Del 1: Talsystem och matematik i bronsålderns Grekland

Trots att det grekiska talsystemet användes av de flesta av antikens mest namnkunniga matematiker - Thales, Pytagoras, Euklides, Eratosthenes, Aristoteles och Arkimedes - kommer det ofta i skymundan av sin romerska motsvarighet. För den praktiskt lagde må de två talsystemen kanske vara sak samma, för även om de är olika varandra är de lika hopplöst trassliga i jämförelse med det indo-arabiska. Men, å andra sidan, varför låta något sådant fördärva en god historia?

Sir Arthur Evans upptäckte och namngav den minoiska kulturen, som blomstrade på Kreta under den grekiska bronsåldern och skapade ett av Greklands äldsta kända skrift- och talsystem. Ännu fri från den moderna arkeologins skrupler, satte Sir Arthur Evans efter att ha upptäckt palatset på Knossos - en gång den minoiska kulturens epicentrum - igång med att återuppbygga det. Hur nära sanningen han egentligen kom lär vi aldrig få veta, men det är förstås inget som bekommer vare sig turistnäring eller fantasi. Foto: Aviad Bublil, CC-BY-SA 3.0

Det äldsta skriftspråk som utvecklades i den egeiska övärlden kommer från det minoiska folket, som en gång bebodde Kreta, och som under numer berömda former upptäcktes av den engelske arkeologen Sir Arthur Evans. I egentlig mening var Evans inte Knossos upptäckare, men blev år 1900 den förste att genomföra utgrävningar på den plats som kom att göra honom berömd.

Innan hustrun Margarets död hade Evans kommit över en inskription på ett okänt språk. Redan när han landsteg på Kreta 1894, hittade han tydliga spår av samma språk och kunde konstatera att han hittat inskriptionens ursprung. Men att låta upptäckten leda till utgrävningar var dessvärre inte möjligt, eftersom Kreta vid tiden tillhörde det ottomanska riket, som med avsikt att hindra utgrävningar krävde att arkeologerna först köpte hela området för ett mycket högt satt pris. Konstruktionen, känd som firman efter det dekret som krävdes för att få tillstånd för utgrävningar, hade flera gånger tvingat arkeologer att tomhänta återvända hem, bland dem Trojas och Mykenes upptäckare Heinrich Schliemann.

Efter att ha besegrat en Venedig och Nederländerna 1649 förblev Kreta en del av det ottomanska riket i nära 250 år. Först när ottomanerna drog sig tillbaka släpptes de regler, som i princip innebar ett förbud mot arkeologiska utgrävningar. Upptäckten av den minoiska kulturen, dess konst, dess byggnader men kanske främst dess språk och sedermera även dess talsystem, följde kort därefter. Denna tavla målades sju år efter slaget av den vid tillfället trettonårige Abraham Beerstraten.

Efter att de sista ottomanska trupperna fyra år senare lämnat ön, stod det Evans slutligen fritt att påbörja sina utgrävningar. Det visade sig snart att det mystiska språket hörde hemma i en tidigare okänd civilisation, som Evans namngav den minoiska kulturen, som genom sitt uttrycksfulla formspråk, mystiska ursprung och plötsliga undergång alltsedan dess har fascinerat såväl forskare som allmänhet. Det minoiska språket, som nedtecknades med Linear A-alfabetet, saknar levande släktingar och har förblivit odechiffrerat, något som minst sagt bidragit till det minoiska mysteriet.

Med siffrorna är det turligt nog något bättre ställt. Eftersom den huvudsakliga uppgiften för skriftspråket vid den här tiden var affärsöverenskommelser, innehåller de flesta kända fragment på ett eller annat sätt siffror. Från fragmenten framträder en bild av ett talsystem, som inte så överraskande har stora likheter med det egyptiska, som minoerna redan på tidigt stadium förde handel och hade kulturutbyte med. Liksom det egyptiska talsystemet hade det minoiska siffertecken för 1 (ett vertikalt streck), 10 (en prick), 100 (en ring) och 1000 (en ring med streck).

Linear A-inskriften från Hagia Triada verkar vara en bokföringslista från vinhandeln. På raden längst ned, från vänster till höger, finns först två tecken, som enligt nuvarande teori skall utläsas ku-ro, som ofta användes i räkenskaper och troligtvis betydde summa. Därefter kommer en ring, tre prickar och ett L-liknande vinkeltecken. Dessa är själva siffertecknen - ringen betyder hundra, prickarna betyder vardera tio och vinkeln en halv. Summan i fråga är alltså 130,50. Om det sedan är volym, pris eller något helt annat, får antas underförstått om man bara hade förstått resten av texten.

De minoiska enheterna baserade sig på storleken på förvaringskärlen, de så kallade pithoi. Ett sådant kärl rymde ungefär 30 liter, så de minoiska enheterna var följaktligen ganska stora. Därför var det nog inte så sällan som man ville ha en halv, en åttondels, eller kanske just hundratrettio och en halv amfora vin och för det krävdes ett ganska märkvärdigt matematiskt grepp: bråkräkning.

Återigen är det likheten med det egyptiska talsystemet som är mest slående, de som bland annat använde bråkal för att lösa några av världens äldsta andragradsekvationer. I likhet med sina sydliga handelspartners använde sig minoerna nämligen endast av bråk med 1 som täljare. Genom att addera dem med varandra och med heltal kunde man konstruera alla rationella tal, vilket var allt den tidens människor kände till.

Från vinkeln, tecknet för en halv som i exemplet om vinhandeln, gick minoerna vidare och skapade fler tecken för bråktal - endast några få av dessa är kända för oss. Bland annat kunde man konstruera tecknet för en fjärdedel genom att vända på vinkeln, och drog man sedan ett streck rakt över, så att tecknet för en fjärdedel delades i två, betydde det logiskt nog en åttondel. Ett kors betydde en femtedel och två kors betydde då föga överraskande två femtedelar.

Någon påhittig person har räknat ut att de fragment av minoiska texter och inskrifter som finns bevarade tillsammans inte utgör mer än en dryg A4, och då är det ju inte så märkligt att man någonstans kommer till en gräns där vår kunskap inte sträcker sig mycket längre, för det behövs till slut en viss tur, för att någon skall ha plitat ned just det tecknet på ett fragment som kom att överleva i nästan fyra tusen år. Det finns även hypoteser om tecken för tolftedelar, sextondelar och mycket annat, men de flesta bråktal fortfarande lite utav en gissningslek, om än en ganska intressant sådan, som du kan läsa mer om exempelvis på den här sidan. Och på den här sidan finns mer om Linear A och det minoiska språket.

Dessa rikt dekorerade pithoi, förvaringskärl, hittades på Knossos (bortsett från den bortersta, som hittades i Tylissos) och finns idag på det närbelägna arkeologiska museet i Heraklion. De användes för vinförvaring och ser passande nog ut att rymma ungefär 30 liter. Foto: J. Ollé, CC-BY-SA 3.0

Kreta, så heter ett land mitt ute på blånande djupet

vågomsvallat och bördigt och skönt; där finnes det mänskor

tusendetals, en oräknelig mängd, och nittio städer.

Språken där ljuda i kapp om varann, ty där finnas achaier,

finnas behjärtade kreter i mängd och stolta kydoner,

finnas ock dorer av stammarna tre och bålde pelasger.

Men bland städerna Knossos är störst, där Minos var konung,

vilken vart nionde år med den mäktige Zeus fick ett samtal

Homeros Odysséen, i översättning av Erland Lagerlöf.

Orsakerna till den minoiska kulturens plötsliga nedgång under mitten av 1400-talet f.Kr. har blivit ett kontroversiellt ämne, där såväl vulkanutbrott som skogsavverkning och ekosystemkollaps har föreslagits. Kort därefter erövrades ön av mykenska makthavare, som tog till sig det minoiska skrift- och talsystemet.

Vanligtvis avbildade de mykenska freskerna krigiska motiv, som t.ex. denna stridsvagn från 1200-talet f.Kr. Även om stilen och färgvalet påminner mycket om de minoiska konstverken är skillnaden i motiv slående, något som kanske speglar den mykenska kulturens mer utsatta läge på fastlandet.

