknade enkla sätt att skriva noll, negativa tecken och bråktal. Potenser och exponenter, liksom plus- och minustecken fick skrivas med bokstäver, och matematiska beräkningar och bevis såg följaktligen mer ut som romaner än som vetenskap.

Medeltidens lärde hade förgäves försökt åtgärda det problemet, men resultatet blev en översvämning av tecken och förkortningar med vilka det romerska talsystemet skulle utvidgas och snart förstod ingen någonting alls. Inte nog med att de var många, utan förkortningarna var ofta långt ifrån entydiga: A kunde likaväl betyda fem som femhundra, K etthundrafemtioett likaväl som tvåhundrafemtio. Vissa matematiker hade försökt sig på att räkna med noll – och därför stod N för nulla, men N användes redan för nittio, från latinets nonaginta. Inte undra på att bankirerna fortfarande räknade på abakus – enkelt och otvetydigt, kan tänkas, men dessvärre även långsamt och allt mer omständligt. Ekonomin växte, handelskonstruktionerna blev mer komplexa och fler finansiella instrument tillkom under renässansen. Bara i sig innebar den ökade handeln inom ett Europa med lika många mynt- och måttsystem som städer och landsdelar stora mängder komplicerade beräkningar med många decimaler och restposter.

Svaret på Europas problem låg i Orienten. Med bättre kommunikationer och ökad efterfrågan efter österns lyxvaror bland Europas rika, kom de europeiska köpmännen i kontakt med de arabiska, och även med deras sätt att föra räkenskaper.

Renässansens Italien hade täta kontakter med Orienten - handeln över Medelhavet var en av de viktiga motorerna i Europas ekonomi, och kulturutbytet stod inte långt efter. Tillsammans med guld och siden kom från Orienten även ny matematik, vetenskap och kunskap. Även kyrkan ville gärna vara med, den här målningen av Gentile Bellini visar den antike evangelisten Markus predikande för en samling handelsmän från både öst och väst, glatt konverserande.

Bakom revolutionen låg sonen till en italiensk tulltjänsteman i Bugia, eller Béijaïa i nuvarande Algeriet. Hans namn var Leonardo Pisano Bigollo, men mer känd har han blivit under namnet Fibonacci. Från de arabiska köpmän som hans far arbetade med fick den unge Fibonacci lära känna en helt ny värld av matematik – matematik som var mycket bättre lämpad för att räkna på vinster, förluster, kostnader och räntor. Men det här var matematik som baserade sig på ett helt annat talsystem, ett där man använde tio helt nya siffror, 0 till 9, och där siffrorna dessutom fick helt olika betydelser beroende på hur de stod i relation till varandra.

Foulkaporten i Béjaïas stadsmur, staden där Fibonacci växte upp och lärde känna de arabiska handelsmännens matematik.

Medan Europa fortfarande räknade med I, V, X, L, C, D och M, och hela den djungel av ytterligare bokstäver som medeltidens matematiker lagt därtill, utvecklade Fibonacci ett helt nytt sätt att räkna. Han blev stormförtjust och skrev i sin bok Liber Abaci att till och med den store Pythagoras matematik framstod som ett misstag i jämförelse med indiernas sätt att räkna. I sin bok använde han därför det nya systemet och med en rad exempel, kanske mest intressant vikt- och måttomräkning, ränteberäkningar och valutaväxling, visade han hur lätthanterligt och smidigt det var.

Fibonaccis bok togs väl emot av Europas vetenskapsmän och bankirer, men det fanns en grupp som inte riktigt delade de andras fascination. Det nya talsystemet hade nämligen ett stort fel:
När bankirerna gjorde alla sina beräkningar på abakus kunde man som kund se på och till och med förstå vad bankirerna gjorde. Den kund som såg att bankiren fuskade, kunde se till att få banken i bankrutt – rent bokstavligt, för en ohederlig bankir kunde få sitt bord sönderslaget, på latin banca rupta. Nu, med de nya siffrorna, satt bankirerna och ritade rader av små krumelurer på ett papper, figurer som ingen tidigare ens hade sett, och än mindre kunde förstå. Återigen visar språket historiens spår – det är inte någon slump att orden siffra och chiffer är så lika, för de kommer nämligen från samma ord, arabiskans al-sifr, från samma tid, senmedeltiden, och från samma strid, de som var för och de som var emot det nya systemet.