Även om det mykenska maktövertagandet kanske var olyckligt för de erövrade minoerna, är det en av nyckelhändelserna i det minoiska tal- och skriftsystemets utveckling och för våra förutsättningar att förstå det. Till skillnad från minoiskan, som till synes är helt obesläktat med alla kända språk (vissa släktingar har föreslagits, men de är utan undantag minst lika mystiska själva), var mykenskan ett indo-europeiskt språk och troligtvis den äldsta kända varianten av det som skulle bli dagens grekiska.

Det mykenska skrivtecknen var således mycket lika de minoiska - man har kommit fram till att språken delade runt 80 procent av teckenuppsättningen. Den mykenska varianten av alfabetet har fått namnet Linear B, att jämföra med minoiskans Linear A. Detsamma gäller för talsystemen, som var uppbyggda på mycket liknande sätt. De skillnader som fanns motsvarar de man naturligen skulle kunna förvänta sig av språkens föränderlighet, under loppet av de århundraden som språket var i bruk förändrades naturligtvis formen på de handskrivna tecknen gradvis. På så sätt omvandlades exempelvis tecknet för 10, som i minoiskan varit en punkt, till att i mykenskan bli ett horisontellt streck.

Mykensk bokföring nedtecknades på lagom stora, cigarrformade lerbitar som kavlades ut till avlånga tavlor, som förstördes när räkenskapsåret var slut. En eldsvåda räddade däremot de här lertavlorna genom att bränna dess gods, så att de numera kan beskådas i rum 12 på British Museum i London.  På den minsta tavlans översta rad kan man läsa

 

där det första tecknet betyder bagge, följt av siffran två. Därefter kommer tecknet för tacka, följt av siffran 72. På raden under står

där den första delen betyder pa-i-to, det mykenska namnet på staden Phaistos, och återigen tecknet för bagge, den här gången följt av siffran 8.

I allra högsta grad formades det mykenska talsystemet av de omständigheter som det användes under. Behovet av ett talsystem uppkom först när storgårdar och statsbildningar nådde en storlek som krävde skriftlig administration. Den bokföring som fördes begränsade sig därför också till de varor och kvantiteter som var relevanta för storgården eller rent av för ett mindre kungarike - en halv eller en femtedels amfora av något var i det perspektivet inte längre särdeles relevant.

Kanske var det av denna anledning, som bråktalen föll bort under överföringen av det minoiska talsystemet till dess nya mykenska brukare. En annan anledning är också att man på det mykenska fastlandet använde sig av mindre enheter, istället för minoernas otympligt stora 30-litersurnor. De mykenska enheterna förefaller mycket mer praktiskt lagda, och verkar ha överensstämt med vad en person kan bära. Därför fanns också olika enheter för olika sorters varor - tio liter säd väger bara drygt hälften av vad tio liter vin.

Men eftersom vår kännedom om det mykenska talsystemet så gott som uteslutande baserar sig på arkeologiska fynd, kan man inte utesluta att beräkningar gjordes även i andra sammanhang, men att de gjordes på billigare och mindre långlivade material, som trä eller rent av på fuktad sand. Dessa beräkningar kanske rörde mindre kvantiteter, men vi kan bara spekulera i vilka tecken som användes för att beskriva dem. Exempelvis har nästan inga måttkärl bevarat, troligtvis eftersom sådana karvades ur trä - att uppnå sådan noggrannhet med mer tåligt lergods, som förändrar form under bränningen, är i princip omöjligt.

Den forntida stad som givit civilisationen dess namn, Mykene, ligger på en höjd, med utsikt över den omgivande, bördiga jordbruksmarken. Redan under bronsåldern odlades här fikon, oliver, vin och spannmål. För de kvantiteter av jordbruksprodukter som odlades här, behövdes säkerligen den största av de mykenska viktenheterna, talanton, som delades upp i trettio mindre enheter, som kallades dimnaion, som fortsatte att användas på Cypern långt in i antiken. Mer att läsa om jordbruk och mykenska enheter finns i John Chadwicks The Mycenaean World. Foto: Hansueli Krapf, CC-BY-SA 3.0

Genom att analysera handstilen från de tusentals mykenska inskriptioner som har hittats, har man också kunnat konstatera att alla författats av en begränsad grupp skriftlärda, främst samlade kring de olika kungliga hoven. Det var även här som alla beräkningar och all bokföring gjordes, vilka tillsammans utgjorde det mykenska talsystemets hela användningsområde. Denna ensidighet som de arkeologiska fynden indikerar utgjorde också ett hot mot tal- och skriftsystemets överlevnad, för när statsbildningarna och därmed bokföringen kollapsade, följde både alfabetet och taltecknen snabbt efter.

Både den minoiska och den mykenska kulturen hörde hemma i den grekiska bronsåldern, en period som fick ett dramatiskt slut kring år 1100 f.Kr. Liksom med den minoiska kulturens fall är de exakta orsakerna till den mykenska civilisationens kollaps höljda i historiens dimma. Flera teorier har presenterats om att klimatförändringar, kanske orsakade av utsläpp av sot och växthusgaser från ett vulkanutbrott, skulle ha orsakat missväxt, desperation och politisk instabilitet, eller att ett vulkanutbrott i sig skulle har orsakat förödelse och katastrof. Vissa har till och med djärvts föreslå, att det inte alls rörde sig om någon bronsålderskollaps, utan att arkeologerna bara har letat på fel ställen. Hur det ligger till med den saken, lär framtiden få utvisa.

Efter att ha gjort stora vinster i indigohandeln begav sig Heinrich Schliemann till Grekland och fann inför en misstroende världs ögon sagornas Troja. Därefter, i Alf Henrikssons välfunna ord, "begav han sig efter Iliadens anvisningar till de trakter varifrån stadens förstörare skulle ha kommit och grävde där med sömngångaraktig säkerhet fram även det guldrika Mykene, Agamemnons stad." På bilden syns lejonporten, stadens mest berömda kännemärke.

I det kaos som rådde de följande två århundradena dog de sista spillrorna av det mykensk-minoiska skrift- och talsystemet ut. Ur askan växte istället ett nytt Grekland fram - ett Grekland som inte minst blivit känt genom Homeros två mäktiga epos, Iliaden och Odysséen, Thales upptäckter och Pythagoras uppseendeväckande leverne.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om det grekiska talsystemets utveckling. Här hittar du den andra delen i serien.

Medeltida mönster möter modern matematik

I Topkapipalatsets museum ovanför Bosporen förvaras ett oansenligt men hemlighetsfullt medeltida dokument, en nästan 30 meter lång pergamentrulle fylld med geometriska figurer, men utan text. Topkapimanuskriptet andas matematisk historia och medeltida mysterier utan motstycke; dess historia handlar om girihmönster och medeltida mosaik, som tillsammans skulle kunna utgöra material för en matematisk thriller.

Panorama från Topkapipalatset i Istanbul, manuskriptets nuvarande hem, ut över Bosporen.

Men trots att det numer är infogat i Topkapimuséets samlingar som nummer 56, kommer Topkapimanuskriptet inte ifrån Istanbul, utan har sitt ursprung i 1400-talets Persien. Någon författare känner vi inte till, men bakom upptäckten, vars möjligheter manuskriptet torgför, stod med all säkerhet en genialisk matematiker, tillika arkitekt.

Två skisser ur Topkapimanuskriptet som illustrerar  överlagrade mönster, återspeglade eller återspeglingar av en arkitektonisk stil med hela Mellanöstern som spännvidd, och mer därtill. Här finns fler foton ur Topkapimanuskriptet.

Isfahan är inte bara känd för sina gamla broar, som än idag binder samman Zayandeflodens båda stränder, utan även för den mosaik, som bland annat bekläder Darb-i Imamgravens tak. Precisionen, mönstret och effekten som uppvisas hade helt enkelt varit omöjlig utan girihmosaikens metoder - dem som nedtecknades i Topkapimanuskriptet.

Idén bakom girihmönster kan dateras till långt bak i tiden, men någonstans kring 1200-talet skedde en revolution både i exaktheten med vilken mönstren kunde förfärdigas och i komplexiteten hos de mönster som tillverkades. Fram till sekelskiftet mellan 1100- och 1200-talen tror man att alla girihmönster tillverkades med passare och linjal. Eftersom girihmönster bygger på en femfaldig rotationssymmetri, av samma typ som den Dan Shechtman fann i sina kvasikristaller (dem kan du läsa mer om i detta inlägg), blir mönstren aldrig periodiska. Oavsett hur länge man fyller på, kommer mönstret aldrig att se ut precis som det gjorde när man började. Vill man att mönstret skall upprepas, till exempel vara likadant på båda sidor om en portal, får man börja om och göra exakt på samma sätt.

Runt ett valv i den gröna moskén i Bursa, i dagens Turkiet, har en struktur upprepats flera gånger, där varje tiohörning utgör en egen startpunkt, för att skapa ett periodiskt mönster. Mosaiken kan dateras till år 1424.

Ifall man då använder linjal och passare ansamlas småfel, oavsett hur noggrann man är, och det i en sådan takt att allt bortom mycket enkla mönster är otänkbara. De långt mycket mer avancerade mönster man hittar i senare mosaik, som kan innehålla hundratals tiohörningar och ibland upprepas på flera olika längdskalor, blir därför omisskännliga tecken på uppkomsten av en helt ny teknik, byggd på den matematiska insikten, att alla linjer och vinklar kan reduceras ned till fem små, olikformiga mosaikbitar.

Topkapimanuskriptet har givit oss kännedom om de fem girihbitar som de medeltida arkitekterna använde sig av. Bitarna användes som mallar, och när mönstret var färdigt behölls bara de linjer som i figuren målats blå. Här finns en beskrivning av hur man kan bygga egna Girihmönster i gratisprogrammet Google SketchUp.

Den nya metoden spreds som en löpeld och idag kan exempel på girihmönster ses i Indien, Uzbekistan, Turkiet och på många andra platser. Till sin största rätt kom den med de förbättringar som gjordes under 1400-talet, då mönstren blev större, mer komplexa och ibland överlagrade. Det är också vid den här tiden som Topkapimanuskriptet författares. Ett av de bästa exemplen på de mer avancerade mönstren som började dyka upp under 1400-talet hittar man i Darb-i Imamgraven, som färdigställdes år 1453.

På denna mosaik från Darb-i Imamgraven har två mönster överlagrats,  dels ett stort i de svarta linjerna, och dels ett mindre som fyllts i i mellanrummen. Några exempel där tre nivåers mönster överlagrats har man dock inte kunnat finna.

På grund av sina vinklar, som alla är multipler av 36 grader, ger girihbitarna upphov till tio- och femfaldig rotationssymmetri. På så sätt anknyter de till matematiska framsteg som gjorts först under 1900-talet, ett halvt millennium senare.

Peter Lu och Paul Steinhardt, som 2007 publicerade en artikel om girihmönstren, fann nämligen en överraskande likhet mellan de medeltida mönstren och de som Roger Penrose upptäckte år 1974. De upptäckte,  att de fem girihbitarna kan förenklas ytterligare till bara två bitar, Penroses berömda kil och pil, på engelska kallade "kite and dart". (Rapporten i sin helhet kan läsas här.)

Girihmönstren kan förenklas ytterligare till Roger Penroses kil- och pilbitar. Här ses ett exempel på hur tre av bitarna kan konstrueras. De röda och blå strecken till höger i bilden åskådliggör de matchningsregler, som Penrose formulerade och som de medeltida arkitekterna intressant nog ovetandes verkar ha följt. Bilden är från Lu och Steinhardts artikel.

Girihbitarnas släktskap med Penroses mönster gäller inte bara hur de byggs upp, utan de delar också ett antal fundamentala egenskaper. Det betyder inte minst, att de på många sätt innehåller det gyllene snittet. Exempelvis bildar de tiofaldiga symmetriaxlarna som strålar ut från ett girihmönsters centrum tio identiska och likbenta trianglar med vinklarna 36, 72 och 72 grader. Förhållandet mellan den korta och de två långa sidorna i en sådan triangel är det gyllene snittet. Eftersom vinkar på 36 och 72 grader är vanligt förekommande i girihmönstren, blir också gyllene snittet det. Kanske är det också anledningen till att girihmönstren får sitt harmoniska utseende.

Diskussion om en dimension

Hösten har kommit på riktigt och snart har vintern anlänt. Vad passar då bättre än en varm
och behaglig sydländsk höstbild av Nicolas Poussin?

Det är lätt att tänka sig att matematik och filosofi är två väsensskilda ämnen. Det är enkelt att förleda sig att tro att matematik bara skulle kunna användas till prognoser om skördens storlek, hur regnet skall falla eller planeterna ställa sig, och det därtill endast med en viss sannolikhet, som bara - egentligen - stämmer över mycket långa tider. Filosofin å andra sidan kanske skulle missa de detaljerna fullständigt och snarare diskutera skördens, landskapets och människornas natur, deras relation och, bara för att, dess varande.

Då tycker nog jag att idén om en idévärld (som Platon en gång resonerade kring) är mer tilltalande; matematiken är den underliggande verklighet - något slags rutnät, ett system - som världen är byggd efter. Matematik existerar ingenstans, men finns ändå överallt.

Nog är Amsterdam ordnat, med en matematisk struktur - men var i Amsterdam ligger matematiken?

Genom att avkoda detta system kan man till och med förutsäga upptäckter som inte är gjorda, något som inte är alltför ovanligt i matematikens historia. Men om nu förutsägelser är kraftfulla, kan de även ibland förefalla något för kraftfulla. Faran är att vi gör överförutsägelser och överabstraktioner, och ibland fäster de sig i våra världsbilder. Ett sådant exempel kan vara dimensionsbegreppet, som är lätt att förväxla med de koordinataxlar som används för att efterhärma dimensionerna i matematiska modeller, som grafer, datoranimationer och -spel. Den finns en stor skillnad mellan en dimensionsaxel och koordinataxel: Ett koordinatsystem (ett, två, tre eller fyrdimensionella) har en nollpunkt, origo, och riktningar, dem vi kallar x, y och z. Universum som bara har dimensionsaxlar saknar nollpunkt och riktning - universum har inte ett upp eller ner!

Låt oss likna koordinataxeln med en linjal. Den kan bevisligen vara antingen upp-och-ned eller "ned-och-upp". Den kan vara vinklade ett visst antal grader åt det ena eller andra och den går att dela upp i vektorkomposanter (länk till bild på Wikipedia), medan en dimensionsaxel inte går att vinkla, vrida eller mäta med - hur långt befinner du dig från universums origo, just nu? Och om de saknar de tre fundamentala egenskaperna, kan man då verkligen hävda att de finns?

En dimensionsaxel har ingen början, inget slut och ingen riktning. Den har ingen nollpunkt, den skär andra riktningslösa dimensionsaxlar både i alla och i ingen punkt. Det är först när vi definierar dess existens - och utgångspunkt - som vi kan räkna med den, eller ens tänka på den.

På något vis skapar vi dimensionernas existens när vi tänker på dem, och då finns de i vår tankevärld, vår idévärld. Sättet att tänka på dimensionerna som tre linjer är en slags gemensam tankevärld, där vi delar tankemönster mellan varandra. Dimensionerna har blivit en social konstruktion.

Dimensionerna bildar på så sätt en idévärld, som är gemensam för de som delar just det sättet att tänka. Kan vi tro att en utomjording, någon som inte delar den här gemensamma tankevärlden, skulle kunna förstå vad vi menar med begreppet "dimension"? Kan vi tro att en utomjording skulle förstå var vi menar med matematik eller ens med tal?

Hur ligger det då till med tiden, den fjärde dimensionen, går att det att föra samma resonemang om den? Har den någon riktning, storlek, eller nollpunkt, och finns den överhuvudtaget utanför våra huvuden och ekvationer? Och skulle då en utomjording kunna förstå vad vi menar med historia?

(Vill du läsa mer om dimensioner? Då finns två äldre inlägg för dig här: Den sjätte rumsdimensionen: En resa dit och tillbaks igen och Onaturliga dimensioner och matematiska konstverk)

Del 3: Matematiken, Indien och världen

Detta inlägg är den tredje delen i en serie om tre avsnitt. Här hittar du den första respektive andra delen.

Det Indien som Brahmagupta kände var ett rike i politiskt kaos. Under loppet av 500-talet föll Guptariket samman under trycket av hunniska invasioner från Centralasien och vid slutet av århundradet återstod det endast som en stadsstat kring det Kusumapura som Aryabhata en gång var verksam i. Den politiska splittring som följde kom att känneteckna medeltidens Indien, som ett splittrat landskap med med många lokala härskare och hov. Trots att tiden för den vetenskapliga vurm som odlats vid Guptarikets hov var till ända fortsatte verksamheten i lärocentren Kusumapura och Ujjain, och det var under den här perioden som den kanske mest omvälvande förändringen i det matematiska tankesättet ägde rum.