Både de som tvivlade och de som entusiastiskt omfamnade det nya systemets möjligheter hade helt rätt. Medan det nya systemet öppnade för mer handel, snabbare transaktioner och slutligen även bättre levnadsstandard, innebar det också mer pengar åt bankirerna, som inte var sena att omvandla dem till makt. En hel rad av Europas namnkunniga adels- och kungaätter gjorde sin entré under den här tiden: Mest berömd av dem alla kanske just Medicifamiljen, men även familjen Grimaldi, som idag fortfarande regerar i Monaco, och många fler hade senmedeltidens och renässansens samhällsomvälvande matematik att tacka för sin makt.

Huset Medici blev rikt och mäktigt genom den ökade handeln i Italien under medeltidens slut som också slutligen gjorde det romerska talsystemet för kraftlöst för den nya tidens ekonomiska och vetenskapliga beräkningar. Här är portalen som en gång satt på en av Medicifamiljens banker, numera på muséet för antik konst i Milano. Foto: Stefano Stabile.

Men redan på tolvhundratalet hade de indisk-arabiska siffrorna en lång historia, och varken Fibonacci eller de arabiska handelsmännen visste troligtvis varifrån de kom. Idag tror vi oss faktiskt veta, för svaret ligger gömt i en text skriven på björknäver med anor från trehundratalets Indien. Idag kallas den texten för Bakhshalimanuskriptet, och den återupptäcktes först under sommaren 1881 i närheten av en by med samma namn i dagens Pakistan. Manuskriptet är en kopia från någonstans omkring 800- eller 900-talet av ett ännu äldre manuskript – kanske så gammalt som från etthundratalet före Kristi födelse, men de flesta forskare brukar datera det till omkring just 300-talet e.Kr.

Vad man upptäckte när man började läsa texten var i huvudsak en handbok i algebra och aritmetik. Utöver att manuskriptets stil är förvånansvärt rättfram och ordnad, med vissa delar skrivna i prosa och med tydliga teser och exempel till skillnad från senare antik indisk matematik, så anses Bakhshalimanuskriptet ofta vara det första exemplet på användning av siffran 0 i den form den senare skulle komma till vår sida av världen. (Siffran noll i sig hade dock funnits i andra versioner långt tidigare, inte minst berömt är att den orsakade pytagoréerna mycket huvudbry.)

De indoarabiska siffrorna i vardande, på det sätt de skrevs i det mellan ett och två tusen år gamla Bakhshalimanuskriptet. Redan kan en europé känna igen några av tecknen.

De indiska matematikerna använde siffran noll och ansamlade med dess och de övriga nio siffrornas hjälp en ansenlig kunskap på astronomins område. Troligtvis var det de indiska matematikernas skicklighet inom astronomin som inspirerade den nestorianske biskopen Severus Sebokht – som år 662 omnämnde de indiska siffrorna – till hans jakt på ett effektivt sätt att beräkna påskens datum.

Vi vet egentligen inget om hur spridda de indiska siffrorna var vid det här laget, men enligt en historia som medeltidskrönikören Ibn al-Qifti har att berätta, så kom det år 776 en indisk matematiker till den abbasidiske kalifen al-Mansurs hov i Bagdad. Den indiske matematikern visade kalifen hur lätt man kunde beräkna halvkordan (en variant av sinusfunktionen) med hjälp av de nya siffror, som han fört med sig från Indien. Kalifen blev så förtjust att han beställde en översättning av den indiska boken till arabiska, så att hans undersåtar kunde lära sig det kraftfulla verktyg han själv just hade fått ta del av. Under elvahundratalet kom den arabiska översättningen i händerna på en ung och nyfiken italienare – just det, Fibonacci – och genom honom spred sig siffrorna vidare till resten av Europa. Resten är, så att säga, historia.

Den här framsidan på en bok i aritmetik från 1549, angivet med romerska siffror, visar det första bevarade exemplet på de nya siffrorna i den form och ordning som de kom att få i Europa; och med européerna följde de till resten av världen.