Det var också under medeltiden som det abstrakta sätt att se på talen som vuxit fram under guptaperioden började bära frukt. När tal inte längre nödvändigtvis var antal, areor eller något annat, utan kunde frikopplas och bli de abstrakta tal vi idag menar när vi använder oss av matematik, infann sig också ett nytt sätt att tänka. De indiska matematikerna var inte sena att ta vara på de nya möjligheter som följde, och medeltiden blev en blomstringstid i den indiska matematiken. Främst bland de medeltida matematikerna var en man vid namn Bashkara (men som i vissa sammanhang brukar kallas för Bashkara II för att särskilja honom från en äldre namne). Han lär ha fötts år 1114, levt till 1185 och i likhet med Brahmagupta ha varit ledare för lärocentrumet i Ujjain.

De politiska förhållandena i medeltidens Indien var kaotiska, och vad som förmodas vara Bashkaras hemstad verkar vid tiden för hans födelse ha tillhört det västra Chalukyariket. Denna anspråkslösa bildsten, som är daterad till året efter Bashkaras födelseår, är en av få existerande avbildningar av den då regerande kungen Vikarmaditya VI.

Sitt berömda verk, som snarast kan kallas den indiska matematikens universalverk, Siddhanta Shiromani, författade han endast 36 år gammal. Matematiken han tar upp är av varierande ålder och ursprung, och verket rymmer alltifrån förbättringar av matematik som varit känd sedan Aryabhatas tid till helt nyvunnen kunskap. Siddhanta Shiromani följer den indiska traditionen i det att den är skriven på vers - och har en omfattning på nära ett och ett halvt tusen sådana - men har ändå en särprägel jämfört med sina föregångare: Den nya inställning till matematik som utvecklades under början av medeltiden ger Bashkaras matematik en följsamhet bortom sina föregångare. Talet noll, negativa och positiva tal öppnade för ett helt nytt sätt att tänka, och gjorde Siddhanta Shiromani världsunikt. Framförallt är Siddhanta Shiromani skådeplats för ett monumentalt framsteg: differentialkalkylen - konsten att kunna räkna på förändringen i sig.

Att säga att Bashkara är differentialkalkylens uppfinnare vore dock enligt de flesta aningen förhastat. För det första har vi som vanligt inga bevis på att Bashkara själv var upptäckare av allt han nedtecknade, utan snarare antydningar att han sammanfattade och nedtecknade vad som lärdes ut av de lärare och visa män som var aktiva vid Ujjain. På så sätt framstår han mer en läroboksförfattare än en spetsforskare. För det andra formulerade de indiska matematikerna ingen generell metod för derivering eller integrering, och särskilde inte några tydliga koncept, utan vad de kan sägas ha vunnit är en grundläggande insikt om den sortens matematiks möjligheter, och därmed på ett rejält sätt satt igång en process som fyra hundra år senare skulle leda fram till Newton och Leibniz samtidiga upptäckt. Bashkaras verk, Siddhanta Shiromani, tjänade som den grundläggande läroboken i indisk matematisk utbildning ända fram tills den brittiska kolonialmakten övertog utbildningsväsendet drygt 700 år senare.

Sina observationer gjorde han vid observatoriet i Ujjain, på bilden, vid floden Shipra, som är Indiens ohotade astronomiska centrum. Det observatorium som idag finns i staden är visserligen inte äldre än 1700-talet, men är å andra sidan det enda av 1700-talsobservatorierna som fortfarande är i drift. Idag används det för att uppställa väderprognoser. Foto: Bernard Gagnon

Astronomin var drivkraften som fick Bashkara att utveckla de första stegen mot differentialkalkylen - i likhet med nästan alla indiska matematiker var Bashkara inte främst matematiker utan astronom. Drivkraften bakom hans intresse för matematik var astronomin och hans verksamhet förefaller ha utgått från observatoriet i Ujjain - i denna aspekt skiljde sig inte differentialkalkylen från de andra matematiska grenar som Bashkara berörde. I sitt arbete använde Bashkara troligtvis ett instrument som idag går under namnet jakobsstav, som inte nådde västerlandet förrän ett antal sekler senare och som bland annat användes för att mäta himlakroppars höjd över horisontlinjen. På ett matematiskt plan liknar tekniken triangulering och förutsätter därmed användning av de trigonometriska funktionerna. Eftersom himlakroppar som bekant rör sig, förändras vinklarna och de trigonometriska funktionerna behöver plötsligt deriveras.

Arvet efter Bashkara var en bok av närmast episk omfattning, som blev blev ett tungt arv och en hög ribba för de kommande indiska matematikerna; från århundradena efter Bashkara känner vi till knappt någon matematisk utveckling. Inga böcker eller artefakter som antyder någon utveckling har i vart fall ännu inte upphittats, men att utvecklingen helt skulle ha avstannat är ändå troligt. Liknande påståenden, om att utvecklingen plötsligt skulle ha avstannat, har tidigare gjorts om andra epoker i den indiska matematiska historian, för att senare överbevisas av nya fynd. Så nya rön om senmedeltidens matematik är att vänta, men än har inga gjorts.

Den indiska matematiken hade en sista blomstringstid i Kerala på Indiens sydligaste västkust. Dess läge på den indiska oceanens handelsrutter gav matematiken god spridning, men ironiskt nog var landskapet, som varierar mellan den låglänta kuststräckan och skogklädda bergsområden, bland de första till vilka de europeiska kolonisatörerna kom.

Istället dyker spåret av matematikens vidare utveckling inte upp förrän två sekler senare, och då i staten Kerala längsmed den indiska halvöns sydligaste västkust. Matematikerna som verkade här särskiljer sig på så sätt från såväl guldålderns som medeltidens matematiker genom att de varken verkade som enskilda matematiker-astronomer vid något av de många kungliga hoven eller som läromästare vid något av de två stora lärocentren, det i Kusumapura i norr och det i Ujjain i söder. Istället samlades kring en man vid namn Madhava en grupp matematiker och bildade därmed vad som av eftervärlden har kommit att benämnas Keralaskolan.

Vad Keralaskolans medlemmar åvägabringade närmar sig i sin omfattning en matematisk revolution - den matematik de utvecklade skulle inte komma att överträffas förrän två sekler senare. Madhavas arbete - eller i vart fall det som vunnit honom berömmelse - centrerades kring oändliga serieutvecklingar, av π och av de trigonometriska funktionerna. Exempelvis fann han att sin x - en för såväl navigation som astronomi ytterligt viktig funktion, men samtidigt en notorisk felkälla i en värld med endast oexakta tabeller och en minst sagt skriande brist på miniräknare - kunde uttryckas som

Med den kunskapen kunde man åstadkomma bättre tabeller och dessutom göra bra approximationer alltefter behov (vilket ju för övrigt är samma princip som våra dagars miniräknare bygger på.) Därför bär många av de serier han formulerade, som länge benämnts efter sina europeiska upptäckare, numera även Madhavas namn.

Madhava fick många efterföljare inom Keralaskolan, vars arbete ofta cirklade kring oändliga serieutvecklingar, och på så sätt kan sägas med de trigonometriska funktionernas hjälp ha förenat den jainistiska matematikens fascination med det oändliga (som Zenon som bekant inte till fullo delade) med geometrin, aritmetiken och astronomin i den matematik som såg dagens ljus vid lärocentret i Ujjain.

Den stad som idag bär namnet Irinjalakuda lär under medeltiden ha hetat Sangamagrama och varit Madhavas födelseort. Idag är den hem till drygt 50 000 invånare. Foto: Wikipediaanvändare Challiyan.

Kerala, en av Indiens av turister mest bevistade delstater, ligger utsträckt längsmed den indiska oceanen och var därför hem för en av det medeltida Indiens viktigaste handelsknutpunkter: hamnstaden Muziris. Staden är något av ett mysterium: ingen vet var den låg (även om lovande arkeologiska utgrävningar pågår i Pattanam), ingen vet exakt vem som besökte den (även om den omnämndes av flera romerska skribenter) och ingen vet hur länge staten fortsatte att vara aktiv (även om det sägs att europeiska jesuiter var verksamma där under 1600-talet).

Hamnstaden Muziris besöktes av såväl europeiska jesuiter som arabiska handelsmän. Utbyte skedde inte bara av varor, ädelmetaller och mynt, utan Keralas hamnstäder blev hem åt en mångkulturell smältdegel. Astronomi gick ihop med navigationskunskap, navigationskunskap med matematik, och den kunskap som grundlagts vid Indusflodens stränder, emanerat ur generationer av hinduiska, jainistiska och buddhistiska matematikers arbete och vuxit till i lärocentren i Kusumapura och i Ujjain tog därigenom klivet ombord på en seglats till främmande länder, till Mellanöstern och kanske ända till Europa.

Vasco da Gamas landstigning i Kerala 1498 markerade början på direktkontakterna mellan Kerala och Europa, som tillät indisk matematik att spridas direkt till Europa. Utbytets omfattning är dock en kontroversiell fråga. Akvarellmålningen ovan är däremot inte äldre än 1880-talet, då den förfärdigades av en man vid namn Ernesto Casanova.

Även om det självklart är omöjligt att sammanfatta en hel kulturs matematiska utveckling, så återkommer vad som snart i sig blivit ett mantra: att Indien är kontrasternas land. För den indiska matematiken har ju sett allt från tegelstenars geometri till astronomisk trigonometri, och indiska matematiker har utvidgat tallinjen med allt från de negativa talen via noll till oändligheten. De har arbetat enskilt, i höga torn och djupa bibliotek, men också tillsammans, samlade i skolor och lärocentra. I kolonisationen mötte den indiska matematiken en ny rad utmaningar - Indien uppgick i det brittiska imperiet, och så även dess matematik. I många fall hyste kolonisatörerna ingen eller liten förståelse för de matematiska framsteg de indiska matematiker man mötte var arvtagare till, och vilken matematisk tradition som levde i deras kultur. Inhemsk indisk matematik avfärdades nog i de flesta fall som mysticism, och de indier som ville utöva matematik fick möta den endast i dess brittiska version. Men Indien fortsatte naturligtvis att producera begåvade matematiker. En bland dem var Srinavasa Ramanujan, Indiens kanske mest framstående matematikergeni under 1900-talet, som i en mening - måhända oavsiktligt - träffande lyckades sammanfatta den indiska matematikens utveckling hand i hand med den religiösa astrologin, när han en gång lär ha sagt:

Sir, an equation has no meaning for me unless it expresses a thought of God.” - Srinavasa Ramanujan

Därmed är den här serien om antik indisk matematik till ända. Här finner du det första och det andra avsnittet.

Del 2: En guldålder i indisk matematik

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget,och här finner du den tredje och avslutande delen.

Den indiska guldåldern, som den har kallats, inleddes med den politiska stabilitet som uppstod inom guptariket på 300-talet e.Kr, som förenade stora delar av de norra och östra delarna av dagens Indien. Bilden visar ett sällsynt exempel på måleri i guptastil från de buddhistiska grottorna i Ajanta.

Vad som har kommit att benämnas den klassiska eran eller guldåldern inom antik indisk matematik inleddes med den första indiske matematiker vi känner till namnet, Aryabhata. Av en slump känner vi även till hans födelseår: Från de astrologiska referenser han lämnat, vet vi nämligen att han redan tjugotre år gammal författade sitt livs storverk, Aryabhatiya, som utkom år 499 e.Kr, varför han torde ha fötts omkring år 476 e.Kr. Var någonstans vet vi dock inte, men han lär ha levt och verkat i en stad kallad Kusumapura, som kanske (men inte helt säkert) skulle kunna vara dagens Patna.

Aryabhatiya var en bok som fanns i varje indiskt bibliotek under många århundraden efter att den utgivits. Den blev ett standardverk, en grundbult för hela guldåldern och tiden därefter. En stor del av Aryabhatiya, som lär betyda just Aryabhatas verk, ägnas åt astrologin, som han presenterar både ur ett mytologiskt perspektiv, vilket ger verket dess religiösa anknytning, och ett matematiskt, där bland annat sinusfunktionen presenteras. Boken innehåller även kapitel om geometri och aritmetik.

Att beskriva ett solurs skugga är ett av de centrala problemen i Aryabhatiya, antagligen då det förenar astrologin med geometrin. Det gigantiska soluret vid det astrologiska observatoriet Jantar Mantar i Jaipur, byggdes inte förrän i början av 1700-talet, men kan mycket väl ha inspirerats av Aryabhatiya. Soluret är så stort, att skuggan rör sig med upp till en millimeter per sekund. 

Ända sedan Aryabhatiya kom till västerlandet har den där förbryllat sina läsare, eftersom den lyckas förena mystik och poesi med matematisk klarsynthet. Verket består av 121 verser, där var och en framlägger en sats. Stilen är ibland närmast anekdotisk och boken förefaller snarast skriven för att vara ett minneshjälpmedel än en lärobok på egna ben - en antik formelsamling, kan man säga. Texter, som ju alltid var handskrivna vid den här tiden, var något mycket sällsynt, och att underlätta för läsaren att memorera innehållet var därför en klar kvalité - samtidigt följer det i fotspåren av den indiska matematikens långa muntliga tradition. Även om det genom åren skrivits kommentarer och förklaringar till verket, och kommentarer och förklaringar till dem, lämpar sig verket med andra ord inte för självstudier. (Här finns det för övrigt tillgängligt i en välkommenterad engelsk översättning.)

Vissa forskare har spekulerat i ifall Aryabhatiya främst avsågs som en sammanställning av en lång matematisk tradition, och ingenstans skriver Aryabhata uttryckligen att matematiken han presenterar var hans egen upptäckt. Satserna som presenteras varken förklaras, härleds eller exemplifieras. Men med tanke på eftermälet förefaller det trots det otroligt att han inte skulle ha bidragit med åtminstone en del av innehållet själv.

Vers 10: "100 plus 4, gånger 8 och adderat till 62 000; det är den nästan approximativa omkretsen hos en cirkel vars radie är 20 000." Därmed har Aryabhata givit sin tids kanske bästa approximation till π, som 3,1416. Det omständliga sättet att skriva är ett kännetecken för Aryabhatiya, men versmåttet gjorde texten lätt att lära sig utantill - såtillvida man kan sanskrit, vill säga.

Det Kusumapura som Aryabhata verkade i var en lärdomsstad i snabb tillväxt. Ett liknande lärocentrum grundades vid samma tid i Ujjain, och tillsammans kom de att utgöra epicentra för guldålderns vetenskapliga utveckling, som överlevde guptariket. Kanske på grund av de ökade kommunikationsmöjligheterna vetenskapsmännen och matematikerna emellan, eller tack vare att de få handskrivna böcker som kunde produceras fick en vidare läsekrets utvecklades den indiska matematiken snabbare än någonsin. Även översättningar av grekiska verk tillfördes biblioteken. Inte minst trigonometrin gjorde stora framsteg, men den kanske viktigaste följden blev en revolution inom siffersystemet. Även om de brahminska siffrorna redan hade gamla anor, var de bara ett system ibland många - dessutom fanns de i en uppsjö av varianter.

I Aryabhatiya använde sig Aryabhata inte av brahminska siffror, men hade likväl ett positionssystem och ett sådant fungerar inte utan en nolla. Som platshållare i större tal hade nollan länge använts - enligt vissa redan från århundradena innan Kristi födelse, men den som först iakttog konceptet noll, d.v.s. nollan som en egen siffra, inte bara ett avstånd mellan, låt säga, ental och hundratal, var en matematiker vid namn Brahmagupta.

Till skillnad från Kusumapura har matematikern Brahmaguptas hemstad, Ujjain, behållit sitt namn till våra dagar. Staden, som ligger vid floden Shipra, är fortfarande känd för sina universitet. Foto: Bernard Gagnon

Brahmagupta, som lär ha fötts år 598 e.Kr., utmärker sig i den indiska matematiken på många sätt. Han tillhörde inte det brahminska kastet, men erkändes ändå och var under ett långt tag ledare för lärocentrumet i Ujjain. Han är troligen också den enda antika indiska matematiker vars namn än idag utmärker både en sats och en matematisk identitet, vilka han lade fram i sitt verk Brahmasphutasiddharta. Till stilen påminner verket mycket om Aryabhatiya, och är helt författat på vers.

Brahmagupta har blivit berömd för sin sats som säger att sträckan AF är lika med FD ifall fyrkantens diagonaler skär varandra i en rät vinkel.

Till innehåller visar däremot Brahmaguptas matematik en tydlig hellenistisk influens. Efter Alexander den stores härnadståg uppstod en livskraftig grekisk kultur i den indiska halvöns nordvästra hörn, det antikens folk kände som Baktrien eller ungefär dagens Afghanistan och Pakistan. Med tiden integrerades den grekiska kulturen i den indiska, och under loppet av guptaperioden den grekiska matematikens skrifter de indiska biblioteken. Även om Brahmaguptas stil och matematik är tydligt tillhörig den indiska matematiska traditionen, har många av Brahmaguptas metoder sin grund i den grekiska matematiken, och många av hans satser är vidareutvecklingar av grekiska förlagor.

Kanske mest kännetecknande för den grekiska influensen på Brahmagupta är hans intresse för pytagoreiska tripletter, d.v.s. tre heltalslängder som tillsammans bildar en rätvinklig triangel, som exempelvis 3, 4 och 5. Efter att skrifter innehållande Pythagoras matematik förts med Alexander den store till Indien översattes de till sanskrit. Med utgångspunkt i dem generaliserade Brahmagupta teorierna och utvecklade en metod för att bestämma alla pytagoreiska tripletter. Den kunskapen kunde han använda, och skapade med hjälp av Euklides algoritm (som i den här tidens Indien talande nog betecknades kuttak, vilket ungefär betyder kvarnen eller pulverisatorn, eftersom den bryter sönder talen till deras beståndsdelar) en generell sorts lösning till en viss typ av diofantisk ekvation, d.v.s. en ekvation där man endast söker heltalslösningar. Nog var Brahmagupta en man med ett levande arv från antikens Grekland och såg långt för att han, i likhet med de greker vars verk han läste och i likhet med alla andra vetenskapsmän och matematiker, stod på giganters axlar.

Men den viktigaste av Brahmaguptas framsteg var något som grekerna motsatte sig och som inte skulle vinna spridning i västerlandet förrän renässansen. Talet noll, att inte bara använda symbolen noll som platshållare i tal skrivna med positionssystem, utan själva uppfattningen om ett tecken för att beteckna intigheten, tomheten, är en mycket unik tanke i den matematiska historien. Vissa hävdar till och med att den bara uppstod en enda gång - i Indien.

Sunya, som betyder inget eller tomhet på sanskrit, är ett buddhistiskt koncept, som i 600-talets Indien omvandlades till sant banbrytande matematik. Foto: Sukanto Debnath

Att utnämna Brahmagupta till talet nolls uppfinnare vore kanske en smula förhastat, men han är den som slutligen kom att sätta upptäckten på pränt. I Brahmasphutasiddharta ger han följande arton regler hur man skall räkna de fyra talesätten med noll och positiva och negativa tal:

1. Summan av två positiva tal är positiv.
2. Summan av två negativa tal är negativ.
3. Summan av noll och ett negativt tal är negativ.
4. Summan av noll och ett positivt tal är positiv.
5. Summan av noll och noll är noll.
6. Summan av ett positivt och ett negativt tal är skillnaden mellan dem; eller, ifall de är lika, noll.
7. Vid subtraktion dras det mindre från det större, positivt tal från positivt tal.
8. Vid subtraktion dras det mindre från det större, negativt tal från negativt tal.
9. Men när det större skall dras från det mindre är skillnaden omvänd.
10. När positivt skall dras från negativt, och negativt från positivt, skall de adderas ihop.
11. Produkten av en negativ kvantitet och en positiv kvantitet är negativ.
12. Produkten av två negativa kvantiteter är positiv.
13. Produkten av två positiva kvantiteter är positiv.
14. Positivt tal delat på positivt tal eller negativt delat på negativt är positivt.
15. Positivt delat på negativt är negativt. Negativt delat på positivt är negativt.
16. Ett positivt eller negativt tal delat på noll är ett bråktal med noll som nämnare.
17. Noll delat på ett negativt eller positivt tal är antingen noll eller uttryckt som ett bråk med noll som täljare och det ändliga talet som nämnare.
18. Noll delat på noll är noll.

Långlivade har Brahmaguptas 18 regler varit, det är det minsta man kan säga. Med undantag för den sista är de idag precis lika giltiga som den dag för snart ett och ett halvt årtusende sedan då de för första gången sattes i skrift. Att den sista inte visat sig lika hållbar som de andra är kanske ett mindre problem i det perspektivet.

Brahmaguptas sätt att ansträngningslöst gå från att generalisera kring de positiva talen till de negativa antyder ett abstrakt sätt att se talen. De är inte längre antal eller areor, utan siffror med en abstrakt innebörd. På så sätt kan man säga att de indiska matematikerna inte bara utvecklade siffrornas form, utan uppfann själva konceptet siffra. Detta minst sagt gigantiska språng framåt blir otvetydigt när Brahmagupta blandar in noll, och vad noll delat på noll är. Utan ett sådant abstrakt synsätt vore den frågan fullkomligt meningslös. Sedd på det viset blir den artonde regeln inte längre den felaktiga västgötaklimaxen utan den viktigaste regeln som får avsluta ett matematikens banbrytande manifest; att vår tid råkar ha en avvikande åsikt i själva sakfrågan är ju en mindre sak.

Detta är den andra delen i en serie om tre delar, som behandlar matematikens historia i Indien. Här hittar du det första inlägget, och här finner du den tredje och avslutande delen.

Del 1: Matematikens födelse i kontrasternas land

Rick Stein, som gjort flera mat- och kulturprogram om Indien för engelska BBC, konstaterar att hur mycket man än vill undvika att säga vad alla andra redan har sagt, finns inget sätt att undvika att Indien faktiskt är kontrasternas land. Det gäller den indiska matematiken också, där konkret geometri samsas med abstrakta oändligheter och matematikerna varierar mellan anrika ätter och asketer. På bilden syns Haji Ali Dargah-moskén, en legendomsusad grav och moské på en ö strax utanför Bombay. Foto: Humayunn Peerzaada, CC-BY-SA 3.0

Det är alltid svårt att veta vad de tidigaste civilisationerna tänkte kring matematik. Sällan har några skrifter bevarats, och ännu mer sällan på ett språk som (oftast västerländska) historiker kunnat tyda. På grund av bristen på skriftliga källor är dagens kunskap om dåtidens matematik ofta mycket rudimentär - vad vi känner till är bara det som går att mäta eller ana i landskapet och artefakterna - och oftast vet vi därför mest om deras kunskaper i geometri.

De äldsta fynden av matematisk verksamhet på den indiska halvön stammar från Induscivilisationen, som fram till 1700 f.Kr. blomstrade längsmed floden Indus stränder i dagens Pakistan. Mätningar gjorda på tegelstenar från den antika fyndplatsen Mohenjo-daro, en gång en av Induscivilisationens största städer, visar att invånarna där måste ha använt sig av en sorts linjal: Alla stenarnas längd är jämna multipler av en enhet på ca 3,4 cm - kanske en forntida kunglig tumme? Eftersom Mohenjo-daro var en av de största centralorterna, i en av dåtidens mest framgångsrika civilisationer, torde de tekniker som användes där utgöra spetsen i den tidens teknikutveckling, med de mest påkostade byggena, den högsta kvalitén, och den trendsättande motorn i spridningen av kulturell och teknologisk utveckling.

Mohenjo-daro kännetecknas av ett rätlinjigt gatunät, där såväl strukturer som tegelstenar följer jämna längdenheter - ett tidigt exempel på hur matematiken användes. Staden var en gång en av de viktigaste i området, och av vissa ses den idag som en av Sydasiens viktigaste fornlämningar. Nu möter dock en ny uppsättning hot: Den framstående pakistanska arkeologen Dr Asma Ibrahim menar att grundvattnets ökade salthalt och ovarsamt konserveringsarbete, tillsammans med svag ekonomi och omfattande säkerhetsproblem, kan komma att ha omintetgjort ruinerna inom tjugo år.

Våra viktigaste matematiska arv från Induscivilisationen, och det arv som fortfarande lever närmast oss, är tiobassystemet. Basen tio var det vanliga i Mohenjo-daro: Om man multiplicerar tummen med tio, får man ett mått på ca 34 cm - kanske en förhistorisk fot - och också ett mått som användes flitigt i byggen. Med andra ord föredrog de som byggde att använda jämna tiomultipler; tio tum blev en fot. Vid utgrävningar i Harappa, en annan stor förhistorisk stad i Indusdalen, upptäckte arkeologerna till och med bevarade linjaler och därtill viktmått, skapade enligt samma tiobassystem och som säkerligen använts i byggen i staden. I Harappa hittade man även en bronsstav, med ett mått på drygt nio millimeter. Hundra sådana blir nämligen ett steg, som också var ett vanligt mått ibland ruinerna.

Men Harappa- och Mohenjo-daro-bornas matematik gick säkerligen långt utöver den relativt rudimentära geometri som har gjort dem berömda, men deras muntliga tradition har inte motstått tidens tand. Först efter den litterära traditionens utbredning i samband med den indo-ariska invasionen började de matematiska tankegångarna att nedtecknas. Förändringarna i det indiska samhället var långtgående. Den vediska perioden, som tiden mellan 1700 och 500 f.Kr. brukar kallas, såg uppkomsten av stabilare kungadömen, med kulturella intressen, följt av sanskrits spridning och skrivkonstens utbredning. Som en del av samhällsförändringarna uppträdde även kastsystemet. Förvaltandet och kodifieringen av religionen samlades inom det brahminska kastet, som nedtecknade de vediska skrifterna, som utgör grunden inom hinduismen, men också innehåller poetiska antydningar om att intresset för geometri levde kvar. Eftersom matematiken räknades som ett av religionens uttryck, var även denna en brahminsk angelägenhet, och det var de som utvecklade den första generationen av vad vi idag kallar våra siffror.

Står här något om matematik? Det vet vi inte, för trots att det snart har gått hundra år sedan Harappa och Mohenjo-daro upptäcktes, förblir deras skrift ett mysterium. Tecknen verkar nästintill uteslutande ha använts på stämplar, och vissa forskare tvivlar på om de verkligen motsvarar ett språk. Istället skulle de kunna representera familjer, klaner, platser eller tillverkare. Oavsett gör texternas korthet det otroligt att de skulle beröra abstrakta ämnen som matematik, och även om Induscivilisationen hade ett skriftspråk, kan man knappast tala om en litterär tradition.

Den bild som framträder av den tidiga indiska matematik är starkt religiöst präglad, och bevarade inte minst arvet från den förskriftliga tidens recitationstekniker i de karaktäristiska mantrana. I synnerhet talteorin förknippades med det gudomliga, och denna den vediska matematiken har blivit berömd för sina utförliga namn på ohemult höga tal. Men även det geometriska arvet från Induscivilisationens dagar kom till utlopp i de vediska skrifterna. I en rad tillägg till de religiösa Rigveda-texterna, beskriver dåtidens matematiska auktoriteter hur matematiken skulle tillämpas vid religiösa byggen. Dessa tillägg går under namnet Sulba Sutras, och kan sägas karaktärisera den vediska matematiken som inriktad på och underordnad religionen. Därmed inte sagt att den vediska matematiken inte såg flera kunniga matematiker och banbrytande upptäckter - även under denna period fanns många verksamma och framgångsrika matematiker i det vediska Indien.

Till skillnad från senare matematiker under den indiska matematikens guldålder, som samlades i skolor kring framstående centralgestalter, fördes den vediska matematiken vidare inom ätter, från far till son. Dessa ätter sysslade med både astrologi och matematik, eftersom dessa under den vediska tiden hängde tätt samman. Men eftersom astrologin var en viktig del av religionen, var det mot slutet av den vediska perioden inte lätt att framföra nya tolkningar, eftersom dessa oundvikligen skulle strida mot något inom religionen. Istället fick matematiken större utrymme, eftersom det där var lättare att vara nyskapande: En ny matematisk teori kunde alltid accepteras, så länge den inte direkt motsade något inom astrologin.

De brahminska siffrorna stammar från den vediska perioden och är den första kända versionen av de indo-arabiska siffror vi använder idag. Huruvida de ursprungligen härstammar från Indusfolken eller från någon annan kultur och ifall de redan från början var siffertecken eller utvecklades ur förkortningar är höljt i historiens dimma.

[T]here can be no doubt that our decimal place-value system was born in India and was the product of Indian civilization alone."

- Georges Ifrah

Mot slutet av den vediska perioden började två andra religioner att växa: jainismen och buddhismen. Båda var väsentligt mer abstrakta, vilket erbjöd matematikerna både större frihet och nya områden. Medan buddhismen grundades vid denna tid, hade jainismen redan då gamla anor och en välutvecklad matematisk tradition. I likhet med hinduismen fanns inom jainismen ett intresse för höga tal, exempelvis delades tiden upp i perioder om 2⁵⁸⁸ år. Man drog dock en skiljelinje mellan det stora och det oändliga: Universum, exempelvis, saknade både början och slut. Men att räkna på oändligheter är både svårt och abstrakt, och i våra ögon förefaller den jainistiska indelningen i "oändligt i en riktning, oändligt i två riktningar, oändligt i area, allestädes oändligt och evigt oändligt" något ovetenskaplig. Intresset för det ändlösa gjorde ändå att de teorier de jainistiska matematikerna utvecklade inte skulle komma att överträffas förrän med den tyske matematikern Georg Cantor kring det förra sekelskiftet.

Jainismen är en av Indiens allra äldsta religioner och finns idag spridd över hela Sydostasien. I slutet av den vediska perioden, ca 500 f.Kr., började den ortodoxa hinduismen att ifrågasättas och religioner som jainismen och buddhismen blomstrade. Följde gjorde bland annat en stark matematisk utveckling. Här ses ett jainistiskt konstverk från 1900-talets Rajastan, som illustrerar en av religionens centrala principer: Att det inte finns någon fullständig sanning, utan att allting kan ses på olika sätt.

Det här inlägget är det första i en serie om tre inlägg om matematikens historia på den indiska halvön. Här hittar du den andra delen.

Stomachion - Arkimedes lilla ruta

Det krävdes ett underbarn för att leva kvar till vår tid: Ett av få romerska barn vi känner till namnet är Quintus Sulpicius Maximus, vars gravsten kan beskådas ovan.

Historikern Mary Beard berättar historien om Quintus Sulpicius Maximus, ett romerskt underbarn och ett bland de många romerska barn som dog långt före sin tid. Vid endast elva års ålder deltog pojken i en poesitävling där han mötte vuxna medtävlare. Trots vitt spritt erkännande vann han inte tävlingen. Kanske blev besvikelsen honom allt för stor eller så drabbades han av en helt vanlig åkomma, för sådana var inte ovanliga i Rom. Oavsett vilket var han snart därefter död och hans gravsten, eller en replika av den numera, som fortfarande står att se vid Porta Salina i Rom, ger uttryck både för pojkens stora begåvning och föräldrarnas stora sorg. (Hela artikeln finns att läsa här.)

Men det krävdes kanske ett dött underbarn, ett poet död innan han han skriva något verk berömt nog att vinna ryktbarhet ända till vår tid, för att tränga igenom det faktum att antikens historia är de vuxnas historia. Sällan erbjuds vi en glimt av vad barnen hade för sig - livet som romerskt barn var ofta hårt och dessutom fört i skymundan. Uppskattningar säger att runt hälften av alla romerska barn dog innan sin femte födelsedag.

Även om det i den unge Quintus korta liv kanske inte fanns så mycket tid att avvara studierna för att leka, fanns säkerligen ljuspunkter även i en romersk barndom, men skildring av hur de antika barnen kunde leka kommer från en oväntad källa. 1998 köpte en anonym miljardär ett ovärderligt dokument från en fransk familj. Det mögelskadade dokumentet lånades därefter ut för undersökning på ett amerikanskt museum och visade sig vara en palimpsest, ett gammalt pergament som under medeltiden skrapats rent och återanvänts som bönebok. I sig var det inget udda, utan vad som gjorde dokumentet speciellt var vad som fanns under: Där fanns nämligen spåren kvar av en av Arkimedes böcker, som världen tidigare känt endast i fragment, Stomachion. (Prisa medeltida pappersåtervinning!)

En sida av palimpesten, med den medeltida skriften i horisontella rader medan Arkimedes text, redan avskriven i cirka fem led från sitt antika original, går att ana som vertikala skuggor i bakgrunden.

Att det fanns eller, rättare sagt, en gång hade funnits en sådan bok, det visste man om sedan tidigare, men experterna hade avfärdat den som ointressant eller till och med förfalskad. Stomachion var ett enkelt spel, en lek som antikens barn roade sig med, och gick ut på att från fjorton olika geometriska former bygga figurer - stomachion var, skulle man kunna säga, ett slags antikens svar på våra dagars lego, och den skicklige kunde skapa "en monstruös elefant, ett brutalt vildsvin, en flygande gås, en beväpnad gladiator, en hukande jägare eller en skällande hund". Därför misstrodde man verket, och frågade sig varför en stor man som Arkimedes skulle skriva en bok, låt vara en kort sådan, om en barnleksak. Boken passade helt enkelt inte in i hur man ville att Arkimedes skulle ha varit, vilket antagligen var anledningen till att man hade så svårt att erkänna dess existens.

Den italienska 1800-talsmålaren Niccoló Barabino föreställde sig Arkimedes döende i hans minst sagt storslagna arbetsrum, även om legenden, som bekant, meddelar att han föll offer för en förhastad romersk soldat. En så seriös och genialisk man borde ju rimligtvis inte ägnat sig åt en simpel barnlek, tyckte nog de experter som avfärdade bokens äkthet.

Spelet omnämns av flera senromerska skribenter, som bland andra den senromerske poeten Marcus Ausonius. Förutom det citatet ovan om spelets möjligheter, beskrev han spelet med orden "quod Graeci ostomachion vocavere", vilket på latin betyder "vilket grekerna kallar ostomachion". Om ordets etymologiska ursprung råder dock delade meningar: medan vissa hävdar att det kommer från det grekiska ordet "stomachos", som liksom engelskans "stomach" betyder mage, pekar andra på att trianglarna oftast tillverkades av ben, vilket på grekiska heter "osto", medan "machion" betyder militär kamp eller tävling (som grekerna verkar ha fört med minst lika stor seriositet).

Själva kallade romarna - och troligtvis även deras barn - spelet för "Loculus Archimedius", vilket ungefär betyder "Arkimedes lilla ruta". Det berodde på att spelet för den något äldre publiken hade andra regler: där gällde det istället att pussla ihop de fjorton bitarna till en kvadrat. Det var den här varianten, som antingen uppfanns av Arkimedes eller bara gjordes känd av honom, som kom att uppkallas efter honom, och den som hans bok utgick ifrån.

En mönstrad illustration av ett sätt att placera de fjorton bitarna så att de skapar en kvadrat.

I sin bok frågade sig Arkimedes hur många sätt man kunde lösa gåtan på, det vill säga på hur många vis de fjorton bitarna kan arrangeras, så att de bildar en perfekt kvadrat. Därmed föregick han ett helt område inom matematiken, nämligen kombinatoriken.

Mycket gjorde han, den gode Arkimedes - men frågan han hade ställt sig, lyckades han såvitt vi vet aldrig besvara, och de antika barnens lek förblev ett mysterium att förbrylla de lärda. Där kunde hela historien slutat, om det inte vore för att det finns exakt 536 lösningar. Men innan skulle dröja till vår - och datorernas - tid innan frågan fick sitt svar.

Bill Cutlers 536 lösningar till Arkimedes fråga. Klicka på bilden för att den skall bli stor nog att du kan se något. 

Med ren beräkningskraft (och lite flink programmering) kunde man helt enkelt pröva alla möjliga och omöjliga lösningar och komma fram till att de förstnämnda var exakt 536 till antalet (om man inte räknar alla vändningar och vridningar av lösningarna, för då blir de hela 17 152 stycken istället). Men kanske visste Arkimedes det, kanske räknade han på något finurligt sätt faktiskt ut hur många sätt pusslet kunde läggas på (för varför skulle han annars skriva en bok om det?) - kanske föll bara de sidorna offer för en ovanligt nitisk pergamentskrapande munk. Det lär vi aldrig få veta.

Här kan du för övrigt prova att lösa den gåta som förbryllade antikens människor och stuva in bitarna på något av de sjutton tusen sätten - eller varför inte hitta ett helt eget?

Den sjätte rumsdimensionen: En resa dit och tillbaks igen

En kvasikristallin struktur i en zink-mangan-holmium-kristall med tiofaldig rotationssymmetri.

År 2011 belönades Dan Shechtman med Nobelpriset i kemi för upptäckten av kvasikristaller, som paradoxalt nog kombinerar egenskapen att kunna fylla vilket område som helst med att aldrig upprepa sig. Motståndet mot Shechtmans upptäckt var därför länge mycket starkt, och upptäckten ansågs omöjligtvis kunna vara sann. Intuitivt måste en kristall vara regelbunden och se likadan ut överallt – vilket kvasikristaller inte gör. Enligt all föregående vetenskap kunde kristaller ha två-, tre-, fyra- och sexfaldig rotationssymmetri, eftersom det tillåter mönstret att upprepas i det oändliga. Shechtmans kristaller hade istället fem- och tiofaldiga rotationssymmetrier.

Forskarvärldens lösning på problemet blev istället att kristallerna utgjorde projektioner av flerdimensionella strukturer – att kvasikristallerna var regelbundna i fyra, fem eller sex dimensioner, men att de förlorade den egenskapen om man ritade av eller beskådade dem i två eller tre dimensioner. Enligt en sådan tolkning pekar därför kvasikristallerna mot existensen hos fler dimensioner än vad vi kan förnimma.

Om flerdimensionella, regelbundna former avbildas i två dimensioner, kan ett oregelbundet mönster uppstå. Bilden visar en sexdimensionell kub (vad skulle vi göra utan datorer?) projicerad i två dimensioner, och mönstret har stora likheter med  kvasikristallfotografiet ovan. (Se t. ex. den här filmen för fler flerdimensionella kuber.)

Den kittlande tanken, att det kanske finns fler dimensioner än vi kan se, har inte bara inspirerat forskare - för var någonstans drar sig häxorna, tomtarna och trollen tillbaka, just som man en gång för alla skall upptäcka dem? Även mer seriösa personer, än de om övernaturliga dimensioner fabulerande berättarna, har funnit inspiration i detta oanade sätt att höja sina uttryck över vår alldaglighet. Det svårgripbara, imaginära och extraordinära har blivit ett kännemärke för den samtida matematiken såväl som konsten och arkitekturen.

En parisisk arkitekttävling vanns år 1982 av två danskar. Deras förslag var en fyrdimensionell kub i kolossalformat, avsedd som förlängning på den historiska axeln från Louvren via Tuilerierna till triumfbågen ut till La Défense. De många dimensionerna skulle symbolisera mänskligheten, för att uppväga den traditionella triumfbågens militarism.

En fyrdimensionell kub, i tre dimensioner på en tvådimensionell datorskärm, stoltiserar med av säkerhetsskäl stängda hissar i La Défense i Paris.

Men hur är det möjligt att i det hopplöst tredimensionella Paris bygga en fyrdimensionell byggnad, magi och revolutionerande dansk teknik till trots? Svar: Kuben är naturligtvis en projektion. Liksom en tredimensionell kub kan avbildas på ett tvådimensionellt papper, går en fyrdimensionell kub att avbilda i tre dimensioner.

Vad kuben, om man nu får kalla den för det, visar, bortsett från konstnärlig-filosofiska tolkningar om mänsklighet och humanitet, är att en fyrdimensionell kub har tredimensionella väggar, precis som en tredimensionell kub har tvådimensionella sidor. Från varje hörn utgår fyra kanter - precis som det utgår tre från varje hörn i en tredimensionell kub och två i en tvådimensionell kub, som av någon anledning brukar benämnas kvadrat. Vad den parisiska 4D-kuben är mindre bra på att visa, är att varje kant skiljs åt av räta vinklar mot alla andra kanter som utgår från samma hörn - och den bristen är väl förlåtlig, för hur skulle man i tre rumsdimensioner kunna visa något sådant?

En häftig, animerad och huvudbrysorsakande tesserakt, som en fyrdimensionell kub egentligen heter, rykande het direkt från Harvard.